数列极限的几种求解方法

数列极限的几种求解方法(总25页)
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数列极限的几种求解方法
张宇
（渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国）
摘要在高等数学中极限是一个重要的基本概念。

高等数学中其他的一些重要概念，如微分、积分、级数等都是用极限来定义的。

本文主要研究了求极限问题的若干种方法。

在纷繁众多的求极限方法中,同学们往往在求解极限时不知如何下手。

文章内容包括对求解简单极限问题的各种常用方法的总结：利用迫敛性；利用单调有界定理；利用柯西准则证明数列极限；这些方法对解决一般数列极限问题都很适用。

还包括在此基础上探索出来的解决各种复杂极限问题的特殊方法，例如：利用数列的构造和性质求数列的极限；利用定积分定义求数列极限以及利用压缩映射原理等特殊方法求数列极限，这些特殊方法对解决复杂极限有很重要的意义，而且还比较方便。

在实际求解过程中，要灵活运用以上各种方法。

关键词：数列，极限，概念，定理。

Solution of the limit
Abstract ：In the higher mathematics limit is an important basic concepts. In the higher mathematics, some important concepts of other, such as the differential and integration, series are used to define the limit. This paper mainly studies the problem of several limit. In the numerous and numerous limit method, students often in solving limit doesn't know how to start. The contents include the limit for solving all kinds of simple method using the summary: popularizes forced convergence property, Monotone have defined Daniel, Using the proof of cauchy criterion sequence limit, These methods of solving problems are generally sequence limit. Also included on the basis of exploring the problem solving complex limit methods, such as special structures and properties of invariable; the sequence limit, Using the integral definition for sequence limit and use the banach cotraction principle as a special method, these special method sequence limit to solve complex limit is important, but also more convenient. In the actual solving process, using various above methods.
Key words: Series, limit, the concept, the theorem.
引 言
极限的概念与运算贯穿了高等数学的始终。

因此，掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。

下面简单介绍一下求极限的几种方法，不仅具有教材建设的现实意义而且具有深刻的理论意义。

一、数列极限的基本概念及基本理论
（一）、数列极限的定义①
设{}n a 是一个数列，若存在确定的数a ，对∀0>ε，0>∃N ，使当
N n >时，都有|a a n -|<ε
，则称数列{}n a 收敛于a ，即为a a n n =∞
→lim ，否
则称数列{}n a 不收敛（或称发散数列）。

对数列极限定义我们应注意如下问题，(i) ε的任意性；(ii)N 的相应性，最重要的是N 的存在性；(iii)收敛于a 的数列{}n a ，在a 的任何领域内含有{}n a 几乎全体的项，此问题可以从这句话“使得当N n >时，都有ε<-a a n ”看出。

（二）、数列极限的性质
1、唯一性 若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限。

2、有界性 若数列{}n a 收敛，则存在正数M ，使 |n a |<M （......2,1=n ）。

3、保号性 若a a n n =∞
→lim >0（或<0），则对任意一个满足不等式
>'>a a ，（或a a >'>0）的a '，都存在正数N ，使当N n >时，
a a n '>（或a a n '<）。

4、若a a n n =∞
→lim ，b b n n =∞
→lim ，且)(0N n b a n n >≤，则b a ≤。

5、迫敛性（两边夹） 设a b a n n n n ==∞
→∞
→lim lim ，且)(0N n b c a n n n >≤≤，则
a c n n =∞
→lim 。

（三）、数列极限的四则运算
1、若a a n n =∞
→lim ，b b n n =∞
→lim ，则b a b a n n n ±=±∞
→）（lim ，ab b a n n n =∞
→lim 。

2、若a a n n =∞
→lim ，0lim ≠=∞
→b b n n ，则b
a b a n n n =∞
→lim。

（四）、常用公式 1、有理式比
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∞<==++++++++----∞→.,,,0,,............lim 01110111k m k m k m b a b n b n b n b a n a n a n a m
m
k k k k m m m m n 当当当 2、0lim
=∞
→n n q ，其中|q |<1。

