线性二次型最优控制器设计 文档
《最优控制》第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题
1 T 1 T e ( t ) Q ( t ) e ( t ) X (t )Q(t ) x(t ) 以零状态为平衡状态 2 2 1 T 1 T ②输出调节器 e (t )Q(t )e(t ) y (t )Q(t ) y (t ) 2 2
<输出调节器可转化为状态调节器> y(t ) c(t ) x(t )
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
(t ) (22 F12 )1( F11 21) x(t )
可以证明 (22 F12 )1 存在 因此， (t )与X (t ) 呈线性关系，可表示为 (t ) P(t ) x(t ) 则
u * (t ) R 1(t ) BT (t ) P(t ) x(t )
（微分方程解的存在性和唯一性定理）
* * * * x1 x2 即x1 x2
16
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
5.总结 状态调节器控制规律 u * (t ) R 1 (t ) BT (t ) P(t ) x(t ) 其中P(t)满足下面的矩阵黎卡提微分方程及边界条件
⑤状态方程
x Qx AT
1 T 1 T x x Ax BR B A BR B x T T Qx A Q A
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
3 Q(t ), R(t ) 加权矩阵 Q(t )半正定，R(t )正定且均为时变 1 T 4 e (t f ) Fe(t f ) 突出对终端的误差的要求 2 特别要求终端固定，即e(t f ) 0时，F
5
《最优控制》第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题解析
1
第4章 线性系统二次型性能指标的最优 控制问题
2
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
一：概述
f y T Ay aij yi y j
i , j 1
m
实二次型：
f 0正定，f 0半正定 f 0负定，f 0半负定
1.问题的提法：设线性系统的状态方程和输出方程为：
1 T 1 T e ( t ) Q ( t ) e ( t ) X (t )Q(t ) x(t ) 以零状态为平衡状态 2 2 1 T 1 T ②输出调节器 e (t )Q(t )e(t ) y (t )Q(t ) y (t ) 2 2
<输出调节器可转化为状态调节器> y(t ) c(t ) x(t )
6
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
<2>伺服系统（随动系统）
e(t ) yr (t ) y (t )
二.状态调节器 1.已知
以不大的能量是系统输出跟随给定的 输出而变化。
x (t ) A(t ) x(t ) B(t )V (t ), x(t0 ) x0
1 1 tf T J xT (t f ) Fx (t f ) [ x (t )Q(t ) x(t ) u T (t ) R (t )u (t )]dt 2 2 t0
⑤状态方程
x Qx AT
1 T 1 T x x Ax BR B A BR B x T T Qx A Q A
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
线性二次型最优控制器的设计
99
线性二次型最优控制器的设计
u
B
﹢ ∑ x ﹢
.
∫
A
x
C ﹢ ∑ ﹣∧ C
y
B
﹢ ∑ x ﹢﹢
. ∧
∫
A G
x
∧
y
Figure 2. Reconstruction of state x ( t ) 图 2. 状态 x ( t ) 的重构示意图
u u u
系统
y
控制器
x
∧
u
观测器
y
Figure 3. An optimal controller with a state observer 图 3. 带有观测器的最优控制器
根据以上步骤，得出线性二次型最优控制器结构图如图 1 所示。 线性二次型最优控制器的特点如下所示： 1) 最优控制式 u ∗ ( t ) 是线性状态反馈控制律，便于实现闭环最优控制；
2) 黎卡提方程是非线性矩阵微分方程，通常只能采用计算机逆时间方向求数值解。由于黎卡提方程 与状态及控制变量无关，因而在定常系统情况下可以离线算出 P ( t ) ； 3) 只要时间区间 黎卡提矩阵微分方程的解 P ( t ) 就是时变的， 最优反馈系统将成为 t0 , t f 是有限的， 线性时变系统，即使对于线性定常系统，加权阵为常阵，求出的 P ( t ) 也是时变的。
