大学高等数学经典课件8-6
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• M0
N
n
d=?
解1 可先求得过点M0且与平面垂直的直线L的方程,然后再求
平面与直线L的交点N坐标,最后由两点的距离公式即得所求.
直线L的方程为
代入平面的方程得
于是M0 到平面的距离为
于是交点N的坐标为:
解2:利用投影(P42)
3、平面束
平面束：通过定直线L的所有平面的全体.
设L的一般方程为 A1x+B1y+C1z+D1=0， (1) A2x+B2y+C2z+D2=0， (2) 其中系数A1，B1，C1与A2，B2，C2不成比例.
3. 参数式方程
设
得参数式方程 :
例1.用对称式及参数式表示直线
解:先在直线上找一点.
再求直线的方向向量
令 x = 1, 解方程组
,得
交已知直线的两平面的法向量为
是直线上一点 .
故所给直线的对称式方程为
参数式方程为
解题思路:
先找直线上一点;
再找直线的方向向量.
是直线上一点
二、
这是给定的平面
例5. 求直线
在平面
上的投影直线方程.
三、实例分析
例6. 求与两平面 x – 4 z =3 和 2 x – y –5 z = 1 的交线
提示: 所求直线的方向向量可取为
利用点向式可得方程
平行,
且 过点 (–3 , 2 , 5) 的直线方程.
例7. 求直线
与平面
到直线
的距离
为
点
d
作业 P48 2 ，3，5，7，8，9，14，15
P48 题2, 10
思考与练习
解：
《大学高等数学经典》PPT课件
记作U
0
(a).
教 案
U 0 (a) {x | 0 x a }
注意：邻域总是开集。
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高
等 二、映射
数 学
1、概念
电 子
设X,Y是两个非空集合,如果存在一个法则 f，使得对
教 案
X中每个元素x，按法则 f，在Y中有唯一确定的元素y与
之对应，则称f 为从X到Y的映射. 记作 f ：X→Y .
高
等
数
学
电
子 教
(函 数与 极 限)
案
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高
等
数
第一章 函数与极限
学
电 子
第一节 映射与函数
教 案
一、集合
1、概念 具有某种特定性质的事物的总体;
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
武
汉 科
元素a属于集合M, 记作 aM
技
学 院
元素a不属于集合M, 记作 aM
数
理
科
技
学 院
g[ f (x)] 1 (x2 1) 2 x2 1 x 2
数
理
系
高 等 三、函数 数 学 1、函数概念 电 子 定义1 设数集D R,则称映射 f : D→R为定义在D上的 教 案 函数，记作 y f (x), x D
其中 f 是对应规则，D称为函数的定义域，x 叫做自
数
理
系
高
等
数
2、区间
学
电
是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个
子
教 案
实数叫做区间的端点.
a,b R, 且a b.
高等数学6_8(4)几种重要的特殊向量场
提示：
rotA A
i x x2 y 2
j y y 2 2 xy
k z z2 2
0
所以A是有势场。求势函数的方法有以下三种：
(1)线积分法 (2)偏积分法 (3)凑全微分法
( x1 , y1 , z1 )
( x0 , y0 , z0 )
u u u div(gradu ) div x , y , z
rotA 0 A gradu
A 0
A 0
Байду номын сангаас
2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z
div(gradu ) u u 0
有势场，并称u为A的势函数或位函数。
定理1
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3/9
空间曲线积分与路径无关的条件
定理1. 设 G 是空间一维单连通域, A ( P, Q, R) C (1) (G)
则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有环量 (2)
与路径无关，即A为一保守场； (3) 在G内存在某一函数 u, 使 d u P d x Q d y R d z 即A为有势场；
u 0称为拉普拉斯方程
满足u 0的函数称为调和函数
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8/9
THE END
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6/9
A(M ) C (1) (G), G R3 定理2. 设 是二维单连域，则下
列三个命题是等价的： (1)若在G内恒有 A 0 ，即A为无源场；
大学《高等数学》课件-第八章
五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
则有
由勾股定理得
因
得两点间的距离公式:
对两点
与
例4. 求证以
证:
即
为等腰三角形 .
