八年级三角形知识点归纳
八年级数学上册第十二章全等三角形知识点总结归纳(带答案)
八年级数学上册第十二章全等三角形知识点总结归纳单选题1、如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=5，点F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（）A．4B．5C．6D．7答案：A分析：根据角平分线的性质，可知点D到OB和OA的距离相等，并且点到直线的线段中，垂线段最短，最短距离为5，即可判断．∵OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=5，∴D到OB的距离等于5，∴DF≥5故DF的长度不可能为4，故选A．小提示：本题考查了角平分线的性质，点到直线的线段中，垂线段最短，熟练掌握性质是本题的关键．2、下列说法正确的是（）A．两个面积相等的图形一定是全等图形B．两个全等图形形状一定相同C．两个周长相等的图形一定是全等图形D．两个正三角形一定是全等图形答案：B分析：根据全等图形的定义进行判断即可．解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意；B：两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意；C：两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意；D：两个正三角形不一定是全等图形，故D错误，不符合题意；故选：B．小提示：本题考查了全等图形，熟练运用“能够完全重合的两个图形叫做全等形”是本题的关键．3、如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG，连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF，则下列结论：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④答案：D分析：证得△CAF≌△GAB（SAS），从而推得①正确；利用△CAF≌△GAB及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明△AFM≌△BAD（AAS），得出FM=AD，∠FAM=∠ABD，则③正确，同理△ANG≌△CDA，得出NG=AD，则FM=NG，证明△FME≌△GNE（AAS）．可得出结论④正确．解：∵∠BAF=∠CAG=90°，∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAF=∠GAB，又∵AB=AF=AC=AG，∴△CAF≌△GAB（SAS），∴BG=CF，故①正确；∵△FAC≌△BAG，∴∠FCA=∠BGA，又∵BC与AG所交的对顶角相等，∴BG与FC所交角等于∠GAC，即等于90°，∴BG⊥CF，故②正确；过点F作FM⊥AE于点M，过点G作GN⊥AE交AE的延长线于点N，∵∠FMA=∠FAB=∠ADB=90°，∴∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°，∴∠BAD=∠AFM，又∵AF=AB，∴△AFM≌△BAD（AAS），∴FM=AD，∠FAM=∠ABD，故③正确，同理△ANG≌△CDA，∴NG=AD，∴FM=NG，∵FM⊥AE，NG⊥AE，∴∠FME=∠ENG=90°，∵∠AEF=∠NEG，∴△FME≌△GNE（AAS）．∴EF=EG．故④正确．故选：D．小提示：本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．4、如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°答案：C分析：根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD =∠EBD =12∠ABC =35°2，∠AFB =∠EFB =90°，推出AB =BE ，根据等腰三角形的性质得到AF =EF ，求得AD =ED ，得到∠DAF =∠DEF ，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 解：∵BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，∴∠ABD =∠EBD =12∠ABC =35°2，∠AFB =∠EFB =90°，∴∠BAF =∠BEF ，∴AB =BE ，AE ⊥BD ，∴BD 是AE 的垂直平分线，∴AD =ED ，∴∠DAF =∠DEF ，∵∠BAC =180°-∠ABC -∠C =95°，∴∠BED =∠BAD =95°，∴∠CDE =95°-50°=45°，故选C ．小提示：本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．5、如图，△ABC ≌△DEF ，若∠A =80°,∠F =30°，则∠B 的度数是（ ）A．80°B．70°C．65°D．60°答案：B分析：由△ABC≌△DEF根据全等三角形的性质可得∠C=∠F=30°，再利用三角形内角和进行求解即可．∵△ABC≌△DEF，∴∠C=∠F，∵∠F=30°，∴∠C=30°，∵∠A=80°,∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=180°−∠A−∠C=70°，故选：B．小提示：本题考查了全等三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．6、小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形的三条高交于一点D．三角形三边的垂直平分线交于一点答案：A分析：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选A．小提示：本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．7、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DE//AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE=5,DF=3，则下列结论错误的是（）A．BF=1B．DC=3C．AE=5D．AC=9答案：A分析：根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A错误．解：在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DF⊥AB，∴CD=DF=3，故B正确；∵DE=5，∴CE=4，∵DE//AB，∴∠ADE=∠DAF，∵∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE=5，故C正确；∴AC=AE+CE=9，故D正确；∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，∴△BDF≌△DEC，∴BF=CD=3，故A错误；故选：A．小提示：此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，全等三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．8、已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（）A．72∘B．60∘C．58∘D．50∘答案：D分析：根据全等三角形的性质：全等三角形对应角相等，即可得到结论．∵图中的两个三角形全等，∠α为a和c的夹角又∵第一个三角形中a和c的夹角为50°∴∠α=50°故选：D．小提示：本题考查了全等三角形的性质，准确找到对应角是解题的关键．9、下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④答案：B分析：根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．解：①和③可以完全重合，因此全等的图形是①和③．故选：B．小提示：此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于( ) 10、如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=8，DC=13A．4B．3C．2D．1答案：C分析：如图，过点D作DE⊥AB于E，根据已知求出CD的长，再根据角平分线的性质进行求解即可.如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AC=8，DC=1AD，3∴CD=8×1=2，1+3∵∠C=90°，BD平分∠ABC，∴DE=CD=2，即点D到AB的距离为2，故选C．小提示：本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.填空题11、如图，四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AC平分∠DAB，CM⊥AB于点M，若AM＝4cm，BC＝2.5cm，则四边形ABCD的周长为_____cm．答案：13分析：过C作CE⊥AD的延长线于点E，由条件可证△AEC≌△AMC，得到AE＝AM．证明△ECD≌△MBC，由全等的性质可得DE＝MB，BC＝CD，则问题可得解．解：如图，过C作CE⊥AD的延长线于点E，∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠MAC，∵CE⊥AD，CM⊥AB，∴∠AEC＝∠AMC＝90°，CE＝CM，在Rt△AEC和Rt△AMC中，AC=AC，CE=CM，∴Rt△AEC≌Rt△AMC（HL），∴AE＝AM＝4cm，∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADC＋∠EDC＝180°，∴∠EDC＝∠MBC，在△EDC和△MBC中，{∠DEC=∠CMB∠EDC=∠MBCCE=CM，∴△EDC≌△MBC（AAS），∴ED＝BM，BC＝CD＝2.5cm，∴四边形ABCD的周长为AB＋AD＋BC＋CD＝AM＋BM＋AE﹣DE＋2BC＝2AM＋2BC＝8＋5＝13（cm），所以答案是：13．小提示：本题考查全等三角形的判定与性质，掌握常用的判定方法是解题的关键．12、把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做_________，重合的边叫做_________，重合的角叫做_________．记两个三角形全等时，通常把表示_________的字母写在对应位置上．答案：对应顶点对应边对应角对应顶点分析：根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及对应顶点、对应边、对应角的概念填空．解：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上．所以答案是：对应顶点；对应边；对应角；对应顶点．小提示：此题主要考查了全等形及相关概念，属于基本概念题，是需要识记的内容．13、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=6cm，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP=_____．答案：12cm或6cm##6cm或12cm分析：当AP＝12cm或6cm时，△ABC和△PQA全等，根据HL定理推出即可．解：∵∠C＝90°，AO⊥AC，∴∠C＝∠QAP＝90°，①当AP＝6cm＝BC时，在Rt△ACB和Rt△QAP中∵{AB=PQ，BC=AP∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），②当AP＝12cm＝AC时，在Rt△ACB和Rt△PAQ中{AB=PQ，AC=AP∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），所以答案是：12cm或6cm．小提示：本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL．14、如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，5），则A点的坐标是_____．答案：（-7，3）分析：先作辅助线AD ⊥OC 、BE ⊥OC ，通过导角证明∠CAD =∠BCE ，再证明△ADC ≌△CEB ， 得到AD 的长度(A 的纵坐标长度)、DC 长度(加上OC 得到A 横坐标长度)，根据A 点所在象限的符号，确定A 点坐标． 如图，过点A 作AD ⊥OC 于点D ，过点B 作BE ⊥OC 于点E∵ 点C 的坐标为(-2，0)，点B 的坐标为(1，5)∴ OC =2，OE =1，BE =5∵∠ACB =90°∴∠ACD +∠CAD =90°，∠ACD +∠BCE =90°∴∠CAD =∠BCE在△ADC 和△CEB 中，{∠ADC =∠BEC =90°∠CAD =∠BCE AC =BC∴△ADC ≌△CEB(AAS)∴DC =BE =5,AD =CE =1+2=3∴OD =2+5=7∴ A 点的坐标是(-7，3) ．小提示：本题考查了全等三角形的证明(在两个三角形中，如果有两组对应角，和其中一组对应角的对边分别相等，那么这两个三角形全等) ．15、如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为______．答案：225°分析：首先判定△ABC≌△AEF，△ABD≌△AEH，可得∠5=∠BCA，∠4=∠BDA，然后可得∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，即可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的值．解：如图所示：在△ABC和△AEF中，{AB=AE∠B=∠E=90°BC=EF∴△ABC≌△AEF（SAS），∴∠5=∠BCA，∴∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，在Rt△ABD和Rt△AEH中，{AB=AEAD=AH∴Rt△ABD≌Rt△AEH（HL），∴∠4=∠BDA，∴∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，∵∠3=45°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=90°+90°+45°=225°．所以答案是：225°．小提示：此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形对应角相等即可求解．解答题16、（1）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°．直接写出BE、DF、EF之间的数量关系；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=1∠BAD，求证：EF=BE+DF；2（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠BAD，则结论EF=BE+DF是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并∠EAF=12证明．答案：（1）EF=BE+DF，理由见详解；（2）见详解；（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由见详解．分析：（1）在CD的延长线上截取DM＝BE，连接AM，证出△ABE≌△ADM，根据全等三角形的性质得出BE＝DM，再证明△AEF≌△AMF，得EF＝FM，进而即可得出答案；（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，证出△ABE≌△ADG，根据全等三角形的性质得出BE＝DG，再证明△AEF≌△AGF，得EF＝FG，即可得出答案；（3）按照（2）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（2）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE−BG＝BE−DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．