关键词
最优控制，线性系统，状态反馈
1. 引言
线性二次型最优控制问题属于线性系统综合理论中简单而又应用广泛的一类优化型综合问题，是现 代控制理论中的最重要的成果之一。优化型综合问题的特点是通过使全面表征系统性能好坏程度的性能 指标函数取极大或极小值来确定系统的控制规律。如果系统是线性的，性能指标是状态变量和控制变量 的二次型函数的积分，则这样的最优控制问题称为二次型最优控制问题。二次型性能指标具有明显物理 意义，代表了大量工程实际问题中提出的性能指标要求。 线性二次型调节器(Linear Quadratic Regulator, LQR)的最优解可以用统一的解析式表示，且可得到一 个简单的线性状态反馈控制律而构成闭环最优控制，这对最优控制在工程应用中的实现具有十分重要的 意义。同时，线性二次型问题还可以兼顾系统性能指标如快速性、准确性、稳定性和灵敏度等多方面因 素。线性二次型问题是最优控制问题中简单而且应用广泛的一类优化问题。线性二次型最优控制器的实 现是先计算出使性能指标泛函取极小值的输入量 u ∗ ( t ) ， 而 u ∗ ( t ) 的作用是通过状态的线性反馈来实现的， 即通过确定状态的最优反馈系数来实现最优控制。在 20 世纪 60 年代之前，控制系统的设计风格为：手 算，利用作图，反复试凑；而在 20 世纪 60 年代之后，控制系统的设计风格为：提出目标函数，采用优 化方法，使用数字计算机，重视算法。LQR 控制器的研究具有普遍意义，易于获得解析解，最为可贵的 是能获得线性反馈的结构[1] [2]。 LQR 控制即线性二次型调节器，其对象是现代控制理论中以状态空间形式给出的线性系统，而目标函
线性二次型最优调节器(2024版)
三 无限时间状态调节器问题
完全x能t控 线A性t时x变t系B统t
ut
,
xt0
x0
二次型性能指标:
J
ut
t0
xT
t Qt xt
u
T
t Rt ut
dt
假定同有限时间状态调节器，则最优控制存在
且唯一。u*t R1tBT tPtxt
其中
P
t
Pt,0,
lim
t f
P
t,0,
t
中输出变量加权矩阵和控制变量加权矩阵均为单 位阵。
4. 设线性系统的状态方程为
xt Atxt Btut
,初始条件为 xt0 x0 ,试求使性能指标
J
1 xT 2
tf
Fx t f
1
2
tf t0
xT
t
,
u
T
t
Qt M T t
MRtt uxtt dt
取极小值的最优控制 u*t ，并证明Ricati方程及
则问题必有解，最优控制存在且唯一，并且有状
态线形反馈形式，即
u
*
t
R
1
t
BT
t
Pt
x其t 中P(t)为Ricati方程。
Pt PtAt AtT Pt PtBtR1tBtPt Qt
Pt f F
的解，最优性能指标为
J
*
xt0
,
t0
x
T
t0
P
t0
,t
f
xt0
P(t)的性质:
(1) 当A(t),B(t),R(t)的元连续有界时 ，P(t)在
代入式(1)
u* t
part II Chap 4 线性二次型最优调节器
性能指标：
1 T 1 tf T J = e (t f ) Fe(t f ) + ∫ [e (t )Q(t )e(t ) + u T (t )R(t )u (t )]dt 2 2 t0
2
其中 x(t ) ∈ R n , u (t ) ∈ R m (无约束)； y (t ) ∈ R l (0 < l ≤ m ≤ n) l e(t ) = z (t ) − y (t ) ～输出误差向量， z (t ) ∈ R ～理想输出向量 A(t),B(t),C(t)为具有适当维数的时变矩阵 权阵 F = F T , Q(t ) = QT (t ), R(t ) = RT (t ) 且 F ≥ 0, Q(t ) ≥ 0, R (t ) ≥ 0 ；t0及tf固定 目的：确定最优控制u*(t),使性能指标J极小。 性能指标各项的物理含义：
此线性二次型最优控制问题为： 当系统偏离原平衡状态（设为0）时，要求控 制向量使系统状态x(t)恢复到原平衡状态附 近，并使性能指标J极小
～状态调节器问题
4
2. 输出调节器问题 若z(t)=0则 e(t)=z(t)-y(t)=-y(t) 此时
1 T 1 tf T J = y (t f ) Fy (t f ) + ∫ [ y (t )Q(t ) y (t ) + u T (t )R(t )u (t )]dt 2 2 t0
9
三. 最优控制的存在性与唯一性