3、a n
n e n a =+∞
→）（1lim 。

4、11
sin lim =∞→n
n n 。

（五）、充要条件
1、柯西准则② 数列{}n a 收敛的充要条件是：对∀0>ε，总存在自然数N ，使当N m n >,，都有ε<-||m n a a 。

2、子数列法则 数列{}n a 收敛的充要条件是它的任一子列都收敛于同一极限。

（六）、单调数列
任何有界的单调数列一定有极限。

且单调递增有界数列的极限为其上确界。

单调递减有界数列的极限为其下确界。

二、求数列极限的方法
（一）求数列极限的基本方法
（1）、利用定义求数列极限 例1 设数列{}n x 收敛于a ，证明a n
x x x n
n =+++∞
→ (i)
21。

分析：欲证a n
x x x n
n =+++∞
→ (i)
21，考虑 |...||...|212
1n a
x a x a x a n x x x n n -++-+-=-+++ {}||...||||1
21a x a x a x n
n -++-+-≤
由于a x n n =∞
→lim 。

当n 充分大时，||a x n -就充分小，上述和式的构
成项||1a x -，||2a x -，... ，||a x n -中后面的绝大部分项充分小，而前面不充分小的项则仅有少数几项，被分母n 除后亦会充分小。

证明 因为 a x n n =∞
→lim 。

{}n x 是有界数列。

{}a x n -也是有界数列，即存在正数0>M ，使得,...2,1=∀n ， 皆有M a x n ≤-||。

又0>∀ε，01>∃N ，使得1N n >时，2
||ε
<-a x n 。

于是
当1N n >时， 2)(||||||111
1
1
11
ε
N n M N a x a x a x n
N k k N k k n k k -+<-+
-=-∑∑∑+=== 2
||1|1|111ε
+<-≤-∑∑==n M N a x n a x n n k k n k k
只要取⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=112max N M N N ，ε，N n >时，必有ε<-∑=|1|1a x n n k k 。

此即证得 a n
x x x n
n =+++∞
→...lim 21。

注 1、证明过程中其实采用了一种分段技术，性质不同的对象
以不同的方法处理。

2、为了简化证明的书写，不妨先设0=a ，而对一般情形，可
以做平移变换a x x n n -=*
，即等价转换为0=a 的命题。

3、∞-+∞=或a 时，相应结论应成立，但证明须作一定修改，
主要体现在对|1|1
∑=n
k k x n 应作反向的缩小。

（2）、利用迫敛性求数列极限
我们常说的迫敛性或夹逼定理。

当我们面对一个数列{}n a 难以直接处理时，不妨尝试适当的放缩技术，去伪存真，去细存粗，抓住主要矛盾，使问题得以解决。

例2 求极限⎪⎭
⎫
⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 222...2211lim 分析 即∑
=++=n
k n k
n n k C 12，易知⎭⎬⎫⎩⎨⎧++k n n k 2
关于k 单调递增。

即得 n
n n n C n n n n ++<<++22
21
当时+∞→n ，上式左、右两端各趋于0和1，似乎无法利用迫敛性，原因在于放缩太过粗糙，应寻求更精致的放缩。

解 对∑
=++n
k k n n k
1
2
各项的分母进行放缩，而同时分子保持不变。

就得如下不等关系：
()()()
121122121
212+++=++<<++=++∑∑==n n n n n n k C n n n k n n n
k n n k 令时+∞→n ，上式左、右两端各趋于2
1
，得 21
...2211lim 222=⎪⎭⎫
⎝
⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 。

例3 求证02lim
=∞
→n
n n
证 因为n
n
n n n n n C C C C ++++=+= 210)11(2 由于数列的分子是n 的一次幂，所以可以把上式右边的第三项
2
n
C 保留，其余全部甩掉以实现对分母的缩小，达到使整个分数放大的目的，即：
012
)1(2
1202→-=-=<<
n n n n C n n n
n 故有02lim =∞→n n n 。

用这种放大法下列极限为0，对所有的自然数k ，有02lim =∞→n
k
n n ，只要将n 2的二项式展开的第1+k 项保留，其余甩掉，以实现整个数列的放大，找到一个无穷小n z 来控制它。

进一步，对所有的自然数k 和
所有的实数1>a ，0lim =∞→n
k
n a n 。

例4 设10,lim <<=∞
→a a x n n ，求证： ① ,lim a x n n n =∞→ ②1lim =∞
→n n n x 。

证明 由极限的不等式性质可知，存在0>N ，使当N n >时，有 212
+<
<a x a n n
n
n n
a x a ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+<<⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒212 n
n n
n
a x a 111
212⎪⎭⎫ ⎝⎛+<<⎪⎭⎫ ⎝⎛ 令∞→n ，上述两个结论成立
用夹逼定理对数列进行放大和缩小时要注意“正确”和“适当”，也就是说一方面要进行正确的不等式运算，另一方面无论是放大还是缩小都要适当，即要使放大和缩小所得数列都有相同的极限。