（1）解：EF=BE+DF，理由如下：延长CD，使DM=BE，连接AM，∵在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADM=90°，∴△ABE≌△ADM，∴∠BAE=∠DAM，AE=AM，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=∠DAM+∠DAF =90°-45°=45°，∴∠EAF=∠MAF=45°，又∵AF=AF，AE=AM，∴△AEF≌△AMF，∴EF=MF=MD+DF=BE+DF；（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，如图，∵∠ADF＝90°，∠ADF＋∠ADG＝180°，∴∠ADG＝90°，∵∠B＝90°，∴∠B＝∠ADG＝90°，∵BE＝DG，AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，∴∠EAG＝∠EAD＋∠DAG＝∠EAD＋∠ABE＝∠BAD，∵∠EAF=1∠BAD，2∴∠EAF=1∠EAG,2∴∠EAF＝∠FAG，又∵AF＝AF，AE＝AG，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG＝DF＋DG＝EB＋DF；（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由如下：如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∠ADF ＋∠ADC ＝180°，∴∠B ＝∠ADF ．∵在△ABG 与△ADF 中，{AB =AD∠ABG =∠ADF BG =DF，∴△ABG ≌△ADF （SAS ）．∴∠BAG ＝∠DAF ，AG ＝AF ．∴∠BAG ＋∠EAD ＝∠DAF ＋∠EAD ＝∠EAF ＝12∠BAD =12∠GAF ． ∴∠GAE ＝12∠BAD =∠EAF ．∵AE ＝AE ，AG ＝AF ．∴△AEG ≌△AEF ．∴EG ＝EF ，∵EG ＝BE −BG∴EF ＝BE −FD ．小提示：本题考查了三角形综合题，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题．17、（1）如图1，已知△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直线m 经过点A,BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D,E ．求证：DE =BD +CE ．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC,D,A,E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA =∠AEC=∠BAC．请写出DE,BD,CE三条线段的数量关系，并说明理由．答案：（1）证明见解析；（2）DE=BD+CE，证明见解析分析：（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；（1）DE=BD+CE．理由如下：∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，{∠ABD＝∠CAE∠ADB＝∠CEA＝90°AB＝AC，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2）DE=BD+CE，理由如下：∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE ，∴∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，{∠ABD ＝∠CAE∠ADB ＝∠CEA AB ＝AC，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴BD +CE =AE +AD =DE ；小提示：本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．18、如图，在五边形ABCDE 中，AB =CD ，∠ABC =∠BCD ，BE ，CE 分别是∠ABC ，∠BCD 的角平分线．(1)求证：△ABE ≌△DCE ；(2)当∠A =80°，∠ABC =140°，时，∠AED =_________度(直接填空)．答案：(1)见解析；(2)100分析：（1）根据∠ABC =∠BCD ，BE ，CE 分别是∠ABC ，∠BCD 的角平分线，可得∠ABE =∠DCE ，∠CBE =∠BCE ，推出BE =CE ，由此利用SAS 证明△ABE ≌△DCE ；（2）根据三角形全等的性质求出∠D 的度数，利用公式求出五边形的内角和，即可得到答案．（1）证明：∵∠ABC =∠BCD ，BE ，CE 分别是∠ABC ，∠BCD 的角平分线，∴∠ABE =∠CBE =12∠ABC ，∠BCE =∠DCE =12∠BCD ，∴∠ABE =∠DCE ，∠CBE =∠BCE ，∴BE=CE，又∵AB=CD，∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）∵△ABE≌△DCE，∴∠D=∠A=80°，∵五边形ABCDE的内角和为(5−2)×180°=540°，∴∠AED=540°−80°×2−140°×2=100°，所以答案是：100．小提示：此题考查了全等三角形的判定及性质，多边形内角和计算，正确掌握全等三角形的判定及性质定理是解题的关键．。
八年级数学《三角形》知识点
21D CB AD CBAD CB A八年级数学《三角形》知识点⒈ 三角形的定义三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示.注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的“△”没有意义． ⒉ 三角形的分类 (1)按边分类 (2)按角分类：⒊ 三角形的主要线段的定义 （1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：是△ABC 的BC 上的中线. =DC=12BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点；这个点叫做三角形的重心。
④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；这个点叫做三角形的内心。
④用量角器画三角形的角平分线．（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：是△ABC 的BC 上的高线. ⊥BC 于D. 3.∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；三角形等腰三角形不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形_ C_ B _ A③三角形三条高所在直线交于一点．这个点叫做三角形的垂心。
八年级数学三角形与全等三角形知识点大全
八年级数学三角形知识点归纳一、与三角形有关的线段1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形2、等边三角形：三边都相等的三角形3、等腰三角形：有两条边相等的三角形4、不等边三角形：三边都不相等的三角形5、在等腰三角形中，相等的两边都叫腰，另一边叫底，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角6、三角形分类：不等边三角形等腰三角形：底边与腰不等的等腰三角形等边三角形7、三角形两边之与大于第三边，两边之差小于第三边注：1）在实际运用中，只需检验最短的两边之与大于第三边，则可说明能组成三角形2）在实际运用中，已经两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之与3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，注意检查每个答案能否组成三角形8、三角形的高：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高9、三角形的中线：连接△ABC的顶点A与它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线注：两个三角形周长之差为x，则存在两种可能：即可能是第一个△周长大，也有可能是第一个△周长小10、三角形的角平分线：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线11、三角形的稳定性，四边形没有稳定性二、与三角形有关的角1、三角形内角与定理：三角形三个内角的与等于180度。
证明方法：利用平行线性质2、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角3、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的与4、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角5、三角形的外角与为360度6、等腰三角形两个底角相等三、多边形及其内角与1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形2、N边形：如果一个多边形由N条线段组成，那么这个多边形就叫做N边形。
3、内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角4、外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角5、对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线6、正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形7、多边形的内角与：n边形内角与等于（n-2）*1808、多边形的外角与：360度注：有些题，利用外角与，能提升解题速度9、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，它们将n 边形分成n-2个△注：探索题型中，一定要注意是否是从N边形顶点出发，不要盲目背诵答案10、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，n边形共有对角线23)-n(n条。
全等三角形的判定(HL)(知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(学生版) 24-25学年八年级数学上册
专题12.7全等三角形的判定（HL）（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（HL）（1）判定方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.（2）书写格式：如图，在Rt△ABC 和△Rt DEF 中，AB DE AC DF=⎧⎨=⎩ABC DEF ∴∆≅∆（HL）【知识点二】判定两个直角三角形全等的方法判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“HL”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”这五种方法来判定两个直角三角形全等.【知识点三】判定两个直角三角形全等的思路（1）已知一条直角边对应相等，可用判定方法“SAS”“HL”“ASA”或“AAS”；（2）已知斜边对应相等，可用判定方法“HL”“AAS”;（3）已知一锐角对应相等，可用判定方法“ASA”或“AAS”.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】用“HL”证明直角三角形全等【例1】（23-24八年级上·广西南宁·期中）已知，如图，点A 、E 、F 、B 在同一条直线上，CA AB ⊥，DB AB ⊥，AE FB =，CF DE=（1）求证：CAF DBE ≌ ；（2）若25AFC ∠=︒，求D ∠的度数【变式1】如图，已知AB BD ⊥，CD BD ⊥，若用HL 判定Rt △ABD 和Rt BCD 全等，则需要添加的条件是（）A ．AD CB =B ．AC ∠=∠C ．BD DB =D ．AB CD=【变式2】（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，BD CF =，FD BC ⊥于点D ，DE AB ⊥于点E ，BE CD =，若145AFD ∠=°，则EDF ∠=．【题型2】全等的性质与“HL”综合【例2】（23-24八年级下·山东青岛·期中）已知：如图AD 为ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F 且有BF AC =，ED CD =．（1）问BF 与AC 的数量和位置关系分别是什么？并说明理由．（2）直接写出ABC ∠的度数．【变式1】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，EF AB ⊥于点F ，交AC 于点E ，BC BF =，连接BE 交CD 于点G ．下列结论：①CE EF =；②CG EF =；③BGC AEB ∠=∠．其中正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【变式2】（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在ABC 中，M 为边BC 的中点，ME AB ⊥于点E ，MF AC ⊥于点F ，且BE CF =．若25BME ∠=︒，则A ∠=°．【题型3】全等三角形的综合问题【例3】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，ABC 中，AC AB >，D 是BA 延长线上一点，点E 是CAD ∠的平分线上一点，过点E 作EF AC ⊥于F ，EG AD ⊥于G ．（1）求证：EGA EFA ≌△△；（2）若2BEC GEA ∠=∠，3AB =，5AC =，求AF 的长．【变式1】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，EB 交AC 于点M ，交FC 于点D ，90E F ∠=∠=︒，B C ∠=∠，AE AF =，给出下列结论：12∠=∠①；②BE CF =；③ACN ABM ≌；CD DN =④，其中正确的有（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，ABC 中，AH BC ⊥，BF 平分ABC ∠，BE BF ⊥，EF BC ∥，以下四个结论：①AH EF ⊥，②ABF EFB ∠=∠，③AF BE =，④E ABE ∠=∠．正确的是．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·陕西·中考真题）如图，在ABC 中，50B ∠=︒，20C ∠=︒．过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，延长EA 至点D ．使AD AC =．在边AC 上截取AF AB =，连接DF ．求证：DF CB =．【例2】（2023·山东·中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A B C D E ，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段,AB CD 交于点F ，若CFB α∠=，则ABE ∠等于（）A ．180α︒-B ．1802α︒-C ．90α︒+D ．902α︒+2、拓展延伸【例1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，从点O 引射线OM ，ON ，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，点C 为平面内一点，连接AC ，BC ，有ACB O ∠=∠．（1）如图1，若AO BC ∥，则AC 和ON 的位置关系是______；（2）如图2，若ABC ABO ∠=∠，AC OM ⊥，请求出CBD ∠和O ∠的度数的等量关系式；（3）在（2）的条件下，过点C 作CD OM ∥交射线ON 于点D ，当8CDN CBD ∠=∠时，求ABC ∠的度数．【例2】（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形ABCD 中，120AB AD BAD =∠=︒，，90ABC ADC ∠=∠=︒，且60EAF ∠=︒，求证：EF BE FD =+．（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E F 、分别是BC CD 、上的点，且12EAF BAD ∠=∠，上述结论是否仍然成立？请说明理由．。
