基于LQR的一级倒立摆设计

直线一级倒立摆LQR 控制器的设计摘要在控制理论上倒立摆使许多抽象的概念可以直观的表达出来。

无论是在实践还是理论上都具有深刻的意义。

可以用拉格朗日方法建模，设计倒立摆二次型最优控制器，通过MATLAB 仿真和实际系统实验，实现对倒立摆的稳定控制。

建立模型，确定参数，进行控制算法设计、系统调试和分析等步骤实现。

关键词：二次型；倒立摆；稳定控制前言倒立摆的最初研究开始于20世纪50年代，由美国麻省理工学院的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计；而后人们有参照双足机器人控制问题研究出二级倒立摆设备，从而提高了检验控制论和方法的能力，也拓宽了检验范围。

在控制理论上倒立摆使许多抽象概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以直观的表现出来。

同时由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象，并不断从中发掘出新的控制理论和控制方法。

课程设计要求：熟悉倒立摆实际控制系统；对倒立摆系统建模；进行控制算法设计；进行系统调试和分析；利用MATLAB 高级语言编程，实现倒立摆稳定控制；实时输出波形，得出结论。

一. 线性二次最优控制LQR 基本理论LQR 控制器是应用线性二次型最优控制原理设计的控制器。

它的任务在于，当系统状态由于任何原因偏离了平衡状态时，能在不消耗过多能量的情况下，保持系统状态各分量仍接近于平衡状态。

线性二次型最优控制研究的系统是线性的或可线性化的，并且性能指标是状态变量和控制变量的二次型函数的积分。

线性二次最优控制LQR 基本原理为，由系统方程：X AX BU ⋅=+确定下列最佳控制向量的矩阵K ：使得性能指标达到最小值：()()*u t K x t =-)(**J X QX URU dt∞=+⎰式中：Q 为正定（或正半定）厄米特或实对称阵R 为正定厄米特或实对称阵 下面是最优控制LQR 控制原理图：图1 LQR 控制原理图方程右端第二项是是考虑到控制能量的损耗而引进的，矩阵Q 和R 确定了误差和能量损耗的相对重要性。

并且假设控制向量u(t) 是无约束的。

对线性系统：根据期望性能指标选取Q 和R ，利用MATLAB 命令lqr 就可以得到反馈矩阵K 的值。

(),,,K lqr A B Q R =改变矩阵Q 的值，可以得到不同的响应效果，Q 值越大（在一定范围之内），系统抵抗干扰的的能力越强，调整时间越短。

但是Q 不能过大。

二. 建立模型及分析在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示：图2 直线一级倒立摆建模其中：.X AX BU Y CX ⎧⎪=+⎨=⎪⎩M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置φ 摆杆与垂直向上方向的夹角θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 采用牛顿动力学方法可建立单级倒立摆系统的微分方程如下：22()cos sin ()sin cos M m x bx ml ml F I ml mgl mlx θθθθθθθ+++-=++=-倒立摆的平衡是使倒立摆的摆杆垂直于水平方向倒立，所以假设θπφ=+，φ为足够小的角度，即可近似处理得：cos 1θ=-，sin θφ=-，220tθ∂=∂用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个方程如下：2()()I ml mgl mlxM m x bx ml uφφφ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩ 取状态变量：1234x x x x x x x φφ⋅⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即摆杆的角度和角速度以及小车的位移和速度四个状态变量。

则系统的状态方程为：12222221222234142222()()()()()()()()()x x I ml b m gl I ml x x x uI M m Mml I M m Mml I M m Mml x x mlb mgl M m mlx x x u I M m Mml I M m Mml I M m Mml =⎧⎪-++⎪=++⎪++++++⎨=⎪⎪-+=++⎪++++++⎩将上式写成向量和矩阵的形式，就成为线性系统的状态方程：x Ax Bu x y Cx φ=+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦这里设：21.320.070.1//0.200.0009M Kg m Kgb N m s l m I Kgm ===== 将参数带入有：四个状态量x ，.x ，φ，.φ分别代表小车位移、小车速度、摆杆角度和摆杆角速度，输出[]',y φx =包括小车位置和摆杆角度。

设计控制器使得当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会摆动，然后仍然回到垂直位置，小车可以到达新的指定位置。

