湖南省三湘名校教育联盟2018届高三第三次联考数学(文)试卷(含答案)

湖南省三湘名校教育联盟2018届高三第三次联考数学（文）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}0,1,2,3,4,360A B x x ==->，则A B ⋂=（ ） A ．{}3 B ．{}4 C ．{}3,4 D ．{}2,3,42.已知i 为虚数单位，若()()12i z i i +-=+，则复数z =（ ） A ．2 B ．5 C ．5 D ．10 3.已知以原点O 为圆心，1为半径的圆以及函数3y x =的图象如图所示，则向圆内任意投掷一粒小米（视为质点），该小米落入阴影部分的概率为（ ）A ．12 B ．14 C ．16 D ．184.已知3,6P 为双曲线222:1y C x b-=上一点，则点P 到双曲线C 的渐近线的距离为（ ）A 36+B 36+或36-C 36-D 36+63- 5.已知等差数列{}n a 的各项都为整数，且1345,1a a a =-=-，则1210a a a +++=L （ ） A ．70 B ．58 C ．51 D ．406.函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则（ ）A.()f x 在,313ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数B.()f x 在,213ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数C.()f x 在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是増函数D.()f x 在,212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数7.设非零向量,a b r r 满足()a ab ⊥+r r r ，且2b a =r r，则向量a r 与b r 的夹角为（ ）A ．4π B ．3π C ．2π D ．34π 8.执行如图所示的程序框图，当7t =时，输出的S 值为（ ）A ．3B ．0C 3D 39. 如图所示，格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．205π+B ．245πC ．)2051π+D ．)2451π+10.已知点(),P x y 满足004080x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+-≥⎪⎪+-≤⎩，直线y kx =与圆221x y +=交于,Q R 两点，则PQ PR ⋅u u u r u u u r 的最小值为（ ）A ．21B ．4C ．7D ．4211. 已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交拋物线于,A B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，当A 点坐标为()03,y 时，AEF ∆为正三角形，则此时OAB ∆的面积为（ ） A 43323 D 312.已知函数()()()()()22,,1ln 1f x kx x g x x h x x x =+==++， 若当[]1,x e ∈时，不等式组()()()()2f x g x f x x h x ⎧≥⎪⎨-≤⎪⎩恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[]1,2- B ．[]2,1e - C ．[]2,2e - D ．[]1,2e --第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知1cos 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+=⎪⎝⎭． 14. 已知定义在R 上的函数()f x 满足:①函数()f x 的图象的对称中心为()1,0，且对称轴为1x =-；②当[]1,1x∈-时，()(][]21,0,11,1,0x xf xx x⎧-∈=⎨-∈-⎪⎩，则72f⎛⎫=⎪⎝⎭．15.已知正四棱锥P ABCD-的内切球的表面积为4π，且底面ABCD是边长为6的正方形，则正四棱锥P ABCD-的体积是．16.已知首项为2的数列{}n a的前n项和n S满足：()()*12210n nS a n N+-+=∈，记()()()*123112nnaf n n n N-=-+-∈，当()f n取得最大值时，n的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，,,a b c分别为ABC∆中角,,A B C的对边，1,cos37ABC ADCπ∠=∠=，8,2c CD==.（1）求a的值；（2）求ADC∆的外接圆的半径R.18. 《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：（1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程$$y bx a=+$；（2）预测该路口 9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；（3）若从表中3、4月份分别抽取4人和2人，然后再从中任选2 人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率.参考公式：1221ni ii n i i x ynxybx nx==-=-∑∑$()()()121nii i ni i xx y y x x==--=-∑∑，$ay bx =-$. 19.如图所示，底面ABCD 为菱形，60,//ADC EF CD ∠=︒,224CD EF AE ===,EA ⊥平面ABCD .（1）设AC 与BD 交于点O ，求证：//OF 平面AED ； （2）求多面体ABCDEF 的体积.20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3，,4a M b ⎛⎫ ⎪⎝⎭为焦点是1,02⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线上一点，H 为直线y a =-上任一点，,A B 分别为椭圆C 的上，下顶点，且,,A B H 三点的连线可以构成三角形.21.