八年级数学知识点归纳
八年级数学知识点归纳八年级数学是初中数学学习的重要阶段，知识点的难度和广度都有所增加。
以下是对八年级数学主要知识点的归纳：一、三角形（一）三角形的相关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
3、三角形的内角和：三角形的内角和为 180°。
（二）三角形的分类1、按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
2、按边分类：不等边三角形、等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）。
（三）三角形的重要线段1、三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。
三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。
2、三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
3、三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的三条角平分线交于一点，这点称为三角形的内心。
（四）全等三角形1、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
3、全等三角形的判定：SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。
SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
二、勾股定理（一）勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a²＋b²＝ c²。
（二）勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形是直角三角形。
初二数学知识点归纳
初二数学知识点归纳临近考试了，各科都会整理好知识点复习。
接下来是小编为大家整理的初二数学知识点归纳，希望大家喜欢!初二数学知识点归纳一第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
4、中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
5、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
7、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
8、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
9、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
10、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
11、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形。
12、平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13、公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
⑶多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°。
⑸多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形。
②边形共有条对角线。
第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1、基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
人教版八年级上册数学知识点总结归纳
人教版八年级上册数学知识点总结归纳一、三角形1. 三角形的概念及分类-由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
-按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
-按边分类：不等边三角形、等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）。
2. 三角形的三边关系-三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
3. 三角形的内角和与外角和-三角形内角和为180°。
-三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和。
三角形外角和为360°。
4. 三角形的高、中线、角平分线-从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
-三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
-三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
二、全等三角形1. 全等三角形的概念及性质-能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
-全等三角形的对应边相等、对应角相等。
2. 全等三角形的判定- “边边边”（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。
- “边角边”（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
- “角边角”（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
- “角角边”（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
- “斜边、直角边”（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
三、轴对称1. 轴对称图形和轴对称-如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
-把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
2. 线段的垂直平分线-经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
-线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
八年级数学上册《三角形》知识点归纳与整理
11.1 与三角形有关的线段知识架构三角形的分类三角形的相关概念三角形的稳定性与三角形有关的线段三角形的中线三角形的重要线段三角形的角平分线三角形的高线两边之和大于第三边三角形的三边关系两边之差小于第三边第一节 三角形的边知识要点一、三角形的相关概念1. 三角形的定义：由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形叫做三角形．2. 三角形的分类：三角形（按角分）：①直角三角形；②斜三角形：锐角三角形，钝角三角形；三角形（按边分）：①不等边三角形；②等腰三角形：等腰不等边三角形，等边三角形；3. 三角形的稳定性：如果三角形的三条边固定，那么三角形的大小和形状就可以完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．二、三角形的三边关系1. 三角形两边之和大于第三边（1）三角形任意两边之和大于第三边，即有a ＋b ＞c ，b ＋c ＞a ，a ＋c ＞b 三个不等式同时成立． （2）判断三条线段能否构成三角形时，可以用两条较短线段之和与较长线段作比较，大于则成立，小于则不成立．2. 三角形两边之差小于第三边（1）三角形任意两边之差小于第三边；（2）三角形任意一边大于其他两边之差，小于其他两边之和．典例分析题型一 三角形的相关概念例1 如图，以AD 为边的三角形有___________________；以∠C 为一个内角的三角形____________________；△AED 的三个内角分别是____________________．例2 下列说法中，正确的有______________________ ①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两边相等④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形例3 下列图形具有稳定性的是（ ） A ．正方形 B ．矩形 C ．平行四边形 D ．直角三角形cbaE D CBA【跟踪练习】1. 如图，在△ABC 中，∠A 的对边是_______；在△ABD 中∠A 的对边是_________．2. △ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足0))((＝c a c b a -++，则△ABC 的形状为（ ）A ．不等边三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．锐角三角形3. 不是利用三角形稳定性的是（ ） A ．自行车的三角形车架 B ．三角形的房架 C ．照相机的三脚架D ．学校的栅栏门题型二 三角形的三边关系例4 下列各组线段能构成三角形的是（ ）A ．2，2，4B ．3，4，5C ．1，2，3D ．2，3，6例5 下列线段能构成三角形的有哪些？ （1）6cm ，8cm ，10cm ； （2）5cm ，8cm ，2cm ；（3）三条线段之比为4 : 5 : 6；（4）a ＋1，a ＋2，a ＋3（a ＞0）．例6 用一条长为21cm 的细绳围成一个等腰三角形．（1）如果腰长是底边长的3倍，那么底边长是多少？ （2）能围成一边长5cm 的等腰三角形吗？说明理由．D CBA例7 如图，点D 在△ABC 中，请判断△BDC 和△ABC 的周长大小，并证明．【跟踪练习】1. 已知三角形的两边长分别是3和8，则该三角形第三边的长可能是（ ）A ．5B ．10C ．11D ．122. 已知等腰三角形的边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为__________．3. 长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（ ）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种4. 已知三角形三边长分别为3，1－2a ，8，求a 的取值范围．5. 如图，已知点D 、E 都在△ABC 中，请判断△ABC 和四边形BDEC 的周长大小，并证明．DCB AED ACB第二节 三角形的重要线段知识要点一、三角形的中线1. 中线的定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线；2. 重心的定义：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的重心，而且它一定在三角形的内部；3. 中线的性质：一条中线把三角形的面积平分．二、三角形的高线1. 高线的定义：三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线．2. 垂心的定义：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心；3. 注意：①锐角三角形的高均在三角形的内部，三条高的交点也在三角形的内部；②钝角三角形的高线中，有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部；③直角三角形有两条高分别与两条直角边重合．反之也成立．三、三角形的角平分线1. 定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．2. 内心的定义（拓展）：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部．3. 注意：三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线．典例分析题型一 三角形的中线例1 如图，当________＝________时，AD 是△ABC 的中线．例2 如图，AM 是△ABC 的中线，若用S 1表示△ABM 的面积，用S 2表示△ACM 的面积，则S 1和S 2的大小关系是（ ）A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＝S 2D ．以上三种情况都有可能例3 如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线，DF 是△CDE 的中线，如果△DEF 的面积是2，那么△ABC 的面积为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18题型二 三角形的高线例4 如图，已知△ABC 和△EFD ，在图中分别画出这两个三角形的三条高．D CB AM CB AF EDCBA CBAFE D例5 如图，△ABC 中，高BE 和CH 的交点为O ，若AC ＝6，BE ＝3，则AB ·CH 的值为_______．题型三 三角形的角平分线例6 如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的角平分线，已知∠ABC ＝80°，则∠DBC ＝_________°例7 如图，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是（ ) A ．AD 是△ABC 的角平分线 B ．CE 是△ACD 的角平分线C ．∠3＝21∠ACB D ．CE 是△ABC 的角平分线例8 如图，AD 是△ABC 的角平分线，点P 为AD 上一点，PM ∥AC 交AB 于M ，PN ∥AB 交AC 于N ，求证：P A 平分∠MPN ．O EHCBAD CBA 4321EDC B A NMPDCBA【跟踪练习】1. 三角形的角平分线、中线、高线都是（ ）A ．线段B ．射线C ．直线D ．以上都有可能2. 不一定在三角形内部的线段是（ ）A ．三角形的角平分线B ．三角形的中线C ．三角形的高D ．三角形的中位线3. 可以把一个三角形分成面积相等的两个部分的线段是（ ）A ．三角形的角平分线B ．三角形的中线C ．三角形的高D ．无法确定4. 在直角三角形中，∠ACB ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，CD 是AB 边上的中线，则AC 边上的高为___________cm ，△BCD 的面积＝__________cm ²．5. （难）如图，在△ABC 中，E 是BC 上一点，EC ＝2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC 、△ADF 、△BEF 的面积分别为S △ABC 、S △ADF 、S △BEF ，且S △ABC ＝12，则S △ADF －S △BEF 的值是_____________6. （难）△ABC 中，AB ＝AC ，DB 为△ABC 的中线，且BD 将△ABC 的周长分为12与15两部分，求三角形各边长．A D CBFEADCB当堂检测1. 如图，过△ABC 的顶点A 作BC 边的高，以下作法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．2. 已知等腰三角形的两边长分别是5和6，则该等腰三角形的周长为（ ）A ．11B . 16C .17D .16或173. 一个三角形的两边长分别是3和7，且第三条边的长为整数，则三角形周长的最大值为（ ）A. 15B . 16C . 18D . 194. 如图，△ABC 中：（1）边BC 上的高是_____________；边BC 上的高也表示点__________到__________的距离； （2）若BC ＝6，AD ＝4，AC ＝8，则点B 到AC 的距离为_____________．5. 