初中数学辅助线秘籍之双等腰旋转
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双等腰旋转
1．如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,
（1）求证：BE＝CF ；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
2．如图，在 中， 为锐角，点 为直线 上一动点，以 为直角边且在 的右侧作等腰直角三角形 ， ， .
填空：
①线段BD、BE的数量关系为______．
②线段BC、DE的位置关系为______．
推广：
(2)如图②，在等腰三角形ABC中，顶角∠ACB=a，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE、BD、BE请判断(1)中的结论是否成立，并说明理由．
3．如图， 中， ， ，在AB的同侧作正 、正 和正 ，求四边形PCDE面积的最大值．
4．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP<PD）
（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G．
参考答案
1．（1）证明见解析（2） -1
【解析】
【分析】
（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF；
（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE= AC= ，于是利用BD=BE﹣DE求解．
①求证：△AED≌△AFD；
②当BE＝3，CE＝7时，求DE的长；
（2）如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，当BD＝3，BC＝9时，求DE的长．
8．探究：
(1)如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD、BE
（1）如果 ， .
①当点 在线段 上时，如图1，线段 、 的位置关系为___________，数量关系为_____________
②当点 在线段 的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由.
（2）如图3，如果 ， ，点 在线段 上运动。探究：当 多少度时， ？小明通过（1）的探究，猜想 时， .他想过点 做 的垂线，与 的延长线相交，构建图2的基本图案，寻找解决此问题的方法。小明的想法对吗？如不对写出你的结论；如对按此方法解决问题并写出理由.
【详解】
（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，
即∠EAB=∠FAC，
在△ACF和△ABE中，
△ACF≌△ABE
BE=CF.
（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，
∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，
（1）探究 与 的数量关系，并给予证明；
（2）当 时，试求旋转角 的度数.
10．已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．
（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；
（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立；
∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，
∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE= AC= ，
∴BD=BE﹣DE= ．
考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．
2．（1）①垂直，相等；②都成立；（2）当 时，
【解析】
【分析】
（1）①根据∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；
应用：
(3)如图③，在等边三角形ABC中，AB=4．作BM平分∠ABC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD、AE．当以A、D、M为顶点的三角形与△AEF全等时，请直接写出DE的值．
9．如图所示，在 中， ， ， 、 分别是 、 边的中点.将 绕点 顺时针旋转 角 ，得到 （如图所示）.
①求证：PG=PF；
②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DE、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．
（1）连结 ， ，求证： ；
（2）如图Hale Waihona Puke Baidu示，将 绕点 顺时针旋转得到 .
①当旋转角为______度时，边 落在 上；
②在①的条件下，延长 交 于点 ，连结 ， .当线段 、 满足什么数量关系时， 与 全等？并给予证明.
7．在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°
（1）如图1，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF
5．（ ）问题发现：
如图①， 与 是等边三角形，且点 ， ， 在同一直线上，连接 ，求 的度数，并确定线段 与 的数量关系．
（ ）拓展探究：
如图②， 与 都是等腰直角三角形， ，且点 ， ， 在同一直线上， 于点 ，连接 ，求 的度数，并确定线段 ， ， 之间的数量关系．
6．如图所示，点 是线段 上一点， 和 都是等边三角形.
1．如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,
（1）求证：BE＝CF ；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
2．如图，在 中， 为锐角，点 为直线 上一动点，以 为直角边且在 的右侧作等腰直角三角形 ， ， .
填空：
①线段BD、BE的数量关系为______．
②线段BC、DE的位置关系为______．
推广：
(2)如图②，在等腰三角形ABC中，顶角∠ACB=a，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE、BD、BE请判断(1)中的结论是否成立，并说明理由．
3．如图， 中， ， ，在AB的同侧作正 、正 和正 ，求四边形PCDE面积的最大值．
4．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP<PD）
（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G．
参考答案
1．（1）证明见解析（2） -1
【解析】
【分析】
（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF；
（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE= AC= ，于是利用BD=BE﹣DE求解．
①求证：△AED≌△AFD；
②当BE＝3，CE＝7时，求DE的长；
（2）如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，当BD＝3，BC＝9时，求DE的长．
8．探究：
(1)如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD、BE
（1）如果 ， .
①当点 在线段 上时，如图1，线段 、 的位置关系为___________，数量关系为_____________
②当点 在线段 的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由.
（2）如图3，如果 ， ，点 在线段 上运动。探究：当 多少度时， ？小明通过（1）的探究，猜想 时， .他想过点 做 的垂线，与 的延长线相交，构建图2的基本图案，寻找解决此问题的方法。小明的想法对吗？如不对写出你的结论；如对按此方法解决问题并写出理由.
【详解】
（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，
即∠EAB=∠FAC，
在△ACF和△ABE中，
△ACF≌△ABE
BE=CF.
（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，
∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，
（1）探究 与 的数量关系，并给予证明；
（2）当 时，试求旋转角 的度数.
10．已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．
（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；
（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立；
∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，
∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE= AC= ，
∴BD=BE﹣DE= ．
考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．
2．（1）①垂直，相等；②都成立；（2）当 时，
【解析】
【分析】
（1）①根据∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；
应用：
(3)如图③，在等边三角形ABC中，AB=4．作BM平分∠ABC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD、AE．当以A、D、M为顶点的三角形与△AEF全等时，请直接写出DE的值．
9．如图所示，在 中， ， ， 、 分别是 、 边的中点.将 绕点 顺时针旋转 角 ，得到 （如图所示）.
①求证：PG=PF；
②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DE、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．
（1）连结 ， ，求证： ；
（2）如图Hale Waihona Puke Baidu示，将 绕点 顺时针旋转得到 .
①当旋转角为______度时，边 落在 上；
②在①的条件下，延长 交 于点 ，连结 ， .当线段 、 满足什么数量关系时， 与 全等？并给予证明.
7．在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°
（1）如图1，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF
5．（ ）问题发现：
如图①， 与 是等边三角形，且点 ， ， 在同一直线上，连接 ，求 的度数，并确定线段 与 的数量关系．
（ ）拓展探究：
如图②， 与 都是等腰直角三角形， ，且点 ， ， 在同一直线上， 于点 ，连接 ，求 的度数，并确定线段 ， ， 之间的数量关系．
6．如图所示，点 是线段 上一点， 和 都是等边三角形.