优化原理与方法9变换算法

最优化理论与方法

课程报告题目最优化理论与方法 学生姓名 学号 院系 专业 二Ｏ一二年十一月十日

最优化理论与方法综述 最优化方法是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的主要研究对象是各种管理问题及其生产经营活动。最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。这就是我理解的整个课程的流程。在这整个学习的过程当中，当然也会遇到很多的问题，不论是从理论上的还是从实际将算法编写出程序来解决一些问题。下面给出学习该课程的必要性及结合老师讲解以及在作业过程中遇到的问题来阐述自己对该课程的理解。 20世纪40年代以来，由于生产和科学研究突飞猛进地发展，特别是电子计算机日益广泛应用，使最优化问题的研究不仅成为一种迫切需要，而且有了求解的有力工具。因此最优化理论和算法迅速发展起来，形成一个新的学科。至今已出现线性规划、整数规划、非线性规划、几何规划、动态规划、随机规划、网络流等许多分文。 最优化理论与算法包括线性规划单纯形方法、对偶理论、灵敏度分析、运输问题、内点算法、非线性规划K-T条件、无约束最优化方法、约束最优化方法、参数线性规划、运输问题、线性规划路径跟踪法、信赖域方法、二次规划路径跟踪法、整数规划和动态规划等内容。 最优化理论所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。这类问题普遍存在。例如，工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案满足设计要求，又能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；生产评价安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润；原料配比问题中，怎样确定各种成分的比例，才能提高质量，降低成本；城建规划中，怎样安排基本单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展；农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产稳产，发挥地区优势；军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人，保存自己，有利于战争的全局；在人类活动的各个领域中，诸如此类，不胜枚举。最优化这一数学分支，正是为这些问题的解决，提供理论基础和求解方法，它是一门应用广泛、实用性强的学科。 一、最优化学习的必要性 最优化，在热工控制系统中应用非常广泛。为了达到最优化目的所提出的各种求解方法。从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，使经济效果达到最大，或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。

抽样定理

实验一抽样定理实验 一、实验目的 1、了解抽样定理在通信系统中的重要性 2、掌握自然抽样及平顶抽样的实现方法 3、理解低通采样定理的原理 4、理解实际的抽样系统 5、理解低通滤波器的幅频特性对抽样信号恢复的影响 6、理解低通滤波器的相频特性对抽样信号恢复的影响 7、理解平顶抽样产生孔径失真的原理 8、理解带通采样定理的原理 二、实验内容 1、验证低通采样定理原理 2、验证低通滤波器幅频特性对抽样信号恢复的影响 3、验证低通滤波器相频特性对抽样信号恢复的影响 4、验证带通抽样定理原理 5、验证孔径失真的原理

三、实验原理 抽样定理原理：一个频带限制在（0，H f）内的时间连续信号() m t，如 果以T≤H f21 秒的间隔对它进行等间隔抽样，则() m t将被所得到的抽样值完 全确定。（具体可参考《信号与系统》） 我们这样开展抽样定理实验：信号源产生的被抽样信号和抽样脉冲经抽样/保持电路输出抽样信号，抽样信号经过滤波器之后恢复出被抽样信号。抽样定理实验的原理框图如下： 被抽样信号 抽样脉冲 抽样恢复信号 图1抽样定理实验原理框图 被抽样信号抽样恢复信号 图2实际抽样系统 为了让学生能全面观察并理解抽样定理的实质，我们应该对被抽样信号进行精心的安排和考虑。在传统的抽样定理的实验中，我们用正弦波来作为被抽样信号是有局限性的，特别是相频特性对抽样信号恢复的影响的实验现象不能很好的展现出来，因此，这种方案放弃了。 另一种方案是采用较复杂的信号，但这种信号不便于观察，如错误!未找到引用源。所示：

被抽样信号抽样恢复后的信号 图3复杂信号抽样恢复前后对比 你能分辨错误!未找到引用源。中抽样恢复后信号的失真吗因此，我们选择了一种不是很复杂，但又包含多种频谱分量的信号：“3KHz正弦波”+“1KHz正弦波”，波形及频谱如所示： 图1被抽样信号波形及频谱示意图 对抽样脉冲信号的考虑 大家都知道，理想的抽样脉冲是一个无线窄的冲激信号，这样的信号在现实系统中是不存在的，实际的抽样脉冲信号总是有一定宽度的，很显

最优化理论与算法(第八章)