（3）、利用单调有界定理求数列极限
在实数系中，有界的单调数列必有极限。

不妨设{n a }为有上界的递增数列，由确界原理，数列{n a }有上确界，记}sup{n a a =，事实上，任给0>ε。

按上确界的定义，存在数列{n a }中某一项N a ，使得
N a a <-ε。

又由{n a }的递增性，当n ≥N 时有N a a <-εn a ≤。

另一方
面，由于a 是{n a }的一个上界，故对于一切n a 都有n a a ≤<ε+a ，所以当N n ≥时有n a a <-ε<ε+a ，就得到n n a ∞
→lim =a 。

同样的有下界的递减
数列也必有极限，且其极限为它的下确界。

因而有界的数列必有极限。

用这个知识，我们就可先判断极限的存在然后求解它。

例5 设2
2,2,102
11n
n a c a c a c +==<<+，证明：{}n a 收敛，并求其极限。

证明 先用数学归纳法可证
10<<n a ()......3,2,1=n ? 再用数学归纳法证明
n n a a ≥+1 ()......3,2,1=n ? 显然12a a ≥，归纳假设1-≥k k a a ，则 ()
()()02
121112
1
21≥-+=-=----+k k k k k k k k a a a a a a a a 从而成立。

由，知{}n a 单调递增有上界，
∴l a n n =∞
→lim
（存在） ∴222
l c l +=，注意到1<l ,
c l a n n --==∴∞
→11lim 。

（4）、利用极限的四则运算性质求极限
例6 求1lim +∞→n n
n a a ，其中1-≠a 。

解 若1=a ，则显然有21
1lim =+∞→n n n a a ； 若1||<a ，则由0lim
=∞
→n n a 得 01
lim lim 1lim =+=+∞
→∞→∞→n n n
n n n
n a a a a ； 若1||>a ，则
10
11
111lim 1lim
=+=+=+∞→∞→n
n n n n a
a a 。

例7.n n n n n -+-+∞
→21lim
解 n
n n n n -+-+∞
→21lim
21)
11
1(21
21lim )1(22lim )
1)(2)(2()2)(1)(1(lim
=++++
=++++=++++-+++++-+=∞→∞→∞→n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
注意：用运算法则时，要求各等式号右边的极限都存在。

（5）、利用Cauchy 收敛准则
单调有界定理只是数列收敛的充分条件，而在实数系中，Cauchy 收敛准则是数列收敛的充分必要条件。

它的内容：数列{n a }收敛的充要条件是，对于任给的,0>ε总存在某一个自然数N ，使得当>m n ,N 时有.ε<-m n a a
柯西收敛准则求极限与定义不同,最大的区别是不用事先知道极限的存在.这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在问题，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数。

因而用Cauchy 收敛准则可先判断或证明数列的收敛性，然后在求出其极限，并且我们知道在实数完备性的六个基本定理：确界原理,单调有界定理,区间套定理,有限覆盖定理,聚点定理,柯西(Cauchy )收敛准则中任意知道一个可以推出其他五个命题的。

因而它在求解数列极限方式上和单调有界定理是类同的,都要确定数列的极限是存在的然后求解它,当然所有的数列首先必须有极限我们才能想办法求出它,对于一些极限不是很明显看出存在的数列,我们当然就要先确定它的极限存在性了。

补充一句并不是利用Cauchy 收敛准则判断收敛的数列的极限值都能求出来的,因为有的数列的极限值可能难求出具体的数值,但用Cauchy 收敛准则我们起码判断其收敛或发散性。

知道其极限存在与否。

如:
例8 应用柯西准则证明{}n a 收敛：2221...31211n
a n ++++
=。

证明 对0>∀ε，取⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=ε2N ，则对N m n >≥∀，有
()()22
21
...2111||n m m a a m n +++++=
- ()()()()n n m m m m 11
...21111-++++++≤
m
n m 2
11<-=
而由ε
2
>m 知
ε<m
2
，故ε<-||m n a a 。

