函数的求导法则.ppt

x)
u(x)v(x) u(x)v(x)
故结论成立.
推论: 1) (C u ) C u ( C为常数 )
2) (uvw) uvw uvw uvw
3)
( loga
x
)
ln ln
x a
x
1 ln
a
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例1. y x ( x3 4cos x sin1) ,
x (cos
x)
cos 2 x sin2 x cos 2 x
sec2 x
(csc
x)
1 sin
x
(sin sin 2
x) x
cos x sin 2 x
csc x cot x
类似可证: (cot x) csc2 x , (sec x) sec x tan x .
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y ln a
特别当 a e 时, ( ex ) ex
小结:
( arcsin x)
( arccos x)
( arctan x) (a x ) a x ln a
( arccot x) ( ex ) ex
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三、复合函数求导法则
定理3.
在点 x 可导,
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(3)
u v
uv
u v2
v
证:设
f
(x)
u(x) v(x)
,
则有
f (x) lim f (x h) f (x) lim
u(x h) u(x) v(x h) v(x)
h0
h
h 0
h
lim
h0
u(x
h) h
u(x) v(x) u(x) v(x
v(x h)v(x)
h) h
v(x)
u
(
x
h)vu(x()xu) v(u(x(x)vxv)2)((vxxu())x(x)
v(
h)
x)
故结论成立.
推论h:
v(
x
Ch)v(x)
v
C v2
v
( C为常数 )
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例2.求证
证:
(tan
x)
sin cos
x x
(sin
x)cos x sin cos 2 x
例5. 求 y x2 a2 的导数.
解 设 y u u x2 a2
y (
u )u
(x2
a2)
2
1 u
2x
x x2 a2
y (
x2
a2
)
1
(x2
a2
)
1 2
1
(x2
a2 )
1
(x2
a2
1
)2
2
2x
x
2
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推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
y f (x x) f (x) 0, y x
1
x y
且由反函数的连续性知 x 0 时必有y 0, 因此
f (x) lim y lim x0 x y0
1
x y
[
f
1 1( y)]
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例3. 求反三角函数及指数函数的导数.
解:1)设
则
cos y 0 , 则
在点
可导 复合函数
在点 x 可导, 且
d y f (u)g(x) dx
证: y f (u) 在点 u 可导,故 lim y f (u) u0 u
y f (u)u u （当
时
)
故有
y f (u) u u
x
x x
(x
y 0) u
f
(u)
d d
y x
lim y x0 x
lim
x0
f
一、四则运算求导法则 二、反函数的导数 三、复合函数的导数 四、初等函数的求导问题 五、小结思考判断题
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第二章
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思路:
( 构造性定义 )
本节内容
(C ) 0
(sin x ) cos x 证明中利用了
( ln x ) 1
两个重要极限
x
求导法则
其它基本初等 函数求导公式
解: y ( x ) ( x3 4cos x sin1)
x ( x3 4cos x sin1)
1 ( x3 4cos x sin1) x (3 x2 4sin x ) 2x
y x1
1 2
(1 4cos1 sin1)
(3 4sin1)
7 7 sin1 2 cos1 22
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(u)g(x)
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例4. 求 y = sin x2 的导数.
解 设 y = sinu u= x2 y (sin u)u (x2 ) cos u (x2 ) 2x cos x2
y (sin x2 ) cos x2 (x2 ) 2x cos x2
y ( , ) ,
22
(sin y)
1 cos y
1 1 sin2 y
类似可求得
利用
arccos
x
arcsin
x
2
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2) 设 y a x (a 0 , a 1) , 则 x loga y , y ( 0 , )
1 (loga y)
1
1
y ln a
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二、反函数的求导法则
定理2. 设 y f (x)为 x f 1( y) 的反函数, f 1( y) 在
y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1( y)] 0
f (x) 1 [ f 1( y)]
或 dy dx
1
dx
dy
证: 在 x 处给增量 x 0, 由反函数的单调性知
f (x) lim f (x h) f (x)
h0
h
lim [u(x h) v(x h) ] [u(x) v(x) ]
h0
h
lim u(x h) u(x) lim v(x h) v(x)
h0
h
h0
h
u(x) v(x)
故结论成立.
此法则可推广到任意有限项的情形.
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初等函数求导问题
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一、四则运算求导法则
定理1. 的和、差、积、商 (除分母
为 0的点外) 都在点 x 可导, 且
(v(x) 0)
下面证明,并同时给出相应的推论和例题 .
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(1) (u v) u v
证: 设 f (x) u(x) v(x) , 则
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(2) (uv) uv u v
证:设 f (x) u(x)v(x) , 则有
f (x) lim f (x h) f (x) lim u(x h)v(x h) u(x)v(x)
h0
h
h0
h
lim
h 0
u
(
x
h) h
u(
x)
v(
x
h)
u
(
x)
v(
x
h) h
v(