的三角形是等腰三角形 .
为顶点
例5. 在 z 轴上求与两点
等距
解: 设该点为
解得
故所求点为
及
思考:
(1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
四点共面, 求点 M 的坐标 x、y、z 所满足的方程.
解: A、B、 C、M 四点共面
展开行列式即得点 M 的坐标所满足的方程
即
内容小结
设
1. 向量运算
加减:
数乘:
点积:
叉积:
混合积:
2. 向量关系:
思考与练习
1. 设
计算
并求
夹角 的正弦与余弦 .
答案:
2. 用向量方法证明正弦定理:
总之:
运算律 :
结合律
分配律
因此
定理1.
设 a 为非零向量 , 则
( 为唯一实数)
, 取 ＝±
且
再证数 的唯一性 .
则
反向时取负号,
则
例1. 设 M 为
解:
三、空间直角坐标系
由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
坐标原点
坐标轴
x轴(横轴)
y轴(纵轴)
z 轴(竖轴)
过空间一定点 O ,
备用题
解: 因
1. 设
求向量
在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分
向量. P13(19)
高数8-6
x 1 y 1 z 1 , 1 2 3
( x 1) 2( y 1) 3( z 1) 0,
即 x 2 y 3z 6 0.
x t, y t 2 , z t3, 求 例1：设 （1）在点 ( 1 , 1 , 1 ) 处的切线方程和法平面方程
: x ( t ), y ( t ), z ( t ),
T ( ( t0 ), ( t0 ), ( t0 )), n T 0,
设曲面方程为 F ( x , y , z ) 0 在曲面上任取一条通过 点 M ( x0 , y0 , z0 ) 的曲线
第六节 微分法在几何上的应用
• 一、空间曲线的切线与法平面 • 二、曲面的切平面与法线 • 三、小结
一、空间曲线的切线与法平面
空间曲线的切线
z
M
T
M
x
o
y
当动点 M 沿曲线 趋于M 时, 割线 M M 的极限位置 MT 称为该曲线在 M 处的切线. 问题：如何确定切线 MT 的方程？
0
T
d F [ ( t ), ( t ), ( t )] 0 dt t t d F [ ( t ), ( t ), ( t )] Fx ( t ) Fy ( t ) Fz ( t ) dt
在 t t0处,
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( t0 )
（1）设空间曲线 的方程
x (t ) y (t ) z (t ) ( t ) (1)
z
M
T
M
切线 MT 的方程为
x
o
y
( x 1) 2( y 1) 3( z 1) 0,
即 x 2 y 3z 6 0.