已知实数x ，y 满足084=-+-y x ，求分别以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长．DACBDACBDACB DAC BED CB A课后回顾1. 填空题：（1）由___________三条线段___________所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做________；相邻两边的公共端点叫做____________，相邻两边所组成的角叫做__________，简称：___________．（2）如图所示，顶点式A 、B 、C 的三角形，记作___________，读作____________，其中，顶点A 所对的边__________还可用___________表示．（3）由“连接两点的线中，线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质_________________ ________________，由它还可退出：三角形两边之差____________．（4）对于△ABC ，若a ≥b ，则a ＋b ______c ，同时a －b ______c ；又可写成_________＜c ＜________． （5）若一个三角形的三边长分别是4cm 或5cm ，则第三条边x 的长度的取值范围是____________，其中x 可以取的整数值为____________． 2. 填空题：（1）从三角形一个顶点向它的对边画_____________，以__________和__________为端点的线段叫做三角形这边上的高．若CD 是△ABC 中AB 边上的高，则∠ADC _________∠BDC ＝___________，C 点到对边AB 的距离是__________的长．（2）连接三角形的一个顶点和它___________的___________叫做三角形这边上的中线．若BE 是△ABC 中AC 边上的中线，则AE __________EC ＝21___________． （3）三角形一个角的____________与这个角的对边相交，以这个角的________和________为端点的线段叫做三角形的角平分线．一个角的平分线和三角形的角平分线的区别是___________________________．若AD 是△ABC 的角平分线，则∠BAD _______________∠CAD ＝21___________；或∠BAC ＝2__________＝2_________．CBA11.2 与三角形有关的角知识架构三角形的内角和定理三角形的内角及内角和内角和定理相关推论与三角形有关的角三角形外角的定义三角形的外角及外角和三角形的外角和三角形外角定理第一节 三角形的内角及内角和知识要点一、三角形内角和定理1. 三角形内角和定理：三角形的内角和是180°；2. 三角形内角和定理的证明；二、直角三角形的性质与判定1. 直角三角形可以用“Rt △”表示，比如“直角三角形ABC ”可表示为“Rt △ABC ”；2. 直角三角形的两个锐角互余；3. 有两个角互余的三角形是直角三角形．4. 常见的直角三角板为：30°、60°、90° ；45°、45°、90°．AB C DEEDC B A典例分析题型一 三角形内角和定理例1 若△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝65°，则∠C 等于（ ）A ．65°B ．55°C ．45°D ．75°例2 在△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝2∶3∶4，则∠C 的值为（ ）A ．40°B ．80°C ．60°D ．50°例3 如图，直线a ∥b ，若∠1＝60°，∠2＝40°，则∠3等于_____________例4 如图，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线BE ，CD 相交于F ，若∠ABC ＝42°，∠A ＝60°，则 ∠BFC 的度数为（ ）A ．118°B ．119°C ．120°D ．121°例5 如图，在△ABC 中，∠C ＝70°，沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2＝（ ）A ．140°B ．180°C ．250°D ．360°ba 321FEDC BA 21CB A【跟踪练习】6. 如图，一面小红旗，其中∠A ＝60°，∠B ＝30°，则∠BCD ＝______________．7. 在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，若∠BOC ＝150°，则∠BAC ＝______________．8. 如图所示，有一艘渔船上午9时在A 处朝正东方向航行，在A 处测得灯塔C 在北偏东60°方向上，行驶2小时后到达B 处，在B 处测得灯塔C 在北偏东15°方向上，试求△ABC 的各内角及∠CBD 的度数．题型二 直角三角形的性质与判定例6 如图，∠C ＝∠D ＝90°，AD ，BC 相交于O 点，思考下列问题：（1）找出图中所有的直角三角形，并用符号正确表示：____________________________； （2）试写出图中∠1和∠2的关系，并说明理由．DCBAOCBA北北15°60°N MDC BAOD21C BA例7 如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，若∠1＝∠B ，∠A ＝∠2．（1）求证：△ABC 是直角三角形； （2）线段CD 是斜边上的高吗？说明理由．例8 在Rt △ABC 中，∠B 是直角，∠C ＝22°，那么∠A 的度数是（ ）A ．22°B ．58°C ．68°D ．112°例9 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，EF ∥AB ，∠1＝50°，则∠B 的度数为（ ）A ．50°B ．60°C ．30°D ．40°【跟踪练习】1. 如图，直线21l l ∥，3l ⊥4l ，∠1＝44°，那么∠2的度数为（ ）A ．46°B ．44°C ．36°D ．22°2. 如图，AB ∥CD ，EP 平分∠FEB ，FP 平分∠FED ，判断△EFP 的形状，并说明理由．D21C BAFE C BA l 4l 2l 3l 121PFEDCBA 13. 已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，分别交CD 、AC 于点F 、E ，求证：∠CFE ＝∠CEF ．题型三 常见的直角三角板例10 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角形的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是_________________．例11 将一副三角尺按如图所示的方式叠放（两条直角边重合），则∠α的度数是______________．【跟踪练习】1. 将一副直角三角板如图所置，则∠1的度数为（ ）FEDCBA1α45°30°1第二节 三角形的外角及其外角和知识要点一、三角形的外角1. 定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对，在计算三角形外角和时，只计算其中三个，即每个顶点取一个.2. 三角形的外角和：三角形的外角和等于360°． 二、三角形的外角定理三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．典例分析题型一 三角形的外角例1 如图，∠1，∠2，∠3是△ABC 的三个外角，猜想∠1＋∠2＋∠3的度数，并证明．例2 求下列各图中x 的值：例3 如图，AB ∥CD ，∠A ＝40°，∠D ＝45°，求∠C 和∠AED 的度数．321CBAx °80°60°x °70°40°x °140°135°(x +15)°x °ED CBA例4 已知：如图，∠C ＝20°，∠E ＝35°，∠BDF ＝117°，求∠A 与∠EFD 的度数．例5 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，FD ⊥BC ，DE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，∠EDF ＝70°，求∠AFD 的度数．【跟踪练习】1. 如图，△ABC 的外角是（ ） A ．∠EAB 和∠EADB ．∠EAB 和∠DACC ．∠EAB 和∠EAD ，∠DACD ．以上说法都不对2. 如图，∠ACD 是△ABC 的外角，CE 平分∠ACD ，若∠A ＝60°，∠B ＝40°，则∠ECD 等于（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°FEDCBAFE D CBAEDCBAEDC B A3. 如图，∠A ＝50°，∠ABO ＝28°，∠ACO ＝32°，则∠BDC ＝____________，∠BOC ＝___________．4. 如图，把△ABC 沿虚线剪一刀．若∠A ＝48°，求∠1＋∠2的度数．当堂检测1. 在△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝60°，则∠C ＝______________．2. 已知在△ABC 中，∠C ＝∠A ＋∠B ，则△ABC 一定是_____________三角形．3. △ABC 中，∠B ＝∠C ＝2∠A ，则△ABC 的最大外角等于_________度．4. 如图，AD ⊥BC ，⊥1＝⊥2，⊥C ＝65°，求⊥BAC ．5. 如图，CE 是⊥ABC 的外角⊥ACD 的平分线，且CE 交BA 的延长线于点E ，求证：⊥BAC ＝⊥B ＋2⊥E ．OD CB A21CBA21DCBA课后回顾1. 填空：(1)三角形的内角和性质是____________________________________________________.(2)三角形的内角和性质是利用平行线的______与______的定义，通过推理得到的．它的推理过程如下：已知：△ABC ，求证：∠BAC ＋∠ABC ＋∠ACB ＝______． 证明：过A 点作______∥______，则∠EAB ＝______，∠F AC ＝______． (___________，___________) ∵∠EAF 是平角，∴∠EAB ＋______＋______＝180°．( )∴∠ABC ＋∠BAC ＋∠ACB ＝∠EAB ＋∠______＋∠______．( ) 即∠ABC ＋∠BAC ＋∠ACB ＝______．2．填空：(1)三角形的一边与_________________________________________叫做三角形的外角． 因此，三角形的任意一个外角与和它相邻的三角形的一个内角互为______． (2)利用“三角形内角和”性质，可以得到三角形的外角性质? 如图，∵∠ACD 是△ABC 的外角， ∴∠ACD 与∠ACB 互为______， 即∠ACD ＝180°－∠ACB ．① 又∵∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝______， ∴∠A ＋∠B ＝______．②由①、②，得∠ACD ＝______＋______． ∴∠ACD ＞∠A ，∠ACD ＞∠B由上述(2)的说理，可以得到三角形外角的性质如下：三角形的一个外角等于____________________________________________________. 三角形的一个外角大于____________________________________________________.FECB ADC B A3． (1)已知：如图，∠1、∠2、∠3分别是△ABC 的外角，求：∠1＋∠2＋∠3．(2)结论：三角形的外角和等于______．5. 已知：如图，BE 与CF 相交于A 点，试确定∠B ＋∠C 与∠E ＋∠F 之间的大小关系，并说明你的理由．6. 已知：如图，O 是△ABC 的内角∠ABC 和外角∠ACE 的平分线的交点．(1)若∠A ＝46°，求∠BOC ；(2)若∠A ＝n °，用n 的代数式表示∠BOC 的度数．321CBA FECBA OEC B A11.3多边形及其内角和知识架构多边形、凸多边形、正多边形的概念多边形及其相关概念多边形的对角线多边形及其多边形的内、外角的定义内角和多边形的内角和多边形的内、外角和多边形的外角和第一节多边形及其相关概念知识要点三、多边形及其相关概念3.多边形：在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成封闭的图形叫做多边形；4.n边形：如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形；5.多边形的内角：多边形相邻两条边组成的角叫做它的内角．6.多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．7.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．8.凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．四、正多边形的概念定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．特别地，正三角形又叫做等边三角形；正四边形又叫正方形．典例分析题型一多边形及其相关概念例1 如图，下列图形是多边形的有_____________个．例2 把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是_____________________题型二多边形的对角线例3 从五边形一个顶点出发，可以引____________条对角线，可以把五边形分成_________个三角形：从八边形一个顶点出发，可以引____________条对角线，可以把五边形分成_________个三角形．例4 观察图形，并阅读图形下面的相关文字：三角形的对角线有0条，四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条，六边形的对角线有9条．通过分析上面的材料，请你说说十边形的对角线有多少条？你能总结出n边形的对角线有多少条吗？题型三 正多边形例5 下列图形中，是正多边形的是（ ）A ．等腰三角形B ．长方形C ．正方形D ．五边都相等的五边形例6 如图，△ABC ，△ADE 及△EFG 都是等边三角形，D 和G 分别为AC 和AE 的中点，若AB ＝4，则图形ABCDEFG 外围的周长是_____________．题型四 多边形的综合例7 如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉几根木条，请画出相应木条所在的线段．例8 在平面直角坐标系xOy 中，正四边形ABCD 的顶点A 位于坐标（1，0），顶点B 位于坐标（0，3），点C 和点D 都在第一象限内，请试着通过画出图象，来猜测C 、D 的坐标分别为_________，__________．GFE DCBA【跟踪练习】9.画出下列多边形的全部对角线．10.一个多边形有14条对角线，那么这个多边形的边数是_____________11.一个多边形锯掉一个角之后变成5边形，那么这个多边形是_______________12.下列说法正确的是：___________________①五个内角都相等的五边形是正五边形；②钝角三角形可能是正三角形；③四条边相等的四边形是正四边形；④每个外角都相等且每条边都相等的多边形是正多边形．第二节多边形的内角和知识要点三、多边形的内角和n边形的内角和公式：180n，例：六边形可从一个顶点画出3条对角线，共切割成4个三角形，(－•)2每个三角形内角和180，4个三角形内角和共720°．四、多边形的外角和定理任意多边形的外角和都等于360°．典例分析题型一已知边数求内角和例1 （1）四边形的内角和为____________；（2）10边形的内角和为____________．题型二已知内角和求边数例2 若一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为__________．例3 若一个多边形的内角和为360°，则这个多边形为__________边形．题型三 利用内角和求角度 例4 求下列图形中的x 的值．例5 如图，在五边形ABCDE 中，∠A ＋∠B ＋∠E ＝300°，DP ，CP 分别平分∠EDC ，∠BCD ，求∠P 的度数．题型三 外角和定理的运用例6 多边形的外角和等于_____________．例7 正多边形的一个外角等于20°，则这个多边形的边数是_____________．