上定理中，最优控制解 u * (t ) = − R −1 (t ) BT (t ) P(t ) x(t ) 存在且唯一 【例】已知二阶系统 x1 (t ) = x2 (t ) 和性能指标函数
x2 (t ) = u (t )
线性二次型最优控制器设计
程序运行结果如下： K =0.4142 0.6104 0.1009 同时得到闭环阶跃响应曲线，如图1-2所示。
图1-2 闭环系统阶跃响应曲线 由图1-1和图1-2知，经最优输出反馈后，闭环系统阶跃响应曲线与经最优状态反 馈后的阶跃响应曲线很接近。
三、离散系统线性二次型最优控制
下面对离散系统线性二次型最优控制进行详细介绍。
其中，A为系统的状态矩阵；B为系统的输出矩 阵；Q为给定的半正定实对称常数矩阵；R为给 定的正定实对称常数矩阵；N代表更一般化性 能指标中交叉乘积项的加权矩阵；K为最优反馈 增益矩阵；S为对应Riccati方程的唯一正定解P （若矩阵A-BK是稳定矩阵，则总有正定解P存 在）；E为矩阵A-BK的特征值。
1000 Q= 取 0
,R=1。 用MATLAB函数dlqr()来求解最优控制器，给出程序清 单如下： %求解最优控制器 a=2;b=1;c=1;d=0; Q=[1000,0;0,1]; R=1; A=[a,0;-c*a,1]; B=[b;-c*b]; Kx=dlqr(A,B,Q,R) k1=-Kx(2);k2=Kx(1); axc=[(a-b*k2),b*k1;(-c*a+c*b*k2),(1-c*b*k1)]; bxc=[0;1];cxc=[1,0];dxc=0; dstep(axc,bxc,cxc,dxc,1,100)
•
1.LQG最优控制原理 最优控制原理
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) + Gw(t ) 假设对象模型的状态方程表示为：
y (t ) = Cx(t ) + v(t )
T
式中，ω(t)和ν(t)为白噪声信号，ω(t)为系统干扰噪声，ν(t)为传感器带来的 量测噪声。假设这些信号为零均值的Gauss过程，它们的协方差矩阵为：
现代控制理论线性二次型最优控制
J = ∫ x T Qxdt
0
∞
J = ∫ uT Rudt 描述了控制能量
0
∞
性能指标：既考虑系统性能的要求，也考虑能量消耗
7.1 二次型最优控制
& = Ax + Bu ⎧x 系统状态空间模型： ⎨ ⎩ y = Cx
系统性能指标：J = ∫0 [ x T Qx + uT Ru]dt Q和R为加权矩阵，由设计者选定。 目的：要求设计一个控制器u，使得性能指标J尽可能小 9 二次型最优控制问题； 9 最优控制器。 特别的，考虑状态反馈形式的最优控制器：u = − Kx 9 如何来确定最优状态反馈控制器？ 9 最优闭环系统的稳定性？
总结：只要黎卡提方程有对称正定解，就可以构造最优 状态反馈增益矩阵，并得到性能指标的最小值。 问题：什么时候可解呢？ 定理：若 ( A, B) 能控，则状态反馈二次型最优控制问题 可解，即黎卡提方程存在对称正定解P，据此可以构 造最优状态反馈控制律和最小性能指标值。
& = ( A − BR −1B T P ) x 最优闭环系统： x
T J = ∫ x T [ PA + AT P − PBR −1 B T P + Q ] xdt + x0 P x0 0 ∞
依赖矩阵P。若选取正定矩阵P满足
PA + AT P − PBR −1 B T P + Q = 0 （Riccati 黎卡提方程）
T J = x 则性能指标的最小值 0 P x0 。
应该是负定的。
控制律对性能指标的影响：
J = ∫ ( x T Q x + u T R u)dt
0 ∞ ∞ d d ⎤ ⎡ T T ⎢ x Q x + u R u + dt V ( x )⎥dt − ∫0 dtV ( x )dt ⎦ ⎣
线性二次型问题的最优控制
若取 xT (t )(Q + K T RK ) x (t ) = −
J=
d T x (t ) Px (t ) 则有： dt
1 ∞ T 1 ∞ T x (t )(Q + K T RK ) x(t ) dt = − 2 ∫0 dx (t ) Px(t ) 2 ∫0 1 T = x (0) Px (0) − xT (∞) Px(∞) 2
x 因此，设计的控制律为 u = [−1 - 3] 1 x2
3 控制律验证 3.1 系统稳定性验证 加入状态反馈后系统的极点分布图如下。极点为 − 状态反馈控制后系统又不稳定变为稳定系统。
3 1 3 ± i ，阻尼比 ξ = 。因此引入 2 2 2
Pole-Zero Map 0.8 0.7 0.6 0.84 0.4 0.95 0.2 Imaginary Axis 0.9 0 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.56 0.42 0.3 0.2 0.09