假定全状态反馈可以实现（4个状态量都可测），找出确定反馈控制规律的向量K,用MATLAB 中的lqr 函数，可以得到最优控制器对应的K 。

lqr 函数允许选择两个参数R 和Q ，这两个参数用来平衡输入量和状态量的权重。

2.稳定性分析对建模后的一级倒立摆系统进行阶跃响应分析，小车位移和摆杆角度阶跃响应曲线如下图所示：u x x x x ... (301004).2900100000000010⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡φφφφ...0001000001y u x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=φφφ0200040006000800010000T o : O u t (1)05010015050100150T o : O u t (2)Step ResponseTime (seconds)A m p l i t u d e图3 小车位移和摆杆角度阶跃响应曲线由图可以看出，小车位移和摆杆角度都是发散的，所以倒立摆系统不稳定。

2．倒立摆能控性能分析系统能控性是控制器设计的前提，由能控性矩阵M ，利用MATLAB 可得出Rank(M)=4,所以系统完全可控。

三．软件编程程序如下：clear;A=[ 0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 29.4 0]; B=[ 0 1 0 3]'; C=[ 1 0 0 0; 0 0 1 0]; D=[ 0 0 ]';Q11=5000; Q33=100; Q=[Q11 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 Q33 0;0 0 0 0];R = 1;K = lqr(A,B,Q,R) %算KAc = [(A-B*K)]; Bc = [B]; Cc = [C]; Dc = [D];T=0:0.005:5;U=ones(size(T)); %输入单位矩阵[Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T); %输出响应plot(T,X(:,1),':');hold on;plot(T,X(:,2),'-.');hold on;plot(T,X(:,3),'.');hold on;plot(T,X(:,4),'-')legend('小车位移','小车速度','摆杆角度','摆杆角速度')运行程序可得K的值。

四. 系统调试和结果分析根据方案设计结果，取Q11=1，Q33 =1时，可得K = [ -1 -1.7855 25.422 4.6849]。

此时系统的响应曲线如下图：图3 系统的响应曲线从图中可以看出，响应的超调量很小，但稳定时间和上升时间偏大，小车的位置没有跟踪输入，而是反方向移动。

当缩短稳定时间和上升时间，可以发现：在Q矩阵中，增加Q11使稳定时间和上升时间变短，并且使摆杆的角度变化减小。

这里取Q11=5000，Q33 =100，可得K =[-70.7107 -38.1782 110.8049 20.3521],系统响应曲线如下：0.51 1.52 2.53 3.54 4.55-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1小车位移小车速度摆杆角度摆杆角速度图4 系统的响应曲线综上,通过增大Q 矩阵中的Q11和Q33，系统的稳定时间和上升时间变短，超调量和摆杆的角度变化也同时减小。

五.系统仿真在SIMULINK 中建立直线一级倒立摆的模型如下图所示：图5 simulink 模拟结构图输入Q11=1，Q33 =1时，得到的K = [ -1 -1.7855 25.422 4.6849]，执行仿真得到如下仿真结果：图6 小车位移仿真曲线图7 摆杆角度仿真曲线输入Q11=5000，Q33 =100时，得到的K =[-70.7107 -38.1782 110.8049 20.3521],执行仿真得到如下仿真结果：图8 小车位移仿真曲线图9 摆杆角度仿真曲线从图中可以发现，Q 矩阵中，增加Q11使稳定时间和上升时间变短，并且使摆杆的角度变化减小,增大Q11和Q33系统响应明显加快，但是对于实际离散控制系统，过大的控制量会引起系统震荡。

六.结论及进一步设想建立了一级倒立摆的数学模型，并设计了LQR控制器，用MATLAB实现了控制系统的仿真，得到了一级倒立摆各状态量及控制量的响应曲线。

由实验结果可以看到，本次课设完成了要求，达到了目的。

当然由于知识有限设计还有一些缺陷。

参考文献[1] 邹伯敏.自动控制理论[M].北京:机械工业出版社，2003年[2]刘豹.现代控制理论[M].北京:机械工业出版社，2007年[3] 王仲民,孙建军,岳宏.基于LQR的倒立摆最优控制系统研究[J].工业仪表与自动化装置.2 005年,3（6）:28～32。

[4] 吴晓燕,张双选.MA TLAB在自动控制中的应用[M] .西安：西安电子科技大学出版社,2006年。

[5] 王士莹,张峰,陈志勇,赵协广.直线一级倒立摆的LQR控制器设计[J].信息技术.2006年,35（6）:98～99。