静电场总结

电场
一周，始末位置相同，电场
力作功为零：
q0
W
q 0
E
d
0
l
即
E d 0
l
E d 0
l
叫做电场强度的环流
3. 电势能和电势
（1） 静电力是保守力，可引入电势能的概念。
（2） 可以定义静电力由 a 点b 点作的功 为电势能 增量的负值：
Wab ( EPb EPa ) EPa EPb
bq0 E Pb
算电场强度
步骤如下： ▪ 由电荷分布的对称性分析电场分布的对称性。 ▪ 选取恰当的高斯面（球面或柱面）。
▪ 由高斯定理求出 E 的大小，并说明其方向。
§6－5 电势
1. 静电力作功的特点
1) 考虑点电荷电场。试验电荷q0 在电场中由a 运动
到b 。电场力做的功为
W ab
b
a
F
dr
q 0
b
a
E
任意闭合曲面 S 的电场强度通量
q
Φe
0
0
( q在S内 ) ( q在S外 )
二. 点电荷系的电场中任意闭合曲面的电场强度通量
q5
各电荷单独存在时
q1
q4
q3
q2
S
S
Ei
dS
qi
0
0
对点电荷系
( qi 在S内 ) ( qi 在S外 )
E E1 E2 E3 Ei
i
1
Φe
V a
V b
E d E d
a
b
b
E d E d
a
b
E d
a
V b b
V a a
等于单位正电荷从a点移到b点电场 力所作的功，是绝对的。
对于保守场，计算功时可以选取最易计算的特殊的路径
总之
E qV
Pa
a
W ( E E ) E E
ab
Pb
Pa
Pa
Pb
V b b
V a a
q(V V ) qV
a
b
• 电势是描述电场性质的物理量（能量）；
+q
a
E Va >Vb b
沿电场线的方向，电势降低
• 电势的零参考点的选取是任意 的。有限带电体一般选无穷远
V 0
为电势零点。对无限带电体的 电场，通常选特殊点或线或面 上的电势为零；
V a q0=1
• 正电荷的自由运动：电势高低； VA VB
E 为第i个点电荷产生的电场
i
电场 E 对试验电荷q0 作功为
W ab
b
q 0
E
dr
b
q 0
E 1
dr
b
q 0
E 2
dr
a
a
a
由于上面公式中各项只取决于位置 a 和 b, 总功也只取决 于位置 a 和 b. 因此，电场力是保守力.
可以引入相应的势能———电势能
2.静电场的环路定理
如果电荷沿闭合路径绕行
库仑定律等效
Note： 1）电通量只与曲面包围的电荷有关，与外部电荷 及内部电荷分布无关；
q6
q1
q2
q3
q4 q5
封闭面的电场通量为零只能说明 穿入穿出的电场线数目相等
2）电场通量为零不等于高斯面内无电荷， 也不说明高斯面上场强处处为零；
例如：
E
ds
0
S
+q
-q
高斯面
但
r E0
3）高斯面上场强由内、外电荷决定。 高斯面的电通量由面内电荷决定。
§6-1 电荷 库仑定律 §6-2 电场 电场强度 §6-3 电场线 电场强度通量 §6-4 高斯定理 §6-5 静电场力的功 电势 §6-6 等势面 电场强度与电势的关系 §6-7 带电粒子在外电场中受到的力及其运动
1. 掌握静电场的电场强度和电势的概念以及电 场强度的叠加原理和电势叠加原理。 2. 掌握电势与电场强度的积分关系，能计算一 些简单问题中的电场强度和电势。 3. 理解静电场的规律：高斯定理和环路定理。 理解用高斯定理计算电场强度的条件和方法。 4. 了解电偶极矩的概念，了解电偶极子在均匀 电场中所受的力和力矩，能分析点电荷在均匀 电场中的受力和运动。
q1 d1
点电荷 q1
r
q2
当线度 d1 和 d2 << r d2
r
点电荷 q2
2. 库仑定律 1785年库仑扭秤实验确定： 真空中两个静止的点
电荷间相互作用力的大小 F12 与它们的电荷量q1、q2 的乘积成正比，与它们之 间的距离r12的平方成反比， 作用力的方向沿两电荷的 连线，同号电荷相斥，异 号电荷相吸。
U ?
