绝对值的性质及化简

绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.

求字母a 的绝对值：

①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩

②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.

绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.

例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =

绝对值的其它重要性质：

（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；

（2）若a b =，则a b =或a b =-；

（3）ab a b =⋅；a a b b

=(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；

（5）a b a b a b -≤+≤+，

对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立；

对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．

绝对值几何意义

当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．

零点分段讨论的一般步骤：

找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．

例题精讲

绝对值的性质及化简

a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．

一、绝对值的概念

【例1】 ⑴m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．

x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0-（>，=，<）； ⑵21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ； ⑶3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=，则x = ． ⑷2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则 x = ．

二、绝对值的性质

【例2】 填空：若a b a b +=+，则a ，b 满足的关系 ．

【巩固】 填空：若a b a b -=-，则a ，b 满足的关系 ．

【例3】 填空：已知a 、b 是有理数，1a ≤，2b ≤，且3a b -=，则a b += ．

【巩固】 若ab ab <，则下列结论正确的是 ( )

A. 00a b <<，

B. 00a b ><，

C. 00a b <>，

D. 0ab <

【例4】 下列各组判断中，正确的是 ( ) A ．若a b =，则一定有a b = B ．若a b >，则一定有a b >

C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()2

2a b =-

【例5】如果2a＞2b，则( )

A．a b

< D a＜b

>B．a＞b C．a b

【例6】（4级）若a b

<，则下列说法正确的是（）

>且a b

A．a一定是正数B．a一定是负数C．b一定是正数D．b一定是负数

【巩固】下列式子中正确的是( )

A．a a

≥-

≤-D．a a

>-B．a a

<-C．a a

【例7】对于1

m-，下列结论正确的是( )

A．1||

≥D．1||1

m m

≤

--

---≥B．1||

m m

m m

m m

-≤C．1||1

【例8】已知2332

-=-，求x的取值范围

x x

【例9】下列说法中正确的个数是( )

①当一个数由小变大时，它的绝对值也由小变大；

②没有最大的非负数，也没有最小的非负数；

③不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等；

④只有负数的绝对值等于它的相反数．

A．0 B．1 C．2 D．3

【例10】绝对值等于5的整数有个，绝对值小于5的整数有个

【例11】绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？

【巩固】 非零整数m n ，满足50m n +-=，所有这样的整数组()m n ，

共有

【例13】 已知123a b c ===，

，，且a b c >>，那么a b c +-=

【例14】 如右图所示，若a 的绝对值是b 的绝对值的3倍，则数轴的原点在 点．（填“A ”“B ”“C ”或

“D ”）

【例15】 如果1a b -=，1b c +=，2a c +=，求2a b c ++的值．

【例16】 已知a 、b 、c 、d 都是整数，且2a b b c c d d a +++++++=，则a d += ．

【例17】 已知a 、b 、c 、d 是有理数，9a b -≤，16c d -≤， 且

25a b c d --+=，则b a d c ---= ．