第二章 静态电磁场I：静电场(1)

第二章静态电磁场I：静电场

2．1 基本方程与场的特性

1．静态电磁场

c

J

H=

⨯

∇

=

⨯

∇E

∇•B = 0

∇•D = ρ

可见，在静止条件下电场和磁场之间没有相互耦合的关系，可以分别对电场和磁场进行分析和讨论。由于此时电场或磁场的源量与场量都不随时间变化，故统称为静态电磁场。

2．静电场的基本方程

=

⨯

∇E

∇•D = ρ

其媒质的构成方程为D = εE

显然，静电场是有散(有源)、无旋场。

3．静电场的有散性

在真空中，有

ε

ρ

=

•

∇E

其积分形式为（高斯定理）：

V

S

q

dV

d

ε

ε

ρ

=

=

•

⎰

⎰S

E

上图表明：静电场是有散(有源)场。若场中某点▽•E>0，则ρ >0(正电荷)，该点电力线向外发散，且为“源”的所在处；若某点▽•E<0，则ρ<0(负电荷)，电力线从周围向该点汇集，是“汇”的所在处；若某点的▽•E=0，则ρ =0(无电荷)，电力线既不自该点发出，也不向该点汇集，而是通过该点，因此该点不存在场源。

▽•E < 0，ρ < 0

图散度与场源的关系

▽•E > 0，ρ > 0▽•E = 0，ρ = 0

4．静电场的无旋性

▽×E ＝0

这表明静电场的旋度处处为零，静电场为无旋场，其电力线不是闭合曲线。 对右图闭合曲线作曲线积分，并应用斯托克斯定理，得：

0d d d d S

⎰⎰⎰⎰=•⨯∇=•+•=•S E l E l E l E BnA

AmB

AmBnA

即

⎰⎰⎰•=•-=•AnB

BnA

AmB

l E l E l E d d d

表明在静电场中，电场力作功与路径无关，仅取决于起点和终点的位置。

2．2 自由空间中的电场

1．电位函数的引入

因为∇⨯E =0，由矢量恒等式∇⨯(∇ϕ)=0，E (r )可以表示为

()()r r E ϕ-∇=

式中，称为标量函数ϕ(r )为静电场的标量电位函数，简称电位。上式表明，自由空间中任一点静电场的电场强度E 等于该点电位梯度的负值。另外，由亥姆霍兹定理，有：

()()()r A r r E ⨯∇+-∇=ϕ

式中

()()⎰'''-'•∇'π=

V V d 41r r r E r ϕ ()()

⎰'''-'⨯∇'π=

V

V d 41r r r E r A R =|r - r ' | = [(x - x ' )2 + (y - y ' )2 + (z - z ' )2]1/2

由静电场的基本方程，得：

()()⎰'''π=

V 0V d R

41r r ρεϕ A (r ) = 0

显然，亥姆霍兹定理再次证实了()()r r E ϕ-∇=。

2．电位函数的表达式

图 电场力作功与路径无关

点电荷： ()R q 410)

('r r εϕπ=

线电荷： ()()⎰'π=

'l 0dl R 41'

r r τεϕ 面电荷： ()()⎰'π=

''

S

0dS R 41r r σεϕ 体电荷： ()()⎰'''π=V 0V d R

41r r ρεϕ 3．电场强度的表达式

()()()V d R 14V d R 4V 0V 0'⎪⎭⎫ ⎝⎛∇π'-='π'-∇=-∇=⎰⎰

'

'ερερϕr r r E 因为

()()()[]

2

R 3z y x 3z y x R R z z y y x x R 1R 1z R 1y R 1x R 1e R e e e e e e -=-='-+'-+'--=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭

⎫ ⎝⎛∇ 代入前式，得

()()V d R

41

R V 2

''π=

⎰

'

e r r E ρε

点电荷： ()R 2

0R q 41e r r E )('

επ= 线电荷： ()()''

dl R

41R l 2

e r r E ⎰

'π=τε

面电荷： ()()''

dS R 41

R S 2

0e r r E ⎰'π=σε

体电荷： ()()V d R

41R V 2

''π=

⎰

'

e r r E ρε

对于具有对称结构的静电场问题，可以利用高斯定理求解电场强度。 4．电位和电场强度的求解思路

思路一：先求电位，再利用()()r r E ϕ-∇=，求电场强度。 思路二：先求电场强度，再利用()⎰∞

•=p p l E r d ϕ，求电位。

例1：真空中有限长直线段l

上均匀分布线电荷密度为τ 的电荷，如图所示。求线外中垂面上任意场点P 处的电场强度。

[解]：采用圆柱坐标系，令z 轴与线电荷重合，原点置于线段l 的中点。

()

2

322

20z z d 41

R z d 41dE dE '

+'

π=

'π=

=ρ

τρεατεαρcos cos

()()

⎰

⎰'

+'

π⋅

==

-2

2

l 0

2

322

l 2

l z z d 42dE 00E ρ

ρετρρρ,,

利用变量代换z ' = ρ tg α，d z ' = ρ sec 2α d α，代入上式，最终解得

()ρραραρ

ετ

ααρετρe e E 00002d 42000

sin cos ,,π=π⋅=⎰ 式中，ρ

α2tg 1-0l =。

讨论：如果

ρ2l

<<1，这意味着或者l 很小或者 ρ 很大，此时ρ

α2sin 0l ≈，则 ρ

ρρ

ετe E 204l

π=

相当于电量为τ l 的点电荷产生的电场。如果

ρ

2l

>>1，这可以视为无限长直的线电荷，此时2

π

≈=ρα2tg 1

-0l ，则 ρρρ

ετ

e E 02π=

图 有限长直线电荷沿ρ方向的电场