高等代数(北大版)第6章习题参考答案
高等代数【北大版】(26)_OK
2021/9/5
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注：
① 对于有限集来说，两集合之间存在1—1对应 的充要条 件是它们所含元素的个数相同；
② 对于有限集A及其子集B，若B≠A（即B为A 的真子集），则 A、B之间不可能存在1—1对应； 但是对于无限集未必如此.
如例7中的8），σ是1—1对应，但2Z是Z的真子集．
M=Z，M´＝2Z，
证：显然，A ( A B) A ．又 x A, 则x A B，
∴ x A ( A B) ， 从而, A A ( A B)．
故等式成立．
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2、已知 A B，证明： (1)A B A; (2)A B B
证：1）x A, A B x B x A B, 此即， A A B, 又因 A B A，∴ A B A．
x
1）g 是不是R＋到R＋的双射？g 是不是 f 的逆映射？
2）g是不是可逆映射？若是的话，求其逆．
解：1）g是R＋到自身的双射．
∵ x, y R，若
1 x
1 y ，则
x y ，g是单射．
并且x R ,有 1 R ,使g( 1 ) x ，即g是满射．
x
x
又∵ f g(x) f (g(x)) f ( 1) 1 ，
M到M´的一个映射，记作 : : M M '或 M M '
称 a´为 a 在映射σ下的象，而 a´ 称为a在映射σ下的
原象，记作σ(a)＝a´ 或 : a a.
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注
① 设映射 : M M ', 集合
(M ) { (a) a M }
称之为M在映射σ下的象，通常记作 Imσ．
2
引
现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开
习题答案(第六章)
1、R n 中分量满足下列条件的全体向量1(,,)n x x 的集合，是否构成R n的子空间？①10n x x ++= ；②120n x x x ⋅⋅⋅= ；③2211n x x ++= 。
解：①是，设(){}111,,|0nnV x x x x=++= ，显然V 1≠∅，1,,,a b F V ξη∀∈∀∈，设1212(,,),(,,)x x y y ξη== ，则()()()1111,,,,,,n n n n a b a x x b y y ax by ax by ξη+=+=++ ，而 1111()()()()000n n n n ax by ax by a x x b y y a b ++++=+++++=+=所以1a b V ξη+∈，所以V 1是R n 的子空间；②不是，取(1,0,,0),(0,1,,1)αβ== ，则(){}11,,,|0nnV x x x xαβ∈=⋅⋅= ，但(1,1,,1)V αβ+=∉ ，所以V 不是R n 的子空间；③不是，取(1,0,,0),(0,1,0,,0)αβ== ，则(){}2211,,,|1nn V x x xx αβ∈=++= ，但(1,1,0,,0)V αβ+=∉ ，所以V 不是R n 的子空间。
2、子集{}1|,,V X AX XB A B n ==为已知的阶矩阵是否是()n M F 的子集？解：是()n M F 的子集；证：显然1V ≠∅，1,,,X Y V a b F ∀∈∈，有()()A aX bY aAX bAY aXB bYB aX bY B +=+=+=+，所以1aX bY V +∈，所以1V 是()n M F 的子集。
3、设12(1,0,1,0),(1,1,2,0)αα==-，求含12,αα的R 4的一组基。
解：因为101010101010112001100010⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 取34(0,0,1,0),(0,0,0,1)αα==，所以{}1234,,,αααα为R 4的一组基。
高等代数(北大第三版)习题答案完整
f ( x) = x 4 − 2 x 2 + 3 = ( x + 2) 4 − 8( x + 2)3 + 22( x + 2) 2 − 24( x + 2) + 11
3)
f ( x) = x 4 + 2ix 3 − (1 + i ) x 2 + 3 x + 7 + i
= ( x + i − i )4 + 2i ( x + i − i )3 − (1 + i )( x + i − i ) 2 − 3( x + i − i ) + 7 + i = ( x + i ) 4 − 2i( x + i)3 + (1 + i)( x + i ) 2 − 5( x + i ) + 7 + 5i
2
ε1 =
− 1 + 3i − 1 − 3i ,ε 2 = 2 2
证：设 ( f ( x ) h( x ), g ( x ) h( x )) = m( x ) 由
( f ( x ), g ( x)) h( x ) | f ( x) h( x) ∴ ( f ( x ), g ( x)) h( x ) | m( x )
设 d ( x ) = ( f ( x ), g ( x )) = u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ).