2 控制律设计 由上述分析可知状态反馈的控制律为 u = Kx = [ k1 k2 ] x ， 因此， 系统新的状态方程变为：
0 & = x 0 1 0 0 + [k1 k 2 ] x 其中 Ac = A + BK = 0 1 k1 1 。 k2
& = Ax + Bu x y = Cx + Du x (0) = x 0
性能指标
J= 1 ∞ T x (t )Qx(t ) + uT (t ) Ru (t ) dt 2 ∫0
若采用状态反馈，取控制输入 u = Kx 则有： & = ( A + BK ) x x
毕业论文-线性二次型最优控制器的MATLAB实现
湖北文理学院物理与电子工程学院2014届本科毕业论文论文题目线性二次型最优控制器的matlab实现班级姓名学号指导教师（职称）线性二次型最优控制器的MATLAB实现摘要：本文从线性二次型最优控制器原理出发，对象是现代控制理论中用状态空间形式给出的线性系统，目标函数为状态和控制输入的二次型函数。
通过加权矩阵Q 和R的一些选择规则，利用MATLAB仿真分析参数Q和R的变化对最优控制系统的影响，然后对其最优控制矩阵进行求解。
分别介绍了连续系统线性二次型最优控制的MATLAB实现，离散系统相形二次型最优控制的MATLAB实现和最优观测器的MATLAB实现这三种研究方案，以不同的程序实现其功能。
关键词:MATLAB；线性二次型；最优控制；矩阵Applying MATLAB to the Design of the Linear QuadraticOptimal ControllerAbstract：In this paper, starting from the principle of the linear quadratic optimal controller, the object is given the linear system using the forms of state space in modern control theory , the objective function is the two type of function of state and control input. Through some selection rules of the weighting matrices Q and R, analysis of the changes of parameters Q and R influence on the optimal control system by using MATLAB simulation, and then to solve the optimal control matrix. Respectively introduces the continuous system linear quadratic optimal control MATLAB, Discrete system in quadratic optimal control MATLAB, The optimal observer MATLAB these three research programs. Realize its function in a different program.Key words:MATLAB; Linear quadratic; The optimal control;Matrix目录1引言 (1)1.1概述 (1)1.2课题研究的背景、意义及研究概况 (1)1.3本文研究的主要内容 (3)2最优控制的基本概念 (4)2.1最优控制基本思想 (4)2.2最优控制问题的求解方法 (5)2.3 Q、R的选择原则 (6)2.4加权矩阵的调整 (6)2.4.1廉价控制 (6)2.4.2昂贵控制 (7)2.5问题的阐述 (8)2.6问题的求解 (9)2.7利用仿真给定的控制系统 (9)3最连续系统最优控制的MATLAB实现 (12)3.1连续系统线性二次型最优控制 (12)3.2 连续系统线性二次型最优控制的MATLAB实现 (13)4离散系统线性二次型最优控制的MATLAB实现 (14)4.1 离散系统稳态线性二次型最优控制 (14)4.2 离散系统线性二次型最优控制的MATLAB实现 (15)5最优观测器的MATLAB实现 (16)5.1 连续时不变系统的Kalman滤波 (16)5.2 Kalman滤波的MATLAB实现 (17)4结论 (19)[参考文献] (20)致谢 (21)1引言1.1概述近年来，仿真技术得到广泛的应用与发展，在系统设计、目标与环境模拟、人员培训等方面取得了丰硕成果，随着计算机技术的快速发展，控制系统的计算机辅助设计与分析得到了广泛应用，目前已经达到了相当高的水平。
