工科数学分析第一学期期末试题

则 a ? ln 3
1
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2．已知 y ? x 2
解： dy ? 1 dx 2
x2 ? 1 ? 1 ln( x ? x2 ? 1），则 dy ? ______。
2
dx
x2 ? 1 ? x 2
1? x ?1 x2 ? 1 2 x ?
x x2 ? 1 x2 ? 1
? 1 x2 ??1
a ? lim 2x2 ? x ? 2 , x?? x( x ? 1)
b?
2x2 ? x lim ( x? ? x ? 1
? 2x)
?
lim
x? ?
? 3 x ?? x?1
3
12
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，
四、（6分）（1）证明：当 x ? 0时， x ? sin x ；
（2）设0 ? x1 ? ? ， xn?1 ? sin xn (n ? 1,2,L )，
代入原方程，得： du ? u 2 ? 1 dx
解得 ar ctan u ? x ? C , 即 ar ctan( x ? y) ? x ? C ,
通解为 y ? tan( x ? C) ? x
9
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大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
10
三、（6分）已知 lim( 2 x2 ? x ? ax ? b) ? 0，试确定常数 x?? x ? 1x? 解：y?e
?
?(
?
1 x
)dx
(
x
2e
?(
?
1 x
)dx
dxC?
)
? ? eln x ( x2e ? ln xdxC? )
? ? x(
xdx ? C )
?
x2 x(
?
C)
2
5
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二、计算题（每小题 5分, 共20分）
1. 求极限
lim
x? 0
x ? tan x3 cos
x2
?
1
2
2 x2 ? 1 2 x2 ? 1
? x2 ? 1
2
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? 3. e x2 ln xdx ? _____________________ 。 1
? ? 解： e x2 ln xdx ? 1 e ln xdx3
1
31
? ?
1 ( x3 ln
e
x
?
e x2dx) ? 1 (e3 ? 1 e3 ? 1 )
a ? lim x??
f (x) x
?
lim
x? ?
[
4(
x? x3
a 和b的值。
解1 ：Q
2x2 ? x lim ( x? ? x ? 1
?
ax ?
b) ?
lim
x? ?
2x2 ? x x(
xx( ? 1)
?
a
?
b)? x
0
?
2x2 ? lim (
x
??a
b ) ??2? a
0,
得a ? 2
x? ? x( x ? 1)
x
?? b
2x2 ? x lim ( x? ? x ? 1
x x
。
解： lim x? 0
x ? tan x x3 cos x
?
lim
x? 0
x
?
tan x3
x
?lim x? 0
1 cos
x
?
lim
x? 0
1 ? sec2 3x2
x
?
lim
x? 0
?
tan 2 3x2
x
??1 3
6
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2. 设 xe y ? yex ? 6，求 dy。
?
2x)
?
lim
x? ?
?3x x?1
??
3
11
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三、（6分）已知 lim( 2 x2 ? x ? ax ? b) ? 0，试确定常数 x?? x ? 1
a 和b的值。
解2 ：由条件知， 直线 y ? ax ? b 是曲线 y ? 2x2 ? x 的渐近线，则 x?1
dx
7
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?
? 3. 计算 1 ? sin xdx 。 0
? 解： ? 1 ? sin xdx 0
y cos x sin x
? ?
?
|s
in
x
?
cos
x
|
dx
0
2
2
令u? x 2
?
o
?
4
?
2
x
? ???? 2 2 |s in u ? cos ud| u 0
?
?
? ? ?
3
11
3 33
? 1（2e3 ? 1) 9
3
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? 4.
1 x2
sin
1 x
dx
?
__________________________
。
解：
?
1 x2
sin
1 dx x
??
?sin
1 d(1) xx
? cos 1 ? C x
4
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5. 设 y?? 1 y ? x 2 ，则 y ? ______________。
2
4 (cos u ? sin u)du
0
?
?2
2
?
(sin
u
?
cos
u
)du
4
?
?
2?s inu ? cosu?4 0
?2??
cosu
?
sin
?u
2
?
4
? 4( 2 ? 1)
8
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4. 求 dy ? ( x ? y)2 通解。 dx
解： 令 u ? x ? y , 则 dy ? du ? 1 , dx dx
解1 ：方程两边同时对 x 求导，得：
e y ? xe y dy ? e x dy ? ye x ? 0 dx dx
解得：dy ?
?
ey ex
? ?
ye x xe y
dx
解2 ：方程两边求微分，得：
e ydx ? xe ydy ? e xdy ? yexdx ? 0
解得：dy
?
?
ey ex
? ?
ye x xe y
证明：{xn }极限存在，并求此极限。
解：（1） 设 f ( xx) ? ? sin x , f ?( x) ? 1 ? cos x ? 0 , f ( x) 单增，则当 x ? 0 时 fx() ? f (0) ? 0 , 即当 x ? 0 时，有 x ? sin x 。
（2） 由(1)知，对任何自然数 n，有 xn ? sin xn ? xn?1
16-17 第一学期《工科数学分析》期末试题
一、填空题（每小题 4分, 共20分）
1．已知 lim( x ? a )x ? 9 ，则 a ?
。
x?? x ? a
lim( x ? a )x x?? x ? a
? lim(1 ? 2a )x
x? ?
x? a
?
lim
e x??
2a x? a
?x
?
e2a
?
9
又 0 ? xn?1 ? sin xn ? 1 , 则 {xn }有极限，
设
lim
n? ?
xn
?
a
,
得 a ? sin a ,
则a ? 0
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五、（6分）求函数 y ?
4( x ? 1) x2
?
2 的单调区间和极值，
凹凸区间和拐点，渐近线。
解： Dx: ? 0 ,