第2章 数学基础介绍

籍，此处从略。
第2章 数学基础介绍
记
D(s) s n an1s n1 an2S n2 a0
则由 Cayley-Hamilton 定理可得
An (an1 An1 an2 An2 a0 I )
(2.1) (2.2)
即 An 可表为 An1, An2 ,, A, I 的线性组合，利用式(2.2)递推
我们称 A 为列满秩矩阵；当 rank ( A) min{m, n}时，我们称 A 为降秩矩
阵；特别当 rank ( A) m 时，称 A 为行降秩的；当 rank ( A) n 时，称 A
为列降秩的；当称 A 为行降秩的；当 rank ( A) m n 时，称矩阵 A 是
可逆的或非奇异的。
zT f ( A) zT p( A)(A I ) 0 即 T A T
注意到 p(s) 的阶次低于 f (s) 的阶次，又 f (s) 为 zT 的极小多
项式，因而有 T zT p( A) 0 ，从而上式说明 为矩阵 A 的特 征值， T zT p( A) 为相应的左特征向量。
化零多项式。Cayley-Hamilton 定理指出，矩阵 A 的特征多项式为 A 的一个化零多项式。显然，一个矩阵的化零多项式并不唯一，而且 有无穷多个。在其所有化零多项式中，次数最低且最高次幂项系数 为 1 的多项式称为矩阵 A 的最小多项式。一个矩阵的任何化零多项 式均可被其最小多项式整除。
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命题 2.3 设 0 z Rn , A Rmn ， f (s) 为 zT 相对 A
的最小多项式， 为其零点，则 1)、 为矩阵 A 的特征值。 2)、当记 f (s) p(s)(s ) 时， T zT p( A) 为矩
阵 A 的属于 的左特征向量。
第2章 数学基础介绍 证明： 由定义有
引 理 2.1 设 A Rmn , B Rml ，若 rank(A, B) rank( A) ，则 必 存 在 常 数 矩 阵 L Rnl ， 使 得 B=AL.
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二、Cayley-Hamilton 定理与化零多项式 设 A R mn ，矩阵 A 的特征多项式定义为
可得下述命题。
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命 题 2.2 设 A Rmn ， 则 对 于 一 切 m n ， Am 均 表 为
An1, An2 ,, A, I 的线性组合。
由 Cayley-Hamilton 定理可知，对于任意 n 阶方阵 A，总存在
一个多项式 f (s) 满足 f ( A) 0 ，这样的多项式称为矩阵 A 的一个
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命题.2.1 矩阵的行秩与列秩相等。 鉴于上述结论，我们有：
定义 2.2 矩阵 A [aij ] Rmn 的行秩或列秩称为矩阵 A 的秩，记为
rank(A)
显而易见，对于矩阵 A [aij ] Rmn 而言，有 rank ( A) min{m, n}
当 rank ( A) m 时，我们称 A 为行满秩矩阵；当 rank ( A) n 时，
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2.1 常数矩阵的几个基本概念和结论 2.2 多项式矩阵 2.3 矩阵分式 2.4 线性矩阵方程 2.5 拉普拉斯变换
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2.1 常数矩阵几个基本概念和结论
一、矩阵降秩条件 设，则A的列是m维列向量，并有n个；A的行是n维行 向量，共有m个。 定义2.1 矩阵中列向量的最大无关组的个数称为A的列 秩；其行向量的最大无关组的个数称为矩阵A的行秩。 对于矩阵而言，容易证明下述命题。
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定理 2.1 设 A [aij ] Rmn ，则 1） 矩阵 A 行降秩的充要条件是存在向量 Rn , 0 ，满足 T A 0 2） 矩阵 A 列降秩的充要条件是存在向量 Rn , 0 ，满足 A 0
定理 2.2 设 A Rmn ,Q Rmn ，且 A QQ T ，则 1） 矩阵 A 降秩的充要条件是矩阵 Q 列降秩。 2） 矩阵 A 满秩的充要条件是矩阵 Q 正定。
D(s) det(sI A)
它是关于 s 的 n 阶多项式。下述的著名定理提示了矩阵 A 的乘幂之间的相互关系，在许多场合都有重要应用。
定理 2.3 (Cayley-Hamilton 定理) 设 A R mn ，D(s)为矩阵
A 的特征多项式，则 D(A)=0。 关于上述定理的证明，请读者参考有关矩阵代数方面的书
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定义 2.4、(循环矩阵) 若系统矩阵 A 的特征多项式等同于 其最小多项式，则称它为循环矩阵。
定义 2.5、（友矩阵）设 A R nn ，其特征多项式为
D(s) s n an1s n1 an2S n2 a0
定义矩阵
0 1

Ac
如果是列向量，是行向量，则上式右边括号运算简化 为数量除法。只要给(2.3)式两边同左乘，即可得到此公式。

0


1
Leabharlann Baidu
a0
a1


a
n1

为矩阵A的友矩阵（Companion matrix）
第2章 数学基础介绍 三、常用的几个矩阵公式和不等式
引 理 2.2： (矩阵求逆公式)
设 可 逆 矩 阵 A R nn , B R nm , C R mn ， 则 有
( A BC)1 A1 A1B(I CA1B)1CA1 (2.3)
作为化零多项式概念的推广，我们还有：
定义 2.3 设 0 z Rn , A Rmn ，如果关于 s 的多项 式 f (s) 满足 zT f ( A) 0 ，则称其是 zT 相对 A 的化零多项 式。阶次最低的首一的 zT 相对 A 的化零多项式称为 zT 相对
A 的最小多项式。
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