例8 如图是由射线AB ，BC ，CD ，DE ，EA 组成的平面图形，已知∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝300°，则∠5＝____________．例9 正十边形的一个内角度数为____________．x －30°xxx ＋30°60°PEDBCAED C BA54321例10 已知正多边形的一个内角是150°，则这个多边形是___________边形．【跟踪练习】6. 四边形的内角和度数为（ ）A ．180°B ．270°C ．360°D ．540°7. 若一个多边形的内角和小于它的外角和，则这个多边形的边数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68. 若一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形的边数是（ ）A ．10B ．9C ．8D ．79. 九边形的外角和为___________．10. 一个多边形的每个外角都等于45°，则其内角和为___________°． 11. 求下图中，x 、y 的值．xx13060°140°125°y ED CBA82°73°x当堂检测1. 一个多边形从一个顶点最多能引出三条对角线，这个多边形是（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形2. 六边形的内角和是（ ）A ．360°B ．540°C ．720°D ．900°3. 一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是___________．4. 多边形每增加一条边，内角和增加____________．5. 已知四边形有一组对角互补，则另一组对角之和等于______________．6. 一个多边形的每个内角都相等，且每个内角比它相邻的外角大36°，求这个多边形的边数．7. 如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形DBCE 的内部．（1）若∠A ＝50°，求∠BDA ＋∠CEA 的度数；（2）若∠A ＝α，猜想∠BDA ＋∠CEA 与α有怎样的关系？并说明理由．DECBA课后回顾1. （1）平面内，由____________________________________________________________叫做多边形．组成多边形的线段叫做______．如果一个多边形有n 条边，那么这个多边形叫做______．多边形____________叫做它的内角，多边形的边与它的邻边的______组成的角叫做多边形的外角，连接多边形________________的线段叫做多边形的对角线．（2）画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在______，那么这个多边形称作凸多边形． （3）各个角______，各条边______的______叫做正多边形．2．（1）n 边形的内角和等于____________．这是因为，从n 边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将此n 边形分为______个三角形．而这些三角形的内角和的总和就是此n 边形的内角和，所以，此n 边形的内角和等于180°×______． （2）请按下面给出的思路，进行推理填空．如图，在n 边形A 1A 2A 3…A n －1A n 内任取一点O ，依次连结______、______、______、……、______、______．则它们将此n 边形分为______个三角形，而这些三角形的内角和的总和，减去以O 为顶点的一个周角就是此多边形的内角和．所以，n 边形的内角和＝180°×______－( )＝( )×180°．A 4A nA n -1A n -2A 3A 2A 1OA 4A nA n -1A n -2A 3A 2A 111.4 专题训练——运用数学模型解决问题知识要点模型一 飞镖模型典例分析例1 如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A ＝35°，求∠BDC 的度数．变1 如图，∠O ，∠1，∠2，∠P 之间满足怎样的数量关系？证明你的结论．BAD 2C121BDO C PA变2 （1）如图1，有一块直角三角板XYZ 放置在⊥ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．⊥ABC 中，⊥A ＝30°，则⊥ABC ＋⊥ACB ＝___________，⊥XBC ＋⊥XCB ＝___________．（2）如图2，改变直角三角板XYZ 的位置，使三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 仍然分别经过B 、C ，那么⊥ABX ＋⊥ACX 的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出⊥ABX ＋⊥ACX 的大小．AB CXYZZYXCB A知识要点模型二 双角平分线模型典例分析例1 已知△ABC ．（1）如图1，若P 点为∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，试说明：∠P ＝21∠A ＋90° （2）如图2，若P 点为∠ABC 和外角∠ACD 的角平分线的交点，试说明：∠P ＝21∠A （3）如图3，若P 点为外角∠CBD 和∠BCE 的角平分线的交点，试说明：∠P ＝°90－21∠APCBADAC PB PDE C B A例2 如图，在四边形ABCD 中，⊥A ＋⊥D ＝α，⊥ABC 的平分线与⊥BCD 的平分线交于点P ，求⊥P 的度数．变1 如图，在⊥ABC 中，⊥A =m °，⊥ABC 和⊥ACD 的平分线交于点A 1，得⊥A 1；⊥A 1BC 和⊥A 1CD 的平分线交于点A 2，得⊥A 2；…⊥A 2012BC 和⊥A 2012CD 的平分线交于点A 2013，则⊥A 2013＝_______度．PDCBADC B AA 2A 1知识要点模型三 内外角模型典例分析例1 如图，在△ABC 中，∠C ＝70°，沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2＝（ ）A ．140°B . 180°C . 250°D . 360°例2 如图，将∠BAC 沿DE 向∠BAC 内折叠，使AD 与A ’D 重合，A ’E 与AE 重合，若∠A ＝30°，则∠1＋∠2＝（ ） A . 50°B . 60°C . 45°D . 以上都不对变1 如图，把多边形ABCDE 沿虚线剪一刀．若∠A ＝70°，求∠1＋∠2的度数．CBA21A'21EDCB A21E DCBA变2 （1）如图①②，试探究其中∠1，∠2与∠3，∠4之间的数量关系；（2）如果我们把∠1，∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式； （3）用你发现的结论解决下列问题：如图③，AE ，DE 分别是四边形ABCD 的外角∠NAD ，∠MDA 的平分线，∠B ＋∠C ＝240°，求∠E 的度数．① ② ③变3 Rt ⊥ABC 中，⊥C ＝90°，点D 、E 分别是⊥ABC 边AC 、BC 上的点，点P 是一动点．令⊥PDA ＝⊥1，⊥PEB ＝⊥2，⊥DPE ＝⊥α．（1）若点P 在线段AB 上，如图（1）所示，且⊥α＝50°，则⊥1＋⊥2＝___________°；（2）若点P 在边AB 上运动，如图（2）所示，则⊥α、⊥1、⊥2之间的关系为：______________；EMNDCBA 43214321PCE D A B21αα21PE D C BA知识要点模型四 对顶角模型典例分析例1 如图，试求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数．例2 试着求五角星ABCDE 五个角的度数之和．例3 如图所示，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G 的度数．变1 如图所示，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．CEDFBA CEDBAH G EC FDBA变2 如图所示，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G 的度数．ECFDBAG EBACFD。
八年级上册数学知识点归纳总结
八年级上册数学知识点归纳总结一、三角形（一）三角形的相关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三角形的边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边。
3、三角形的顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。
4、三角形的内角：三角形相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
（二）三角形的分类1、按角分类：（1）锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
（2）直角三角形：有一个角是直角的三角形。
（3）钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
2、按边分类：（1）不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
（2）等腰三角形：有两条边相等的三角形。
其中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。
（3）等边三角形：三条边都相等的三角形，也叫正三角形。
（三）三角形的三边关系1、三角形任意两边之和大于第三边。
2、三角形任意两边之差小于第三边。
（四）三角形的内角和定理三角形三个内角的和等于 180°。
（五）三角形的外角1、三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
3、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
二、全等三角形（一）全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（二）全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等。
2、全等三角形的对应角相等。
（三）全等三角形的判定1、三边分别相等的两个三角形全等（SSS）。
2、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）。
3、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）。
4、两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（AAS）。
5、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）。
三、轴对称（一）轴对称图形如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
初二数学知识点归纳
初二数学知识点归纳临近考试了，各科都会整理好知识点复习。
接下来是小编为大家整理的初二数学知识点归纳，希望大家喜欢!初二数学知识点归纳一第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
4、中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
5、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
7、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
8、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
9、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
10、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
11、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形。
12、平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13、公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
⑶多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°。
⑸多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形。
②边形共有条对角线。
第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1、基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
八年级上数学知识点归纳笔记
人教版八年级上册数学知识点第十一章全等三角形1．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等。
2．全等三角形的判定：三边相等(SSS)、两边和它们的夹角相等（SAS）、两角和它们的夹边（ASA）、两角和其中一角的对边对应相等（AAS）、斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。
3．角平分线的性质：角平分线平分这个角，角平分线上的点到角两边的距离相等4．角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。
5．证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题).第十二章轴对称1．如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
2．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
3．角平分线上的点到角两边距离相等。
4．线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
5．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
6．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
7．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。
8．点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）点（x,y）关于原点轴对称的点的坐标为（-x,-y）9．等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。
10．等腰三角形的判定：等角对等边。
11．等边三角形的三个内角相等，等于60°，12．等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。
人教版八年级数学-三角形-知识点+考点+典型例题(含答案)
第七章三角形【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。
2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。
三角形任意两边之差小于第三边。
3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。
注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。
但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。
④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。
（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。
）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。
（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
