第六章样本及抽样分布

第六章样本及抽样分布

【授课对象】理工类本科二年级

【授课时数】4学时

【授课方法】课堂讲授与提问相结合

【基本要求】1、理解总体、个体和样本的概念；

2、了解经验分布函数和直方图的作法，知道格林汶科定理；

3、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算；

4、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论；

5、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。

【本章重点】样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布——2 分布，t分布，

F分布；分位数的理解和计算。

【本章难点】对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。

【授课内容及学时分配】

§6.0 前言

前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随

机现象统计规律性的一门数学分支。它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性；而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的一门数学分支。所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来选择、构造数学模型（即研究随机现象）。其研究方法是归纳法（部分到整体）。对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。数理统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。

§6.1 随机样本

一、总体与样本

1.总体、个体

在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体；而把组成总体的每个元素称为个体。

例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况

时，该校的全体男大学生组成了总体，而每个男大学生就是个体。

但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几项数量指标X(可以是向量)和该数量指标X在总体的分布情况。在上述例子中X是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X的这样或那样的数值，因而这个数量指标X是一个随机变量（或向量），而X的分布就完全描写了总体中我们所关心的那个数量指标的分布状况。由于我们关心的正是这个数量指标，因此我们以后就把总体和数量指标X可能取值的全体组成的集合等同起来。

定义1：把研究对象的全体（通常为数量指标X可能取值的全体组成的集合）称为总体；总体中的每个元素称为个体。

我们对总体的研究，就是对相应的随机变量X的分布的研究，所谓总体的分布也就是数量指标X的分布，因此，X的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征。今后将不区分总体与相应的随机变量，笼统称为总体X。根据总体中所包括个体的总数，将总体分为：有限总体和无限总体。

例1：考察一块试验田中小麦穗的重量：

X =所有小麦穗重量的全体（无限总体）；个体——每个麦穗重x 对应的分布：

+∞<<σμσπ=≤=≤ξ=⎰∞-σμ--x N dt e x 重量x P x F x t 0),(~21}{)(22)(22总麦穗数的麦穗数

例2：考察一位射手的射击情况：

X =此射手反复地无限次射下去所有射击结果全体；

每次射击结果都是一个个体（对应于靶上的一点）

个体数量化⎩⎨

⎧=未中射中01x 1在总体中的比例p 为命中率

0在总体中的比例p -1为非命中率

总体X 由无数个0，1构成，其分布为两点分布),1(p B

p X P p X P -====1}0{,}1{

2.样本与样本空间

为了对总体的分布进行各种研究，就必需对总体进行抽样观察。 抽样——从总体中按照一定的规则抽出一部分个体的行动。

一般地，我们都是从总体中抽取一部分个体进行观察，然后根据观察所得数据来推断总体的性质。按照一定规则从总体X 中抽取的一组个体),,,(21n X X X Λ称为总体的一个样本，显然，样本为一随机向量。

为了能更多更好的得到总体的信息，需要进行多次重复、独立的抽样观察（一般进行n 次），若对抽样要求①代表性：每个个体被抽到的机会一样，保证了n X X X ,,,21Λ的分布相同，与总体一样。②独立性：n X X X ,,,21Λ相互独立。那么，符合“代表性”和“独立性”要求的样本),,,(21n X X X Λ称为简单随机样本。易知，对有限总体而言，有放回的随机样本为简单随机样本，无放回的抽样不能保证n X X X ,,,21Λ的独立性；但对无限总体而言，无

放回随机抽样也得到简单随机样本，我们本书则主要研究简单随机样本。

对每一次观察都得到一组数据（n x x x ,,,21Λ），由于抽样是随机的，所以

观察值（n x x x ,,,21Λ）也是随机的。为此，给出如下定义：

定义2:设总体X 的分布函数为)(x F ，若n X X X ,,,21Λ是具有同一分布函

数)(x F 的相互独立的随机变量，则称（n X X X ,,,21Λ）为从总体X 中得到的容量为n 的简单随机样本，简称样本。把它们的观察值（n x x x ,,,21Λ）称为样本值。

定义3:把样本(n X X X ,,,21Λ)的所有可能取值构成的集合称为样本空间,

显然一个样本值(n x x x ,,,21Λ)是样本空间的一个点。

二、样本的分布：

设总体X 的分布函数为)(x F ，（n X X X ,,,21Λ）是X 的一个样本，则其联合分布函数为：)x ,,x ,x (F n *

Λ21=∏=n i 1)(i x F 。

例3：设总体),,(,),1(~21n X X X p B X Λ为其一个简单随机样本，则样本空间}n ,,,i ;,x )x ,,x ,x {(i n ΛΛ211021===Ω，因为1{}(1)x x P X

x p p -==⋅-，0,1x =

所以样本的联合分布列为： 11221122{,,,}{}{}{}n n n n P X x X x X x P X x P X x P X x =======L L

n i x p p p p p p i x x x x x x n n ,,2,11,0)1()1(.)1(1112211ΛΛ==---=---

§6.2 分布函数与概率密度函数的近似解

在概率论中，我们介绍了几种常用的分布函数以及它们的性质，当时我们总假定它们都是先给定的，而在实际中，所遇到的用于描述随机现象的随机变量，事先并不知道其分布函数，甚至连其分布类型也一无所知，