曲面积分习题课

Σ Σ1
′x 2 + z ′y 2 dxdy = 1 + ( 2 x ) 2 + ( 2 y ) 2 dxdy dS = 1 + z 原式 = ∫∫ | xyz | dS = 4 ∫∫ xyz dS
= 4 ∫∫ xy ( x 2 + y 2 ) 1 + ( 2 x )2 + ( 2 y )2 dxdy
[ r 2 sin θ cos θ + r 2 (cos θ + sin θ )]rdr
=4
2 π 2a 4 2π (sin θ − 2
∫
cos 5 θ + cos 5 θ + sin θ cos 4 θ )dθ
y
64 = 2a 4 15
o
2a
x
或 ∫ ∫ ( xy + yz + zx )dS = 2 ∫ ∫ [ xy + ( x + y ) x 2 + y 2 ]dxdy
1. 若曲面Σ :
则
z = z( x, y)
′x 2 + z′y 2 dxdy; 1+ z
∫∫ f ( x , y , z )dS Σ = ∫∫ f [ x , y , z ( x , y )]
D xy
2. 若曲面 Σ： y = y( x, z)
则
∫∫
Σ
′ 2 + y′ 2dxdz f ( x , y , z )dS = ∫∫ f [ x, y( x, z),z] 1 + yx z
∫∫ Pdydz+Qdzdx+ Rdxdy = ∫∫(Pcosα+Qcosβ+ Rcosγ)dS
Σ Σ
方法三： 方法三：将对三个坐标面的积分转化到一 个坐标面. 个坐标面
说明：如果曲面Σ由方程z = z ( x, y ) 给出，当Σ取上 侧 时， 有 ： -z y -z x cosα = , cosβ = , 1 + zx2 + z y2 1 + zx2 + z y2
2π
1 3 r dr 0
2 1+ 2 π= π = + 2 2 2
.
π
利用对称性计算对面积的曲面积分
设f ( x, y, z ) 在闭区域D上连续 , I = ∫∫ f(x, y, z)dS
∑
1.若曲面∑关于x = 0对称,∑1 是∑的x ≥ 0的部分, 则 若曲面∑
(1)当f ( -x, y, z ) = -f ( x, y, z ) 时 , I = 0. (1)当
2
2
（ 0 ≤ z ≤ 1 ）.
Σ
z
依对称性知： 解 依对称性知：
抛物面z = x 2 + y 2关于 xoz, yoz面对称，
被积函数| xyz |也对称
y
x
有 ∫∫ = 4 ∫∫ 成立，Σ 1为第一卦限部分曲面 ( 为第一卦限部分曲面)
2 2 其中 D′ = {( x , y ) | x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0} xy
D′ xy
Σ
Σ1
利用极坐标
π
2 1
x = r cos t , y = r sin t ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
= 4 ∫0 dt ∫0 r 2 cos t sin t ⋅ r 2 1 + 4r 2 rdr
= 2 ∫0 sin 2tdt ∫0 r
2
π
1
5
1 + 4r dr 令u = 1+ 4r
2
2
1 5 u−1 2 = ∫1 u( ) du = 125 5 − 1 . 4 4 420
x y z 4 其中Σ 例1 求 ∫ ∫ ( z + 2 x + y )dS , 其中Σ为平面 + + = 1 2 3 4 3 Σ
在第一象限中的部分; 在第一象限中的部分; 4 解 Σ : z = 4 − 2x − y 3 x Dxy : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3(1 − ) 2 61 2 2 dxdy dS = 1 + z x + z y dxdy = 3 4 61 ∫ ∫ ( z + 2 x + 3 y)dS = ∫ ∫ 4 ⋅ 3 dxdy D Σ
z
1
z = 1− x − y
x
Σ4 Σ1 Σ
2
o
Dxy : 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 − x
Σ3
1
y
1
dS = 1 + ( z′x )2 + ( z′y )2 dxdy = 3dxdy
∫∫ xyzdS = ∫∫ xy (1 - x - y ) ∑
Dxy
3dxdy
= 3 dx
1 ∫0
1− x ∫0
Σ Dyz
如果Σ由 y = y( z , x )给出, 则有
∫∫ Q( x, y, z)dzdx = ±∫∫ Q[x, y(z, x), z]dzdx
Σ Dzx
注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧. 注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.