由柯西收敛准则知{}n a 收敛。

（二）、求数列极限的特殊方法
（1）、利用斯托兹（stolz ）定理求极限
斯托兹定理与洛比达法则是数学分析中处理⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞∞型及⎪⎭
⎫
⎝⎛00型极
限的两个重要工具，它们分别适用于变量为“离散的”和“连续的”情形。

1、⎪⎭⎫ ⎝⎛型0
设{}n a 是趋于零的数列，{}n b 是递减趋于零的数列，则
当1
1
lim
+++∞
→--n n n n n b b a a 存在或为∞+时，n n n b a +∞→lim 也存在或为∞+，且n n n b a +∞→lim
=1
1lim +++∞→--n n n n n b b a
a 。

2、⎪⎭⎫
⎝⎛∞
∞
型设(),...2,11=<+n b b n n 且+∞=+∞→n n b lim ，如果n
n n
n n b b a a --+++∞
→11lim 存在或为∞+时，则n n n b a +∞
→lim
也存在或为∞+，且n n n b a +∞→lim =n
n n n n b b a
a --+++∞→11lim 。

例9 令()()()...2,11,1,011=-=∈+n x x x x n n n ，试证：1lim
=+∞
→n n nx 证明 ()()11211,1,0x x x x -=∈，则说明{}n x 为单调递减的， 而且是有下界数列，因此根据单调有界定理可知n n x +∞
→lim 存在，
设x x n n =+∞
→lim 在()n n n x x x -=+11两边取+∞→n 的极限， 可得到()x x x -=1则可得0=x 。

所以0lim =+∞
→n n x 设n
n x b 1
=，,...2,1=n 则+∞=+∞→n n b lim ，有 (),...2,11=<+n b b n n
所以利用定理2，有：
n
n n n n n n n n n x x x x n n x n nx 1
11lim 111lim 1lim
lim 11-
=--+==++∞→++∞→+∞
→+∞
→。

而 ()()n
n n n n n n n n n n x x x x x x x x x b b -=
-+-=--=-=
-++11
1111111111。

所以 ()11lim lim =-=+∞
→+∞→n n n n x nx 3、（∞
∞型斯托兹（stolz ）定理的推广）：设T 为正常数，若
()()[)+∞∈,,,a x x f x g 满足：
（1）()()(]+∞∈>+,,a x x g T x g ；
（2）()()()[)+∞+∞=∞
→,,,lim a x g x f x g x 在的任意子区间上有界； （3）()()()()
l x g T x g x f T x f x =-+-+∞
→lim
， 则()()
l x g x f x =∞
→lim 。

4、（0
0型斯托兹（stolz ）定理的推广）：设T 为正常数，若函数()()[)+∞∈,,,a x x f x g 满足：
（1）()()[)+∞∈<+<,,0a x x g T x g ；
（2）()()0lim ,0lim ==∞
→∞→x f x g x x ； （3）()()()()
l x g T x g x f T x f x =-+-+∞
→lim
， 则()()
l x g x f x =∞
→lim ，()2ελ<-x f n 。

例10 设()(),...2,11
==+n e x f n x
n ，数列{}n y 满足：
（1）01>=c y ，（2）()()...2,11
1
0==+⎰+n y dx x f n n n y n n ，求n n y ∞→lim 。

解 由条件（2）()n y n y dx x f n n n =+⎰+1
01，所以n n y y e n n =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++111
， 即
⎪⎭⎫
⎝
⎛+=++n y n y n n 1ln 11，令()n n n n n n nx y x x n y x =+==+,1ln ,1，
因为011>==c y x ，则()()0,...,01ln ,01ln 2312>>+=>+=n x x x x x ， 当0>x 时，()x x <+1ln ，则()n n n x x x <+=+1ln 1， 所以{}n x 是单调递减且有界的，所以极限存在。

设α=∞
→n n x lim
在()n n x x +=+1ln 1两边取∞→n 时的极限 ()αα+=1ln ，
所以0=α，即{}n x 是严格递减的且趋于0 所以⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n x 1是严格递增且趋于无穷的。

由定理n
n n n n n x n
nx y 1lim lim lim ∞
→∞→∞→==， n n x n 1lim ∞
→()n
n n n n n x x x x n n 1
1ln 11
lim 111lim 1-
+=--+=∞→+∞→()x x x 11ln 11lim 0-+=→。

()()()()()x x x x x x x
x x x x x x x x +++=+-
++
+=+-+=→→→1ln 1lim 1
1111ln lim
1ln 1ln lim
00
()21
1
1ln 1lim
=+++=→x x 。

