线段树

单节点更新
比如我们要更新叶子节点4（addVal = 6）,更新后值变为10，那 么其父节点的值从4变为9，非叶结点3的值更新后不变，根节点更 新后也不变。
区间更新
区间更新是指更新某个区间内的叶子节点的值，因为涉及到的叶子节点不止一个，而 叶子节点会影响其相应的非叶父节点，那么回溯需要更新的非叶子节点也会有很多， 如果一次性更新完，操作的时间复杂度肯定不是O(lgn)，例如当我们要更新区间[0,3] 内的叶子节点时，需要更新出了叶子节点3,9外的所有其他节点。为此引入了线段树 中的延迟标记概念，这也是线段树的精华所在。 延迟标记：每个节点新增加一个标记，记录这个节点是否进行了某种修改(这种修改 操作会影响其子节点)，对于任意区间的修改，我们先按照区间查询的方式将其划分 成线段树中的节点，然后修改这些节点的信息，并给这些节点标记上代表这种修改操 作的标记。在修改和查询的时候，如果我们到了一个节点p，并且决定考虑其子节点， 那么我们就要看节点p是否被标记，如果有，就要按照标记修改其子节点的信息，并 且给子节点都标上相同的标记，同时消掉节点p的标记。 因此需要在线段树结构中加入延迟标记域，本文例子中我们加入标记与addMark，表 示节点的子孙节点在原来的值的基础上加上addMark的值，同时还需要修改创建函数 build 和 查询函数 query，修改的代码用红色字体表示，其中区间更新的函数为 update，代码如下：
构造线段树
构造线段树是一个递归的过程，伪代码如下： //构造求解区间最小值的线段树 function 构造以v为根的子树 if v所表示的区间内只有一个元素 v区间的最小值就是这个元素, 构造过程结束 end if 把v所属的区间一分为二，用w和x两个节点表示。 标记v的左儿子是w，右儿子是x 分别构造以w和以x为根的子树（递归） v区间的最小值 = min(w区间的最小值,x区间的最小值) end function
区间更新
构建线段树 void build(int root, int arr[], int istart, int iend) { segTree[root].addMark = 0;//----设置标延迟记域 if(istart == iend)//叶子节点 segTree[root].val = arr[istart]; else { int mid = (istart + iend) / 2; build(root*2+1, arr, istart, mid);//递归构造左子树 build(root*2+2, arr, mid+1, iend);//递归构造右子树 //根据左右子树根节点的值，更新当前根节点的值 segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val); } }
构造线段树
从根节点开始，平分区间，递归的创建线段树，线段树的创建函数如下 const int MAXNUM = 1000; struct SegTreeNode { int val; }segTree[MAXNUM];//定义线段树
/* 功能：构建线段树 root：当前线段树的根节点 下标 arr: 用来构造线段树的数组 istart：数组的起始位置 iend：数组的结束位置 */
线段树
线段树，类似区间树，它在各个节点保存一条线段（数组中的
一段子数组），主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，由于 二叉结构的特性，它基本能保持每个操作的复杂度为O(logn) 线段树的每个节点表示一个区间，子节点则分别表示父节点的 左右半区间，例如父亲的区间是[a,b]，那么(c=(a+b)/2)左儿 子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]。 [a,b]
构造线段树
对于线段树我们可以选择和普通二叉树一样的链式结构。由于线段树是完全 二叉树，我们也可以用数组来存储线段树，节点结构如下（注意到用数组存储时 ，有效空间为2n-1,实际空间确不止这么多，比如上面的线段树中叶子节点1、3 虽然没有左右子树，但是的确占用了数组空间，实际空间是满二叉树的节点数目 。 struct SegTreeNode { int val; }； 一维数组存储线段树时，定义包含n个节点的线段树 SegTreeNode segTree[n]，segTree[0]表示根节点。那么对于节点segTree[i]，它的左孩子是 segTree[2*i+1],右孩子是segTree[2*i+2]。
对于数组[2, 5, 1, 4, 9, 3]可以构造如下的二叉树： （背景为白色表示叶子节点，非叶子节点的值是其对应数组区间内的最小值，例 如根节点表示数组区间arr[0...5]内的最小值是1）
由于线段树的父节点区间是平均分割到左右子树，因此线段树类似完全二叉树， 对于包含n个叶子节点的完全二叉树，它一定有n-1个非叶节点，总共2n-1个节 点，因此存储线段是需要的空间复杂度是O(n)
查询线段树
/* 功能：线段树的区间查询 root：当前线段树的根节点下标 [nstart, nend]: 当前节点所表示的区间 [qstart, qend]: 此次查询的区间 */ int query(int root, int nstart, int nend, int qstart, int qend) { //查询区间和当前节点区间没有交集 if(qstart > nend || qend < nstart) return INFINITE; //当前节点区间包含在查询区间内 if(qstart <= nstart && qend >= nend) return segTree[root].val; //分别从左右子树查询，返回两者查询结果的较小值 int mid = (nstart + nend) / 2; return min(query(root*2+1, nstart, mid, qstart, qend), query(root*2+2, mid + 1, nend, qstart, qend)); }