人教版八年级数学-三角形-知识点+考点+典型例题(含答案)
第七章三角形【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
②三角形按边分为两类:等腰三角形和不等边三角形。
2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短)根据公理“两点之间,线段最短”可得:三角形任意两边之和大于第三边.三角形任意两边之差小于第三边。
3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线,这条垂线段叫做三角形的高。
注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线,三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。
但三角形的高却有不同的位置:锐角三角形的三条高都在三角形的内部;直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部.④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。
（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点,锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线)的交点在三角形的外部.）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180°引申:①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角;③一个三角中至少有两个内角是锐角。
（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
八年级数学上册第十一章三角形知识点总结归纳完整版(带答案)
八年级数学上册第十一章三角形知识点总结归纳完整版单选题1、下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）A．1，1，1B．1，1，8C．1，2，2D．2，2，2答案：D分析：若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成．A、1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；B、1+1+5<8，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误；C、1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；D、2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确；故选：D．小提示：本题考查了两点间线段最短，类比三条线段能组成三角形的条件，任两边的和大于第三边，因而较短的两边的和大于最长边即可，四条线段能组成四边形，作三条线段的和大于第四条边，因而较短的三条线段的和大于最长的线段即可．2、要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（）A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行答案：C分析：用夹角可以划出来的两条线，证明方案Ⅰ和Ⅱ的结果是否等于夹角，即可判断正误方案Ⅰ：如下图，∠BPD即为所要测量的角∵∠HEN=∠CFG∴MN∥PD∴∠AEM=∠BPD故方案Ⅰ可行方案Ⅱ：如下图，∠BPD即为所要测量的角在△EPF中：∠BPD+∠PEF+∠PFE=180°则：∠BPD=180°−∠AEH−∠CFG故方案Ⅱ可行故选：C小提示：本题考查平行线的性质和判定，三角形的内角和；本题的突破点是用可画出夹角的情况进行证明3、刘零想做一个三角形的框架，她有两根长度分别为6cm和8cm的细木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么可以分成两段的是（）A．6cm的木条B．8cm的木条C．两根都可以D．两根都不行答案：B分析：利用三角形的三边关系可得答案．解：利用三角形的三边关系可得应把8cm的木条截成两段，如将8cm的线段分成3cm和5cm或4cm和4cm，所截成的两段线段之和大于6，所以，可以，而6cm的线段无论如何分，分成的两段线段之和都小于8，所以，不可以．故选：B．小提示：此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．4、如图，若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（）A．10B．9C．8D．7答案：D分析：先根据多边形的内角和公式（n−2)·180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．解：∵五边形的内角和为(5−2)×180°=540°,∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°,∴正五边形的每一个外角为180°−108°=72°,如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=180°−2×72°=36°,360°÷36°=10,∵已经有3个五边形，∴10−3=7,即完成这一圆环还需7个五边形．故选：D．小提示：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．5、已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，连接DE、BE、DC，下列各式中正确的是（）．A．S△ADES△ABC =ADABB．S△ADES△ABC=AEACC．S△ADCS△ABC =ADABD．S△ADES△EDC=AEAC答案：C分析：A选项，设点E、C到AB的距离分别为ℎ1，ℎ2，则ℎ1<ℎ2，根据三角形面积公式进行判断即可；B选项设点D、B到AC的距离分别为x，y，则x≠y，x<y，根据三角形面积公式进行判断即可；C选项，设点C到AB距离为h，△ADC=12AD⋅ℎ，S△ABC=12AB⋅ℎ，根据三角形面积公式进行判断即可；D选项，设点D到AC距离为ℎ3，则S△ADE=12AE⋅ℎ3，S△EDC=12CE⋅ℎ3，根据三角形面积公式进行判断即可A选项：设点E、C到AB的距离分别为ℎ1，ℎ2，则ℎ1<ℎ2，S△ADE=12AD⋅ℎ1，S△ABC=12AB⋅ℎ2，∴S△ADES△ABC =12AD⋅ℎ112AB⋅ℎ2=AD⋅ℎ1AB⋅ℎ2≠ADAB，故A错误；B选项：设点D、B到AC的距离分别为x，y，则x≠y，x<y，S△ADE=12AE⋅x，S△ABC=12AC⋅y，S△ADES△ABC=12AE⋅x12AC⋅y=AE⋅xAC⋅y≠AEAC，故B错误；C选项：设点C到AB距离为h，△ADC=12AD⋅ℎ，S△ABC=12AB⋅ℎ，∴S△ADCS△ABC =12AD⋅ℎ12AB⋅ℎ=ADAB，故C正确；D选项：设点D到AC距离为ℎ3，则S△ADE=12AE⋅ℎ3，S△EDC=12CE⋅ℎ3，∴S△ADES△EDC =12AE⋅ℎ312CE⋅ℎ3=AECE=AEAC−AE≠AEAC，故D错误.故选C．小提示：本题考查了与三角形的高有关的计算，掌握三角形的高的定义，根据三角形的面积计算是解题的关键．6、一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（）A．15或16或17B．15或17C．16或17D．16或17或18答案：A分析：分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案.解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边，所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形，如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同，所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形，如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边，所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形，故选：A.小提示：本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的关键是清晰的分类讨论.7、当n边形边数增加2条时，其内角和增加（）A．180°B．360°C．540°D．720°答案：B分析：根据n边形的内角和定理即可求解．解：原来的多边形的边数是n，则新的多边形的边数是n＋2．（n＋2−2）•180−（n−2）•180＝360°．故选：B．小提示：本题主要考查了多边形的内角和定理，多边形的边数每增加一条，内角和就增加180度．8、在△ABC中，∠A=12∠B=13∠C，则△ABC为（）三角形．A．锐角B．直角C．钝角D．等腰答案：B分析：根据∠A=12∠B=13∠C分别设出三个角的度数，再根据三角形的内角和为180°列出一个方程，解此方程即可得出答案．∵∠A=12∠B=13∠C∴可设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x根据三角形的内角和可得：x+2x+3x=180°解得：x=30°∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°因此△ABC是直角三角形故答案选择B．小提示：本题主要考查的是三角形的基本概念．9、如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=( )A．35°B．95°C．85°D．75°答案：C分析：根据CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，得出∠ACD=120°；再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和即可求解.解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°∴∠ACD=2∠ACE=120°∵∠ACD=∠B+∠A∴∠A=∠ACD-∠B=120°-35°=85°故选:C.小提示：本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.10、能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是（）．A．B．C．D．答案：C分析：先将每个图形补充成三角形，再利用三角形的外角性质逐项判断即得答案．解：A、如图1，∠1是锐角，且∠1=α+β，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；B、如图2，∠2是锐角，且∠2=α+β，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；C、如图3，∠3是钝角，且∠3=α+β，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题，故本选项符合题意；D、如图4，∠4是锐角，且∠4=α+β，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意．故选：C．小提示：本题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．填空题11、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______．答案：180度##180°分析：如图，连接BC,记CD,BE的交点为G,先证明∠D+∠E=∠GBC+∠GCB,再利用三角形的内角和定理可得答案.解：如图，连接BC,记CD,BE的交点为G,∵∠D+∠E=180°−∠DGE,∠GBC+∠GCB=180°−∠BGC,∠DGE=∠BGC,∴∠D+∠E=∠GBC+∠GCB,∴∠A+∠ABG+∠GBC+∠GCB+∠ACG=180°,∴∠A+∠ABG+∠ACG+∠D+∠E=180°,所以答案是：180°小提示：本题考查的是三角形的内角和定理，作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键.12、如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE交AC于点F，若∠DFC=3∠B=117°，∠C=∠D，则∠BED=________．答案：102°分析：首先根据∠DFC＝3∠B＝117°，可以算出∠B＝39°，然后设∠C＝∠D＝x°，根据外角与内角的关系可得39＋x＋x＝117，再解方程即可得到x＝39，再根据三角形内角和定理求出∠BED的度数．解：∵∠DFC＝3∠B＝117°，∴∠B＝39°，设∠C＝∠D＝x°，39＋x＋x＝117，解得：x＝39，∴∠D＝39°，∴∠BED＝180°−39°−39°＝102°．所以答案是：102°．小提示：此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．13、已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，若BD=2，CD=1，则DE的长为______．答案：0.5或1.5分析：根据题意作出草图，分类讨论即可求解．解：AD、AE分别是△ABC的高和中线，BD=2，CD=1，如图，当△ABC是钝角三角形时，∴BC=BD−CD=1∴DE=BD−BE=BD−12BC=2−12=32当△ABC是锐角三角形时，∵BC=BD+DC=2+1=3∴BE=12BC=32∴DE=BD−BE=2−32=12当△ABC是直角三角形时，CD=0，不合题意，所以答案是：12或32 小提示：本题考查了三角形的高线，中线的定义，线段的和差关系，分类讨论是解题的关键．14、一个多边形外角和是内角和的29，则这个多边形的边数为________． 答案：11分析：多边形的内角和定理为(n −2)×180°，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n 的值． 解：根据题意可得：29×(n −2)×180°=360°， 解得：n =11 ，所以答案是：11．小提示：本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．记忆理解并应用这两个公式是解题的关键．15、如图，△ABC 中，∠A ＝60°，∠B ＝40°，DE ∥BC ，则∠AED 的度数是______．答案：80°分析：根据三角形内角和定理可得∠C =80°，根据平行线的性质即可得答案．∵∠A ＝60°，∠B ＝40°，∴∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B =80°，∵DE ∥BC ，∴∠AED ＝∠C ＝80°，所以答案是：80°小提示：本题考查三角形内角和定理及平行线的性质，任意三角形的内角和等于180°；两直线平行，同位角相等；熟练掌握相关性质及定理是解题关键．解答题16、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多1，AB与AC的和为11(1)求AB、AC的长；(2)求BC边的取值范围．答案：(1)AB=6，AC=5(2)1＜BC＜11分析：（1）根据三角形中线的定义，BD=CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．（2）根据三角形三边关系解答即可．（1）解：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝(AB+AD+BD)−(AC+AD+CD)=AB−AC=1，即AB−AC=1①，又AB+AC=11②，①+②得：2AB=12，解得AB=6，②−①得：2AC=10，解得AC=5，∴AB和AC的长分别为：AB=6，AC=5；（2）∵AB=6，AC=5；∴1＜BC＜11．小提示：本题考查了三角形的三边关系，三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解是解题的关键．17、如图，在△ABC中，CD平分∠BCA，E为CD延长线上一点，EF⊥AB于点F，已知∠ACB=70°，∠E= 30°．求∠A的度数．