导数的运算法则及复合函数的导数

2 x)′－cos x′＝sin
2sin x x＋xcos x－ cos2x .
x5＋ x7＋ x9 2 3 4 (5)∵y＝ ＝x ＋x ＋x ， x ∴y′＝(x2＋x3＋x4)′＝2x＋3x2＋4x3.
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
(6)先使用三角公式进行化简，得 x x 1 y＝x－sin cos ＝x－ sin x， 2 2 2
(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个 变量的求导． (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导． (4)善于把一部分表达式作为一个整体．
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中
间步骤．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式 2】 求下列函数的导数： (1)y＝ln(x＋2)； (2)y＝sin 4＋cos 4； 1＋ x 1－ x (3)y＝ ＋ . 1－ x 1＋ x
(4)复合函数的求导运用熟练后，中间步骤可省略不写．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型一
利用导数的运算法则求函数的导数
【例 1】 求下列函数的导数： (1)y＝x· x；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； tan x＋3 2 (3)y＝ 2 ；(4)y＝xsin x－ ； cos x x ＋3 x5＋ x7＋ x9 (5)y＝ ； x x x (6)y＝x－sin2cos2.
复合函数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)
的求导法 的导数间的关系为yx′＝ yu′·ux′ ，即y对x的导 则 数等于 y对u的导数与u对x的导数的乘积 .
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
想一想：若复合函数y＝f(g(x))由函数y＝f(u)，u＝g(x)复合而成， 则函数y＝f(u)，u＝g(x)的定义域、值域满足什么关系？ 提示 在复合函数中，内层函数u＝g(x)的值域必须是外层函数y
辅相成，仅对代数问题进行几何分析或仅对几何问题进行代数分
析，在许多时候是很难完成的．(3)简单性原则：找到解题思路之 后，至于用几何方法还是采用代数方法，则取决于哪种方法更为 简单有效，“数”与“形”的结合往往能起到事半功倍的效果．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【示例】 讨论关于 x 的方程 ln x＝kx 解的个数． [思路分析] 通过求导的方法求出曲线 y＝ln x 与直线 y＝kx 相 切时 k 的值，借助图形回答问题． 解 如图，方程 ln x＝kx 的解的个数就是直线 y＝kx 与曲线 y
＝ln x 交点的个数． 设直线 y＝kx 与 y＝ln x 切于 P(x0，ln x0) ，则 kx0＝ln x0. 1 ∵(ln x)′＝ ， x
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
1 ∴k＝ ，kx0＝1＝ln x0. x0 1 ∴x0＝e，k＝ . e 1 结合图象知：当 k≤0 或 k＝e时， 方程 ln x＝kx 有一解． 1 当 0<k< 时，方程 ln x＝kx 有两解． e 1 当 k> 时，方程 ln x＝kx 无解． e
1 1 x－ sin x′＝x′－ (sin ∴y′＝ 2 2
1 x)′＝1－ cos x. 2
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点， 选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、
差、积、商几种运算，在求导之前一般应先将函数化简，然后求
课前探究学习 课堂讲练互动
ห้องสมุดไป่ตู้
(12 分)
活页规范训练
【题后反思】 点(1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不 一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交
点，解题时注意不要失解．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式3】 若将本例改为求曲线y＝x3－2x在点A(1，－1)处的切线 方程，结果会怎样？ 解 ∵点A(1，－1)在曲线上，点A是切点，∴在A处的切线方
导，以减少运算量．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式 1】 求下列函数的导数：(1)y＝5－4x3； 1 (2)y＝3x ＋xcos x；(3)y＝e · x；(4)y＝lg x－ 2. ln x
2 x
解
(1)y′＝－12x2；
(2)y′＝(3x2＋xcos x)′＝6x＋cos x－xsin x； ex x (3)y′＝ ＋e · x； ln x 1 2 (4)y′＝xln 10＋x3.
活页规范训练
自学导引 1．导数运算法则 法则 [f(x)± g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) [f(x)· g(x)]′＝ f′(x)· g(x)＋ f(x)· g′(x) 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两 个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘上第二个函数，加上第一个函 数乘上第二个函数的导数
活页规范训练
(2)y＝eu，u＝2x＋1， ∴y′x＝y′u· x＝(eu)′· u′ (2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(3)法一
∵y＝( x－2)2＝x－4 x＋4，
∴y′＝x′－(4 x)′＋4′ ＝1－4× 法二 ＝2( 2 ＝1－ . x
令 u＝ x－2，则 y′x＝y′u· x＝2( x－2)· x－2)′ u′ (
3 ∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x0－2x0)
(3 分) (4 分)
②
＝(3x2－2)(1－x0)． 0 1 解得 x0＝1 或 x0＝－2.
