数值逼近ppt

(x xn )
n
x xj
(xi xn )
j0 ji
xi
xj
满足条件(4.8) 式的n 次代数多项式lk(x) (k=0,1,…,n), 称为在n+1 个结点xi(i=0,1,…,n)上的n 次插值基函数。
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§4.2 Lagrange 插值多项式
① 基函数
n
考虑最简单的插值问题。设离散数 是一个非负整数，0≤i≤n，
k=0
ik
1 0
k i k i
求插值多项式，记为 li
由于多项式 li必须满足插值条件
li (xk ) ik (k 0,1, , n)
(4.8)
对于[a, b] 上异于xi 的任一点x ，作辅助函数 F(t) = f(t) – Pn(t) – k(x)ωn+1(t) 则 F(t) 在[a, b] 上具有n+1 阶导数
F (n+1) (t) = f (n+1) (t) – k(x)(n+1)!
(4.7)
且F(x) = F(x0) = F(x1) = … = F(xn) = 0
定理1. 当插值结点互异时，满足插值条件(4.3) 的n 次 插值多项式Pn(x) 存在且唯一。
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4、插值余项
记 Rn(x) = f(x) – Pn(x) , 则Rn(x) 是用代数多项式Pn(x) 近似代替函数f(x) 的截断误 差，通常称Rn(x) 为n 次插值多项式Pn(x) 的余项。
定理2. 若f(x) 在区间[a, b] 上有直到n+1 阶导数，Pn(x) 为f(x) 在n+1 个结点xi∈[a, b] (i=0, 1,…,n) 上的n 次插值 多项式，则对任何x∈[a, b] 有
即 x0 , , xi1, xi1, , xn 是 li 的根，故可取
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li (x) a(x x0 ) (x xi1)(x xi1) (x xn )
且条件 li (xi ) 1
这时可确定系数a. 于是，
li
(x)
(x x0 ) (xi x0 )
(x xi1)(x xi1) (xi xi1)(xi xi1)
第四章 函数的数值逼近
§4.0 插值与拟合 §4.1 插值的基本理论 §4.2 Lagrange插值多项式 §4.3 分段插值与保形插值 §4.4 样条插值 §4.5 曲线拟合的最小二乘方法 §4.6 函数的最佳平方逼近
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§4.0 插值与拟合
零件
1、问题的提出
◆ 函数没有明确的表达式
◆ 函数有明确的表达式，但不是（分段）有理函数
Rn (x)
f (n (n
1) ( )
1) !
n1
(
x)
(4.5)
n
其中n1(x) (x xi ), (a, b)且依赖于x。 i0 9
证：由插值条件(4.3) 可知， Rn(xi) =0 (i=0, 1, …, n) 故可设 Rn(x)=k(x)ωn+1(x) (4.6)
其中k(x)为待定函数。
f (x) (x)(x [a, b])
通常，称区间[a, b] 为插值区间，称点xi ( i=0, 1, …,n ) 为插值结点，称(4.1) 为插值条件， φ(x)为函数f(x) 在结点 xi ( i=0, 1, …,n ) 上的插值函数，f(x) 为被插值函数。
函数类{φ(x)}的取法有很多种，常用的有代数多项式， 三角函数和有理函数。本章只讨论代数多项式，相应的插值 问题称为多项式插值。
2、插值与拟合
◆ 插值问题：作一条曲线，其类型是事先人为给定的 （比如：代数多项式），使该曲线经过所有已知点。
◆ 拟合问题：作一条指定类型的曲线，使该曲线能在 “一定意义”下逼近已知点。
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图4.1 心形图
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§4.1 插值的基本理论
1、插值问题的提法
◆ 基本提法：对于给定函数表
表4.1
a0 a0
a1 x0 a1 x1
a2 x02 a2 x12
an x0n y0 an x1n y1
a0 a1xn a2 xn2 an xnn yn
其系数行列式
1 x0
1 D
x1
1 xn
x0n x1n (xi x j )
0 jin
xnn
(4.4)
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系数行列式 D 是一个n+1 阶的Vandermond行列式， 因结点互异，故D≠0。再由Cramer法则，线性方程组有唯 一解。于是有
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点ξ，即F (n+1) (ξ)=0 . 于是，由(4.7)式知， f (n+1) (ξ) – k(x)(n+1)! ＝0
故 k ( x) f (n1) ( )
(n 1)! 代入(4.6) 式，即得结论。
对于x = xi (i=0, 1, …, n)，(4.5) 式显然成立。
注意：利用解方程组(4.4)去建立形如(4.2) 的插值多项式，计 算量大，有时还会对精度有较大的影响，因而是不可取的。
x
x0
x1
…
xn
y=f(x) y0
y1
…
yn
（其中f(x) 在区间[a, b] 上连续，x0,x1,…, xn 是[a, b] 上n+1 个互异点），要求在某函数类{φ(x)}中求一个函数φ(x)，使
（4.1)
(xi ) yi (i 0,1, , n)
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并用φ(x)作为函数f(x) 的近似函数，即
即F(t) 在[a, b] 上至少有n+2 个互异的零点x, x0, x1,…,xn. 由洛尔定理知，F(t) 在两个零点间 F’(t) 至少有一个零点， 故F’(t) 在(a, b) 上至少有n+1个互异零点。对F’(t) 再应用洛 尔定理，依次类推，可知F (n+1) (t) 在(a, b) 内至少有一个零
几何意义：通过曲线y=f(x)
上的n+1 个点Mi(xi, yi) (i=0,1, …, n) ，作一条n 次代
数多项式曲线y=Pn(x) 近似代 替曲线y=f(x) ，如图(4.2) 所
示。
图 4.2 6
3、插值多项式的存在唯一性
由插值条件(4.3) 知，插值多项式Pn(x) 的系数 a0,a1,…,an 满足线性方程组
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2、多项式插值问题的基本提法
根据给出的函数表(4.1) ，求不高于n 次的代数多项式
Pn ( x) a0 a1x an xn (4.2)
使 Pn (xi ) yi (i 0,1, , n)
(4.3)
满足插值条件(4.3) 的多项式(4.2) ，称为函数f(x) 在结点 xi (i=0, 1, …, n) 上的 n 次插值多项式。