这叫做电势的叠加原理
详细地:
无穷远处电势为零
（1）电荷离散分布： （2）电荷连续分布：
U
Ui
i
i
qi
4 0 ri
dq
U
r
dV 体电荷
V r
dS
特点：标量积分！！！
S r 面电荷
d 线电荷
r
计算电势的两种方法:
（1） 用电势的叠加原理（点电荷电势公式（积分））；
V V
en
E
Φe
E cos dS
S
S E dS
穿进为负，穿出为正
E dS
en
dS S
向外法 线
§6-4 高斯定理
一. 点电荷q 的电场中任意闭合曲面的电场强度通量
1. 点电荷在闭合曲面内
▪ 以q为中心、半径任意的球面S 的电场强度通量
由库仑定律得P 点场强 E
1
q r
4π r 3
0
面积元dS的电场强度通量
• 负电荷的自由运动：电势低高；
Va >Vb
+q
a
E b
4. 电势的计算 1) 点电荷q的电场的电势为（距离q为r处）
U
(r
)
r
E
dr
q
4
0
r
U 0
r
U
q
2) 任何带电系统电场的电势
E E E E
U
E
பைடு நூலகம்
d
E 1
d
E 2
d
E 3
d
a
a
a
a
U U U
dq
1a
2a
3a
论发生什么样的过程，系统内一切正、负电荷 的代数和总是保持不变。
5. 电荷的量子化 一切带电体的电荷量都是电子电荷量 e 的
整数倍。
q ne (n 1,2,3, )
二. 真空中的库仑定律 1. 点电荷 当每一带电体的线度与它们间的距离相较甚
小时，它们的形状、大小和电荷分布对相互作用 力的影响可忽略不计，这样的带电体称为点电荷。
q i
i
i
i 4 r
0i
dq
V 4 r 0
步骤
• 1、建立坐标系； • 2、任意位置取电荷元dq，并写出dq的表达式； • 3、分析电荷元dq产生的场强dE的方向，看看是
否相同，若不同则分析有没有抵消的情况； • 4、写出dE的表达式（点电荷公式），
dE方向不同，进一步写出dEx ，dEy的式子； • 5、进行积分（积分时注意常量和变量），得到
§6-1 电荷 库仑定律
静电场 相对于观察者静止的电荷所产生的电场称 为静电场
一. 电荷 1. 电荷 带电的物体称为带电体，小的带电体称电荷
2. 电荷的分类
玻璃棒
正电荷
胶木棒 负电荷
丝绸
毛皮
3. 电荷量
物体所带电荷的多少称为电荷量
单位 库仑(C )
4. 电荷守恒定律 在一个与外界没有电荷交换的系统内，不
大小
▪ q0置于场中某一确定点，其受力方向确定。
▪ F 2F 3F 确定矢量
q0 2q0 3q0
结论
电场中某一确定点处的比值
F
q0(大小和方
向)与试验电荷 q0无关。
3. 电场强度
▪ 电场中某点的电场强度等于该点处单位正电荷所
受的力
F
E
q0
▪ E是矢量
q0 F
q0
大小
F E
方向 正电荷q在0 该点处受力的方向
dr
E
q
r
b
rb
4 r 3
0
W ab
q 0
b
a
qr
4
dr r3
0
q
ra
r a
q0 dr
W ab
q 0
b
a
qr
4
dr r3
0
qq 0
4
b dr
ra 2
0
qq
4 0
ra
rb
q0
rb
q
ra
dr
结论： 点电荷的电场力作功只取决于初末位置，与路径无关
2) 一般地，电场为
E E E E
q
E dS
dS
4π 0r 2
对整个球面 S
E
P
en
dS
q
Φe
q
E dS
S
4π 0r 2
dS
S
q
0
S
▪ 包围q任意闭合曲面S 的电场强度通量
E
与球面 S1 通量相同
q
S1
S
Φe
E dS
S
q
0
E
2. 点电荷在闭合曲面S 外
穿进数等于穿出数
q
e 0
S
结论：
在点电荷 q 的电场中，通过
+q 高斯面
-q
S
E
ds
q
0
高斯面S上各点的场强 大小由+q和-q共同决定
qi
E dS
EdScos S内
0
S
S
什么情况下高斯定理的左侧很容易积分展开？
1）在高斯面上 E 的大小为常数
2）cos 1 or cos 0
3）这是很特殊的电场分布！！
四. 高斯定理应用 具有某种对称性的电场，可应用高斯定理计
平面dS
的法线矢量
en与
E
交角为
dS
en
E
dΦe dN EdS
dS’
EdS cos
dΦ E dS 有正、负
e
3. 任意曲面S 的电场强度通量
en
选取面积元
dS
dS
en
S
dS
E
Φe
S
dΦe
E cos dS
S
视为平 面
E dS
S
向外法
线
4. 任意闭合曲面S 的电场强度通量
E Pa : q0 在 a 点的电势能.