由 12 题 ( fg , f + g ) = 1 令 g = g1 g 2 … g n
∴ 每个i, ( fi , g ) = 1 ⇒ ( f1 f1 , g ) = 1, ⇒ ( f1 f 2 f3 , g ) = 1 , ⇒ ( f1 f 2
(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。
高等代数【北大版】6.2
证:设 α ∈ V , 且 α ≠ 0
k1 , k2 ∈ P , k1 ≠ k2 , 有 k1α , k2α ∈ V
又 k1α-k2α = ( k1 k2 )α ≠ 0
∴ k1α ≠ k2α .
而数域P中有无限多个不同的数,所以V中有无限 而数域 中有无限多个不同的数,所以 中有无限 中有无限多个不同的数 多个不同的向量. 多个不同的向量.
引例 1
在第三章§ 中 我们讨论了数域P上的 上的n维向量 在第三章§2中,我们讨论了数域 上的 维向量
空间P 定义了两个向量的加法和数量乘法: 空间 n,定义了两个向量的加法和数量乘法:
(a1 , a2 , , an ) + (b1 , b2 , , bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn )
3,0α = 0, k 0 = 0, ( 1)α = α , , k (α β ) = kα k β 证明: 证明:∵ 0α + α = (0 + 1)α = α ,
∴两边加上 α 即得 0 α =0; ∵
kα = k (α + 0) = kα + k 0
+ (1α ) = 1α + (1α ) = (1 1)α = 0α = 0
f ( A) + g ( A) = h( A), kf ( A) = d ( A) 其中, 其中,k ∈ R, h( x ), d ( A) ∈ R[ x ]
中含有A的零多项式 的零元素. 又V中含有 的零多项式,即零矩阵 ,为V的零元素 中含有 的零多项式,即零矩阵0, 的零元素 以 f(x)的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为 的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为 有负元素- -f(x) , 则 f(A)有负元素-f(A). 由于矩阵的加法与数 有负元素 乘满足其他各条, 为实数域R上的线性空间 乘满足其他各条,故V为实数域 上的线性空间 为实数域 上的线性空间.
高等代数【北大版】6.4
a2n
②
ann
则称矩阵
a11 a12
A
a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
ann
为由基1, 2 , , n到基 1, 2 , , n 的过渡矩阵；
称 ① 或 ② 为由基 1, 2 , , n到基 1, 2 , , n
的基变换公式．
§6.4 基变换与坐标变换
2、有关性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆 矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．
并求矩阵 A
3 4
5 2
在基 F11, F12 , F21, F2下2 的矩阵.
§6.4 基变换与坐标变换
解：
F11 E11
F12 F21 F22
E11 E11 E11
E12 E12 E12
E21 E21
E22
1 1 1 1
(
F11
,
F12,
F21
,
F22
)
(
E11
,
E12,
任取V的一组基 1,2 , ,n ,
n
令 j aiji , j 1,2, , n
i 1
于是有， (1, 2 , , n ) (1,2 ,
, n ) A
§6.4 基变换与坐标变换
由A可逆，有 (1,2, ,n ) (1, 2, , n )A1
即，1,2 , ,n也可由 1, 2 , , n 线性表出.
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
1 1
0 1
2 2
1 1 2
3
1 2
§6.4 基变换与坐标变换
1 0 0 1
(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
高等代数（北大*第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章 —矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A 为一个n 级实对称矩阵，且0<A ，证明：必存在实n 维向量0≠X ，使0<'A X X 。
证 因为0<A ，于是0≠A ，所以()n A rank =，且A 不是正定矩阵。
故必存在非退化线性替换Y C X 1-=使()BY Y ACY CY AX X '=''='-12222122221n p p p y y y y y y ----+++=++ΛΛ，且在规范形中必含带负号的平方项。
于是只要在Y C Z 1-=中，令p y y y ===Λ21,1,021=====++n p p y y y Λ则可得一线性方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=++++++11002211,122,111,122111212111n nn n n n n p p p n pn p p n n x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ，由于0≠C ，故可得唯一组非零解()ns s s s x x x X ,,,21Λ=使()0111000<--=----+++='p n AX X s sΛΛ， 即证存在0≠X ，使0<'A X X 。
13．如果B A ,都是n 阶正定矩阵，证明：B A +也是正定矩阵。
证 因为B A ,为正定矩阵，所以BX X AX X '',为正定二次型，且 0>'A X X ， 0>'B X X ，因此()0>'+'=+'BX X AX X X B A X ， 于是()X B A X +'必为正定二次型，从而B A +为正定矩阵。
高等代数6-9小结与习题
行变换
用（A, B) （E, A1B) ，可求出 A1B .
