高等代数选讲复习资料
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6、设 是 阶矩方阵， 是 阶单位矩阵， 可逆，且 。
证明（1） ；（2） 。
7、求证△ABC的正弦正定理
答案
一、填空题
1、 2、 3、-10804、-1255、
6、 7、
8、有 个线性无关的特征向量9、0，1，2，…，m-110、
11、 12、1413、314、
15、零16、 17、正交矩阵
二、选择题
1、B2、C3、C4、A5、B6、A7、C
8、A9、D10、C11、B12、A13、C14、B
三、判断题
1、√2、╳3、╳4、╳5、╳6、╳
7、√8、╳9、√10、√11、√12、╳
四、计算证明题
1、解：设 ，考虑方程组25x+13y=u①的整数解，
U+7z=4②
把①看作关于x,y的二元一次不定方程
4、（ ）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。
5、（ ）若一整系数多项式 有有理根，则 在有理数域上可约。
6、（ ）两个多项式互素当且仅当它们无公共根。
7、（ ）若 ，且 ，则 。
8、（ ）数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。
9、（ ）若 是正交变换，那么 的不变子空间的真正交补也是 的不变子空间。
（2）A=R，x☉y=|x-y|，任意x，y∈A
（3）A=P({a，b})，两个运算分别为集合的交和对称差
（4）A为n阶实可逆矩阵的集合，两个运算分别为矩阵加法和乘法。
6、证：（1）
（2）
由（1）得： ，代入上式得
7、证明：如图：
A
B C
7、写出行列式展开定理及推论公式。
8、线性变换可对角化的充要条件为。
9、模m的非负最小完全剩余系为。
10、向量 在基 （1）与基 （2）下的坐标分别为 、 ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为 ，则 与 的关系为。
11、若f(x)=a x +a x +…+a x+a x 的根是x ，…，x ，则x x …x =。
A、560 B、32 C、516 D、44
8、设p是素数，a是整数，且(p,a)=1，则（ ）
A、 B、 C、 D、以上均错
9、零多项式的次数是（ ）
A、0次 B、1次 C、2次 D、Leabharlann Baidu定义次数
10、 阶矩阵A与B等价，E为单位矩阵,则（ ）
A. B.
C.A与B有相同的秩D.A与B都相似于同一个标准形
12、2003 被17除的余数为。
13、用艾森斯坦判别法判断f(x)=x —3x +6x —3x +9x—6在有理数域上不可约所找到的素数为。
14、 为 阶矩阵，且 ，则 。
15、只于自身合同的矩阵是矩阵。
16、叙述维数公式。
17、正交变换在标准正交基下的矩阵为。
二、选择题
1、齐次线性方程组有非零解的充要条件是（ ）
得①与②的特解为
则①与②通解为x=-u+13 u=-3+7
Y=2u-25 , z=1- , Z
将u=-3+7 代入①的通解,得原方程通解x=3-7 +13
Y=-6+14 -25 , Z
Z=1-
2、解：在①中，以 代x，得 ②
在①中，以 代x，得 ③
用①，②，③消去 ，得
3、
4、
5、（1）A=Z，x☉y=x+y-2xy，任意x，y∈A
11、阶行列式 ，当 取怎样的数时，次对角线上各元素乘积的项带正号（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
12、设 为 矩阵，齐次方程组 仅有零解的充要条件是（ ）
A. 的列向量线性无关B. 的列向量线性相关
C . 的行向量线性无关D. 的行向量线性相关
13、若存在u（x），v（x）使u（x）f（x）+v（x）g（x）=1，则（ ）
3、设n为给定自然数，求平面上由直线x＋2y＝n与两个坐标轴所围成的执教三角形内(包括边上)的
整点个数，其中整点表示横、纵坐标都是整数的点。
4、设 求f（x）除以g（x）所得的商式q（x）和余式r（x）。
5、确定以下各小题的集合关于给定运算是否封闭。如果是，说明相关运算所具有的性质(指交换律，结合律，幂等律，分配律，吸收律和特异元素(单位元，零元，逆元)
10、（ ） ，且 为本原多项式，若 则 。
11、（ ）任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。
12、（ ）设 是某一方程组的解向量， 为某一常数，则 也为该方程组的解向量。
四、计算题
1、求不定方程25x+13y+7z=4的整数解
2、设F(x)是对除x=0及x=1以外的一切实数有定义的实值函数，并且 ①，求F(x).