已知函数 ()()2122,0,2x f x xe m x x m ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭.（1）若14m =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()()442x g x f x e m mx =-++，记函数()g x 在()0,+∞上的最小值为A ，求证：22e A -<<-.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线1C 的参数方程为12cos 22sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩（ϕ为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线1C 的普通方程；（2）若曲线2C 为曲线1C 关于直线l 的对称曲线，点,A B 分别为曲线1C 、曲线2C 上的动点，点P 坐标为()2,2，求AP BP +的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()12,f x x x m m R =++--∈. （1）若5m =，求不等式()0f x >的解集；（2）若对于任意x R ∈，不等式()2f x ≥恒成立，求m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CDBBB 6-10: ADDDC 11、12：AC二、填空题13.7814. 15. 27 16. 8三、解答题17. （1）∵1cos 7ADC ∠=,∴sin sin ADC ADB ∠=∠∴()11sin sin 27BAD ADC ABC ∠=∠-∠=-=在ABD ∆中，由正弦定理得sin 3sin c BADBD ADB⋅∠==∠，∴325a =+=.（2）在ABC ∆中，7b =. 在ADC ∆中，12sin b R ADC =⋅=∠18. （1）由表中数据知，3,100x y ==，∴1221ni ii nii x ynxy bxnx==-=-∑∑$141515008.55545-==--，$125.5a y bx =-=$， ∴所求回归直线方程为$8.5125.5y x =-+. （2）由（1）知，令9x =，则$8.59125.549y =-⨯+=人. （3）设3月份抽取的4位驾驶员编号分别为1234,,,a a a a ，4月份的驾驶员编号分別为12,b b .从这6人中任选两人包含以下基本事件()()()()()()()()()()()1213141112232421223431,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a a a a a b a b a a a b ,()()()()32414212,,,,,,,a b a b a b b b ,共15个基本事件；其中两个恰好来自同一月份的包含7个基本事件，∴所求概率为715P =. 19. （1）取AD 的中点M ，连接OM EM 、.由题意知，O 为AC 中点，∴//12OM CD =， 又//12EF CD =，∴//OM EF =，则四边形OMEF 为平行四边形， ∴//OF EM ，∴//OF 平面ADE .（2）过点O 作//GH AD ,分别交,AB CD 于点,G H ,连接FG ,FH .取BC 的中点P ，连接AP ，交GH 于点Q .由题意知，四边形ADHG GHCB 、为平行四边形. ∵ABCD 为菱形，60, 4ADC CD ∠=︒=, ∴ADC ABC ∆∆、为等边三角形， ∴2134432ADHG GHCB ABCD ABC S S S S ====⨯=. ∵ABC ∆为等边三角形，P 为BC 的中点，∴AP BC ⊥, ∵EA ⊥平面ABCD , ∴EA AP ⊥,∴AP ⊥平面EAD ，∴1124234322EAD FGH EAD V S AQ -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=.∵EA ⊥平面ABCD ，12EF AB AG ==,∴FG ⊥平面ABCD , ∴1834323F GHCB V -=⨯⨯=，∴8320343ABCDEF V =+=.20. （1）由题意知，222224c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⨯⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设点()(),20H m m -≠，易知()()0,1,0,1A B -， ∴直线HA 的方程为31y x m =-+，直线HB 的方程为11y x m=--. 联立223114y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22362410x x m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∴2222436,3636D D m m x y m m -==++， 冋理可得22284,44E E m m x y m m --==++， ∴直线DE 的斜率为21216m k m-=，∴直线DE 的方程为222241284164m m m y x m m m --⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭，即2121162m y x m -=-， ∴直线DE 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.21.（1）由题意知，()()21224x f x xe x x =++，∴()()12212x x f x e xe x '=+++， ∴()502f '=，()00f =，则所求切线方程为52y x =，即520x y -=. （2）由题意知，()()22444x x g x xe m x x e m =++-+， ∴()()()()()224222222x x x g x e x e m x x e m x '=+-++=-++。