此法对 Pn 中的基向量最为有效.
2.求向量 在某组基下的坐标.可用两种方法
一是将向量 由基向量线性表示，然后根据具体元素 的特点，求出这些系数，即为坐标，此为“待定系数 法”.
在这两组基下的坐标分别为 ( x1, x2 , , xn )与( x1, x2 , , xn )
x1 x1
则
x2
A
x2
或
xn xn
x1
x1
x2
A1
x2
.
xn
பைடு நூலகம்
xn
三、子空间及其形成
1、基本概念
线性子空间、生成子空间、子空间的和与直和
2、基本结论
(1) 线性空间V的非空子集W作成V的一个子空间
x2 x4
|
x1
x2
x3
x4
0}
W2 L(B1, B2 ), B1
1 2
0 3
, B2
1 0
1 1
求W1 W2 与W1 W2 的基与维数.
五、直和的判定或证明
1、定义法 2、利用几个充要条件
六、线性空间同构的判定或证明
1、证维数相等 2、构造同构映射
例9：设A是数域P上的n阶矩阵，令
P[ x]n
维数
一组基
n
i (0,
, 0,1, 0, i
, 0),
i 1,2, ,n
mn
Eij ,
i 1,2, ,m j 1,2, ,n
n
1, x, x2 , , xn1
高等代数课件(北大版)第六章-线性空间§6.6
bt 1
x1
bt
2
x2
btn xn 0
的解空间，则 W1 W2 就是齐次线性方程组③
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
ab1s11
x1 x1
as2 x2 b12 x2
asn xn 0 b1n xn 0
③
bt 1
x1
bt
并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如 (1,0,0), (0,1,0) V1 V2
但是 (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) V1 V2
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
三、子空间的交与和的有关性质
1、设 V1,V2 ,W 为线性空间V的子空间
1）若 W V1,W V2 , 则 W V1 V2 . 2）若 V1 W ,V2 W , 则 V1 V2 W .
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
注意：
V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如 V1 {(a,0,0) a R}, V2 {(0,b,0) b R}
皆为R3的子空间，但是它们的并集 V1 V2 {(a,0,0),(0,b,0) a,b R} {(a,b,0) a,b R 且a,b中至少有一是0}
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
2020/9/20
§6.6 子空间的交与和
一、子空间的交 二、子空间的和 三、子空间交与和的有关性质
北京大学数学系《高等代数》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】第6章 线性空间 【圣才出品】
第6章线性空间[视频讲解]6.1本章要点详解本章要点■线性空间的定义与简单性质■维数、基与坐标■基变换与坐标变换■线性子空间的判定■线性子空间■子空间的交与和■子空间的直和■线性空间的同构重难点导学一、集合·映射1．集合（1）定义①集合：把一些事物汇集到一起组成的一个整体．②元素：组成集合的东西．a∈M，表示a是集合M的元素，读为：a属于M．a M，表示a不是集合M的元素，读为：a不属于M．③空集：不包含任何元素的集合．④子集合：如果集合M的元素全是集合N的元素，即由a∈M可以推出a∈N，则称M为N的子集合．空集合是任一集合的子集合．（2）集合的关系①集合相等：如果两个集合M与N含有完全相同的元素．即a∈M当且仅当a∈Ｎ．或者两个集合同时满足M∈N和N∈M．②集合的交：设M，N是两个集合．既属于M又属于N的全体元素所成的集合称为M与N的交，记为M∩N．③集合的并：属于集合M或者属于集合N的全体元素所组成的集合称为M与N的并，记为M∪N．2．映射（1）定义设M与M′是两个集合．存在一个法则，它使M中每一个元素a都有M′中一个确定的元素a′与之对应，则称这个法则为集合M到集合M′的一个映射．如果映射σ使元素a′∈M′与元素a∈M对应，则记为σ（a）＝a′．a′称为a在映射σ下的像，而a称为a′在映射σ下的一个原像．M到M自身的映射，也称为M到自身的变换．集合M到集合M′的两个映射σ及τ．若对M的每个元素a都有σ（a）＝τ（a），则称它们相等，记作σ＝τ．（2）映射的乘积设映射，乘积定义为(a)＝τ(σ(a))，即相继施行σ和τ的结果，是M到M"的一个映射．（3）映射的性质①设σ是集合M到M′的一个映射，用σ（M）代表M在映射σ下像的全体，称为M在映射σ下的像集合，显然σ（M）∈M′，如果σ（M）＝M′，映射σ就称为映上的或满射．②如果在映射σ下．M中不同元素的像也一定不同．即由a1≠a2一定有σ（a1）≠σ（a2），则称映射σ为1-1的或单射．③一个映射如果既是单射又是满射称为1-1对应或双射．（4）可逆映射设映射σ：M→M′，若有映射τ：M′→M，使得，则称σ为可逆映射，τ为σ的逆映射，记作σ－1．二、线性空间的定义与简单性质1．线性空间的定义如果加法与数量乘法满足下述规则，则V称为数域P上的线性空间．加法满足下面四条规则(1)α＋β＝β＋α；(2)（α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；(3)在V中有一个元素0，对于V中任一元素α都有0＋α＝α（具有这个性质的元素0称为V的零元素）；(4)对于V中每一个元素α，都有V中的元素β，使得α＋β＝0（β称为α的负元素）．