x t, y t 2 , z t3, 求 例1：设 （1）在点 ( 1 , 1 , 1 ) 处的切线方程和法平面方程
: x ( t ), y ( t ), z ( t ),
T ( ( t0 ), ( t0 ), ( t0 )), n T 0,
设曲面方程为 F ( x , y , z ) 0 在曲面上任取一条通过 点 M ( x0 , y0 , z0 ) 的曲线
第六节 微分法在几何上的应用
• 一、空间曲线的切线与法平面 • 二、曲面的切平面与法线 • 三、小结
一、空间曲线的切线与法平面
空间曲线的切线
z
M
T
M
x
o
y
当动点 M 沿曲线 趋于M 时, 割线 M M 的极限位置 MT 称为该曲线在 M 处的切线. 问题：如何确定切线 MT 的方程？
0
T
d F [ ( t ), ( t ), ( t )] 0 dt t t d F [ ( t ), ( t ), ( t )] Fx ( t ) Fy ( t ) Fz ( t ) dt
在 t t0处,
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( t0 )
（1）设空间曲线 的方程
x (t ) y (t ) z (t ) ( t ) (1)
z
M
T
M
切线 MT 的方程为
x
o
y
大学经典课件之高等数学——8-6方向导数和梯度
机动
∂f ∂f ∂f ∂f r = cos α + cos β + cos γ . ∂l ∂x ∂y ∂z
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二、梯度
问题 : 函数在点 P 沿哪一方向变化率增加 的 最快 ? r r 设 e = {cos α , cos β } 是方向 l 上的单位向量，
则
∂f ∂f ∂f ∂f ∂f r = cosα + cos β = { , } ⋅ {cosα , cos β } ∂y ∂x ∂y ∂ l ∂x
结论：函数在某点的梯度是一个向量，它的方向与取得 最大方向导数的方向一致，即：沿梯度的方向函数的变化 率增加最快。而梯度的模为方向导数的最大值。梯度的模 为 2
⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂ f ⎞ | gradf ( x , y ) |= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
2
机动
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∂ f ∂f r ∂f 2 ∂f 2 = ( ) + ( ) cosθ , 其中 θ = ({ , }, e ) ∂x ∂y ∂x ∂x
∂f 显然当 cos θ = 1 ，即 θ = 0 时， r 有最大值。 ∂l
∂f ∂f 即沿方向 { , } 函数的变化率增加最快 ∂ x ∂y
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然而，在实际问题中还要经常会遇到在其它方 向上的变化率的问题。
问题： 函数 z = f ( x , y )在其它方向上的变化率如 何刻划？
—— 方向导数
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方向导数的定义
y
l
设函数 z = f ( x , y ) 在点P ( x , y ) r α 的某一邻域 U ( P ) 内有定义， 是过 l • • P r Δx 点 P 的任意确定方向。在 l 上任取 ′( x + Δx , y + Δy )， P ′ ∈ U ( P ), o 一点 P 使
∂f ∂f ∂f ∂f r = cos α + cos β + cos γ . ∂l ∂x ∂y ∂z
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二、梯度
问题 : 函数在点 P 沿哪一方向变化率增加 的 最快 ? r r 设 e = {cos α , cos β } 是方向 l 上的单位向量，
则
∂f ∂f ∂f ∂f ∂f r = cosα + cos β = { , } ⋅ {cosα , cos β } ∂y ∂x ∂y ∂ l ∂x
结论：函数在某点的梯度是一个向量，它的方向与取得 最大方向导数的方向一致，即：沿梯度的方向函数的变化 率增加最快。而梯度的模为方向导数的最大值。梯度的模 为 2
⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂ f ⎞ | gradf ( x , y ) |= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
2
机动
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∂ f ∂f r ∂f 2 ∂f 2 = ( ) + ( ) cosθ , 其中 θ = ({ , }, e ) ∂x ∂y ∂x ∂x
∂f 显然当 cos θ = 1 ，即 θ = 0 时， r 有最大值。 ∂l
∂f ∂f 即沿方向 { , } 函数的变化率增加最快 ∂ x ∂y
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然而，在实际问题中还要经常会遇到在其它方 向上的变化率的问题。
问题： 函数 z = f ( x , y )在其它方向上的变化率如 何刻划？
—— 方向导数
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方向导数的定义
y
l
设函数 z = f ( x , y ) 在点P ( x , y ) r α 的某一邻域 U ( P ) 内有定义， 是过 l • • P r Δx 点 P 的任意确定方向。在 l 上任取 ′( x + Δx , y + Δy )， P ′ ∈ U ( P ), o 一点 P 使
8-6高等数学
切线方程为
y = φ ( x) , z = ψ ( x)
x − x 0 y − y0 z − z 0 , = = 1 φ ′( x 0 ) ψ ′( x 0 )
法平面方程为
( x − x0 ) + φ ′( x0 )( y − y0 ) + ψ ′( x0 )( z − z0 ) = 0.