(6 分) (8 分)
5 故所求的切线方程为 y＋1＝x－1 或 y＋1＝－ (x－1)． (10 分) 4 即 x－y－2＝0 或 5x＋4y－1＝0.
第2课时 导数的运算法则及复合函数的导数
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【课标要求】 1．能利用导数的四则运算法则求解导函数． 2．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导． 【核心扫描】
1．对导数四则运算法则的考查．(重点)
2．复合函数的考查常在解答题中出现．(重点)
课前探究学习
课堂讲练互动
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型二
求复合函数的导数
【例 2】 求下列函数的导数． 1 (1)y＝ 2； 1－2x (2)y＝e2x＋1； (3)y＝( x－2)2； (4)y＝5log2(2x＋1)． [思路探索] 可分析复合函数的复合层次，再利用复合函数的 求导法则求解．
课前探究学习
课堂讲练互动
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
[思路探索] 可先确定式子的形式，再用基本初等函数的导数公式 和四则运算法则求解． 解 (1)y′＝(x· tan
xsin x x)′＝ cos x ′
xsin x′cos x－xsin xcos x′ ＝ cos2x sin x＋xcos xcos x＋xsin2x ＝ cos2x sin xcos x＋x ＝ . cos2x
4x 4x
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
解 (1)y＝ln u，u＝x＋2 1 1 ∴y′x＝y′u· x＝(ln u)′· u′ (x＋2)′＝u· 1＝ . x＋2 (2)∵y＝sin 4＋cos 4
2x 2x 2 2x 2x ＝sin 4＋cos 4 －2sin cos 4 4
f′x 这样想当然的错误； 其次还要特别注意两个函数积与商的求 g′x 导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则 中分子上是“－”．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．复合函数求导
对于复合函数的求导法则，需注意以下几点： (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当 选定中间变量． (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要 特别注意的是中间变量的系数．如(sin 2x)′≠cos 2x. 2x)′＝2cos 2x，而(sin
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数 的导数，并把中间变量换成自变量的函数．如求
π y＝sin2x＋3的
π 导数，设 y＝sin u，u＝2x＋3，则 yx′＝yu′·x′＝cos u· u 2＝2cos u
π ＝2cos2x＋3.
1 1 x－2)2· －0＝1－ x
2 . x
(4)设 y＝5log2u，u＝2x＋1， 10 10 则 y′＝5(log2u)′(2x＋1)′＝uln 2＝ . 2x＋1ln 2
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：
(1)中间变量的选取应是基本函数结构．
4 －41－x′ 4 ∴y′＝1－x－2′＝ ＝ 2 2. 1－x 1－x
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型三 求导法则的应用 【例3】 求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
[规范解答] 设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率为 k＝y′|x＝x0＝3x2－2(2 分) 0 故切线方程为 y－y0＝(3x2－2)(x－x0) ① 0 ∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x3－2x0 0 又∵(1，－1)在切线上，
＝f(u)的定义域的子集．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
名师点睛 1．运用导数运算法则的注意事项 (1)对于教材中给出的导数的运算法则， 不要求根据导数定义进 行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可． (2)①对于和差的导数运算法则， 可推广到任意有限可导函数的 和或差，即[f1(x)± 2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)± 2′(x)± f′(x)． f f „± n ②[ af(x)± bg(x)]′＝af′(x)± bg′(x)； ③当 f(x)＝1
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(2)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3 ＋6x2 ＋11x＋6)′＝3x2 ＋12x ＋11. x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′ －x2－6x＋3 (3)y′＝ ＝ . x2＋32 x2＋32 (4)y′＝(xsin
4x 4x
1 2x 1 1－cos x 3 1 ＝1－ sin ＝1－ · ＝ ＋ cos x， 2 2 2 2 4 4 1 ∴y′＝－4sin x.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
1＋ x 1－ x 1＋ x2 1－ x2 (3)∵y＝ ＋ ＝ ＋ 1－x 1－x 1－ x 1＋ x 2＋2x 4 ＝ ＝ －2， 1－x 1－x
课前探究学习
课堂讲练互动
程为x－y－2＝0.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
方法技巧 数形结合思想在导数中的应用
数形结合的原则：(1)等价性原则：在数形结合时，代数性质
和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时， 由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性
质只能是一种直观而浅显的说明．(2)双向性原则：在数形结合时， 既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相
1 g′x 时，有 ′＝－ 2 . gx g x
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(3)对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的
fx 导数运算中，不能出现[f(x)· g(x)]′＝f′(x)· g′(x)以及 gx ′＝
两个函数的商的导数，等于分子的导数
乘上分母减去分子乘上分母的导数，再 除以分母的平方
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
2.复合函数的求导法则
复合函数
的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通 过变量u，y可以表示成 x的函数 ，那么称这个函 数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x)).