数量乘法满足下面两条规则(1)1α＝α;(2)k（lα）＝（kl）α．数量乘法与加法满足下面两条规则(1)（k＋l）α＝kα＋lα；(2)k（α＋β）＝kα＋kβ．在以上规则中，k，l表示数域P中的任意数；α，β，γ表示集合V中任意元素．由定义，几何空间中全部向量组成的集合是一个实数域上的线性空间．分量属于数域P 的全体n元数组构成数域P上的一个线性空间，这个线性空间用P n来表示．2．线性空间的简单性质（1）零元素是唯一的；（2）负元素是唯一的；（3）0α＝0；k0＝0；（－1）α＝－α；（4）如果kα＝0．那么k＝0或者α＝0．三、维数、基与坐标1．线性空间中向量之间的线性关系（1）有关定义①线性组合设V是数域P上的一个线性空间，α1，α2，…，αr（r≥1）是V中一组向量，k1，k2，…，k r是数域P中的数．使得向量α＝k1α1＋k2α2＋…＋k rαr，则称为向量组α1，α2，…，αr的一个线性组合，或者称向量α可以用向量组α1，α2，…，αr线性表出．②向量组等价设α1，α2，…，αr（6-1）β1，β2，…，βr（6-2）是V中两个向量组，如果向量组（6-1）中每个向量都可以用向量组（6-2）线性表出，则称向量组（6-1）可以用向量组（6-2）线性表出．如果向量组（6-1）与向量组（6-2）可以互相线性表出．则称向量组（6-1）与（6-2）为等价的．③线性无关线性空间V中向量α1，α2，…，αr（r≥1）称为线性相关，如果在数域P中有r个不全为零的数k1，k2，…，k r，使k1α1＋k2α2＋…＋k rαr＝0（6-3）如果向α1，α2，…，αr不线性相关，称为线性无关，或者称向量组α1，α2，…，αr为线性无关，如果式（6-3）只有在k1＝k2＝…＝k r＝0时才成立．（2）有关结论①单个向量α是线性相关的充分必要条件是α＝0．两个以上的向量α1，α2，…，αr线性相关的充分必要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合；②如果向量组α1，α2，…，αr线性无关，而且可以被β1，β2，…，βr线性表出，那么r ≤s．。
《高等代数》各章习题+参考答案 期末复习用
1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。
2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。
4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。
5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。
(完整word)高等代数(北大版)第6章习题参考答案
第六章 线性空间1.设,N M ⊂证明：,M N M M N N ==I U 。
证 任取,M ∈α由,N M ⊂得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。
又因,M N M ⊂I 故M N M =I 。
再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ⊂因此无论哪 一种情形，都有,N ∈α此即。
但,N M N Y ⊂所以M N N =U 。
2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。
证 ),(L N M x Y I ∈∀则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。
反之，若)()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ⊂于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。
若x M N L M N L ∈∈∈UI I （），则x ，x 。
在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ）。
,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈⊂U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。
高等代数第6章习题解
第六章习题解答习题6.11、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？ （1）,()x x y V f y y αα+⎛⎫⎛⎫=∈=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）,()x x y V f y y αα-⎛⎫⎛⎫=∈= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）2,()x y V f y x y αα+⎛⎫⎛⎫=∈=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭； （4）0,()x V f y αααα⎛⎫=∈=+⎪⎝⎭，0V α∈是一个固定的非零向量。
（5）0,()x V f y ααα⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭，0V α∈是一个固定的非零向量。
解：（1）是。