f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 ) = z − z0 ,
曲面在M处的法线方程为 曲面在 处的法线方程为 处的
x − x0 y − y0 z − z0 . = = f x ( x 0 , y0 ) f y ( x 0 , y0 ) −1
表示曲面的法向量的方向角， 若α 、 β 、γ 表示曲面的法向量的方向角， 并假定法向量的方向是向上 向上的 即使得它与 z 轴 并假定法向量的方向是向上的， 是锐角，则法向量的方向余 的正向所成的角γ 是锐角，则法向量的方向余 弦为 − fx cosα = , 2 2 1 + fx + fy
cos β =
{3, λ ,−3}
⇒ y0 = λ x 0 , z 0 = − 3 x 0 ,
6 x 0 2 y0 2 z 0 = = 3 λ −3
切点满足曲面和平面方程
3 x0 + λ2 x0 + 9 x0 + 16 = 0 , 2 2 2 2 3 x0 + λ x0 + 9 x0 − 16 = 0
法线方程为
x − x0 y − y0 z − z0 = = Fx ( x0 , y0 , z0 ) F y ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
y = φ ( x) , z = ψ ( x)
x − x 0 y − y0 z − z 0 , = = 1 φ ′( x 0 ) ψ ′( x 0 )
法平面方程为
( x − x0 ) + φ ′( x0 )( y − y0 ) + ψ ′( x0 )( z − z0 ) = 0.
f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 ) = z − z0 ,
曲面在M处的法线方程为 曲面在 处的法线方程为 处的
x − x0 y − y0 z − z0 . = = f x ( x 0 , y0 ) f y ( x 0 , y0 ) −1
表示曲面的法向量的方向角， 若α 、 β 、γ 表示曲面的法向量的方向角， 并假定法向量的方向是向上 向上的 即使得它与 z 轴 并假定法向量的方向是向上的， 是锐角，则法向量的方向余 的正向所成的角γ 是锐角，则法向量的方向余 弦为 − fx cosα = , 2 2 1 + fx + fy
cos β =
{3, λ ,−3}
⇒ y0 = λ x 0 , z 0 = − 3 x 0 ,
6 x 0 2 y0 2 z 0 = = 3 λ −3
切点满足曲面和平面方程
3 x0 + λ2 x0 + 9 x0 + 16 = 0 , 2 2 2 2 3 x0 + λ x0 + 9 x0 − 16 = 0
法线方程为
x − x0 y − y0 z − z0 = = Fx ( x0 , y0 , z0 ) F y ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
高等数学第八章课件.ppt
x x0 y y0 z z0 . x(t0 ) y(t0 ) z(t0 ) 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
T x(t0), y(t0), z(t0)
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
x(t0 )(x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
限，记为
lim f( x, y) A,
( x, y x0 , y0 )
或 f(x,y) A,( x, y)( x0, y0 )
例 考察函数
g( x,
y)
xy
x2 y2
,
x2 y2 0 ,
0 , x2 y2 0
当 ( x, y ) ( 0 , 0 ) 时的极限
解 当 ( x, y ) 沿 y 轴趋向于原点，即当 y 0 而
若函数 u u(x, y), v v(x, y) 在点(x, y) 处有偏导 数，则 z f (u) 在对应点(u, v) 处有连续偏导数， 则复合函数 z f [u(x, y), v(x, y)] 在点(x, y) 处也存 在偏导数，并且
两种特殊情况：
（二） 隐函数的求导法则
设方程 F (x , y) = 0 确定了函数 y = y(x)，两端 对 x 求导，得
f（x0，y0）=C
第二节 偏导数
一、偏导数的概念及几何意义 二、高阶偏导数 三、复合函数与隐函数的求导法则
一、偏导数的概念及几何意义
（一） 偏导数的概念
定义 设函数
在点
的某邻域内极限
存在,则称此极限为函数 的偏导数，记为
注意:
同样可定义对 y 的偏导数为
若函数 z f ( x, y)在域 D 内每一点 ( x, y)处对 x
T x(t0), y(t0), z(t0)