第八章 约束优化最优性条件 §8.1 约束优化问题 一、 问题基本形式 min ()f x 1()0 1,,.. ()0 ,,i e i e c x i m s t c x i m m +==?? ≥=?L L （8.1） 特别地，当()f x 为二次函数，而约束是线性约束时，称为二次规划。 记 {} 1()0 (1,,);()0 ,,i e i e X x c x i m c x i m m +===≥=L L ，称之为可行域（约束域）。 {}1,,e E m =L ，{}1,,e I m m +=L ，{}()()0 i I x i c x i I ==∈ 称()E I x U 是在x X ∈处的积极约束的指标集。积极约束也称有效约束，起作用约束或紧约束（active constraints or binding constraints ）。 应该指出的是，如果x * 是（1）的局部最优解，且有某个0i I ∈，使得 0()0i c x *> 则将此约束去掉，x * 仍是余下问题的局部最优解。 事实上，若x *不是去掉此约束后所得问题的局部极小点，则意味着0δ?>，存在x δ，使得 x x δδ*-<，且()()f x f x δ*<，这里x δ满足新问题的全部约束。注意到当δ充分小时，由0() i c x 的连续性，必有0()0i c x δ≥，由此知x δ是原问题的可行解，但()()f x f x δ*<，这与x * 是局部极小 点矛盾。 因此如果有某种方式，可以知道在最优解x * 处的积极约束指标集()()A x E I x * *=U ，则问题 可转化为等式的约束问题： min ()f x .. ()0i s t c x = ()i A x *∈ （8.2） 一般地，这个问题较原问题（8.1）要简单，但遗憾的是，我们无法预先知道()A x * 。

最优化理论与方法论文(DOC)(新)

优化理论与方法

全局及个性化web服务组合可信度的动态规划评估方法 摘要：随着Internet的快速发展,web服务作为一种软件构造形式其应用越来越广泛。单个web服务无法满足日益复杂的用户需求,web服务组合有效地解决了这个问题。然而,随着功能相似的web服务实例的不断出现,如何选择可信的web服务组合成为了人们关注的热点。服务选择依赖于web服务组合的评估结果,因此,本文主要从web服务组合着手,对其可信性进行研究,提供一种可信web服务组合评估方法。：针对web服务组合的全局及个性化问题,提出了基于全局的个性化web服务组合可信评估方法。从全局角度动态地调整评估模型;同时引入用户业务关注度来描述原子web服务对服务组合可信性的影响程度;结合前文的度量及评估方法,构建一个全局的个性化服务组合可信评估模型;并分析了模型的相关应用,给出了改进的动态规划模型。 关键字：web服务组合可信评价；全局个性化；动态规划； 0.引言 随着软件系统规模的日趋复杂，运行环境的不断开放，软件的可信性要求日益增加，可信软件成为了研究的热点。据《中国互联网发展状况统计报告》统计显示，截至2014年12月底，我国网民数量突破8亿，全年新增网民5580万。互联网普及率较上年底提升4个百分点，达到38。3%。因此，随着Internet 的广泛应用和网络技术的快速发展，面向服务的软件体系结构（SOA）作为一种新型的网络化软件应用模式已经被工业界和学术界广为接受。同时，网民对互联网电子商务类应用稳步发展，网络购物、网上支付、网上银行和在线旅游预订等应用的用户规模全面增长。因而，对web服务的可信性要求更高。单个web服务的功能有限，往往难以满足复杂的业务需求，只有通过对已有web服务进行组合，才能真正发挥其潜力。在现有的web服务基础上，通过服务组装或者Mashup方式生成新web服务作为一种新型的软件构造方式，已成为近年的研究热点之一。web服务组合并不是多个原子web服务的简单累加，各原子web服务之间有着较强的联系。因此对web服务组合的可信需求更高。目前大量的研究工作着重于如何实现原子web服务间的有效组合，对服务组合的可信评估研究较少。如今，随着web服务资源快速发展，出现了大量功能相同或相似的web服务，对web服务组合而言，选择可信的web服务变得越来越难。在大量的功能相似的原子web服务中，如何选出一组可信的web服务组合，成为了人们关注的热点问题。本文将从web服务组合着手，对其可信性进行研究，旨在提供一种可信web服务组合评估方法，为web服务组合的选择提供依据。web服务组合的可信度主要包括以下三个部分： 1）基于领域本体的web服务可信度量模型。 2）基于偏好推荐的原子web服务可信评估方法。 3）基于全局的个性化web服务组合可信评估方法。 研究思路： 本文主要研究基于全局的个性化web服务组合的可信评估方法，其研究思路可以大致如下：基于领域本体的web服务可信度和基于偏好推荐的原子web 服务可信评估方法。针对web服务组合的四种基本组合结构模式，主要研究如

最优化原理与方法复习

最优化原理与方法复习 第1章最优化问题的基本概念§最优化的概念最优化就是依据最优化原理和方法，在满足相关要求的前提下，以尽可能高的效率求得工程问题最优解决方案的过程。§最优化问题的数学模型 1.最优化问题的一般形式?findx1,x2,?,xn?minf(x,x,?,x)?12 n? (x,x,?,x)?0u?1,2,?,pu12n??hv(x1,x2,?,xn)? 0v?1,2,?,q? 2.最优化问题的向量表达式?findX?minf(X)?? (X)?0??H(X)?0?式中：X?[x1,x2,?,xn]T G(X)?[g1(X),g2(X),?,gp(X)]T H(X)?[h1(X),h2(X),?,hp(X)]T 3.优化模型的三要素设计变量、约束条件、目标函数称为优化设计的三要素！设计空间：设计变量所确定的空间。设计空间中的每一个点都代表一个设计方