因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''∀==∀∈，有1212121122121212()()()x x x x y y x y x y f f f f y y y y y y αβαβ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111()()kx kx ky x y f k f k kf ky ky y αα++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）是。
因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''∀==∀∈，有1212121122121212()()()()x x x x y y x y x y f f f f y y y y y y αβαβ++-+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111()()kx kx ky x y f k f k kf ky ky y αα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）不是。
因为12121212122()x x y y f f y y x x y y αβ+++⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()()()f f f αβαβ+≠+（4）不是。
高等代数(北大版第三版)习题答案
高等代数（北大*第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章 —矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第一部分，其他请搜索，谢谢！第一章 多项式1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
高等代数【北大版】6.1
则有
(a) a.
1
§6.1 集合 映射
③ σ为可逆映射的充要条件是σ为1—1对应．
证：若映射 : M M ' 为1—1对应，则对 y M '
均存在唯一的 x M ，使σ(x)＝y，作对应
: M M
( y) x, 这里 ( x) y
则τ是一个M´到M的映射, 且对 x M , 若 ( x) y,
n Z
（是） （不是） （不是）
（不是） （是）
τ：τ(n)＝|n|＋1,
§6.1 集合 映射
n Z
3 ） M＝ P
nn
，M´＝P，（P为数域） （是）
n n
σ：σ(A)＝|A|， A P nn 4）M＝P，M´＝ P ，（P为数域）
τ：τ(a)＝aE， a （ P E为n级单位矩阵） （是） 5）M、M´为任意两个非空集合，a0是M´中的一个
n Z
（是满射，但不是单射）
3）M＝ Pnn ，M´＝P，（P为数域）
σ：σ(A)＝|A|， A Pnn
§6.1 集合 映射
（是满射，但不是单射）
4）M＝P，M´＝ P nn , P为数域, E为n级单位矩阵 τ：τ(a)＝aE，
a P
（是单射，但不是满射）
5）M、M´为任意非空集合，a0 M 为固定元素 σ：σ(a)＝a0， a M
称之为M在映射σ下的象，通常记作 Imσ． 显然，Im M ' ② 集合M 到M 自身的映射称为M 的一个变换．
§6.1 集合 映射
例4
判断下列M 到M ´对应法则是否为映射
1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3,4｝
高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在nR 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间；2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =，(2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4)∑='A =ji j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3))2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
北京大学数学系《高等代数》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第五章至第六章【圣才出品】
第5章二次型5.1复习笔记一、二次型及其矩阵表示1．二次型定义设P是一数域，一个系数在数域P中的x1，x2，…，x n的二次齐次多项式称为数域P上的一个n元二次型，或简称二次型．2．线性替换与二次型矩阵（1）线性替换定义设x1，…，x n；y1，…，y n是两组文字，系数在数域P中的一组关系式称为由x1，…，x n到y1，…，y n的一个线性代替，或简称线性替换．如果系数行列式，那么线性替换就称为非退化的．（2）二次型的矩阵令由于所以二次型可以写成其中的系数排成一个n×n 矩阵它就称为二次型的矩阵，因为a ij ＝a ji ，i，j＝1，…，n，所以A＝A'二次型的矩阵都是对称的．3．合同矩阵（1）定义数域P 上n×n 矩阵A ，B 称为合同的，如果有数域P 上可逆的n×n 矩阵C ，使B C AC¢=（2）性质①反身性：A＝E'AE ；②对称性：由B＝C'AC 即得A＝（C -1）'BC -1；③传递性：由A 1＝C 1'AC 1和A 2＝C 2'A 1C 2即得经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的．二、标准形1．定义数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122n nd x d x d x +++ 的形式，该形式就称为的一个标准形．注意：二次型的标准型不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关．