void build(int root, int arr[], int istart, int iend) { if(istart == iend)//叶子节点 segTree[root].val = arr[istart]; else { int mid = (istart + iend) / 2; build(root*2+1, arr, istart, mid);//递归构造左子树 build(root*2+2, arr, mid+1, iend);//递归构造右子树 //根据左右子树根节点的值，更新当前根节点的值 segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val,segTree[root*2+2].val); } }
区间Fra Baidu bibliotek新
const int INFINITE = INT_MAX; const int MAXNUM = 1000; struct SegTreeNode { int val; int addMark;//延迟标记 }segTree[MAXNUM];//定义线段树 /* 功能：构建线段树 root：当前线段树的根节点下标 arr: 用来构造线段树的数组 istart：数组的起始位置 iend：数组的结束位置 */
单节点更新
单节点更新是指只更新线段树的某个叶子节点的值，但是更新叶子节点会对其父 节点的值产生影响，因此更新子节点后，要回溯更新其父节点的值。 void updateOne(int root, int nstart, int nend, int index, int addVal) { if(nstart == nend) { if(index == nstart)//找到了相应的节点，更新之 segTree[root].val += addVal; return; } int mid = (nstart + nend) / 2; if(index <= mid)//在左子树中更新 updateOne(root*2+1, nstart, mid, index, addVal); else updateOne(root*2+2, mid+1, nend, index, addVal);//在右子树中更新 //根据左右子树的值回溯更新当前节点的值 segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val); }
查询线段树
区间查询伪代码： // node 为线段树的结点类型，其中Left 和Right 分别表示区间左右端点 // Lch 和Rch 分别表示指向左右孩子的指针 void Query(node *p, int a, int b) // 当前考察结点为p，查询区间为 (a,b] { if (a <= p->Left && p->Right <= b) // 如果当前结点的区间包含在查询区间内 { ...... // 更新结果 return; } int mid = (p->Left + p->Right) / 2; // 计算左右子结点的分隔点 if (a < mid) Query(p->Lch, a, b); // 和左孩子有交集，考察左子结 点 if (b > mid) Query(p->Rch, a, b); // 和右孩子有交集，考察右子结 点 }
查询线段树
那么怎样在它上面超找某个区间的最小值呢？查询的思想是选出一些区间，使 他们相连后恰好涵盖整个查询区间，因此线段树适合解决“相邻的区间的信息 可以被合并成两个区间的并区间的信息”的问题
例如：查询区间[0,3]时，从根节点开始，查询左子树的节点区间[0,2]包含在区间[0,3] 内，返回当前节点的值1；查询右子树时，继续递归查询右子树的左右子树，查询到 非叶节点4时，又要继续递归查询：叶子节点4的节点区间[3,3]包含在查询区间[0,3]内， 返回4，叶子节点9的节点区间[4,4]和[0,3]没有交集，返回INFINITE,因此非叶节点4返 回的是min(4, INFINITE) = 4，叶子节点3的节点区间[5,5]和[0,3]没有交集，返回 INFINITE,因此非叶节点3返回min(4, INFINITE) = 4, 因此根节点返回 min(1,4) = 1。
[a,(a+b)/2]
[(a+b)/2+1,b]
线段树的基本操作主要包括构造线段树，区间查询和区间修改。
一个问题？:从数组arr[0...n-1]中查找某个数组某个区间内的最小值，其中
数组大小固定，但是数组中的元素的值可以随时更新。 对这个问题一个简单的解法是：遍历数组区间找到最小值，时间复杂度是O(n), 额外的空间复杂度O(1)。当数据量特别大，而查询操作很频繁的时候，耗时可能 会不满足需求。 另一种解法：使用一个二维数组来保存提前计算好的区间[i,j]内的最小值，那么 预处理时间为O(n^2)，查询耗时O(1), 但是需要额外的O(n^2)空间，当数据量 很大时，这个空间消耗是庞大的，而且当改变了数组中的某一个值时，更新二维 数组中的最小值也很麻烦。 我们可以用线段树来解决这个问题：预处理耗时O(n)，查询、更新操作O(logn) ，需要额外的空间O(n)。 根据这个问题我们构造如下的二叉树 1.叶子节点是原始组数arr中的元素 2.非叶子节点代表它的所有子孙叶子节点所在区间的最小值
区间更新
/* 功能：当前节点的标志域向孩子节点传递 root: 当前线段树的根节点下标 */ void pushDown(int root) { if(segTree[root].addMark != 0) { //设置左右孩子节点的标志域，因为孩子节点可能被多次延迟标记又没有向 下传递 //所以是 “+=” segTree[root*2+1].addMark += segTree[root].addMark; segTree[root*2+2].addMark += segTree[root].addMark; //根据标志域设置孩子节点的值。因为我们是求区间最小值，因此当区间内 每个元 //素加上一个值时，区间的最小值也加上这个值 segTree[root*2+1].val += segTree[root].addMark; segTree[root*2+2].val += segTree[root].addMark; //传递后，当前节点标记域清空 segTree[root].addMark = 0; } }