（2）、利用压缩映像原理求数列极限
压缩映像原理 设10<<r ，以及A 是两个常数，{}n x 是一个给定数列，只要数列{}n x 满足下述条款之一：
（1）||||11-+-≤-n n n n x x r x x （2）||||1A x r A x n n -≤-+
那么数列{}n x 必收敛。

在（2）条款之下，A x n n =∞
→lim 。

推论1：设()x f 是[]b a ,上的压缩映射且[]()[]b a b a f ,,⊂，则()x f 在
[]b a ,上存在唯一的不动点c 。

推论2：设()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且存在
10<≤k ，对()b a x ,∈∀使得()k x f ≤'，则()x f 是[]b a ,上的压缩映射。

例11 设()1
2
-+=
x x x f ，数列{}n x 由如下递推公式定义：()()...2,1,0,,110===+n x f x x n n 。

求证：2lim =∞
→n n x 。

证明 由10=x ，()...2,1,0,11
1
1121=≥++=++=+n x x x x n n n n ()()()12
1
|11|||2
≥≤+-
='x x x f 当。

()()()||||||||111--+-⋅'=-=-∴n n n n n n x x f x f x f x x ξ ||2
1
1--≤n n x x
则数列{}n x 为压缩数列，l x n n =∴∞
→lim ，则由得
2,1
2
2=++=
l l l l 即， ()2lim 22=-==∴∞
→n n x l l ，此即舍去或。

例12 设4
1...,,...,,121>+=+==+a x a x a a x a x n n 。

试证数列{}n x 收敛并求极限。

解 考察函数()[)∞+∈+=，0,x x a x f ，且在[]∞+，0上有， ()121
21<≤+=
'a
x a x f
因此()x f 在[)∞+，
0是压缩的。

[)()n n x f x a x =+∞∈=+11,,0。

由压缩映射原理，数列{}n x 收敛且极限为方程()x a x f x +==的解，解之得：
2
411lim a
x n n +==
∞
→。

（3）、求形如()n n x f x =+1数列的极限
例13 设n
n x k
x +=
+11，其中k 与1x 为正数，则数列{}n x 收敛于k x x =+2的正根。

解 因为1x ，0>k ，所以对一切n 有k x n <<0，则数列{}n x 是一有界数列，但非单调，事实上，若01<--n n x x ，则
()()()
011111>++-=
---+n n n n n n x x x x k x x ，考察 ()()()
|11|
||111--+++-=-n n n n n n x x x x k x x 由于()()()k x x x x n n n n +=++>++--1111111，故
||1...||1||121
11x x k k x x k k x x n n n n n -⎪
⎭
⎫
⎝⎛+<<-+<---+
∑∞
=+-1
1
||n n n x x
收敛，从而数列{}n x 收敛，由于0>n x ，则0lim 0≥=∞
→x x n n ，在
等式n
n x k x +=+11两边取极限，得k x x =+02
0，故0x 是方程k x x =+2的正根。

（4）、根据递推关系写出通项公式，进而求数列极限
例14 设()n
x n x x b x a x n
n n 212,,1110-+===-+，求n n x ∞→lim 。

解 由递推关系 ()1121
-+--=-n n n n x x n
x x 得
()()
()2111121
2121---+--⋅
=--=-n n n n n n x x n n x x n x x
()()()0121221
1...x x n n n
-⋅⋅⋅-⋅-==
()()01
!
1
2
1x x n n
n -⋅-=
于是有
()()
()()()()
10101120111101
12
1
...!11
2
1!121x x x x x x x x x x n x x x x
n x x n n n n n
n n
n -=---=---⋅
-=--⋅-=----+
可得
()()
()()()
a b e a b k a x x x n x x k k k
n n n n n -=-⋅-=--⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅-++⋅-⋅+-=--
∞
=+∞→+∑21
1013201!1211lim !121...!
3121!2121211
故 ()a b e a x n n -+=-
∞
→2
1lim （5）、利用定积分定义求数列极限
由定积分的定义我们知道，定积分是某一个和式的极限。