2．定理在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵．即对于任意一个对称矩阵A 都可以找到一个可逆矩阵C，使C AC ¢成对角矩阵，并且该对角矩阵的值就是对应的标准形式的系数．三、唯一性1．基本概念（1）二次型的秩在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩．（2）复二次型的规范性设f（x1，x2，…，x n）是一个复系数的二次型．经过一适当的非退化线性替换后，f（x1，x2，…，x n）变成标准形，不妨假定它的标准形是易知r就是f（x1，x2，…，x n）的矩阵的秩．因为复数总可以开平方，我们再作一非退化线性替换（1）就变成称为复二次型f（x1，x2，…，x n）的规范形．结论：任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的．即任一复数的对称矩阵合同于一个形式为的对角矩阵．从而有，两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等．（3）实二次型的规范形设f（x1，x2，…，x n）是一实系数的二次型，经过某一个非退化线性替换，再适当排列文字的次序，可使f（x1，x2，…，x n）变成标准形其中d i＞0，i＝1，…，r；r是f（x1，x2，…，x n）的矩阵的秩．因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以再作一非退化线性替换（4）就变成（6）称为实二次型f（x1，x2，…，x n）的规范形．结论：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的．2．惯性定理设实二次型f（x1，x2，…，x n）经过非退化线性替换X＝BY化成规范形而经过非退化线性替换X＝CZ也化成规范形则p＝q．另一种表述：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一确定的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数．3．惯性指数在实二次型f（x1，x2，…，x n）的规范形中，（1）正惯性指数：正平方项的个数p；（2）负惯性指数：负平方项的个数r－p；（3）符号差：p－（r－p）＝2p－r．该定义对于矩阵也是适合的．四、正定二次型1．定义实二次型，f（x1，x2，…，x n）称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数c1，c2，…，c n都有f（c1，c2，…，c n）＞0．2．常用的判别条件（1）n元实二次型f（x1，x2，…，x n）是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于。
高等代数(北大第三版)习题答案完整
解出(ⅰ)当 u = 0时t + 3t − 3t + 4 = 0(t + 4)(t − t + 1)
3 2 2
1 ± 3¡ ± 3 ¡ t = −4或t = =e 2 ∴
(ⅱ)
π
当u ≠ 0时, 只有t 2 + t + 3 = 0,
t 1 =− t +1 3
t 3 + 3t 2 − (u + 3)t + (4 − u ) ⇒ u =
f ( x ) = x 5 , x0 = 1 ：即 ∴ f ( x) = ( x − 1)5 + 5( x − 1) 4 + 10( x − 1)3 + 10( x − 1) 2 + 5( x − 1) + 1
当然也可以 f ( x) = x = [( x − 1) + 1]
5 5
= ( x − 1)5 + 5( x − 1) 4 + ⋅⋅⋅ + 1
2
ε1 =
− 1 + 3i − 1 − 3i ,ε 2 = 2 2
所以 d ( x) = u ( x) f1 ( x) d ( x) + v( x) g1 ( x)d ( x). 消去 d ( x ) ≠ 0 得 1 = u ( x) f1 ( x) + v( x) g1 ( x)
P45.11
证：设 ( f ( x), g ( x)) = d ( x) ≠ 0, f ( x) = f1 ( x) d ( x), g ( x) = g1 ( x)d ( x)
t= − 1 ± − 11 2
P45、8 d ( x ) | f ( x ), d ( x ) | g ( x ) 表明 d ( x ) 是公因式 又已知： d ( x)是f ( x)与g ( x)的组合 所以 表明任何公因式整除 d ( x )
高等代数【北大版】6.5
二,一类重要的子空间 ——生成子空间 ——生成子空间
为数域P上的线性空间 α 定义:V为数域 上的线性空间, 1 ,α 2 , ,α r ∈ V, 为数域 上的线性空间, 则子空间
W = {k1α1 + k2α 2 + + krα r ki ∈ P , i = 1,2, , r }
称为V的由 生成的子空间, 称为 的由 α1 ,α 2 , ,α r 生成的子空间, 记作 L(α1 ,α 2 , ,α r ) . 生成元. 称 α1 ,α 2 , ,α r 为 L(α1 ,α 2 , ,α r ) 的一组 生成元
n
由它的一组基生成. 即 Pn 由它的一组基生成 类似地, 类似地,还有
事实上, 事实上,任一有限 维线性空间都可由 它的一组基生成. 它的一组基生成
P[ x ]n = L(1, x , x 2 , , x n1 ) = a0 + a1 x + + an1 x n1 a0 , a1 , , an1 ∈ P
§6.5 线性子空间
例1
为数域P上的线性空间 设V为数域 上的线性空间,只含零向量的 为数域 上的线性空间,