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
x(t0 )(x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
限，记为
lim f( x, y) A,
( x, y x0 , y0 )
或 f(x,y) A,( x, y)( x0, y0 )
例 考察函数
g( x,
y)
xy
x2 y2
,
x2 y2 0 ,
0 , x2 y2 0
当 ( x, y ) ( 0 , 0 ) 时的极限
解 当 ( x, y ) 沿 y 轴趋向于原点，即当 y 0 而
若函数 u u(x, y), v v(x, y) 在点(x, y) 处有偏导 数，则 z f (u) 在对应点(u, v) 处有连续偏导数， 则复合函数 z f [u(x, y), v(x, y)] 在点(x, y) 处也存 在偏导数，并且
两种特殊情况：
（二） 隐函数的求导法则
设方程 F (x , y) = 0 确定了函数 y = y(x)，两端 对 x 求导，得
f（x0，y0）=C
第二节 偏导数
一、偏导数的概念及几何意义 二、高阶偏导数 三、复合函数与隐函数的求导法则
一、偏导数的概念及几何意义
（一） 偏导数的概念
定义 设函数
在点
的某邻域内极限
存在,则称此极限为函数 的偏导数，记为
注意:
同样可定义对 y 的偏导数为
若函数 z f ( x, y)在域 D 内每一点 ( x, y)处对 x
高等数学(第二版)教学课件8-6
(2)
一、二阶常系数非齐次线性微分方程的 通解结构及特解的可叠加性。
定理1 设 y* (x) 是二阶非齐次线性方程
y'' py' qy f (x)
的一个特解。Y (x)是与(1)对应的齐次方程(2)的通 解，那么
y Y (x) y* (x) (3) 是二阶非齐次线性微分方程(1)的通解。
y '' py ' qy e(iw)x Pm (x)
(8)
的特解 y *，由定理可知，分别取 y *的实部(或虚部)， 即是微分方程(8)的特解：
(或 )。 y1* Re{e(iw)x Pm (x)}
y
* 2
Im{e(iw)x Pm (x)}
对于微分方程(8)的特解求法，与前面部分相同， 即有结论：
第八章 微分方程
第六节 二阶常系数非齐次线性 微分方程
一、二阶常系数非齐次线性微分方程的 通解结构及特解的可叠加性。
本节主要讨论二阶常系数非齐次线性微分方程
y '' py' qy f (x)
(1)
的解法，其中 p, q 为常数，f (x) 是连续函数.它所对 应的齐次方程为
y'' py' qy 0
， y* x k Pm (x)e(iw)x 其中，若 ( iw) 不是特征方程的根，取 k 0 ；
若 ( iw) 是特征方程的根，取 k 1 。
例3 求微分方程 y'' y 4 cos 2x 的通解。
解 对应的齐次方程为 y'' y 0 它的特征方程为 r2 1 0 特征根为 r1 i r2 i 对应齐次方程的通解为 Y C1 cos x C2 sin x 下面求微分方程 的特解 y'' y 4e2ix y*
《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学
高数-第八章-多元函数微分学
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学在约束最优化问题 中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应 用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分 学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明，如果一个 多元函数在某一点的偏导数等于零， 并且这个点的海森矩阵（Hessian matrix）是正定的或负定的，那么这 个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域，对D 中的任意点P，若存在实数x、y、 z...与之对应，则称f(x,y,z...)是D上 的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合 称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y)表 示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹 。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...)，如果当 其他变量保持不变时，函数关 于某个特定变量的一阶导数存 在，则称这个导数为该函数在 该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数 表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴 方向的切线斜率。
