2019年杭二中高一新生实验班选拔考试数学试卷(含答案)

2019年杭二中高一新生实验班选拔考试数学试卷(含答案)

杭二中高一新生实验班选拔考试

数学试卷

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．（7分）设，则代数式a2+2a﹣12的值为（）

A．﹣6 B．24 C．D．

2．（7分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D逆

时针方向旋转90°至DE，连接AE，则△ADE的面积是（）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

3．（7分）在等边△ABC所在平面内有一点P，使得△PBC、△PAC、△PAB都是等腰三角形，则具有该性质的点有（）

A．1个B．7个C．10个D．无数个

4．（7分）若x＞1，y＞0，且满足，则x+y的值为（）

A．1B．2C．D．

5．（7分）设，则4S的整数部分等于（）

A．4B．5C．6D．7

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．（7分）若a是一个完全平方数，则比a大的最小完全平方数是

_________．

7．（7分）若关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是_________．

8．（7分）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是

_________．

9．（7分）如图，点A，B为直线y=x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线（x＞0）于C，D 两点．若BD=2AC，则4OC2﹣OD2的值为_________．

10．（7分）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC 的周长为_________．

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．（20分）已知：不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x=1，试求a、b的值．

12．（20分）已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1，求a+b+c 的值．

13．（10分）如图，点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线于P，

Q两点．

（1）求证：∠ABP=∠ABQ；

（2）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60°，试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式．

14．（10分）如图，△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC．点P在△ABC内，且PA=，PB=5，PC=2，求△ABC 的面积．

15、（10分）如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N 是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．

16、（10分）已知点M（p，q）在抛物线y=x2-1上，若以M为圆心的圆与x轴有两个交点A、B，且A、B两点的横坐标是关于x的方程x2-2px+q=0的两根．

（1）当M在抛物线上运动时，⊙M在x轴上截得的弦长是否变化？为什么？

（2）若⊙M与x轴的两个交点和抛物线的顶点C构成一个等腰三角形，试求p、q的值．

2014年杭二中实验班选拔考试试卷

数学答案

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．（7分）设，则代数式a2+2a﹣12的值为（）

A．﹣6 B．24 C．D．

考点：完全平方式；代数式求值；二次根式的乘除法．

专题：计算题．

分析：此题可先把代数式a2+2a﹣12变形为（a+1）2﹣13，再把代入变形得式子计算即可．

解答：解：∵a2+2a﹣12=（a+1）2﹣13，

∴当时，原式=（﹣1+1）2﹣13=7﹣13，

=﹣6．

故选A．

点评：本题考查了完全平方公式（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2和（a+b）2=a2+2ab+b2的运用．

2．（7分）解：过点D作DG垂直于BC于G，过E作EF垂直于AD交AD的延长线于F，

∵∠EDF+∠CDF=90°，∠CDF+∠CDG=90°，

∴∠EDF=∠CDG，

又∵∠EFD=∠CGD=90°，DE=DC，

∴△EDF≌△CDG（AAS），

∴EF=CG，

∴CG=BC﹣BG=5﹣3=2，

∴EF=2，

∴S△ADE=×AD×EF=×3×2=3．

故选C．

3．（7分）在等边△ABC所在平面内有一点P，使得△PBC、△PAC、△PAB都是等腰三角形，则具有该性质的点有（）

A．1个B．7个C．10个D．无数个

考点：等腰三角形的判定．

分析：过B点作△ABC的中垂线，可知在三角形内有一点P满足△PBC、△PAC、△PAB都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可以做两个圆，圆B和圆A，从而可以得出一条中垂线上有四个点满足△PBC、△PAC、△PAB都是等腰三角形，而三角形内部的一点是重合的，所以可以得出共有10个点．

解答：解：作三边的中垂线，交点P肯定是其中之一，以B为圆心，BA为半径画圆，交AC的中垂线于P1、P2两点，作△P2AB、△P2BC、△P2AC，它们也都是等腰三角形，因此P1、P2是具有题目所说的性质的点；

以A为圆心，BA为半径画圆，交AC的中垂线于点P3、P3也必具有题目所说的性质．

依此类推，在△ABC的其余两条中垂线上也存在这样性质的点，所以这些点一共有：