的一个线性子空间, 子集合 W = {0} 是V的一个线性子空间,称之为 的 的一个线性子空间 称之为V的 零子空间.线性空间V本身也是 的一个子空间. 零子空间.线性空间 本身也是V的一个子空间. 本身也是 的一个子空间 平凡子空间, 这两个子空间有时称为平凡子空间 这两个子空间有时称为平凡子空间,而其它的 子空间称为非平凡子空间 非平凡子空间. 子空间称为非平凡子空间. 例2 为所有实函数所成集合构成的线性空间, 设V为所有实函数所成集合构成的线性空间, 为所有实函数所成集合构成的线性空间
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第六章 线性空间1.设,N M ⊂证明：,MN M MN N ==。
证 任取,M ∈α由,N M ⊂得,N ∈α所以,N M ∈α即证M NM ∈。
又因,M N M ⊂ 故M N M =。
再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ⊂因此无论哪 一种情形，都有,N ∈α此即。
但,N M N ⊂所以MN N =。
2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。
证 ),(L N M x ∈∀则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。
反之，若)()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x NL ∈，得),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ⊂于是)()()(L M N M L N M =。
若x M NL M N L ∈∈∈（），则x ，x 。
在前一情形X x M N ∈， X ML ∈且，x MN ∈因而（）（M L ）。
,,N L x M N X M L M N M M N MN ∈∈∈∈∈⊂在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以（）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。
（a ，）=（ka ，kb +6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： 0k a =； 7） 集合与加法同6），数量乘法定义为：k a a =；8） 全体正实数r ，加法与数量乘法定义为：a b ab ⊕=，k k a a =；解 1）否。
因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如 523n nx x ++--=（）（）。
2）令V={f （A ）|f （x ）为实数多项式，A 是n ×n 实矩阵} 因为f （x ）+g （x ）=h （x ），kf （x ）=d （x ） 所以f （A ）+g （A ）=h （A ），kf （A ）=d （A ）由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v 构成线性空间。
3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。
下面仅对反对称矩阵证明： 当A ，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有'''（A+B ）=A +B =-A-B=-（A+B ），A+B 仍是反对称矩阵。
KA KA K A KA ''==-=-（）（）（），所以kA 是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4）否。
例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。
5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a ，b ）的负元是（-a ，2a -b ）。
对于数乘：222222221(11)111)(,),2(1)(1)(1).(.(,).(,)(,[2]())222(1)(1)(1)(1)(,[]())(,())2222(1)(,)().(,),2(a b a b a a b l l l l k k k l a b k la lb a kla k lb a la l l k k kl kl k k kla k lb a la kla a la kl kl kla a klb kl a b -===---=+=++----=++=+-=+=。
（，）（。
，。
2222222()(1)).(,)[(),()]2(1)(1).(,).(,)(,)(,22(1)(1)(,)22(1)(1)[(),()].2k l k l k l a b k l a a k l b k k l l k a b l a b ka kb a la lb ak k k k ka la kb a a kla k k l k l a a k l b ++-+=+++--⊕=+⊕+--=++++++-=+++即),(),(),()(b a l b a k b a l k ⊕=+。
),()],(),[(2121212211a a b b a a k b a b a k +++=⊕＝)])(2)1((),([221212121a a k k a a b b k a a k +-++++， ),()(221,1b a k b a k ⊕＝)2)1(,()2)1(,(22222111a k k kb ka a k k kb ka -+⊕-+＝)2)1(2)1(,(21222221121a a k a k k kb a k k kb ka ka +-++-++＝)2)1(2)1()(),((212122221212121a a k a a k a k k a k k a a b b k a a k -+-++-++++＝))(2)1()(),((22221212121a a k k a a b b k a a k +-++++，即=⊕),(),(2211b a b a k ),()(221,1b a k b a k ⊕，所以，所给集合构成线性空间。