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学在约束最优化问题 中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应 用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分 学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明，如果一个 多元函数在某一点的偏导数等于零， 并且这个点的海森矩阵（Hessian matrix）是正定的或负定的，那么这 个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域，对D 中的任意点P，若存在实数x、y、 z...与之对应，则称f(x,y,z...)是D上 的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合 称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y)表 示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹 。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...)，如果当 其他变量保持不变时，函数关 于某个特定变量的一阶导数存 在，则称这个导数为该函数在 该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数 表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴 方向的切线斜率。
精品课件-高等数学-第八章
从上式可看出ΔS由两部分组成． 第一部分yΔx+xΔy是 Δx、 Δy的线性函数，即图8-3中带有单条斜线的两个矩形面 积的和；第二部分ΔxΔy，当Δx→0，Δy→0时，是比 (x)2 (y)2 较高阶的无穷小量. 当|Δx|，|Δy|很小时，有 ΔS≈yΔx+xΔy． 我们把yΔx+xΔy叫做面积S的微分．
dz=AΔx+BΔy 也称函数z=f(x，y)在点(x，y)处可微．
对二元函数，可以证明如果函数z=f(x，y)在点(x，y)的 某一邻域内有连续的偏导数fx′ (x，y)，fy′ (x，y)，则函 数z=f(x，y)在点(x，y)处可微，并且
dz=fx′ (x，y)Δx+fy′ (x，y)Δy
第八章 多元函数微分学及其应用
第八章 多元函数微分学及其应用
第八章 多元函数微分学及其应用
8.1 多元函数与偏导数 8.2 高阶偏导数与全微分 8.3 多元函数的极值
第八章 多元函数微分学及其应用
8.1 多元函数与偏导数 一、 多元函数的概念 在很多自然现象和实际问题中，经常会遇到多个变量之间 的依赖关系． 引例1 [直角三角形面积] 直角三角形面积S与底边长x， 高y之间具有关系
类似地，有
第八章 多元函数微分学及其应用
r
2y
y
y 2 x2 y 2 z 2 r
r
2z
z
z 2 x2 y 2 z 2 r
例6 已知理想气体的状态方程pV=RT(R为常量)，求证：
证明 因为
p V T 1 V T p
p RT , V
V RT , p
T pV , R
p V
RT V2
p RT (V>0，T>0，R为常量)
dz=AΔx+BΔy 也称函数z=f(x，y)在点(x，y)处可微．
对二元函数，可以证明如果函数z=f(x，y)在点(x，y)的 某一邻域内有连续的偏导数fx′ (x，y)，fy′ (x，y)，则函 数z=f(x，y)在点(x，y)处可微，并且
dz=fx′ (x，y)Δx+fy′ (x，y)Δy
第八章 多元函数微分学及其应用
第八章 多元函数微分学及其应用
第八章 多元函数微分学及其应用
8.1 多元函数与偏导数 8.2 高阶偏导数与全微分 8.3 多元函数的极值
第八章 多元函数微分学及其应用
8.1 多元函数与偏导数 一、 多元函数的概念 在很多自然现象和实际问题中，经常会遇到多个变量之间 的依赖关系． 引例1 [直角三角形面积] 直角三角形面积S与底边长x， 高y之间具有关系
类似地，有
第八章 多元函数微分学及其应用
r
2y
y
y 2 x2 y 2 z 2 r
r
2z
z
z 2 x2 y 2 z 2 r
例6 已知理想气体的状态方程pV=RT(R为常量)，求证：
证明 因为
p V T 1 V T p
p RT , V