A、一次因式的乘积 B、一次与二次因式的乘积
C、只能是二次因式的乘积 D、以上结论均不对
5、模m的完全剩余系有（ ）
A、唯一一个 B、无穷多个 C、有有限个 D、不一定有
6、 阶矩阵 为奇异矩阵的充要条件是（ ）
A. 的秩小于 ；B. ；
C . 的特征值都等于零；D . 的特征值都不等于零；
7、在xy平面上，顶点的坐标(x,y)满足 ，且x,y是整数的三角形个数有（ ）
A、系数行列式不为0 B、系数行列式为0 C、系数矩阵可逆 D、系数矩阵不可逆
2、多项式f(x)除以x-a所得的余数为（ ）
A、f(0) B、f(x-a) C、f(a) D、以上均错
3、设 ， 为n阶方阵，满足等式 ，则必有（）
A. 或 B. C. 或 D. 。
4、每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以唯一的分解成（ ）
《高等代数选讲》复习资料
一、填空题
1、 时，方程组 有非零解
2、设 ， 则 。
5 3 -1 2 0
1 7 2 5 2
3、行列式 0 -2 3 1 0 的值为
0 -4 -1 4 0
0 2 3 5 0
4、若4阶矩阵 的行列式 ， 是A的伴随矩阵，则 =。
5、计算 =_
6、二次型 是正定的，则 的取值范围是。
A、f（x）｜g（x） B、g（x）｜f（x） C、f（x）g（x）=1 D、以上均错
14、多项式 在有理数域上（ ）
A、可约 B、不可约 C、不一定可约 D、不能确定
三、判断题
1、（ ）向量 线性相关 它是任一向量组的线性组合。
2、（ ）设 是 中 个向量，若 ，有 线性相关，则 线性相关。
3、（ ）欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。
证明（1） ；（2） 。
7、求证△ABC的正弦正定理
答案
一、填空题
1、 2、 3、-10804、-1255、
6、 7、
8、有 个线性无关的特征向量9、0，1，2，…，m-110、
11、 12、1413、314、
15、零16、 17、正交矩阵
二、选择题
1、B2、C3、C4、A5、B6、A7、C
8、A9、D10、C11、B12、A13、C14、B
三、判断题
1、√2、╳3、╳4、╳5、╳6、╳
7、√8、╳9、√10、√11、√12、╳
四、计算证明题
1、解：设 ，考虑方程组25x+13y=u①的整数解，
U+7z=4②
把①看作关于x,y的二元一次不定方程
4、（ ）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。
5、（ ）若一整系数多项式 有有理根，则 在有理数域上可约。
6、（ ）两个多项式互素当且仅当它们无公共根。
7、（ ）若 ，且 ，则 。
8、（ ）数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。
9、（ ）若 是正交变换，那么 的不变子空间的真正交补也是 的不变子空间。
（2）A=R，x☉y=|x-y|，任意x，y∈A
（3）A=P({a，b})，两个运算分别为集合的交和对称差
（4）A为n阶实可逆矩阵的集合，两个运算分别为矩阵加法和乘法。
6、证：（1）
（2）
由（1）得： ，代入上式得
7、证明：如图：
A
B C
7、写出行列式展开定理及推论公式。
8、线性变换可对角化的充要条件为。
9、模m的非负最小完全剩余系为。
10、向量 在基 （1）与基 （2）下的坐标分别为 、 ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为 ，则 与 的关系为。