如果关于n 的某一和数可以表示一积分和形式，则可利用定积分的值求出这一和数的极限值，而要利用定积分求极限，其关键在于将和数化成某一积分和的形式。

例15 求⎪⎭
⎫
⎝⎛++++++∞→n n n n n 1...2111lim 解
∑=⋅
+=⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡++
++++=++++++n k n n
k n n n n n n
n n n 111111...21111111...2111 ?
令()10,11
≤≤+=
x x
x f ，则由定积分定义知 n n
k dx x n
k n 111lim 1111
⋅+
=+∑⎰=∞→ ? 又2ln 11
1
0=+⎰dx x
由得2ln 1...2111lim =⎪⎭⎫
⎝
⎛++++++∞→n n n n n （6）、利用级数收敛的必要条件求极限
若级数∑∞
=0n n u 收敛，则当n 无限增大时，它的一般项n u 必趋近
于零：0lim =∞
→n n
u 。

所以，若把所求之数列视为一个级数的通项，如果能判别此级数收敛，则此数列之极限必为零。

例16 试证数列()()
()......3,2,11385210131211=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n n x n 有极限并求此极限
证明 当11
310
6<-+≥n n n 时，可证。

故{}n x 当6>n 时为单调减小，且有下界大于0，故n n x ∞
→lim 存在。

再考虑正项级数131
2311lim lim
,11<=++=∞→+∞→∞
=∑n n x x x n n n n n n 因为，
由此可知级数∑∞
=1
n n x 收敛，所以0lim =∞
→n n x 。

（7）、利用e n n
n =⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞
→11lim 来求数列极限
用这种方法有一定的局限性，因为它要求所求数列和这种形式有
一定的形似性。

一般对于∞
1型的数列()∞→⎪⎭
⎫
⎝⎛+n n n
11的极限求法，或
推广成求数列极限()()()
()
n u n u n u 11lim +∞
→。

仍有很大的方便性。

例17 求下列极限（1）n
n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→11lim ；（2）n
n n ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+∞
→211lim 。

解 （1）n
n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞
→11lim ⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛
-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∞→∞→1111111lim 1lim 1n n n n n n n n e n n n n 1
111111lim 1
1
=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛
-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=
-∞→ （2）设2
1
1n a n +=则0>n a ，01lim >=∞→n n
n n ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+
∞
→211lim 111lim 11lim 2
2212=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=∞
→⋅∞→n n n n
n n n n 。

（8）、利用函数的归结原则来求数列的不定式极限
对于数列的不定式极限，可利用函数极限的归结原则，通过先求相应形式的函数极限而得到结果。

归结原则有时称海涅定理，它
是说：设f 在()'00;δx U 内有定义，()x f x
x 0
lim → 存在的充要条件是：对任何含于()'00;δx U 且以0x 为极限的数列{n x }，极限()n n x f ∞
→lim 都存在且相等。

例18 求数列极限n
n n n ⎪⎭
⎫
⎝⎛++∞
→2111lim 。

解 先求函数极限x
x x x ⎪⎭
⎫
⎝⎛+++∞
→2111lim 取对数后的极限为 ()
x
x x x x x x x x 1ln 1ln lim 111ln lim 222-++=⎪⎭⎫
⎝
⎛+++∞→+∞→ 112lim 1
2
112lim 2222=+++=--+++=+∞→+∞→x x x x x
x x x x x x ，
所以由归结原则可得
e x x n n x
x n
n =⎪⎭
⎫
⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞
→22111lim 111lim 。

（9）、使用洛必达法则求数列极限
因为数列中的n 表示自然数，它不是连续变量。

所以数列没有导数。

从而不能直接用洛必达法则求解数列极限。

首先把数列极限转化为函数极限，然后利用归结原则求数列极限。

例19 求极限⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∞→1lim 1n n e n 。

解 先求2
1
211
11lim 11lim 1lim x
e x x e e x x
x x
x x x --=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→+∞→+∞→ 1lim 01===+∞
→e e x
x 所以 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∞→1lim 1n n e n =1。

（10）、利用子序列的极限与函数的极限等值定理，求数列极限
将序列中的自然数n 换成连续变量x ，求出形式相同的函数的极限，即得数列的极限。

例20 求下列极限：（1）()1lim -∞
→n n n n ；（2）2
1sin lim n n n n ⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
∞
→。

