第十一章多维标度法介绍

表3
品牌 A B C
A B C
0 9 12
9 0 15
12 15 0
3．检验初步图形结构是否需要修改
如果初步图形结构的距离矩阵所确定的相 似次序(距离越小越相似)与原始相似次序矩 阵的次序完全一致，则认为初步图形结构 在所选定维数(本例是二维)空间中是最有代 表性的。 但一般来说，两者次序是很难一致的，这 时要通过“克鲁斯克”系数来检验初步图 形是否需要修改。
第十一章
多维标度法
(Multidimensional Scaling)
第一节 引
言
源自文库
第一节 引
言
多维标度法(MDS)是著名计量心理学家谢泼 德(Shephard)和克鲁斯克 (Kruskal)分别于 1962年和1964年发展起来的一种计量心理学 技术。 多维标度法现在已经广泛应用于心理学、市 场调查、社会学、物理学、政治科学以及生 物学等领域的数据分析方法。
2．计算初步图形结构中各点之间的距离
为叙述方便，有时我们将A，B，C三种品牌分 别称为第一、第二、第三品牌。 用欧氏距离公式计算A品牌和B品牌(第一品牌 和第二品牌)的距离
d12 （ 10 1 ） （5 - 5） 9
2 2
同样计算d13，d23，并将它们排成矩阵形式 (dii=dii)，这个矩阵称为初步图形结构的距离矩 阵，如表3所示。
第二节
多维标度法的原理和计算步骤
在聚类分析中，对于给定坐标的一组点群， 我们很容易计算它们两两之间的距离 或相 似系数(如同火车站的里程表或运价表)。 多维标度法可以说是上述问题的逆问题， 即给定样品两两之间的距离或相似度的排 序，反求各样品点的坐标。 下面通过一个具体例子说明多维标度法的 原理和计算步骤。
第一节 引
言
多维标度法是基于研究对象之间的相似性,将研 究对象在一个低维的(一般小于等于二维)的空间 形象地表示出来，进行聚类或维度内含分析的 一种图示法。 说得详细一点，MDS是这样一种方法：在N个物 品中已知它们的相似度(或距离)，要寻找一个低 维空间表示，使物品间的亲近(proximity)关系能 和原来的相似度有一个近似的匹配。 这个匹配的数量近似，可以用一个称为克鲁斯 克系数“Stress‘’的指标来表达。
下面我们来介绍克鲁斯克系数的含义。
用dij表示初步图形结构中i品牌和j品牌间的 距离，如果用所有dij确定的相似次序和原 始相似次序矩阵的次序不一致，就要将dij 进行逐步调整，使得调整后i品牌和j品牌间 的距离đij确定的相似次序和原始次序完全 一致，调整过程参见表4。
多维标度法的基本思想：
用r维空间(r待定)中的点分别表示各样品，使得各 样品间距离的次序能完全反映原始输入的相似次 序(两样品间的距离越短，则越相似)。通常，要 通过两步来完成。 首先构造一个r维坐标空间，并用该空间中的点分 别表示各样品，此时点间的距离未必和原始输入 次序相同，通常把这一步称为构造初步图形结构。 其次是逐步修改初步图形结构，以得到一个新图 形结构，使得在新结构中，各样品的点间距离次 序和原始输入次序尽量一致。 下面我们将通过例1来具体说明其构造步骤。
广义的MDS可以将聚类分析和对应分析 (Correspondence Analysis)也包括进来。 根据它所利用的信息来看，多维标度法 可以分为两大类： 一类称为非度量的MDS(nonmetric MDS)； 另一类为量度的MDS(metric MDS)。 前者使用了研究对象间距离(或相似度) 的排序信息，而后者用的是实际上的数 量指标。
这里的输入资料是消费者对各种品牌产品 之间的相似或差异程度的评价，其输出则 是与品牌有关的特性以及各种品牌在各特 性中的位置。 因此，多维标度法是用间接方法推断出品 牌有关的特性。 在许多情形中，我们可能不知道那些特性 与品牌有关，或者应答者不能够或不愿意 准确地回答，这时必须采用间接推断的方 法。
第一节 引
言
第一节 引
言
1970---1972年格林(Green) 将多维标度法应用于 市场研究方面，主要研究消费者的态度，衡量消 费者的感觉和偏好。 运用多维标度法将消费者对各种品牌产品的偏好 和感觉资料，变换成空间坐标图。 用坐标图中的点代表各种品牌； 各点之间的距离则表示各种品牌在消费者心目中 的相似或差异程度； 各点到坐标的距离则表示消费者对某一品牌、某 种特性的评价。 这种方法将消费者对各种品牌之间的相似或差异 程度的评价，用距离及图形表示出来，因此具有 形象直观的特点
1．构造初步图形结构
例1中，我们构造一个二维坐标空间，A，B，C 三种牙膏在该坐标空间中分别用A，B，C点表 示(见图1)，其坐标列于表2中。
牙膏品牌 A牌 B牌 C牌 x坐标 10 1 10 y坐标 5 5 17
15
10
5
5
10
15
构造初步图形结构中的 第一个问题是选择多少维坐标空间的点来表示各品牌产 品，这个问题我们将在第三节中详细讨论。 第二个问题是如何确定不同品牌的产品在坐标空间中的 坐标。原则上我们可以随机地用任意不同点代表不同品 牌，但这样做会大大增加逐步修改初步图形结构的工作 量。 一种可行的方法是将表1进行因子分析，选择和坐标维 数相同的公共因子数，将各品牌的因子载荷值分别作为 它的坐标。 我们用这种方法对例1确定出不同品牌的产品在所选坐 标空间中的坐标。由于该初步图形结构的点间距离已和 原始输入次序相同，因此不用再修改初步图形结构。 为了说明修改初步图形结构的步骤和方法，表1中我们 用航海三角测量技术来给出初步图形结构。
例1 设一群消费者对A，B，C三种品牌的药物 牙膏的相似程度的评定次序列于下表中，其中 1表示两种品牌最相似，3表示两种品牌最不相 似(差异最大)。从表中可知，A牌和B牌牙膏最 相似，C牌和B牌的相似次之，A牌和C牌相似 性最差。我们将表1称为三种牙膏的相似次序 矩阵。
A牌 B牌 1 B牌 3 2 C牌 各种品牌的相似次序矩阵是多维标度法的输入 资料。在第四节中我们将介绍几种建立相似次 序矩阵的方法。