案。§优化问题的分类按照优化模型中三要素的不同表现形式，优化问题有多种分类方法：1按照模型中是否存在约束条件，分为约束优化和无约束优化问题2按照目标函数和约束条件的性质分为线性优化和非线性优化问题3按照目标函数个数分为单目标优化和多目标优化问题4按照设计变量的性质不同分为连续变量优化和离散变量优化问题第2章最优化问题的数学基础§n元函数的可微性与梯度一、可微与梯度的定义1.可微的定义设f(X)是定义在n维空间Rn的子集D上的n元实值函数，且X0?D。若存在n维向量L，对于任意n维向量P，都有f(X0?P)?f(X0)?LTPlim?0 P?0P则称f(X)在X0处可微。 2.梯度设有函数F(X)，X?[x1,x2,?,xn]T，在其定义域内连续可导。我们把F(X)在定义域内某点X处的所有一阶偏导数构成的列向量，定义为F(X)在点X处的梯度。记

最优化理论与算法 fibonacci法

function [a,b,n,x]=fibonacci(fname,a,b,d,L) % fname函数句柄，d辨别常数，L最终区间长度a(1)=a; b(1)=b; F=zeros(1,10); %选择fibonacci数列k值为10，可任意更改 F(1)=1; F(2)=2; for k=2:10 %k取到10，生成fibonacci数列 F(k+1)=F(k)+F(k-1); F(k); end Fn=(b(1)-a(1))/L; Fk=[F Fn]; N=sort(Fk); n=find(Fn==N); %查找计算函数值的次数n t(1)=a(1)+F(n-2)*(b(1)-a(1))/F(n); %计算试探点t(1),u(1) u(1)=a(1)+F(n-1)*(b(1)-a(1))/F(n); for k=1:n-2 ft=feval(fname,t(k)); fu=feval(fname,u(k)); if ft>fu a(k+1)=t(k); b(k+1)=b(k); t(k+1)=u(k); u(k+1)=a(k+1)+F(n-k-1)*(b(k+1)-a(k+1))/F(n-k); while k==n-2 t(n)=t(n-1); u(n)=t(n-1)+d; ft=feval(fname,t(n)); fu=feval(fname,u(n)); if ft>fu a(n)=t(n); b(n)=b(n-1); else a(n)=a(n-1); b(n)=t(n); end end else a(k+1)=a(k); b(k+1)=u(k); u(k+1)=t(k); if k~=n-2 t(k+1)=a(k+1)+F(n-k-2)*(b(k+1)-a(k+1))/F(n-k); ft=feval(fname,t(k));

2011年下学期最优化理论与方法考试试卷(A)

中南大学考试试卷 2011--2012学年 1 学期 时间100分钟 最优化理论与方法 课程 48 学时 学分 考试形式： 闭 卷 专业年级： 信科08、应数08 总分100分，占总评成绩 70 % 注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上,可用中英文作答。 1.（15 points ） For an unconstrained optimization problem: ),(min x f Let )0(x be a given point, )0(d be a descent search direction at )0(x . (1) With the exact line search, show that there is a steplength 0α satisfying .0)()0()0(0)0(=+?d d x f T α (2)Show that when applied to a quadratic objective function, the Newton method with the exact line search terminates in at most one iteration. 2. （15 points ）For an unconstrained optimization problem: .2)(min 2 221x x x f += (1) Find a descent direction )0(d of f at .)1,1() 0(T x = (2) By the Armijo line search, find a steplength 0α along )0(d at .)0(x 3.（15 points ） （1）Let .2113???? ??=A Find two directions 1d and 2d such that 1d and 2d are conjugate with respect to the matrix A . （2）Show that when applied to a quadratic objective function, with the exact line search, the PRP conjugate gradient method is equivalent to the FR conjugate gradient method.