例 7.
zdxdy + xdydz + ydzdx , 其中∑是柱面 x2+y2=1 其中∑ ∫∫
Σ
Σ
o
x 1
1
1 y
∫∫
D yz
1 − y dydz = ∫ dz ∫
2
3
0
0
1 − y 2 dy
2
= 3∫
1
0
3 1 − y dy = π. 4
(3) Σ可表示为： = 1 − x 2 可表示为： y (z, x)∈Dzx={(z, x)|0≤z≤3, 0≤x≤1}, 故 , ∈ , ≤≤ , ≤ ≤ ,
2
z
∫ ∫ ydzdx =
Σ
∫∫
Dzx
1 − x 2 dzdx
1
o
1 y
= ∫ dz ∫
0
3
1
0
1 − x 2 dx = 3 ∫
0
1 − x 2 dx
3 = π. 4
x 1
所以 ∫ ∫ zdxdy + xdydz + ydzdx
Σ
3 = π. 2
方法二：利用两类曲面积分之间的联系： 方法二：利用两类曲面积分之间的联系：
第二十二章
主要内容: 主要内容:
曲面积分
习 题 课
（一）对面积的曲面积分 （二）对坐标的曲面积分 （三）Gauss公式与斯托克斯公式 公式与斯托克斯公式
计算方法：一投、二代、 计算方法：一投、二代、三换 对面积的曲面积分的计算法: 一、对面积的曲面积分的计算法
按照曲面的不同情况分为以下三种： 按照曲面的不同情况分为以下三种：
计算二重积分. 2.求出 3.计算二重积分 2.求出dS的表达式 3.计算二重积分.
计算曲面积分 例3： ：
∑ : x = 0, y = 0, z = 0, 及x + y + z = 1 所围立体的表面 .
∫∫ xyzdS , ∑
∑
解： ∑ = ∑ 1 + ∑ 2 + ∑ 3 + ∑ 4
∑ 1 : x = 0, ∑ 2 : y = 0, ∑ 4 : x + y + z = 1, ∑ 3 : z = 0,
分解为Σ=Σ 解 将Σ分解为Σ=Σ1+Σ2, 其中 Σ1: z=1 , D1: =
2
z
x2+y2≤1, ,
2
dS=dxdy; = ;
Σ1
D
Σ2 : z = x + y
dS = 1 +
2 zx
D2: x2+y2≤1, ,
x
o
Σ2
y
+
2 z y dxdy
x2 y2 dxdy = 2dxdy = 1+ 2 + 2 2 2 x +y x +y
3 xy(1 − x − y )dy = . 120
说明： 说明：当S只取平 只取平 面x+y+z=1时,即为 时 即为 P.282 习题 习题1(4).
习题1 例4 (P.282 习题 (2)):
其中Σ 计算 ∫ ∫ ( x 2 + y 2 )dS , 其中Σ是:锥面 z =
Σ
x 2 + y2
及平面 z=1 所围成的区域的整个边界曲面; = 所围成的区域的整个边界曲面;
( x 2 + y 2 )dS = ∫ ∫ ( x 2 + y 2 )dS + ∫ ∫ ( x 2 + y 2 )dS ∫∫
Σ Σ1 Σ2
= ∫ ∫ ( x 2 + y 2 )dxdy + 2 ∫ ∫ ( x 2 + y 2 )dxdy
D1 D2
= ∫0 dθ ∫
2π
1 3 r dr 0
+ 2 ∫0 dθ ∫
Σ
被平面 z=0 及 z=3 所截得的第一卦限内的部分的前侧 = = 所截得的第一卦限内的部分的前侧.