线性二次型最优控制问题
线性二次型最优控制问题2. 线性二次型最优控制问题如果所研究系统为线性，所取性能指标为状态变量与控制变 量的二次型函数，称这种动态系统最优化问题为线性二次型最概念优控制问题.问题的提法 设线性时变系统的状态方程为：x ( t ) = A( t ) x ( t ) + B( t )u( t ) y( t ) = C ( t ) x ( t )假设控制向量u(t)不受约束 ，用yr(t)表示期望输出，则误差向量为e( t ) = yr ( t ) − y( t )求最优控制u*(t) ，使下列二次型性能指标极小。
1 T 1 tf e ( t f )Fe ( t f ) + ∫ [e T ( t )Q( t )e( t ) + u( t )T R( t )u( t )]dt 2 2 t0 F —半正定 q × q常数矩阵 , Q ( t ) —半正定 q × q时变矩阵 J ( u) =R ( t ) —正定 p × p时变矩阵 t 0 及 t f 固定NORTHWESTERN POLYTECHNICAL UNIVERSITYNWPU线性二次型最优控制问题2. 线性二次型最优控制问题各项指标物理意义1 T 1 tf T J ( u) = e ( t f )Fe ( t f ) + ∫ [e ( t )Q( t )e( t ) + u( t )T R( t )u( t )]dt 2 2 t0(1) 第一积分过程项 0.5∫ttf0[e T ( t )Q ( t )e( t )]dt 是对动态跟踪误差加权平方和的积分要求，是系统在运动过程中动态跟踪误差的总度量. t (2) 第二积分过程项 0.5∫t [u( t )T R( t )u( t )]dt 表示系统在控制过程中对系统加权f 0后的控制能量消耗的总度量. (3) 末值项 0.5eT (t f )Fe( t f ) 表示末态跟踪误差向量与希望的零向量之间的距 离加权平方和. 整个性能指标物理意义： 使系统在控制过程中的动态误差与能量消耗，以及控制结束时的系统 终端跟踪误差综合最优。
二次型最优控制器设计
倒立摆系统的模型参数如下： M 小车质量 1.32Kg； m 摆杆质量 0.07Kg b 小车摩擦系数 0.1N/m /sec I 摆杆转动惯量 0.00093kg*m*m 摆杆转动轴心到杆质心的长度 T 采样频率 0.010s 0.2m
2 Q,R的选择原则
由原理知，要求出最优控制作用u，除求解Riccati方程外， 加权矩阵的选择也是至关重要的。而Q、R选择无一般规律可 循，一般取决于设计者的经验，常用的所谓试行错误法，即 选择不同的Q、R代入计算比较结果而确定。这里仅提供几个 选择的一般原则：
1）Q、R都应是对称矩阵，Q为正半定矩阵，R为正定矩阵。 2）通常选用Q和R为对角线矩阵，实际应用中，通常将R值固 定，然后改变Q的数值，最优控制的确定通常在经过仿真或实 际比较后得到。当控制输入只有一个时，R成为一个标量数 （一般可直接选R=1）。 3）Q的选择不唯一。这表明当得到的控制器相同时，可以有 多种Q值的选择，其中总有一个对角 线形式的Q。
图1
图2
LQR最优控制利用廉价成本可以使原系统达到较好的性 能指标（事实也可以对不稳定的系统进行镇定），而且方法 简单便于实现，同时利用Matlab强大的功能体系容易对系统 实现仿真。本文利用Matlab对实例进行LQR最优控制设计， 比较Q、R变化对系统动态性能的影响，说明LQR系统设计 的简单而可行性及Q，R变化对系统性能影响的重要性。
下面N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。 分析小车水平方向所受的合力，可得到方程为：
基于线性二次型的单神经元PID最优控制器设计及仿真
基于线性二次型的单神经元PID最优控制器设计及仿真0.前言由于传统的PID调节器算法简单、鲁棒性好及可靠性高，被广泛应用于过程控制和运动控制中，尤其适用于可建立精确数学模型的确定性系统，然而实际工业生产过程往往具有非线性、时变不确定性，难以建立精确的数学模型，应用常规的PID控制器不能达到理想的控制效果。
计算机技术和智能控制理论的发展为复杂动态不确定系统的控制提供了新的途径。
神经网络技术、模糊控制技术、遗传算法优化技术等智能控制技术发展很迅速。
将智能技术与数字PID控制结合起来，应用于工控现场，将有着广阔的发展前景。