解：（1）()2
1
11lim
1lim -+∞
→+∞→-=-x x x x x
x x n
23
22ln 12
1ln 12
11ln 1
lim
1
lim
-+∞
→-+∞
→-⎪
⎭⎫ ⎝⎛+-=-=x x x x e x
e
x x
x x x
x ()02lim
21lim
22
11==-=+∞
→+∞
→x x
inx e
x inx x
x
所以()1lim -∞
→n n n n 0= （2）2
211sin 1lim 1sin lim x x x x x
x x x ⎥⎦
⎤⎢
⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
+∞→+∞→， 30201
2sin lim 1
sin 1
lim 11sin lim u u u u u u x x x u u x
u x -=-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++→→=
+∞→令 61
6sin lim 31cos lim
02
0-=-=-=++→→u u u u u u 。

6
1
2
1sin lim -
+∞→=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
e x x x x ，
故 2
1sin lim n n n n ⎪⎭⎫
⎝
⎛∞→6
1-
=e。

（11）、利用上、下极限来求数列的极限
我们可以这样理解：如果在实数数列{n x }（或变量n x ）中，存在收敛于数a （有限数，∞+，∞-）的子数列{k
n x }，而且数列{n x }中其
他任何收敛数列收敛到不大于（不小于）a 的数，那么数a 称为数列
{n x }的上极限（下极限）。

记作⎪⎭
⎫
⎝
⎛n n x x lim lim 或()n n x x inf lim sup lim 。

数
列n x 只能有一个上极限（下极限）。

上、下极限运算有下列简单性质：
(1) 若n n y x ≤，则n n n n y x ∞
→∞→≤lim lim ，;lim lim n n n n y x ∞
→∞
→≤ (2) 若{n x }、{n y }的上、下极限的存在有限，则 ()n n n n n n n n n n n y x y x y x ∞
→∞
→∞
→∞
→∞
→+≤+≤+lim lim lim lim lim
()n n n n n n n n n n n y x y x y x ∞
→∞→∞→∞→∞
→+≤+≤+lim lim lim lim lim ，又若0,≥n n y x ，则
()n n n n n n n n n n n y x y x y x ∞
→∞
→∞
→∞
→∞
→≤≤lim lim lim lim lim ；
(3)若n n x ∞
→lim 存在有限，则对任何{n y }有()n n n n n n n y x y x ∞
→∞→∞→+=+lim lim lim
， ()n n n n n n n y x y x ∞
→∞→∞→=lim lim lim
()0≥n x 定理 A x n n =∞
→lim （有限或无穷大）A x x n n n n ==⇔∞
→∞
→lim lim 利用本定理证明数列极限存在的方法通常是根据条件证明
n n n n x x ∞
→∞
→≤lim lim 。

例21 设非负实数列{}n a 中任何两项都满足不等式m n m n a a a ≤+求证序列{n n a }当∞→n 时有有限极限。

证 若{}n a 中有某个0=p a 。

则由00=⋅≤+m m p a a 可知对任何p n ≥。

恒有,0=n a 从而0lim =∞
→n n n a 。

故不妨设()n a n ∀>0，令n n a b ln =，则n m n m b b b +≤+。

固定自然数p ，对任一自然数n ，令r mp n +=，
p r <≤0，则r p r m p n b mb b b +≤=+
r
mp b r mp mb n b r
p n ++
+≤ 所以 p
b n b p
n n ≤∞
→lim。

由上式知，n
b n
n ∞
→lim
是一个有限数或者∞-，在上式中令∞→p 两边去取下极限，得 p
b n b p p n
n ∞→∞→≤lim lim
则n b n b n n n n ∞→∞→=lim lim 所以n
b n
n ∞→lim 存在有限或者等于∞-，从而n b
n n n n n
e a ∞→∞→=lim lim
存在有限。

（12）、利用幂级数的和函数求数列极限
当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常常可以辅助性地构造一个函数项级数（通常是幂级数，有时是傅立叶级数）使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。

例22 求极限⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+++
+-∞
→123333
21lim n n n 解 若构造幂级数∑∞
=-1
1n n nx ，则所求极限恰好是此级数的和函数在
31
=x 初的值。

考虑幂级数∑∞
=-11n n nx ，由于 11lim
lim 1=+=∞→+∞→n n a a n n
n n ， 故当()1,1-∈x 时，该级数收敛 设()∑∞
=-=11n n nx x s ，于是有
()()2
1111x x x x x s n n -='
⎪⎭
⎫
⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∞= ，∈x （-1，1） 从而原式()4
9331
1
=
==∑
∞
=-s n n n 。

（13）、利用反常积分的结论求数列的极限
在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性，但在很多问题时往往需要突破这些限制，所以我
们有了相应的两类反常积分。