V RT , p
T pV , R
p V
RT V2
p RT (V>0，T>0，R为常量)
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故在点(1, 1 ,1)处的切线方程为:
x 1
y1 2
z 1
2
1
2
2
理 系
法平面方程为 : x 2y 2z 0
高
等 曲线的向量方程及向量值函数的导数
数
学 曲线C的参数方程(1)[x=x(t), y=y(t), z=z(t)]也可写成向量的形
电
子 式.记 r=xi+yj+zk, r(t)=φ(t)i+ψ(t)j+ω(t)k
高 第六节 多元函数微分学的几何应用
等
p
数 学
一. 空间曲线的切线与法平面
z
M
电 设空间曲线L的参数方程为 子
M0
T
教
x=x(t), y=y(t), z=z(t) (1)
y
案
x
并设x(t),y(t),z(t)都可导,且导数不同时
为0.和平面曲线一样,通过空间曲线上
武
汉 科
任一点M0(x0,y0,z0)(对应于参数t=t0)的
学
电 是r(t)的三个分量函数φ(t),ψ(t),ω(t)都在t0可导,当r(t)在t0可 子
教 导时,其导数为
案
r(t0 ) (t0 )i (t0 ) j (t0 )k
采用向量形式,上面研究的空间曲线的切线,切向量的结果可
武
汉 科
表达为若向量值函数r(t)在t0可导,且r’(t0 )≠0,则r(t)的矢端曲线
Fx Fy Gx Gy 0
武
切线方程为x 1 y 1/ 2 z 1.法平面方程为x 2y 2z 0
1
2
2
汉
科 技 学
切线方程为x 1 y 1/ 2 z 1.法平面方程为x 2y 2z 0 1 2 2
院
数 理 系
Fy Gy
Fz Gz
(x
0
x0 )
Fz Gz
Fx Gx
(y
0
y0 )
数
理
系
高 等
由全导数公式,得
数
学 电
Fx (x0 , y0 , z0 ) x(t0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) y(t0 ) Fz (x0 , y0 , z0 ) z(t0 ) 0.
(12)
子
教 由全导数公式,得
案
Fx (x0 , y0 , z0 ) x(t0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) y(t0 )
武
汉 科
(x x0 ) (x0 )( y y0 ) (x0 )( z z0 ) 0 (6)
技
学
院
数
理
系
高
等 数
(2)如果曲线用两个空间曲面相交的交线形式出现时,可根
学 电
据隐函数求导的方法处理.
子
教 案
设空间曲线C的方程以 F (x, y, z) 0
G(x, y, z) 0
(7) 的形式给出
Fz (x0 , y0 , z0 ) z(t0 ) 0. (12)
武 汉
而s={x’(t), y’(t), z’(t)}是曲线L在点M0处的切线的方向向量,
科
技
学记
院
数
理 系
n {Fx (x0, y0, z0 ), Fy (x0, y0 , z0 ), Fz (x0, y0, z0 )}
Fx Gx
Fy Gy
(z
0
z0 )
0
(9)
高
解法2 : 把y, z看成x的函数,直接把方程对x求导,得到
等
数
2x 2y dy 2z dz 0 2y
2z 4z
学
dx dx
2( y 1) 2z
电 子
6x 2( y 1) dy 2z dz 0 2x
2z 8xz,
2y
2x 8xy 4x
科
技
学
院
2x 6y 3z 25 0
数
理
系
高 例2 求曲线 xyz=1,y2=x 在点(1,1,1)处的切线及法平面方程
等
数 分析:我们把曲线方程写成参数方程
学
电 子 教
x y 2 , y y, z y 3. xy 2 y, yy 1, zy 3y 4
(1,1,1) y 1 xy 2, yy 1, zy 3.
武 汉
lim r(t) r(t0 ) T 0
科 技
t t0
t t0
学
院 数
则称r(t)在t0可导,并称T为r(t)在t0的导数(或导向量),记作r’(t0)
理
系
即r’(t0)=T
高 容易证明:向量值函数r(t)在t0连续的条件是: r(t)的三个分量
等
数 函数φ(t),ψ(t),ω(t)都在t0连续; r(t)在t0可导的充分必要条件
J (F,G) 0
(y, z)
高 等
Fz Fx dy (x) Gz Gx ,
Fx Fy dz (x) Gx Gy
F F dy F dz 0 x y dx z dx
数
dx
学
Fy Fz
dx
Gy Gz
Fy Fz Gy Gz
G G dy G dz 0 x y dx z dx
电 子 教 案
技
学 院 数
C在r(t0)的终点处存在切线, r’(t0 )就是切线的方向向量,它的指
理
系 向与参数t的增大时点M移动的走向一致.