近年来，神经网络由于具有自学习、自组织、联想记忆和并行处理等功能，因而受到了控制界的关注，在系统辨识与控制中得到了应用。
本文在自调整单神经元PID控制器中引入最优控制理论中的二次型性能指标，通过修改神经元控制器的权系数来使性能指标趋于最小，从而实现了对控制器性能的优化。
1.最优化技术及自适应PI D控制算法所谓最优控制问题,就是寻找一个控制系统的最优控制方案或最优控制规律,使系统能最优地达到预期的目标。
线性二次型最优控制系统是一类重要的最优控制系统。
这类系统得到的最优控制规律是状态变量的反馈形式,易于在工程上实现。
一般的自适应控制算法需要对过程进行辨识,然后再设计出自适应控制规律,从而限制了自适应控制算法的应用。
由Marsik和Strejc在1986年提出的无需辨识的自适应控制算法,其机理是根据过程误差的几何特性建立性能指标,这种算法无需辨识过程参数,只要在线检测过程的期望输出和实际输出,即可形成自适应控制器的控制规律。
2.基于二次型性能指标学习算法的单神经元自适应PI D控制算法单神经元自适应控制器是通过对加权系数的调整来实现自适应、自组织功能的，权系数的调整是按照有监督的Hebb学习规则实现的。
单神经元自适应控制PID控制结构如图1所示。
图 1 单神经元自适应PID 控制结构图中：rin 是给定值, yo u t 是输出值, e z rin yout ==-，这里1()x e k =；2()x e k = ；3()2(1)(2)x e k e k e k =--+-。
线性二次型最优控制
Chapter7 线性二次型最优控制稳定性是控制系统的一个重要指标，还要考虑诸如调节时间、超调、振荡等动态特性以及控制器所消耗的能量等因素。
通过极点配置可使系统具有期望的稳定性和动态性能，然而并没有考虑控制的能量代价。
用Lyapunov 稳定性理论解决“参数优化问题”，通过选取一个适当的参数，可以在保证系统稳定的前提下，使二次型性能指标最小化，从而使系统的过渡过程具有较好的性能，有必要将这种方法推广到控制器设计。
7.1 二次型最优控制在控制系统中，为了达到同一个控制目的，可以有多种方案（如多输入系统的极点配置状态反馈控制器是不唯一的），具有最小能量的控制方式更具实际意义。
对于Bu Ax x+= Cx y = （7-1） 系统性能和控制能量的要求可以由下列二次型性能指标来描述： ⎰∞+=0d ][t Ru u Qx x J T T （7-2）Q 是对称正定（半正定）加权矩阵，R 是对称正定加权矩阵，他们反映了设计者对状态x 和控制u 中各分量重要性的关注程度。
第一项反映控制性能，这一项越小，状态衰减到0的速度越快，振荡越小，控制性能越好；第二项反映对控制能量的限制。
通常状态x 衰减速度越快，控制能量越大，这是一个矛盾，最优控制的目的就是寻找Q 、R ，调和上述矛盾，问题归结为，对给定系统（7-1）和保证一定性能指标（7-2）的前提下，,设计一个控制器u ，使J 最小。
若系统的状态是可以直接测量的，且考虑的控制器是状态反馈控制器，则可以证明，使性能指标（7-2）最小化的最优控制器具有以下线性状态反馈形式：Kx u -= （7-3） 将控制器（7-3）代入系统方程（7-1）可得x BK A x)(-= （7-4） 若系统是渐近稳定的，矩阵BK A -所有特征值均具有负实部，根据线性时不变系统的Lyapunov 稳定性定理，（7-4）一定存在一个正定对称矩阵P 的二次型Lyapunov 函数Px x x T =)V (，利用系统的稳定性可得⎰⎰∞∞⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=00d )(V d d d )(V d d t x t t x t Ru u Qx x J TT []{}∞==∞--+-++=⎰t t T T T T t x t x P BK A BK A P x Ru u Qx x 00)]([V d )()([]000d Px x t x P B K PBK P A PA RK K Q x TT T T T T +--+++=⎰∞对上式“下划线”部分“+”“-”P B PBR T 1-进行配平方得到P B PBR P B PBR P B K PBK RK K T T T T T 11---+-- P B PBR P B R K R P B R K T T T T 111)()(------=可得[]0001d Px x t x P B PBR P A PA Q x J TT T T +-++=⎰∞- ⎰∞----+011d )()(t x P B R K R P B R K x T T T T （7-5）求解最优控制问题，就是选取一个适当的增益矩阵K ，是性能指标J 最小化。
线性二次型最优控制..