11、若f(x)=a x +a x +…+a x+a x 的根是x ，…，x ，则x x …x =。
A、560 B、32 C、516 D、44
8、设p是素数，a是整数，且(p,a)=1，则（ ）
A、 B、 C、 D、以上均错
9、零多项式的次数是（ ）
A、0次 B、1次 C、2次 D、Leabharlann Baidu定义次数
10、 阶矩阵A与B等价，E为单位矩阵,则（ ）
A. B.
C.A与B有相同的秩D.A与B都相似于同一个标准形
12、2003 被17除的余数为。
13、用艾森斯坦判别法判断f(x)=x —3x +6x —3x +9x—6在有理数域上不可约所找到的素数为。
14、 为 阶矩阵，且 ，则 。
15、只于自身合同的矩阵是矩阵。
16、叙述维数公式。
17、正交变换在标准正交基下的矩阵为。
二、选择题
1、齐次线性方程组有非零解的充要条件是（ ）
得①与②的特解为
则①与②通解为x=-u+13 u=-3+7
Y=2u-25 , z=1- , Z
将u=-3+7 代入①的通解,得原方程通解x=3-7 +13
Y=-6+14 -25 , Z
Z=1-
2、解：在①中，以 代x，得 ②
在①中，以 代x，得 ③
用①，②，③消去 ，得
3、
4、
5、（1）A=Z，x☉y=x+y-2xy，任意x，y∈A
11、阶行列式 ，当 取怎样的数时，次对角线上各元素乘积的项带正号（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
12、设 为 矩阵，齐次方程组 仅有零解的充要条件是（ ）
A. 的列向量线性无关B. 的列向量线性相关
C . 的行向量线性无关D. 的行向量线性相关
13、若存在u（x），v（x）使u（x）f（x）+v（x）g（x）=1，则（ ）
3、设n为给定自然数，求平面上由直线x＋2y＝n与两个坐标轴所围成的执教三角形内(包括边上)的
整点个数，其中整点表示横、纵坐标都是整数的点。
4、设 求f（x）除以g（x）所得的商式q（x）和余式r（x）。
5、确定以下各小题的集合关于给定运算是否封闭。如果是，说明相关运算所具有的性质(指交换律，结合律，幂等律，分配律，吸收律和特异元素(单位元，零元，逆元)
10、（ ） ，且 为本原多项式，若 则 。
11、（ ）任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。
12、（ ）设 是某一方程组的解向量， 为某一常数，则 也为该方程组的解向量。
四、计算题
1、求不定方程25x+13y+7z=4的整数解
2、设F(x)是对除x=0及x=1以外的一切实数有定义的实值函数，并且 ①，求F(x).
A、一次因式的乘积 B、一次与二次因式的乘积
C、只能是二次因式的乘积 D、以上结论均不对
5、模m的完全剩余系有（ ）
A、唯一一个 B、无穷多个 C、有有限个 D、不一定有
6、 阶矩阵 为奇异矩阵的充要条件是（ ）
A. 的秩小于 ；B. ；
C . 的特征值都等于零；D . 的特征值都不等于零；
7、在xy平面上，顶点的坐标(x,y)满足 ，且x,y是整数的三角形个数有（ ）
A、系数行列式不为0 B、系数行列式为0 C、系数矩阵可逆 D、系数矩阵不可逆
2、多项式f(x)除以x-a所得的余数为（ ）
A、f(0) B、f(x-a) C、f(a) D、以上均错
3、设 ， 为n阶方阵，满足等式 ，则必有（）
A. 或 B. C. 或 D. 。
4、每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以唯一的分解成（ ）
《高等代数选讲》复习资料
一、填空题
1、 时，方程组 有非零解
2、设 ， 则 。
5 3 -1 2 0
1 7 2 5 2
3、行列式 0 -2 3 1 0 的值为
0 -4 -1 4 0
0 2 3 5 0
4、若4阶矩阵 的行列式 ， 是A的伴随矩阵，则 =。
5、计算 =_
6、二次型 是正定的，则 的取值范围是。
A、f（x）｜g（x） B、g（x）｜f（x） C、f（x）g（x）=1 D、以上均错
14、多项式 在有理数域上（ ）
A、可约 B、不可约 C、不一定可约 D、不能确定
三、判断题
1、（ ）向量 线性相关 它是任一向量组的线性组合。
2、（ ）设 是 中 个向量，若 ，有 线性相关，则 线性相关。
3、（ ）欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。