高
二 曲面的切平面及法线
等
数 定义 在曲面上,通过一点M0的任何曲线在 学
电 该点的切线,如果都在同一平面上,这个平
子
Σ
教 案
面就称为曲面在M0的切平面.正如过平面
NT M0
于是T=(1, φ’ (x0 ),Ψ’(x0 )) 是曲线C在点M(x0,y0,z0)处的切向量.
Fz Fx
(x) Gz Gx 0 ,
Fx Fy
(x) Gx Gy 0
Fy Fz
Fy Fz
Gy Gz 0
Gy Gz 0
分子分母中带下标0的行列式表示行列式在点M(x0,y0,z0)的
武
汉 科
值,把上面的切向量T乘以 Fy Fz
技
学 院 数
切线,定义为割线M0 M,当M趋向M0时的极限位置M0T.
理
系
高
等
数
学 电
设M0的邻近点M(x0+△x,y0+△y,z0+△z)所对应的参数为
子 教
t=t0+△t.设p(x,y,z)是曲线的割线M0M上的一点.曲线的割线
案 M0M的方程为△xi+△yj+△zk, MP=(x-x0)i+(y-y0)j+(z-z0)k,因
电 子
可以了为此,我们在恒等式
教
F[x, (x), (x)] 0
案
G[x, (x), (x)] 0
两边分别对x求全导数,得到
F F dy F dz 0 x y dx z dx
武 汉
G G dy G dz 0
科
x y dx z dx
技 学
由假设可知,在点M的某个邻域内 故可解得
院
数
理 系
案
切线方程为x 1 y 1 z 1
2 1 3
法平面方程为（2 x 1）（y 1）（3 z 1） 0 2x y 3z 0
武 (1)现在我们讨论空间曲线C的方程以y=φ(x), z=ψ(x)的形式
汉
科
技 学
出现,取x为参数,它可表示为参数方程的形式: x=x, y=φ(x),
院
数
理 z=ψ(x).
(3)
学
院
数
理
系
高
等
数 例1 求曲线 x=2t,y=3t2,z=t3.在点M(2,3,1)处的切线方程和 学
电 法平面方程.
子 教
M (2,3,1) t 1.
案
x 2, y t1 6, z t1 3.
切线方程为x 2 y 3 z 1。
2
6
3
武 汉
法平面方程为（2 x 2） （6 y 3）（3 z 1） 0
数 学
C就是变向径r(t)的终点的轨迹.我们称C为向量值函数r(t)的
电 子
矢量曲线.根据R3中向量的模的概念与向量的线性运算法则,
教 案
可定义一元向量值函数r(t)的连续性与可导性:
设r(t)在点t0的某邻域内有定义,如果
lim
t t0
r(t) r(t0 )
0
则称r(t)在t0连续;又若存在常向量T=(a,b,c)使得
,得
技 学
Gy Gz 0
院 数 理 系
T1
[
Fy Gy
Fz , Fz Gz 0 Gz
Fx , Fx Gx 0 Gx
Fy ] Gy 0
高
等 数
这也是曲线C在点M处的一个切向量,所以在点M(x0,y0,z0)的
学 切线方程为 电
子 教 案
x x0 y y0 z z0
(8)
Fy Fz
Fz Fx
为M0M∥M0p,所以有
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高 等 数
x x0 y y0 z z0 x x0 y y0 z z0 lim x x0 lim y y0 lim z z0
x
y
z
x
y
z
t0 x
t0 y
t0 z
t
t
t
t
tt学源自x x0 y y0 z z0
系
高
等 若φ(x), ψ(x)都在x=x0处可导,那么由上述讨论可知,