一、主动控制简介概念：结构主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰，采用现代控制理论的主动控制算法在精确的结构模型基础上运算和决策最优控制力，最后作动器在很大的外部能量输入下实现最优控制力。
特点：主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰，是一种需要额外能量的控制技术，它与被动控制的根本区别是有无额外能量的消耗。
优缺点：主动控制具有提高建筑物的抵抗不确定性地面运动，减少输入的干扰力，以及在地震时候自动地调整结构动力特征等能力，特别是在处理结构的风振反应具有良好的控制效果，与被动控制相比，主动控制具有更好的控制效果。
但是，主动控制实际应用价格昂贵，在实际应用过程中也会存与其它控制理论相同的问题，控制技术复杂、造价昂贵、维护要求高。
组成：传感器、控制器、作动器工作方式：开环、闭环、开闭环。
二、简单回顾主动控制的应用与MATLAB应用1.主动变刚度A VS控制装置工作原理：首先将结构的反应反馈至控制器，控制器按照事先设定好的控制算法并结合结构的响应，判断装置的刚度状态，然后将控制信号发送至电液伺服阀以操纵其开关状态，实现不同的变刚度状态。
锁定状态（ON）：电液伺服阀阀门关闭，双出杆活塞与液压缸之间没有相对位移，斜撑的相对变形与结构层变形相同，此时结构附加一个刚度；打开状态（OFF）：电液伺服阀阀门打开，双出杆活塞与液压缸之间有相对位移，液压缸的压力差使得液体发生流动，此过程中产生粘滞阻尼，此时结构附加一个阻尼。
示意图如下：2. 主动变阻尼A VD控制装置工作原理：变孔径阻尼器以传统的液压流体阻尼器为基础，利用控制阀的开孔率调整粘性油对活塞的运动阻力，并将这种阻力通过活塞传递给结构，从而实现为结构提供阻尼的目的。
关闭状态（ON）：开孔率一定，液体的流动速度受限，流动速度越小，产生的粘滞阻尼力越大，开孔率最小时，提供最大阻尼力，此时成为ON状态；打开状态（OFF）：控制阀完全打开，由于液体的粘滞性可提供最小阻尼力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（3） （Q-NR-1NT，A-BR-1NT）在虚轴上不是非能观
模式。
当上述条件不满足时，则二次型最优控制无解，函数
会显示警告信号。
3.连续系统二次型最优控制设计实例
【例8.7】设系统状态空间表达式为：
?0
?
x
?
??0
??? 1
y ? ?1
1 0 ? ?0?
01
? ?
x
?
?? 0
??u
? 4 ? 6?? ??1 ??
?K, S , E?? lqr( A, B,Q, R, N ) ?K, S ?? lqr 2( A, B,Q, R, N ) ?K, S , E?? lqry(sys,Q, R, N )
其中，A为系统的状态矩阵；B为系统的输出矩 阵；Q为给定的半正定实对称常数矩阵；R为给 定的正定实对称常数矩阵；N代表更一般化性 能指标中交叉乘积项的加权矩阵；K为最优反馈 增益矩阵；S为对应Riccati方程的唯一正定解P （若矩阵A-BK是稳定矩阵，则总有正定解P存
线性二次型最优控制器设计
讲解人：胡玲笑
线性二次型最优控制器设计
本节主要内容： ? 线性二次型最优控制器概述 ? 连续系统线性二次型最优控制 ? 离散系统线性二次型最优控制 ? 线性二次型Gauss最优控制
应用经典控制理论设计控制系统，能够解决很 多简单、确定系统的实际设计问题。但是对于诸多 新型而复杂的控制系统，例如多输入多输出系统与 阶次较高的系统，往往得不到满意的结果。这时就 需要有在状态空间模型下建立的最优控制策略。
同时得到闭环阶跃响应曲线，如图1-1所示。 图1-1 闭环系统阶跃响应曲线
由图1-1可知，闭环系统单位阶跃响应曲线略微 超调后立即单调衰减，仿真曲线是很理想的，反 映了最优控制的结果。
（2）我们可以用MATLAB 函数lqry()来求解LQ最优控 制器，给出程序清单如下：
A=[0,1,0;0,0,1;-1,-4,-6]; B=[0,0,1]';C=[1,0,0];D=0; Q=1; R=1; K=lqry(A,B,C,D,Q,R) k1=K(1); Ac=A-B*K;Bc=B*k1;Cc=C;Dc=D; Step(Ac,Bc,Cc,Dc)
式中，K为最优反馈增益矩阵； P为常值正定矩阵，必须
A R 满足黎卡夫（ Riccati）代数方程 PA ? TP ? PBB ?1 P ? Q ? 0
因此，系统设计归结于求解黎卡夫（ Riccati）方程的问题，并 求出反馈增益矩阵 K。
2.连续系统二次型最优控制的MATLAB 函数
在MATLAB 工具箱中，提供了求解连续系统 二次型最优控制的函数：lqr()、 lqr2()、 lqry()。 其调用格式为：
在）；E为矩阵A-BK的特征值。
其中， lqry()函数用于求解二次型状态调节器的特 例，是用输出反馈代替状态反馈，即其性能指标为：
? x u J ? 1
?