抽样检验原理和方法

抽样检验原理和方法 一、抽样检验的基础术语 ?单位产品 ? 1.单位产品划分： ?所谓单位产品，是指构成产品总体的基本单位。如一个螺丝钉、一双鞋等；但有些连续性产品不可以自然划分，如糖、味精、汽油等，其单位产品划分有相对任意性。 ? 2.单位产品缺陷： ?单位产品不符合规定技术要求的任何一点，即构成一个缺陷，按其严重程度区分为：致命缺陷、严重缺陷、轻度缺陷、微小缺陷等。 ? 3.合格品与不合格品： ?合格品：不含有任何缺陷的单位产品； ?不合格品：有一个或一个以上缺陷的单位产品。 ? 4.单位产品的质量衡量方法： ?主要两类：计量方法和计数方法。 批量与样板 ? 1.批量：检查批所包含的单位产品数。记为N。 ? 2.样本单位：从检查批中抽取并用于检验的单位产品。 ? 3.样本：样本单位的全体。 ? 4.样本大小：样本中包含的样本单位数。记为n。 ?在具体实施抽样检查时，先根据提交检查批的批量与检查水平，查表确定样本大小字码：A、B、C……，由查出的样本大小字码、检验严格度和抽样方案的类型，查表即得此抽样方案下的样本大小n。 不合格 ? 1.单位产品的质量特征不符合规定，称为不合格。 ?其按质量特性不符合的严重程度或质量特性的重要性分为A类、B类、C类不合格。 ?A类不合格为单位产品极重要特性不符合规定或单位产品的质量特性极严重不符合规定。 ?B类不合格为单位产品重要特性不符合规定或单位产品的质量严重不符合规定。 ?C类不合格为单位产品一般质量特性不符合规定或单位产品的质量特性轻微不符合规定。 ? 2.合格判定数： ?作出批合格判断样本中所允许的最大不合格品数或不合格数，记为Ac。 ? 3.不合格判定数： ?作出批不合格判断样本中所不允许的最小不合格品数或不合格品数，记为Re。 合格质量水平 ? 1.合格质量水平： ?在抽样检查中，认为可以接受的连续提交检查批的过程平均不合格率（或每百单位缺陷数）上限值，常用AQL表示。 ?原则上，按不合格的分类分别规定不同的合格质量水平。主要由生产方和使用方协商确定：?（1）AQL（A类不合格)< AQL（B类不合格)< AQL（C类不合格)； ?（2）AQL（重要检验项目)< AQL（次要检验项目) ?（3）AQL（电气性能)< AQL（机械性能)< AQL（外观质量)；

优化原理与方法_作业答案

《优化原理与方法》作业解答要点 5.1 建造一容积为V (m 3)的长方形蓄水池（无盖），要求选择其长、宽、高，使表面积最小，从而建筑用料最省。试写出此问题的数学模型。 [解] 选择设计变量x 1、x 2、x 3分别代表蓄水池的长、宽、高，优化数学模型为： 5.2 某公司有资金a 万元，可供选择购置的设备有n 种，已知相应于第i 种设备所需资金为 b i 万元，可得收益为 c i 万元，要求收益最大的投资安排。试写出其数学模型。 [解] 选择设计变量x 1、x 2、…、x n 分别代表n 种可选购设备的购买数量，优化数学模型为： 5.3 某城市要建造一供应服务中心，向该市m 个用户提供服务，设第i 个用户的位置为（a i ， b i ），需要货物量为w i 吨，试寻求这个中心最经济的位置，使运输量（吨公里数）最小。 [解] 选择设计变量x 1、x 2代表中心的位置坐标，优化数学模型为： ?? ?? ? ?? ? ? ≥≥≥=??++= t..s 22 .min ],,[ 3min 32min 21min 1321313221321x x x x x x V x x x x x x x x x x x x T 使得寻求x ????? ? ???? ?? ? ?=?=≥≤?=∑∑==n i x n i x a x b x c x x x i i n i i i n i i i T n ,1,2, , ,1,2, ,0 t..s .max ] , ,,[ 1 1 21为整数使得寻求x ?? ??? -+-=∑=m i i i i T b x a x w x x 1222121)()( .min ],[ 使得寻求x

最优化理论与算法(第三章)

第三章 牛顿法 §3.1 最速下降法 一、最速下降法 在极小化算法中，若每次都以迭代点处的负梯度方向为搜索方向，产生的算法称为最速下降法，它是无约束最优化算法中最简单、最基本的算法。 算法描述： 1） 给出初始点0n x R ∈，允许误差0ε>，0k =； 2） 计算k k d g =-，若k g ε≤，Stop 令 * k x x ≈； 3） 由一维搜索确定步长因子k α，使得 ()min ()k k k k k f x d f x d ααα≥+=+ 4） 令1k k k k x x d α+=+，1k k =+，go to 2). 的每个聚点均为驻点。 令{}1 k K d 有界，且 2 ()(())()0T f x f x f x ?-?=-?= 故有 ()0f x ?=。 定理 3.2 设()f x 二次连续可微，且2()f x M ?≤，则对任何给定的初始点0n x R ∈，最速下降算法或有限终止，或lim ()k k f x →∞ =-∞，或lim ()0k k f x →∞ ?=。

证明：不妨设k ?，()0k f x ?≠。由定理2.5有 2 11()()()2k k k f x f x f x M +-≥ ? 于是 []1 2 010 1 ()()()()()2k k k i i i i i f x f x f x f x f x M -+==-=-≥ ?∑∑ 令k →∞，由{()}k f x 为单调下降序列，则要么 lim ()k k f x →∞ =-∞，要么 lim k →∞ ?定理3.3 设1 f C ∈证明：直接由定理2.14可得。 注：1) 2 1λ，n λ分别为G 的 ≤ ()k k I G x α- 其中k α使 (())(())k k k f I G x f I G x αα-≤-， 0α?≥ 若设 ()1k P t t α=-，()Q t ut λ=- 其中,u R λ∈。则有 ()Q G I uG λ=-，而(0)Q λ=，