E Pb : q0 在 b 点的电势能.
a
E Pa
q0 在 a 点的电势能 E Pa是相对的. 如果选无穷远处 为势能零点，EP 0 ，则a点的电势能为
E pa Wa q0 a E dl
q0在a点的电势能等于将q0 从a
点移动到 处时电场力作的功，
规定
3. 几种典型电场的电场线
4. 电场线的性质
始
▪
有 ，不闭合， 终
始正 于 电荷
终负
▪ 两电场线不相交
E1
p
E2
若相交，p点将有两场强方向
二. 电场强度通量 Φe
电场强度通量
Φe
=电场中通过某一曲面的电场线数
1. 平面dS 与E 垂直
已规定 E dN dS
则 dΦe dN EdS
2.
超距作用
电荷 电场
电荷
2. 电场力 电荷间的相互作用力
3. 静电场的最重要表现 ▪ 力 定义电场强度 ▪ 功 保守力、引入电势能
二. 电场强度
1. 试验电荷 q 0 电荷量足够小的点电荷
2. 实验表明
r
F
1
▪ 同一试验电荷 q0置于场
中的不同点，其受力的
大小、方向都不同。
Q
q 1 0
F
r2
q2
0
注意：
▪ 库仑定律公式仅适用于两个点电荷之间的相互
作用。
▪ 实验证明，库仑相互作用力满足力的叠加原理，
具有可加性。
q1
F3
q
F2
q2
q3
F1
当四个电荷为同号电荷时
电荷 q 所受合力为
F F1 F2 F3
用矢量合成法计算
§6-2 电场 电场强度
一. 电场及其表现
1. 电场 一种特殊形态的物质 电荷的周围存在电场，电荷通过电场相互作用
E
F E
单位 N C、V m
三. 点电荷的场强
F
1
4π
Qq 0 r3
r
Q
+
0
由定义，
P
点处
Q-
F 1 Q
E q0 4π 0 r 3 r
r q0
p
E
F
q0 F
r p
E
大小 E 1 Q
方向
Q
4π 0
为正，与
r2
r同向；
Q
为负，与
r反向
四. 电场强度叠加原理
1. 点电荷系的场强
Q1 + Q2 -
E dS
S
0
q
S内
1 (q q q )
1
2
3
0
S内一切电荷
空间所有电荷产生
代数和
三. 高斯定理
通过任一闭合曲面的电场强度通量，等于该闭
合曲面所包围的电荷的代数和的1
倍。
0
空间所有电荷产生
Φe
1
E dS
S
0
q
S内
高斯面S上积分
S内一切电荷 代数和
注意：高斯定理由库仑定律导出，在静电场中与
P E3
E1
E2
+
Q3
E Ei
i
P 点场强
E
F
F1 F2 F3
q0 q0
F1 F2 F3 q0 q0 q0
场强叠加原理
2. 连续分布带电体 Q 的场强
视为点电荷
dq Q
r
P dE
选电荷元dq
分解
Q
dq
设带电体的电荷体密度为 ρ ，
则 dq ρdV
dq在 P 点产生的场强为
它与 q0成正比.
E Pa
q0
电势定义为
q 0
1,
a
q 0
E
dl
a
E dl
V a
E Pa
q
a
E
dl
F
0
V 0
在数值上等于单位正电荷从a 点移到无穷远处时静电力所作的 功
V a q0=1
电场中一点的电势其数值与参考点的选取有关
a点和b点的电势差为
一般积分沿电场线 或者与电场线垂直
最后结果
§6-3 电场线 电场强度通量
E2
一. 电场线
1. 电场线 电场中所作的一系 列曲线，曲线上各点的切线方向 与该点电场强度E 的方向一致。
E1
E3
2. 电场线密度 通过垂直于电场强度方向单位横截
面积的电场线数
S N
P
E
P 点的电场线密度
lim N S0 S
dN dS
P 点的 E
dE
1
r dV
4π 0 r 3
叠加
E dE
P点的场强为
E
1
r dV
4π 0 V r 3
ds
dq ds
面电荷
d dq d
线电荷
矢量积分一般分解为分量积分如下:
dE dExi dEy j
Ex
dE x
矢量积分
化为标量积分： E y dE y
注意分析有无某个分量由于抵消而为零的情况
扭秤实验
F12
1
4π 0
q1q2 r132
r12
大小
F12
k
q1q2 r2
1 q1q2
4π 0 r 2
F21 F12
F21
r12
F12 q2
q1
方向 沿 q1、q2 的连线，同性相斥，异性相吸
k 9 109 N m2 C2
比例系数
0 8.851012 C2 (N m2 )
真空中的电容率