答案：25°分析：利用垂直的定义和三角形内角和定理求出∠EDF，利用对顶角的性质求出∠CDB，再利用角平分线的定义求出∠DCB，进而利用三角形内角和定理求出∠B，∠A．解：∵EF⊥AB，∴∠EFD=90°，又∵∠E=30°，∴∠EDF=180°−∠E−∠EFD=60°，∴∠CDB=∠EDF=60°．∵CD平分∠BCA，∠ACB=70°，∴∠DCB=12∠ACB=12×70°=35°．∴∠B=180°−∠CDB−∠DCB=180°−60°−35°=85°，∴∠A=180°−∠B−∠ACB=180°−85°−70°=25°，即∠A的度数为25°．小提示：本题考查角平分线、对顶角、三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握对顶角的性质和三角形内角和定理．18、如图，在△ABC中，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC=α,∠B=β(α>β)．(1)若α=70°,β=40°，求∠DCE的度数；(2)试用α、β的代数式表示∠DCE的度数_________．答案：(1)∠DCE=15°(2)α−β2分析：（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACB的值，再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出∠DCE．（2）由（1）的解题思路即可得正确结果．（1）解：∵∠BAC=70°，∠B=40°∴∠ACB=180°−(∠BAC+∠B)=180°−(70°+40°)=70°，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE=12∠ACB=35°．∵CD是高线，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°−∠BAC=20°，∴∠DCE=∠ACE−∠ACD=35°−20°=15°．（2）解：∵∠BAC=α，∠B=β∴∠ACB=180°−(∠BAC+∠B)=180°−(α+β)，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE=12∠ACB=12×[180°−(α+β)]=90°−α+β2．∵CD是高线，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°−∠BAC=90°−α，∴∠DCE=∠ACE−∠ACD=90°−α+β2−90°+α=α−β2．小提示：本题主要考查角平分线，高线以及角的转换，掌握角平分线，高线的性质是解题的关键．。
全等三角形的判定(ASA与AAS)(知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(学生版25学年八年级数学上册
专题12.5全等三角形的判定（ASA 与AAS）（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】三角形全等的判定方法——角边角（ASA）（1）基本事实：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.（2）书写格式：如图，在△ABC 和△'''A B C 中，A A AB A B B B '∠=∠⎧⎪''=⎨⎪'∠=∠⎩ABC A B C '''∴∆≅∆【知识点二】三角形全等的判定方法——角角边（AAS）（1）基本事实：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）（2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC 和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.【知识点三】判定方法的选择（1）选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA 两角对应相等ASA AAS 两边对应相等SAS SSS（2）如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】用ASA 和AAS 证明三角形全等【例1】（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，点C 、E 在BF 上，BE CF =，AB FD ，A D ∠=∠．（1）求证：ABC DFE △≌△；（2）若50B ∠=︒，145BED ∠=︒，求D ∠的度数．【变式1】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是（）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①④【变式2】（22-23八年级上·福建龙岩·期中）如图，已知AC 与BF 相交于点E ，AB CF ∥，点E 为BF 中点，若9CF =，5AD =，则BD =．【题型2】用ASA 和AAS 证明三角形全等与三角形全等性质综合求值【例2】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在ABC 中，D 为AB 上一点，E 为AC 中点，连接DE 并延长至点F ，使得EF ED =，连CF ．（1）求证：CF AB ∥；（2）若70A ∠=︒，35F ∠=︒，BE AC ⊥，求BED ∠的度数．【变式1】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在ABC 中，,AD BC CE AB ⊥⊥，垂足分别是D 、E ，AD 、CE 交于点H ．已知10,6AE CE BE ===，则CH 的长度为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在ABC 中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，且2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上．CFD BED BAC ∠=∠=∠，ABC 的面积为18，则ABE 与CDF 的面积之和．【题型3】添加条件证明三角形全等【例3】（2023·广东·模拟预测）如图，AC BC DC EC AC BC ⊥⊥=，，，请添加一个条件，使ACE BCD ≌△△．（1）你添加的条件是______（只需添加一个条件）；（2）利用（1）中添加的条件，求证：ACE BCD ≌△△．【变式1】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在ABC 和BDE 中，再添两个条件不能．．使ABC 和BDE 全等的是（）A ．AB BD =，AE DC=B ．AB BD =，DE AC =C ．BE BC =，E C ∠=∠D ．EAF CDF ∠=∠，DE AC=【变式2】（23-24八年级上·北京平谷·期末）如图，在ABC 和CDE 中，若90ACB CED ∠=∠=︒，且AB CD ⊥，请你添加一个适当的条件，使ABC CDE △≌△．添加的条件是：（写出一个即可）．【题型4】灵活运用SSS、SAS、ASA、AAS 证明三角形全等【例4】（22-23七年级下·河北保定·期末）如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且CE BF ∥．（1）ECD 与FBD 全等吗？请说明你的理由；（2）若6AD =，2DF =，BDF V 的面积为3，请直接写出AEC △的面积．【变式1】（2024·河北邯郸·二模）ABC 如图所示，甲、乙两个三角形中和ABC 全等的是（）A ．只有甲B ．只有乙C ．甲和乙D ．都不是【变式2】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在下列各组条件中，能够判断ABC 和DEF 全等的有．①AB DE =，AC DF =，BC EF =；②AB DE =，BC EF =，B E ∠=∠；③A D ∠=∠，B E ∠=∠，AB DE =；④A D ∠=∠，AB DE =，BC EF =．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·四川凉山·中考真题）如图，点E F 、在BC 上，BE CF =，B C ∠=∠，添加一个条件，不能证明ABF DCE △△≌的是（）A ．A D ∠=∠B ．AFB DEC ∠=∠C ．AB DC =D ．AF DE=【例2】（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，AE BF ∥，AE BF =．若________，则AB CD =．请从①CE DF ∥；②CE DF =；③E F ∠=∠这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．2、拓展延伸【例1】（23-24八年级上·河北邢台·期中）在ABC 中，D 是BC 的中点．（1）如图1，在边AC 上取一点E ，连接ED ，过点B 作BM AC 交ED 的延长线于点M ，求证：CE BM =．（2）如图2，将一直角三角板的直角顶点与点D 重合，另两边分别与AC AB ，相交于点E ，F ，求证：CE BF EF +>．【例2】（22-23八年级上·全国·期末）如图1，直线l BC ⊥于点B ，90ACB ∠=︒，点D 为BC 中点，一条光线从点A 射向D ，反射后与直线l 交于点E （提示：作法线）．（1）求证：BE AC =；（2）如图2，连接AB 交DE 于点F ，连接FC 交AD 于点H ，AC BC =，求证：CF AD ⊥；（3）如图3，在（2）的条件下，点P 是AB 边上的动点，连接5ABD PC PD S = ，，，2CH =，求PC PD +的最小值．。
八年级数学上册第十一章三角形必考知识点归纳(带答案)
八年级数学上册第十一章三角形必考知识点归纳单选题1、两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，∠C=30°，AB与DF交于点M．若BC//EF，则∠BMD的大小为（）A．60°B．67.5°C．75°D．82.5°答案：C分析：根据BC//EF，可得∠FDB=∠F=45°，再根据三角形内角和即可得出答案．由图可得∠B=60°，∠F=45°，∵BC//EF，∴∠FDB=∠F=45°，∴∠BMD=180°−∠FDB−∠B=180°−45°−60°=75°，故选：C．小提示：本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键．2、如图，图中直角三角形共有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C分析：有一个角是直角的三角形是直角三角形.解：如图，直角三角形有：△ABC、△ABD、△ACD.故选C.小提示：本题考查直角三角形的定义.掌握直角三角形的定义是关键，要做到不重不漏.3、如果一个多边形内角和是外角和的4倍，那么这个多边形有（）条对角线．A．20B．27C．35D．44答案：C分析：根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解，多边形对角线的条数可以表．示成n(n−3)2解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n-2）•180°=4×360°，解得n=10．10×（10-3）÷2=35（条）．故选：C．小提示：本题考查了多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，及多边形对角线的条数公式．4、如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1=19°，则∠2的度数为（）A．41°B．51°C．42°D．49°答案：A分析：先求出正六边形的内角和外角，再根据三角形的外角性质以及平行线的性质，即可求解．解：∵正六边形的每个内角等于120°，每个外角等于60°，∴∠FAD=120°-∠1=101°，∠ADB=60°，∴∠ABD=101°-60°=41°∵光线是平行的，∴∠2=∠ABD=41°，故选A小提示：本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质以及正六边形的性质，掌握三角形的外角性质以及平行线的性质是解题的关键．5、将一副直角三角板ABC和EDF如图放置(其中∠A=60°，∠F=45°)，使点E落在AC边上，且ED//BC，则∠AEF的度数为( )A．145°B．155°C．165°D．170°答案：C分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等求出∠2，然后根据∠CEF=∠DEF -∠2计算出∠CEF，即可求出∠AEF．解：∵∠A=60°，∠F=45°，∴∠1=90°-60°=30°，∠DEF=90°-45°=45°，∵ED∥BC，∴∠2=∠1=30°，∠CEF=∠DEF-∠2=45°-30°=15°，∴∠AEF=180°-15°=165°.故选C.小提示：本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质是基础题，熟记性质是解题的关键．6、如图，在△ABC中，AB=20，AC=18，AD为中线．则△ABD与△ACD的周长之差为（）A．1B．2C．3D．4答案：B分析：利用三角形中线的定义、三角形的周长公式进行计算即可得出结果．∵在△ABC中，AD为中线,∴BD=CD．∵C△ABD=AB+BD+AD，C△ACD=AC+CD+AD，∴C△ABD−C△ACD=AB−AC=20−18=2．故选：B．小提示：本题考查三角形的中线的理解与运用能力．三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线．明确三角形的中线的定义，运用两个三角形的周长的差等于两边的差是解本题的关键．7、如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠3＝∠4D．∠1＝∠5答案：A分析：根据平行线的性质和对顶角的性质进行判断．解：A、∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，本选项说法正确；B、∵AD与AB不平行，∴∠2≠∠3，本选项说法错误；C、∵AD与CB不一定平行，∴∠3≠∠4，本选项说法错误；D、∵CD与CB不平行，∴∠1≠∠5，本选项说法错误；故选：A．小提示：本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质和对顶角的意义与性质是解题关键．8、在△ABC中，若一个内角等于另外两个角的差，则（）A．必有一个角等于30°B．必有一个角等于45°C．必有一个角等于60°D．必有一个角等于90°答案：D分析：先设三角形的两个内角分别为x，y，则可得第三个角(180°－x－y)，再分三种情况讨论，即可得到答案.设三角形的一个内角为x，另一个角为y，则第三个角为(180°－x－y)，则有三种情况：①x=|y−(180°−x−y)|⇒y=90∘或x+y=90∘②y=|x−(180∘−x−y)|⇒x=90∘或x+y=90∘③(180∘−x−y)=|x−y|⇒x=90∘或y=90∘综上所述，必有一个角等于90°故选D.小提示：本题考查三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质，分情况讨论.9、下列多边形具有稳定性的是（）A．B．C．D．答案：D分析：利用三角形具有稳定性直接得出答案．解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性，故选D．小提示：本题考查三角形的特性，牢记三角形具有稳定性是解题的关键．10、如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图△ABC的面积为75，则图中阴影部分的面积是（）A．25B．26C．30D．39答案：B分析：正ΔABC中有多种图形，将不规则图形拆分后，可归结为四种图形，每种图形都可划分为面积最小的正三角形的组合，最后正ΔABC全部由小正三角形组成，根据阴影部分小正三角形的个数所占全部小正三角形个数比例与面积相乘即可得出答案．如图所示，将不规则部分进行拆分，共有四种图形：正六边形、较大正三角形、平行四边形、小正三角形；其中一个正六边形可以分成6个小正三角形，较大正三角形可以分成4个小正三角形，平行四边形可以分成6个小正三角形，由图可得：正六边形有13个，可分成小正三角形个数为：13×6=78（个）；较大正三角形有26个，可分成小正三角形个数为：26×4=104（个）；平行四边形有5个，可分成小正三角形个数为：5×6=30（个）；小正三角形个数为13个；∴一共有小正三角形个数为：78+104+30+13=225（个），∴图中阴影部分面积为：75×78=26，225故选：B．