最优化理论与算法

最优化理论与算法笔记 在老师的指导下，我学习了最优化理论与算法这门课程。最优化理论与算法是一个重要的数学分支，它所研究的问题是讨论在众多方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。 由于生产和科学研究突飞猛进的发展，特别是计算机的广泛应用，使最优化问题的研究不仅成为了一种迫切的需要，而且有了求解的有力工具，因此迅速发展起来形成一个新的学科。至今已出现了线性规划、整数规划、非线性规划、几何规划、动态规划、随机规划、网络流等许多分支。 整个学习安排如下，首先介绍线性与非线性规划问题，凸集和凸函数等基本知识及线性规划的基本性质；然后再这个基础上学习各种算法，包括单纯形法、两阶段法、大M 法、最速下降法、牛顿法、共轭梯度法等，以及各种算法相关的定理和结论；最后了解各种算法的实际应用。 主要学习的基础知识： 1、一般线性规划问题的标准形式 1min n j j j c x =∑ 1 .., 1,...,, 0, 1,...,. n ij j i j j s t a x b i m x j n ===≥=∑ 学会引入松弛变量将一般问题化为标准问题；同时掌握基本可行解的存在问题，通过学习容易发现线性规划问题的求解，可归结为求最优基本可行解的问题。 2、熟练掌握单纯形法、两阶段法和大M 法的概念及其计算步骤。 单纯形法是一种是用方便、行之有效的重要算法，它已成为线性规划的中心内容。其计算步骤如下： 1）解,B Bx b =求得1B x B b b -==，令0,N x =计算目标函数值B B f c x =；

2)求单纯形乘子ω，解B B c ω= ，得到1B c B ω-=； 3)解k k By p =，若0k y ≤，即k y 的每个分量均非正数，则停止计算，问 题不存在有限最优解，否则，进行步骤（4）； 4)确定下标r ，使min{0}r r rk rk rk b b y y y =>，得到新的基矩阵B ，返回第一 步。 两阶段法：第一阶段是用单纯形法消去人工变量，即把人工变量都变换成非基变量，求出原来问题的一个基本可行解；第二阶段是从得到的基本可行解出发，用单纯形法求线性规划的最优解。 大M 法：在约束中增加人工变量a x ，同时修改目标函数，加上罚项T a Me x ，其中M 是很大的正数，这样，在极小化目标函数的过程中，由于M 的存在，将迫使人工变量离基。 3、掌握最速下降法的概念及其算法，并且能够讨论最速下降算法的收敛性。掌握牛顿法，能够熟练运用牛顿迭代公式：(1) ()2()()()()k k k k x x f x x x +=-?- ，掌 握共轭梯度法及其相关结论，以及其收敛性的讨论，掌握最小二乘法及其基本步骤。 最速下降法：迭代公式为(1) ()()k k k k x x d λ+=-。 计算步骤：1）给定点(1)n x R ∈，允许误差0,ε>臵1k =； 2）计算搜索方向() ()()k k d f x =-?； 3）若() k d ε≤，则停止计算，否则，从()k x 出发，沿()k d 进行一维搜索，求k λ，使()()()() ()min ()k k k k k f x d f x d λλλ≥+=+； 4）令(1) ()()k k k k x x d λ+=-，臵:1k k =+，转步骤（2）。

最优化理论与算法

最优化理论与算法（数学专业研究生） 第一章 引论 § 引言 一、历史与现状 最优化理论最早可追溯到古老的极值问题，但成为一门独立的学科则是在20世纪四十年代末至五十年代初。其奠基性工作包括Fritz John 最优性条件（1948），Kuhn-Tucker 最优性条件（1951），和Karush 最优性条件(1939)。近几十年来最优化理论与算法发展十分迅速，应用也越来越广泛。现在已形成一个相当庞大的研究领域。关于最优化理论与方法，狭义的主要指非线性规划的相关内容，而广义的则涵盖：线性规划、非线性规划、动态规划、整数规划、几何规划、多目标规划、随机规划甚至还包括变分、最优控制等动态优化内容。本课程所涉及的内容属于前者。 二、最优化问题的一般形式 1、无约束最优化问题 min ()n x R f x ∈ （） 2、约束最优化问题 min () ()0, ..()0, i i f x c x i E s t c x i I =∈?? ≥∈? （） 这里E 和I 均为指标集。 §数学基础 一、 范数 1. 向量范数 max i x x ∞= （l ∞范数） （） 11n i i x x ==∑ （1l 范数） （） 122 21 ()n i i x x ==∑ （2l 范数） （）