(
TQx ?
TRud) t
20
这种二次型输出反馈控制叫做次优控制。
此外，上述问题要有解，必须满足三个条件：
（1） （A，B）是稳定的；
（2） R＞0且Q-NR-1NT≥0;
0 0?x
(1)采用输入反馈，系统的性能指标为：
? x u J ? 1
?
(
TQx ?
20
?1
TRud) t 取 Q ? ??0
?? 0
0பைடு நூலகம்1 0
0?
0 ??，R=1
1??
(2)采用输出反馈，系统的性能指标为：
? y u 1 ?
J? (
T
Qy ?
TRu)dt ，取Q=1,R=1
20
试设计LQ最优控制器，计算最优状态反馈矩阵
线性二次型最优控制一般包括两个方面：线性二 次型最优控制问题（LQ问题），具有状态反馈的线 性最优控制系统；线性二次型Gauss最优控制问题， 一般是针对具体系统噪声和量测噪声的系统，用卡尔 曼滤波器观测系统状态。
二、连续系统线性二次型最优控制
1.连续系统线性二次型最优控制原理
假设线性连续定常系统的状态方程为：
程序运行结果如下： K =0.4142 0.6104 0.1009
同时得到闭环阶跃响应曲线，如图 1-2所示。
图1-2 闭环系统阶跃响应曲线 由图 1-1 和图 1-2知，经最优输出反馈后，闭环系统阶跃响应曲线与经最优状态反 馈后的阶跃响应曲线很接近。
三、离散系统线性二次型最优控制
下面对离散系统线性二次型最优控制进行详细介绍。
?
xt() ? Axt() ? But()
u ? x u 要寻求控制向量 ?(t)使得二次型目标函数 J ? 1
?
(
TQx ?
TRud) t
20
为最小。式中，Q为半正定是对称常数矩阵，R为正定实对称常数矩阵，Q、R 分别为X和U的加权矩阵。
根据极值原理，我们可以导出最优控制律：
u R B ? ? ? ?1 TPx ? ? Kx
K ? [k1 k 2
仿真。
k
]
3
，并对闭环系统进行单位阶跃的
【解】
（1）我们可以用MATLAB 函数lqr()来求解LQ最
优控制器，程序清单如下：
A=[0,1,0;0,0,1;-1,-4,-6]; B=[0,0,1]';C=[1,0,0];D=0;
Q=diag([1,1,1]);
R=1; K=lqr(A,B,Q,R) k1=K(1); Ac=A-B*K;Bc=B*k1;Cc=C;Dc=D; Step(Ac,Bc,Cc,Dc) 程序运行结果如下： K =0.4142 0.7486 0.2046
最优控制是现代控制理论的核心。所谓最优控 制，就是在一定条件下，在完成所要求的控制任务 时，使系统的某种性能指标具有最优值。根据系统 不同的用途，可提出各种不用的性能指标。最优控 制的设计，就是选择最优控制，以使某一种性能指 标为最小。
一、线性二次型最优控制概述
线性二次型最优控制设计是基于状态空间技术来 设计一个优化的动态控制器。系统模型是用状态空间 形式给出的线性系统，其目标函数是状态和控制输入 的二次型函数。二次型问题就是在线性系统约束条件 下选择控制输入使二次型目标函数达到最小。
1、离散系统线性二次型最优控制原理
假设完全可控离散系统的状态方程为：
?
x(k ? 1) ? Ax(kB) ? u(k), (k ??0,1, ??, N ? 1)
要寻求控制向量u?(t)使得二次型目标函数
? x u [ J ? 1 ? T()k Qx()k ? T()k Ru()k ]