小提示：题目主要考查创新思维，将其进行分类分解是解题难点．填空题11、如图，在三角形ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足为D，AB=3，AC=4，BC=5，则AD=______．答案：2.4分析：根据面积相等可列式12AB·AC=12BC·AD，代入相关数据求解即可．解：∵AB⊥AC，AD⊥BC，∴12AB·AC=12BC·AD∵AB=3，AC=4，BC=5，∴AD=AB·ACBC =125=2.4故答案諀：2.4小提示：此题主要考查了运用等积关系求线段的长，准确识图是解答本题的关键．12、如图，射线AB与射线CD平行，点F为射线AB上的一定点，连接CF，点P是射线CD上的一个动点（不包括端点C），将△PFC沿PF折叠，使点C落在点E处．若∠DCF=62°，当点E到点A的距离最大时，∠CFP=_____．答案：59°##59度分析：利用三角形三边关系可知：当E落在AB上时，AE距离最大，利用AB∥CD且∠DCF=62°，得到∠CFA=62°，再根据折叠性质可知：∠EFP=∠CFP，利用补角可知∠EFP+∠CFP=118°，进一步可求出∠EFP=∠CFP=59°．解：利用两边之和大于第三边可知：当E落在AB上时，AE距离最大，如图：∵AB∥CD且∠DCF=62°，∴∠CFA=62°，∵△PCF折叠得到△PEF，∴∠EFP=∠CFP，∵∠EFP+∠CFP=118°，∴∠EFP=∠CFP=59°．所以答案是：59°小提示：本题考查三角形的三边关系，平行线的性质，折叠的性质，补角，角平分线，解题的关键是找出：当E落在AB上时，AE距离最大，再解答即可．13、三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分，而三条中线交于一点，这一点叫此三角形的_________心．答案：重分析：根据三角形的重心的定义即可求解．三角形的三条中线交于一点，这一点叫此三角形的重心；所以答案是：重．小提示：本题主要考查了三角形的重心，重心是三角形三边中线的交点；三角形的中线将三角形的面积分成了相等的两部分，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1．14、如图，BD是△ABC的中线，AB＝5cm，BC＝3cm，那么△ABD的周长比△CBD的周长多_____．答案：2cm分析：根据三角形的中线的概念得到AD=DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=DC，∴△ABD的周长-△CBD的周长=（AB+AD+BD）-（BC+DC+BD）=AB-BC=5-3=2（cm），∴△ABD的周长比△CBD的周长多2cm，所以答案是：2cm．小提示：本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．15、如图，孔明在驾校练车，他由点A出发向前行驶200米到B处，向左转45°．继续向前行驶同样的路程到C 处，再向左转45°．按这样的行驶方法，回到点A总共行驶了 __．答案：1600米##1600m分析：根据题意可知汽车所走的路程正好是一个外角为45°的多边形的周长，求出多边形的周长即可．解：根据题意得：360°÷45°=8，则他走回点A时共走的路程是8×200=1600（米)．故回到A点共走了1600米．所以答案是：1600米．小提示：本意主要考查了多边形的外角和定理，即任意多边形的外角和都是360°．解答题16、如图，已知在△ABC中，∠B=30°,∠C=50°，AE是BC边上的高，AD是∠BAC的角平分线，求∠DAE的度数．答案：10°分析：先根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE的度数即可得到答案．解：∵∠B=30°，∠C=50°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=1∠BAC=50°，2∵AE是BC边上的高，∴∠AEB=90°，∴∠BAE=90°-∠B=60°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°．小提示：本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识是解题的关键．17、如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．(1)若2∠1+∠EAB=180°，求证：EF∥BC；(2)若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．答案：(1)见解析；(2)24°分析：（1）先根据AD是△ABE的角平分线得出∠EAB=2∠GAF，，再由2∠1+∠EAB=180°得出∠AGF+∠GAF=90°，进而可得出结论；（2）根据三角形内角和定理及外角的性质求解即可．（1）证明：∵AD是△ABE的角平分线，∴∠EAB=2∠GAF，∵2∠1+∠EAB=180°，∴2∠1+2∠GAF=180°，∵∠1=∠AGF，∴2∠AGF+2∠GAF=180°，∴∠AGF+∠GAF=90°，∴∠AFG=90°，∵BC⊥AB，∴∠AFG=∠ABC==90°，∴EF∥BC；（2）解：∵∠C＝72°，∠ABC==90°，∴∠CAB==90°-∠C==90°-72°==18°，∴∠EAB=2∠CAB=36°，∵∠AEB＝78°，∴∠ABE==180°-（∠AEB+∠EAB）==90°-（78°+36°）==66°，∴∠CBE=90°-∠ABE==90°-66°==24°．小提示：此题考查了平行线的判定及三角形的内外角性质，熟记平行线的判定定理是解题的关键．18、在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°．（1）求这个多边形的边数；（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？答案：（1）9；（2）1080º或1260º或1440º．分析：（1）设多边形的一个外角为x，则与其相邻的内角等于3x+20°，根据内角与其相邻的外角的和；是180°列出方程，求出x的值，再由多边形的外角和为360°，求出此多边形的边数为360°x（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理即可求出答案．解：（1）设每一个外角为x，则与其相邻的内角等于3x+20°，∴180°−x=3x+20°，∴x=40°，即多边形的每个外角为40°，∵多边形的外角和为360°，∴多边形的外角个数为：360°=9，40°∴这个多边形的边数为9；（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，①若剪去一角后边数减少1条，即变成8边形，∴内角和为(8−2)×180°=1080°，②若剪去一角后边数不变，即变成9边形，∴内角和为(9−2)×180°=1260°，③若剪去一角后边数增加1，即变成10边形，∴内角和为(10−2)×180°=1440°，∴将这个多边形剪去一个角后，剩下多边形的内角和为1080°或1260°或1440°．小提示：本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．。
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三角形按角分类 第二章 三角形知识点归纳
一、三角形
1.定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形。
“三角形” 用符号“△”表示，顶点是ABC 的三角形记做“△ABC ”读作“三角形ABC ”。
三角形基本元素（三条边、三个角、三个顶点）
2.性质：
三角形三个角和为180°
三角形任何两边之和大于第三边；
三角形的任何两边之差小于第三边（两点之间线段最短） ★注：判断三条线段能否组成三角形，只有把最长的一条线段与另外两条线段的和作比较。
3.三角形的外角及外角的性质
外角：由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角叫该三角形的外角。
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角的和。
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的角。
三角形的外角和为360°
锐角三角形（三个角都小于90°）
直角三角形（有一个角是90°，记作Rt △ABC ）
钝角三角形（有一个角大于90°）
★三角形的角平分线、中线和高线
角平分线：在三角形中，一个角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段就叫三角形的角平分线。
三个角的角平分线的交点叫心
∠1=∠2
线段BD是∠ABC的角平分线
中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线。
三条中线交点叫重心
AD=CD
线段BD是△ABC的中线
高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，定点和垂足之间的
线段叫做三角形的高。
三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)
AD⊥BC
线段AD是△ABC的高
★重要性质：
1角平分线上的点到角的两边距离相等；中线平分与它相交的边。
2一个三角形有三条角平分线、三条中线，并且都在三角形部，交于一点。
3三种三角形都有三条高线，高线是顶点到对边所在直线的垂线段，所以垂足
有可能在边的延长线上。
★同高等底的两个三角形面积相等。
三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形。
二、等腰三角形
等腰三角形：两条边想等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线
等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线重合（简称“三线合一”）
等腰三角形两底角相等（简称“等边对等角”）
等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（正三角形）。
等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质。
等边三角形的三个角相等，且都等于60°.
等边三角形有三条对称轴，分别是三个角的角平分线所在的直线。
三、垂直平分线
垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。
垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等；到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
四、命题与证明
定义：对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义。
命题：一般的，对某一件事做出判断的语句（述句）叫作命题。
判断一个语句是否为命题，一看是不是一个完整的句子；二看是否对某件事情做出肯定或否定的判断。
命题的组成：命题通常由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知的事项推断出的事项。
注意：①有一些命题的叙述，其条件和结论并不一定那么明确，我们可以把它改写成“如果……，那么……”的形式，再找出它的条件和结论；②命题的条件
部分一般用“如果……”，“已知……”，“若……”等形式表述，结论一般用“那么……”，“求证……”，“则……”等形式表述。
③对于有些命题，条件和结论不一定只有一个，一定要分清它们的条件和结论。
原命题、逆命题、互逆命题
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做逆命题。
注意：只要将一个命题的条件和结论互换，就可以的到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题。
（互换条件和结论时，还要注意语句是否通顺）
命题的分类：正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
判断一个命题是否是真命题，需要分析题设是否能推出结论；判断一个是否为假命题可以举反例，举反例就是举出符合命题的条件，但不满足命题的结论的例子。
公理、定理及互逆定理
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。
以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假，已经判断为真的命题称为定理。
注意：①公理是不需要证明的，它是判断其他命题真假的依据，定理是需要证明；②定理都是真命题，但真命题不一定都是定理。
如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理。
注意：每个命题都有逆命题，但并非所有的定理都有逆定理。
证明
要判断一个命题是真命题，从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判定该命题为真，这个过程叫做证明。
推理证明的必要性：判断猜想的数学结论是否正确，仅仅依靠经验是不够的，必须一步一步，有理有据地进行推理。
证明几何命题的一般格式
（1）按题意画出图形。
（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论。
（3）在“证明”中写出推理过程。
注意：①有些题目已经画好图形，写好已知和求证，这时只要写出“证明”一
步即可。
②在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添加辅助线的过程要写
入证明中，辅助线通常画成虚线。
证明的四个注意
（1）注意：①公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题：②公理可以作为判定其他命题真假的根据.
（2）注意：定理都是真命题，但真命题不一定都是定理；一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题. 这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的.
（3）注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断。
（4）注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”. ①论据必须是
真命题，如；定义、公理、已经学过的定理和已知条件；②论据的真实性不能
依赖于论证的真实性；③论据应是论题的充足理由。
五、三角形全等
全等三角形：能够重合的两个三角形形称为全等三角形；全等用符号“≌”表示，读做“全等于”
两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点；互相
重合的边叫做全等三角形的对应边；互相重合的角叫做全等三角形的对应角。
性质：★全等三角形的对应边相等，对应角相等。
★三角形全等的条件
1 三边对应相等的两个三角形全等（简称“边边边”或“SSS”）；
2 有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简称“边角边”或“SAS”）；
3 有两个角和这个两角的夹边对应相等的两个三角形全等（简称“角边角”或“ASA”）；
4 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简称“角角边”或“AAS”）；
全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线。
判定三角形全等的基本思路：
找夹角
→ SAS
找另一边→ SSS
边为角的对边→找任意一角→ AAS
已知一边一角找这条边上的另一角→ ASA 边就是角的一条边找这条边上的对角→ AAS
找该角的另一边→ SAS
找边相等相关知识点
垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等；
平行四边形两组对边分别相等；等腰三角形两腰相等
正方形、正三角形、棱形各边都相等；
三角形中线在边上的点平分这条边；。