11 ()n p p i p i x x ==∑ （p l 范数） （） 12 ()T A x x Ax = （A 正定） （椭球范数） （） 事实上1－范数、2－范数与∞-范数分别是 p －范数当 p ＝1、2和p →∞时情形。 2．矩阵范数 定义 方阵A 的范数是指与A 相关联并记做A 的一个非负数，它具有下列性质： ① 对于0A ≠都有0A >，而0A =时0A =； ② 对于任意k R ∈，都有kA k A =； ③ A B A B +≤+； ④ AB A B ≤； 若还进一步满足： ⑤ p p Ax A x ≤ 则称之为与向量范数p g 相协调（相容）的方阵范数。若令 max x Ax A x ≠= （这里x 是某一向量范数） （） 可证这样定义的范数是与向量范数g 相协调的，通常称之为由向量范数g 诱导的方阵范数。特别地，对方阵()ij n n A a ?=，有： 11max n ij j i A a ==∑（列和的最大者） （） 1 max n ij i j A a ∞ ==∑（行和的最大者） （） 1 22()T A A A λ=（T A A λ表示T A A 的特征值的最大者） 称为谱范数（注：方阵A 的特征值的模的最大者称为A 的谱半径，记为()A ρ）。 对于由向量诱导的方阵范数，总有：

(抽样检验)抽样原理+实务

第一节抽样检验的基本概念 一、基本概念 1.1 个体是可以对其进行一系列观测的一件具体的或一般的物体或可以对其进行一系列观测的一定数量的物质或一个定性或定量的观测值. 1.2批:在一致条件下生产或按规定方式汇总起来的一定数量的个体叫”批”.批中包括的个体数叫批量.一次交付的个体集叫交付批. 1.3样本:是取自总体中的一个或多个个体,用于提供关于总体的信息,并作为可能对总体(或产生总体的过程)进行某种判定的的基础.样本中所包含的个体数目叫样本量. 1.3随机抽样 从包含N个个体的总体中抽取n个个体,使包含有n个个体的所有右能的组合被抽取的概率都相等的抽样叫简单随机抽样.例如设总体包含A、B、C、D、E共五个个体.今要从其中抽取3个个体.则有10种可能. 随机抽样的方法大体有三种.一种是我国古代的抓阄,缺点是做纸团不方便;二是由计算机数学创始人冯.诺依曼最早建议,后来由其他学者发展的用计算机程序产生随机数.但由于这种随机数是程序按一定规律产生的,故叫伪随机数.第三种就是日本首倡的正20面体子. 二、抽样检验的概念 1、抽样检验的概念：是指从交验的一批产品（批量为N）中，抽取一个样本（由n个单位产品组成）进行检验，从而对批产品质量作用推断的过程。 2、抽样检验的目的：是“通过样本推断总体”，而其期望则在于“用尽量少的样本量 来尽可能准确地判定总体（批）的质量”。欲达到这一目的和期望，传统的“百分比抽样”是不科学、不合理的。通过多年来的理论研究和实践证明，只有采用“统计抽样检验”才能保证科学、合理地实现这一目的和期望。 3、抽样检验的步骤 a)抽样：需要研究的是怎样抽和抽多少的问题。 b)检验：是在统计抽样检验理论的指导下，采用具有一定测量能力的设备和正确 的方法进行检验。 c)推断：是用对样本的检验结果来推断总体（批）的质量水平。 其中抽样和推断状况构成了抽样方案，即抽多少和怎样推断。 二、统计抽样检验

最优化理论与方法

内点法基本原理 摘要：内点法是求解含不等式约束最优化问题的一种十分有效的算法。内点法通过构造障碍函数，求解一系列只含等式约束最优化问题，逐步得到原问题的最优解，具有找初始点容易、线性收敛、迭代次数少等特点。本文主要介绍了内点法的基本原理，障碍方法的一般步骤并分析了该方法的优缺点，进行了算例实践。 关键词：内点法；障碍方法；Newton法 The Theory of Interior Point Method Abstract: Interior point method is a very effective algorithm for solving optimization problems with inequality constrained. Interior point method is constructed to solve a series of optimization problems with equality constraints, and the optimal solution of the original problem is obtained, which has the characteristics of finding the initial point easier, linear convergence, less iteration number and so on. This paper mainly introduces the theory of interior point method, the general steps of barrier method and analyzing the advantages and disadvantages of the method. Key words: interior point method; barrier method;Newton method

最优化理论与算法(第九章)

