二次函数的最大值与最小值

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3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 211:54: 1311:5 4Dec-20 12-Dec-20
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4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 11:54:1 311:54: 1311:5 4Saturday, December 12, 2020
例1、如图，一边靠学校院墙，其他三边用12 m长 的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边 AB=x m，面积为S㎡。 （1）写出S与x之间的函数关系式； （2）当x取何值时，面积S最大，最大值是多少？
(1) S=x(12-2x)即S=-2x²+12x
(2) S=-2x²+12x
A
D
=-2(x-3)²+18
➢ 课时训练
1、如图，在△ABC中∠B=90º，AB=12cm，BC=24cm，
动点P从A开始沿AB边以2cm/s的速度向B运动，动
点Q从B开始沿BC边以4cm/s的速度向C运动，如果P、
Q分别从A、B同时出发。
（1）写出△PBQ的面积S与运动时间t之间的函数
关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）当t为何值时，△PBQ的面积S最大，最大值
利用公式:y最大或最小=
• 4.已知二次函数y=2(x-h)2+k,经过
• 点(3,5)(7,5),则对称轴为——X=,
• 最小值为—-—3 ；
5
利用对称轴和对称点坐标
1.利用公式:y最大或最小= 2.利用配方配成顶点式:y最大或最小 =k 3.利用对称轴和对称点坐标
在顶点处 直接取得
例2：某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个 售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元， 销量减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最 大利润是多少？ 分析：利润=（每件商品所获利润）× （销售件数）
∴ y＝x（6－x）＝－x2＋6x （0< x<6） ＝－(x－3) 2＋9
∵ a＝－1<0, ∴ y有最大值 当x＝3cm时，y最大值＝9 cm2，此时矩形的另一边也为3cm 答：矩形的两边都是3cm，即为正方形时，矩形的面积最大。
next
当a>0时,二次函数有最小值 当a<0时,二次函数有最大值
2
y x 2
解： y 1 ( x 2)2 3 2
-1
02 x
2 [1, 2]
函数 y = f(x)在[-1，2]上为增函数
5 当x 1时 ymin 2
当x 2时 ymax 5
1、 配方，求二次函数的顶点坐标。 2、判断取得最值时的自变量是否在闭区间内。 3、计算闭区间端点的函数值，并比较大小。
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米 ∴ 花圃宽为（24－4x）米
A
D
∴ S＝x（24－4x）
＝－4x2＋24 x （0<x<6） B
C
(2)当x＝
b 2a
3
时，S最大值＝
4ac b2 4a
＝36（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
∴当x＝4m时，S最大值＝32 平方米
在顶点处直接取得 不能在顶点处取得
1.利用公式:y最大或最小= 2.利用配方法配成顶点式:y最大或最小=k 3.利用对称轴和对称点坐标
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1220. 12.12Sa turday, December 12, 2020
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。11:5 4:1311: 54:1311 :5412/ 12/2020 11:54:13 AM
设每个涨价x元， 那么 （1）销售价可以表示为 （50+x）元（x≥ 0，且
为整数）
（2）一个商品所获利润可以表示为 （50+x-40）元
（3）销售量可以表示为 (500-10x) 个
（4）共获利润可以表示为 (50+x-40)(500-10x)元
解： 设每个商品涨价x元， 那么 y=(50+x-40)(500-10x) =-10 x2 +400x+5000 =-10[ （x-20）2 -900] =- 10（x-20）2 +9000 (0 ≤ x≤50 ,且为整数 )
答：定价为70元/个，利润最高为9000元.
例1、求下列二次函数的最大值或最小值
(1) y x 2 2x 3
解： y ( x 1)2 4
xR
y x=1 4
01
x
当 x=1时，ymax 4
(2) y 2x 2 4x
解：y 2( x1)2 2
xR
当 x=1时，ymin 2
y x=1
二次函数: y ax 2 bx c ( a0 )
a( x
b 2a
)
2
4ac b 2 4a
a>0
a<0
y x b
2a
y
b 2a
0
x
4ac b 2
4a
0
x
• 1.抛物线y=2x2-5x+6有最小——值;
•
•
y=-3x2-5x+8有最—大—值;
当a>0时,二次函数有最小 值
当a<0时,二次函数有最大 值
B
C
利用配方法配成顶点式:y最大或最小=k
如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道
篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
(2) y 1 x 2 2x 1 x [3 ,1]
5
x 5
解：y 1 ( x 5)2 6
y
5
5 [3 ,1]
1
-3 0
x
函数 y = f(x) 在[-3，1]上为减函数
当x 3时 当x 1时
26 ymax 5
6 ymin 5
( 3 ) y 1 x2 2x 1 x [1, 2]
是多少？
A
BP=12-2t，BQ=4t
P
△PBQ的面积:
S=1/2(12-2t) •4t
即S=- 4t²+24t=- 4(t-3)²+36 B
Q
C
练习1、已知：用长为12cm的铁丝围成一个矩形，一边长为xcm.,面 积为ycm2,问何时矩形的面积最大？ 解： ∵周长为12cm, 一边长为xcm , ∴ 另一边为（6－x）cm
1
0
x
-2
例2、求下列函数的最大值与最小值
(1) y x2 3x 2 (3 x 1)
解： y ( x 3 )2 2 9
2
4
x3 2
y
( x 3)2 4 1
Fra Baidu bibliotek
2
4
-3
1
3 3 ,1
0x
2
当 x 3 时 2
ymin
41 4
当 x 1时 ymax 1 3 2 2