解
(1). Σ在xOy面的投影为零, 故 面的投影为零, 面的投影为零
z
3
∫ ∫ zdxdy = 0
(2) Σ可表示为 x = 1 − y 2 (y, z)∈Dyz={(y, z)|0≤y≤1, 0≤z≤3}, , ∈ , ≤ ≤ , ≤≤ , 故 ∫ ∫ xdyz =
0 -2
+
z 2 dxdy y
y
x
x2 y2 dxdy = 1+ 2 + 2 2 2 x +y x +y
= 2dxdy
o
2a
x
∫ ∫ ( xy + yz + zx )dS = 2
Σ
[ xy + ( x + y ) x 2 + y 2 ]dxdy ∫∫
Dxy
= 2 ∫ 2π dθ ∫0
−
π
2 a cos θ
xy
z
4
o
x
2
3 y
4 61 = ∫ ∫ dxdy = 4 61 3 D
xy
例2 计算 ∫∫ ( x + y + z )dS , 其中 Σ 为平面 y + z = 5
Σ
所截得的部分. 被柱面 x + y = 25 所截得的部分
2 2
解 积分曲面 Σ ： z = 5 − y ,
投影域 ： Dxy = {( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ 25}
dS = 1 + z ′x 2 + z ′y 2 dxdy
= 1 + 0 + ( −1) 2 dxdy =
故
2dxdy ,
∫∫ ( x + y + z )dS=
Σ
2 ∫∫ ( x + y + 5 − y )dxdy
D xy
故
∫∫ ( x + y + z )dS
Σ
= 2 ∫∫ ( x + y + 5 − y )dxdy
方法一： 方法一：定义法 “一投,二代,三定号” 一投,二代,三定号” 一投
给出, 如果 Σ由 Σ : z = z( x, y)给出,则有
∫∫ R( x, y, z)dxdy = −D R[x, y, z( x, y)]dxdy ∫∫ Σ
Σ
如果Σ由 x = x ( y , z )给出, 则有
xy
∫∫ P( x, y, z)dydz = ±∫∫ P[x( y, z), y, z]dydz
Σ : z = z( x, y)
cos γ > 0 时 ，曲面取 上 侧 cos γ < 0 时 ，曲面取 下 侧 cos β > 0 时 ，曲面取 右 侧 cos β < 0 时 ，曲面取 左 侧 cos α > 0 时 ，曲面取 前 侧 cos α < 0 时 ，曲面取 后 侧
Σ : y = y( x, z) Σ : x = x( y, z)
D xy
= 2 ∫∫ (5 + x)dxdy = 2 ∫ dθ∫ (5 + r cos θ)rdr 0 0
5
2π
D xy
= 125 2π.
x + y = 25
2 2
的计算步骤: ∫∫ f ( x, y,z) dS 的计算步骤:
Σ
写出曲面∑ 1.写出曲面 的显式方程,确定投影坐标面, 1.写出曲面∑的显式方程,确定投影坐标面, 求出投影区域. 求出投影区域.
Σ D xy
= 2 ∫ ∫ x x + y dxdy = 2 ∫ 2π dθ ∫
2 2 D xy
π
−
2 a cosθ 2 r cosθ 0
⋅ rdr
2
64 4 2a = 15
二、 对坐标的曲面积分
曲面法向量的指向决定了曲面的侧 曲面法向量的指向决定了曲面的侧. 法向量的指向决定了曲面的 决定了侧的曲面称为有向曲面. 决定了侧的曲面称为有向曲面. 侧的曲面称为有向曲面
其中Σ ( xy + yz + zx )dS , 其中Σ为锥面 z = x 2 + y 2 例6 ∫ ∫
Σ
所截得的有限部分. 被 x2+y2=2ax 所截得的有限部分.
2
解 Σ:z =
dS = 1 +
x + y , Dxy:
2 2
2 zx
x2+y2≤2ax, 0.5 ,
1.5 z 1
2 1 0 y -1 0 -1 1 2 -2
(2)当 (2)当f ( -x, y, z ) = f ( x, y, z ) 时 , I = 2
∫∫ f ( x, y ) dσ .
∑1
若曲面∑ 若曲面∑关于y = 0 ( 或z = 0 ) 对称 , f 关于y ( 或z ) 有 奇偶性时,有类似的结论。 奇偶性时,有类似的结论。
例5
计算 ∫∫ | xyz | dS ,其中 Σ 为抛物面 z = x + y 其中
Dxz
3. 若曲面Σ： x = x( y, z)
则
∫∫
Σ
f ( x , y , z )dS = ∫∫ f [ x( y, z), y, z] 1 + x′y + x′ dydz z
2 2 Dyz
说明： 说明：
单值显函数， （1）这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则 ）这里积分曲面的方程必须是单值显函数 可利用可加性，分块计算， 可利用可加性，分块计算，结果相加 （2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程 ）把曲面投影到哪一个坐标面， 即方程的表达形式 （3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是 ） 把被积函数化为二元函数 换面积微元. （4）切记任何时候都要换面积微元 ）切记任何时候都要换面积微元