第九章 二次规划 §9.1 二次规划问题 称形如 1m in ()2 T T Q x x H x g x = + 1,,. 1,,T i i e T i i e a x b i m s t a x b i m m ?==??≥=+?? （9.1） 的非线性规划问题为二次规划问题。对二次规划问题，有如下的最优性条件。 定理9.1 设x *是（9.1）的局部极小点，则必存在乘子(1,,)i i m λ*= ，使得 1 0 1,, 0 1,,m i i i T i i i e i e g H x a a x b i m m i m m λλλ**=*** ?+=? ?? ??-==+????≥=+??? ∑ （9.2） 且对于一切满足于： 0, ()T i d a i E I x * =∈ 的n d R ∈，都有0T d Hd ≥。 注：1）上述定理的前后两部分分别对应于一、二阶的必要条件； 2）满足上述条件的d ，都有(,)d S x λ* * ∈； 3）当约束条件均为线性函数时，容易证明： (,)(,) (,F D x X S F D x X L F D x X * * *= =及(,)(,)S x G x λλ**** = 上面给出的是二次规划的必要性条件，下面给出充分性条件。 定理9.2 设x * 是K-T 点，λ* 是相应的Lagrange 乘子，如果对满足 0 0 () 0 () 0 T i T i T i i d a i E d a i I x d a i I x λ* **?=∈?≥∈??=∈>? 且 （9.3） 的一切非零向量n d R ∈，都有0T d Hd >，则x * 是（9.1）的局部严格极小点。

抽样原理及方法

抽样原理及方法 一、抽样的基本原则 随机化是抽样研究的基本原则。所谓随机化原则，是指在进行抽样时，总体中每一个体是否被抽取，并不由研究者主观决定，而是每一个体按照概率原理被抽取的可能性是相等的。 二、抽样的几种重要方法 抽样有两种方法；非概率抽样和概率抽样。使用哪种方法主要取决于我们是否打算对总体进行推断。非概率抽样用主观的（非随机的）方法从总体中抽取单元，它是一种快速、简易且省钱的抽样方法。但要能从样本对总体进行推算，必须假定样本对总体具有代表性，而在非概率抽样情形做这样的假设将有很大风险。 概率抽样则是基于随机的原则从总体中抽取单元。与非概率抽样相比，概率抽样较为复杂，费时，费用也较高，然而，由于单元是从总体中随机抽取出来的。而且能计算每一个单元的入样概率，因此能得到可靠的估计值及其抽样误差的估计值，并对总体进行推断。下面介绍的是概率抽样的几种重要方法。 1、简单随机抽样 它是最基本的抽样方法，适用范围广，最能体现随机化原则，原理简单。抽取时，总体中每个个体应有独立的、等概率被抽取的可能。抽取的样本满足两个基本条件：代表性和独立性，常用的具体抽取方式有抽签法和随机数字法。 有简单随机抽样得到的样本为简单随机样本。尽管在总体构成信息不同的情况下需要酌情采取不同的抽样方法，如分层抽样方法、集团抽样等，但随即抽样是各种抽样方法内含的基本要求，有四种不同的简单随机抽样方式：不重复抽样（还原抽样、放回抽样）；不重复抽样（非还原抽样、无放回抽样）；有序抽样（既考虑到何元素有考虑到各种元素出现的顺序）；无序抽样（只考虑到哪些元素不考虑各元素出现的顺序）。 2、等距抽样 它也叫做机械抽样或系统抽样。在实施时，将已遍好号码的个体排成顺序，在计算出抽样距离，然后按抽样距离抽取样本。第一个样本采用的是简单随机抽样的办法抽取。 K(抽样距离)=N（总体规模）/n(样本规模) 一般来说，这种抽样方法比简单随机抽样简便易行，而且它比较均匀地抽到总体中各个部分的个体，样本的代表性比简单随机抽样好。另外，等距抽样同简单随机抽样一样也容易忽略已有信息。 3、分层抽样（类型抽样） 现将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系统抽样的方法抽出一个子样本，最后将这些子样本合起来构成总体样本。分层有两种方法：a.先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。例如修订智力测验中国版，先把中国的区域分成东北、华北等大行政区，每个大区再按照其人口比例随机抽取一定数量的被试（不分省市）。 b.先以分层变量将总体划分成若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。例如在某大学进行大学生态度调查，可以先按专业分层，再按年级分层，然后根据抽中的专业和年级全体学生的名册进行等距抽样。分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，在抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而合在一起代表总体。 分层标准： a.以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。 b.以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作

最优化理论与方法1(2014-简版)

《最优化理论与方法》讲义 (上) 第一章绪论 1.1 学科简介 最优化这一数学分支，为这些问题的解决提供了理论基础和求解方法。最优化就是在一切可能的方案中选择一个最好的方案以达到最优目标的学科。 1.1.1 优化的含义 优化是从处理各种事物的一切可能的方案中，寻求最优的方案。 （1）来源：优化一语来自英文Optimization，其本意是寻优的过程； （2）优化过程：是寻找约束空间下给定函数取极大值（以max 表示)或极小(以min表示)的过程。 1.2 发展概况 第一阶段—人类智能优化 第二阶段—数学规划方法优化 第三阶段—工程优化 第四阶段—现代优化方法 1.3研究意义 研究意义：最优化在本质上是一门交叉学科，它对许多学科产生了重大影响，并已成为不同领域中很多工作都不可或缺的工具。 应用范围：信息工程及设计、经济规划、生产管理、交通运输、