众所周知，如果()x f 在[]b a ,上正常可积，则()n n
k kn b
a n f dx x f δ∑⎰=∞
→=1
lim ，其中n
a
b n -=
δ，().,,2,1,n k k a f f n kn =+=δ对于反常积分，我们有以下的结论。

(1)、设()x f 在（0，1）上是单调的，1,0==x x 可以是()x f 的奇点，如果
()dx x f ⎰
1
收敛，则()⎰∑=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=∞
→1
01
11lim dx x f n k f n n k n ；
(2)、设()x f 在[0，∞+]上单调且()⎰
+∞
dx x f ，()()dx x f nh f h n h ⎰
∑+∞
+∞
=+
→=0
1
0lim 。

例23 试求.lim 2
12
2∑
=∞
→+n j n j
n n
解 令∑
∑==⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=2
2
12
122111n
j n j n n j n j
n n S ，则根据不等式
⎰
⎰
-++<⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⋅<+n j n
j n j n
j x dx
n j n
x dx 12
2
1
21111
1 可得 ⎰⎰
+<<++n n n n n
x dx
S x dx 02112
112 所以 21lim
02
π
=+=⎰+∞
∞
→x
dx S n n 例24 计算()
.1lim
121
22
4
n
n
i n i n
n ∏=∞→+
解 令
()
n
n i n
n n
n i n n i n n
i
n n a 1
2122
224121
2
24111∏∏=⋅=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
+= 则 ∑=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n i n n i n a 2121ln 1ln
故 ()dx x a n n ⎰+=∞
→2
021ln ln lim
2arctan 45ln 2+-=
{}2arctan 245ln 2exp lim +-=∞→n n a （14）、阶的估计法求数列极限
设()a x x g →≠,0，这里a 可以是∞,0或其他实数 ，则
()()()()()()()
()()()()
()()()()
()
()()()x g O x f A x g x f x g O x f A x g x f x g x f x g x f x g o x f x g x f a
x a x a x =⇔<=⇔≠−−→−⇔−−→−=⇔−−→−*
→→→0~10
特别地
()()()()()()()()()0
10
11≠→⇔=→⇔=≤⇔=*A x f O x f x f o x f A
x f x f
在用阶的估计来求极限过程中需要初等函数()x f 的泰勒公式
()()()()
10!
0+=+=∑
n n
k k
k x O x k f x f （0→x 时） 常用的估计式有()0→x ：
()()
()()()()()()
()()()()
()()
.
3
tan 6;
!21cos 5;!
3sin 4;
113;
2
1ln 2;
1153
42
5
3
232
2x O x x x x O x x x O x x x x O ax x x O x x x x O x e a x
++=+-=+-=++=++-=+++=
更一般地，以上表达式中x 可换成()x f ，其中().0lim 0
=→x f x
例25 求极限n
x n n cos lim ∞
→ 。

解 有
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2
21
21log 22
121cos n o n x n n
n
e n O n x n x
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==n o x n o n x n e
e 1121
2222
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-
n O e
x 112
2。

例26 求极限()12lim
+∞
→-n n n x x n ， ()0>x 解 由()
()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-+-+1112121n n n
n n
x x n x x n ()⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=+-x n n n
e
x n log 11121 ()⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=41
2
1log 11
11n O x n n x n n
()⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛⎪⎭⎫
⎝⎛++=41
2
11log n O n n x x n n
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=41
1log n O x x n
， 得到
x x x n n n n log lim 11
12=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+∞
→。

结 束 语
极限是高等数学中的重要组成部分，它是研究高等数学中其它问题的重要工具。

研究极限核心问题是极限的求法。

因此，掌握极限的求法显得尤为重要。

以上总结了几种数列极限的求法。

在作题
时，应注意多种方法的综合应用。

对于不同的题目可有多种方法求解，在求解时应注意题目的特点，根据其特点，选择适当的方法。

参考文献：
[1]华东师范大学数学系编：《数学分析》，高等教育出版社.
[2]钱吉林等主编:《数学分析题解精粹》，崇文书局.
[3]杨传林编：《数学分析解题思想与方法》，浙江大学出版社.
[4]宋国柱编：《分析中的基本定理和典型方法》，科学出版社.
[5]潘承洞，于秀源编：《阶的估计》,山东科学技术出版社.
[6]李经文编：《数学分析纵横谈》,北京气象出版社.。