6）否，因为.01αα≠= 。
7）否，因为)()()(,2,)(αααααααααα l k l k l k l k +≠+=+=+=+所以， 所给集合不满足线性空间的定义。
8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足1);)()()()();)111;1111):1,1;)1;)(())()()();)()()();)()l l k lk kl k l k l i a b ab ba b a ii a b c ab c abc a bc a b c iii a a a iv a a a a a a a av a a a vi k l a k a a a a kl a vii k l a a a a ka la viii k a b +⊕===⊕⊕⊕=⊕==⊕=⊕⊕⊕=⋅=⊕=⋅=⊕=⊕=======+==⋅=⊕⊕是零元：的负元是且()()()().k k k k ab ab a b k a k b ====⊕所以，所给集合+R 构成线性空间。
4 在线性空间中，证明：1）00=k 2）βαβαk k k -=-)(。
证 1）00))(()1()())((0==-+=-+=-+=-+=ααααααααk k k k k k k k 。
2）因为()(),()k k k k k k k αββαββααβαβ-+=-+=-=-所以。
5 证明：在实函数空间中，1，t t 2cos ,cos 2式线性相关的。
证 因为1cos 22cos 2-=t t ，所以1，t t 2cos ,cos 2式线性相关的。
6 如果)(),(),(321x f x f x f 是线性空间][x P 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么他们线性无关。
证 若有不全为零的数321,,k k k 使0)()()(332211=++x f k x f k x f k ，不妨设,01≠k 则)()()(3132121x f k k x f k k x f --=，这说明)(),(32x f x f 的公因式也是)(1x f 的因式，即)(),(),(321x f x f x f 有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以)(),(),(321x f x f x f 线性无关。
7 在4P 中，求向量ζ在基4321,,,εεεε下的坐标。
设1）)1,1,2,1(),1,1,1,1(),11,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(4321=--=--=--==ζεεεε；2）)1,0,0,0(),1,1,1,0(),0,0,1,1(),1,3,1,2(),1,0,1,1(4321=--====ζεεεε。
解 1）设有线性关系4321εεεεζd c b a +++=，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=--+=+++1121d c b a d c b a d c b a d c b a ，可得ζ在基4321,,,εεεε下的坐标为41,41,41,45-=-===d c b a 。
2）设有线性关系4321εεεεζd c b a +++=，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-=+++=++103002d b a d b d c b a c b a ，可得ζ在基4321,,,εεεε下的坐标为0,1,0,1=-===d c b a 。
8求下列线性空间的维数于一组基：1）数域P 上的空间P n n ⨯；2）P n n ⨯中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P 上的空间；3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A 的全体实系数多项式组成的空间,其中A=,00000012⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ωω231i+-=ω。
解 1)n n P ⨯的基是{),,...,2,1,}(n j i E ij =且2dim()n nPn ⨯=。
2) i)令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=...............1............1............ij F ，即,1==jiij a a 其余元素均为零,则{}nn n n F F F F F ,...,,...,,...,222,111 是对称矩阵所成线性空间n M 的一组基,所以n M 是2)1(+n n 维的。
ii)令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅⋅=...............1............1............ij G ，即),(,1j i a a jiij ≠=-=其余元素均为零,则{}n n n n G G G G G ,1223,112,...,,...,,...,-是反对称矩阵所成线性空间n S 的一组基, 所以它是2)1(-n n 维的。