国防工业以及科学研究等诸多领域。 总之，它是一门应用性相当广泛的学科，讨论决策的问题具有最佳选择之特性。它寻找最佳的计算方法，研究这些计算方法的理论性质及其实际计算表现。 1.4 示例 例1 资源分配问题 某工厂生产A 和B 两种产品，A 产品单位价格为A P 万元，B 产品单位价格为B P 万元。每生产一个单位A 产品需消耗煤C a 吨，电E a 度，人工L a 个人日；每生产一个单位B 产品需消耗煤C b 吨，电E b 度，人工L b 个人日。现有可利用生产资源煤C 吨，电E 度，劳动力L 个人日，欲找出其最优分配方案，使产值最大。分析：(1)产值的表达式；(2)优化变量确定：A 产品A x ，B 产品B x ；(3)优化约束条件： ①生产资源煤约束； ②生产资源电约束； ③生产资源劳动力约束。 例2 指派问题 设有四项任务1B 、2B 、3B 、4B 派四个人1A 、2A 、3A 、4A 去完成。每个人都可以承担四项任务中的任何一项，但所消耗的资金不同。设 i A 完成j B 所需资金为ij c 。如何分配任务，使总支出最少? 分析：设变量?????=任务完成不指派， 任务完成指派j j i ij B A B A x 0,1

最优化理论与算法(第十章)

第十章 罚函数法 罚函数是利用目标函数与约束函数一起构成的具有惩罚性质的函数。当约束条件被破坏时，施以惩罚，可以想象，当这种惩罚很大时，将迫使迭代点趋于可行点。 §10.1 外罚函数法 对一般非线性规划问题： 1min ()()01,,. ()0 ,,i e i e f x c x i m s t c x i m m +==?? ≥=? （10.1） 定义违反约束度函数： ()()()1,i i e c x c x i m -== （10.2） ()1()min{0,()} ,m i i e c x c x i m -+== 。 （10.3） 罚函数一般表示为： () ()()(())P x f x h c x -=+ （10.4） 其中() (())h c x -是惩罚项，这个函数一般具有 (0)0h =，lim ()c h c →+∞ =+∞。 较常用的形式为： () ()()() P x f x c x α σ-=+ （0σ>称为罚因子） （10.5） 注：1) 在上式中，范数常取为2 ，若取为∞ 或1 会导致()P x 不光滑。 2) 当取2 和1α>时，()P x 的光滑性可由 ()22(())(min{0,()})i c x c x -= 直接验证。事实上，在“转折点”处，可证得左、右导数均为0，由此可得() 2(())c x -光滑性，从而 ()P x 光滑。 Courant 函数是最早使用的罚函数，也是最方便最重要的一种罚函数。其形式为 2 () 2 (,)()()p x f x c x σσ-=+ 1 2 21` ()()(min{0,()})e e m m i i i m f x c x c x σσ+==++∑∑ （10.6）

《最优化原理与方法》复习题

《最优化原理与方法》复习题 一．美佳公司计划制造 I 、II 两种家电产品。已知各制造一件时分别占用设备 A 、B 的台时、调试时间、调试工序每天可用于这种家电的能力、各售出一件时的获利情况，如下表所示。 （1）试写出上述问题的数学规划模型； （2）给出求解该模型的lingo 代码。 二．将下列线性规划化为标准型，并列出初始单纯形表。 12341234123412341234min 3425, s.t. 4 22, 314, 2322, ,,0,; y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+-+-+-=-++-≤-+-+≥≥无约束 三．已知线性规划问题 ; ,0,0, ,209 9912 ,85376 ,5 3 s.t. ,432 max 43214321432143214321无约束x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ≤≥≤+--≥-++=--+-+++ 写出其对偶规划。 四．试选用一种方法求解下述线性规划问题 ; 0, , , 623 ,824 s.t. ,32min 32121321321≥≥+≥++++=x x x x x x x x x x x z

五. 用表格单纯形法求解线性规划。 . 0,, ,224 ,222 s.t. ,max 321321321321≥≤++≤++++=x x x x x x x x x x x x z 六. 已知线性规划问题 ; 0, ,3 ,1423 ,42 s.t. ,23max 2121212121≥≤-≤+≤+-+=x x x x x x x x x x z （1） 写出对偶问题； （2） 应用对偶理论证明原问题与对偶问题都存在最优解(不必求解)。 七.已知线性规划问题 . ,0,0 6 ,4 s.t. ,22 min 32132132321无约束x x x kx x x x x x x x x ≥≤≤-+-=++-+- 其最优解为.1,0,5321-==-=x x x 试求 （1）k 的值 （2）写出对偶问题并求其最优解 八．已知线性规划问题 . 0,,, 20232 ,20322 s.t. , 432max 4321432143214321≥≤+++≤++++++=x x x x x x x x x x x x x x x x z 其对偶问题的最优解为.2.0,2.1* 2*1==w w 试根据对偶理论求出原问题的最优解