赋范线性空间中渐近伪压缩映象不动点迭代逼近的充要条件
渐近非扩张映像不动点的三重迭代逼近问题
｛ Ｃ［ ， ，ｉ ， ｋ ｝ １ ∞） ｌ ｍｋ ＝１ 而且 Ｖ Ｙ∈ 存 在 ｊ ， Ｄ， ： （
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１ 引 言及 预 备 知识
本 文设 Ｅ是一 实 Ｂ ｎｃ 间 ， ａａｈ空 Ｅ 是 的 对偶 空 间 ， ・， 表 Ｅ与 间 的配 对 ， 像 ． Ｅ ＜ ・＞ 映 ， 一 ：
第２ 卷 第２ ６ 期
２１ 年 ４ ００ 月
哈 尔 滨 商 业 大 学 学 报（ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｒ ｉ ｉｅｓ ｙｏ ｏ ｏ ｒ ａ ｂｎＵｎｖ ｒｉ ｆＣБайду номын сангаасｍｍｅｃ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅ ｄｔ ｎ ｏ Ｈａ ｔ ｒｅ（ ａｕ ａ ｉ ｃｓ ｉｏ ） Ｓｅ Ｅ ｉ
Ｖ ． ｏ ｏ２ Ｎ． １６ ２
Ａ ｒ ００ ｐ． １ ２
渐 近 非 扩 张 映像 不 动点 的三重 迭 代 逼近 问题
杨晓薇 ， 力滨 ， 许 崔云安 ， 桂艳 丽
（ 哈尔滨理工大学 应用科学学院 ， 哈尔滨 １０ ８ ） ５０ ０ 摘 要 ： 究 了Ｂ ｎ ｃ 研 ａａｈ中渐近 非扩 张映像和 渐近伪压缩映像不动点的迭代逼近问题 ．
（ —Ｙ （ ） — ， ， ）＝
３ Ｔ称 为 渐 近 伪 压 缩 的 ， 果 存 在 实 数 列 ） 如
收 稿 Ｅ期 ：０ ９一 ８—２ ． ｔ ２０ Ｏ ９
基金项 目： 黑龙江省教育厅海外学人项 目
作者简 介： 杨晓薇 （９ １ ， ， １８ 一） 女 硕士 ， 究方 向 ： 研 泛函分析不动点方向
｛ ｝ １ ∞） ｌ ｋ ＝１使得 ｌ ｃ［ ， ， ｍ ， ｉ ｌ
ｌ — ， Ｖ Ｙ∈ Ｖ凡 ． Ｉ Ｙ Ｉ ， Ｄ Ｉ ≥１
一 ）ｌ≤ｋ ，ｌ
Banach空间多值Φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近
Banach空间多值Φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近
刘丽莉;师涌江;刘桂霞
【期刊名称】《河北师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2006(30)1
【摘要】在一般Banach空间中,利用多值映像一致连续的性质,研究了多值Φ强伪压缩映像不动点的具误差的Ishikawa及Mann迭代逼近问题,得出了Ishikawa,Mann迭代序列强收敛的一个充分条件.由于单值映像是多值映像的特殊情况,故该结果改进和推广了近期相关结果.
【总页数】4页(P10-12)
【关键词】多值Ф-强伪压缩映像;具谩差的Ishikawa迭代序列;具谩差的Mann迭代序列
【作者】刘丽莉;师涌江;刘桂霞
【作者单位】河北建筑工程学院数学物理系
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.多值Ф-强伪压缩映像公共不动点的Ishikawa迭代逼近 [J], 冉凯;惠存阳;赵凤群
2.一致光滑Banach空间中多值Ф-伪压缩映象不动点的带随机混合型误差的迭代逼近 [J], 张树义
3.多值φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近 [J], 冉凯
4.多值Ф-强伪压缩映像不动点的迭代逼近 [J], 李德瑾;赵凤群
5.多值Φ-强伪压缩映像不动点的集合序列的Ishikawa迭代逼近 [J], 冉凯;赵凤群因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
Lipschitz局部严格伪压缩映象的迭代逼近
Lipschitz局部严格伪压缩映象的迭代逼近
邓磊;丁协平
【期刊名称】《应用数学和力学》
【年(卷),期】1994(15)2
【摘要】设Ｋ是一致光滑Ｂａｎａｃｈ空间Ｋ的非空子集，Ｔ：Ｋ→Ｘ是Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ局部严格伪压缩映象。
本文给出一个迭代序列强收敛到Ｔ的唯一不动点，并给出一个涉及Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ局部强增殖映象Ｔ的非线性方程Ｔｘ＝ｆ的解的迭代逼近。
【总页数】5页(P115-119)
【关键词】压缩现象;不动点;迭代逼近
【作者】邓磊;丁协平
【作者单位】重庆师范专科学校,四川师范大学
【正文语种】中文
【中图分类】O189.2
【相关文献】
1.Banach空间中Lipschitz局部严格伪压缩映象带误差的Ishikawa迭代过程 [J], 杨永琴
2.Lipschitz严格伪压缩映象的具误差的迭代逼近 [J], 金茂明
3.Banach空间中Lipschitz严格伪压缩映象的带误差的Ishikawa型迭代逼近 [J], 王黎明;崔艳兰
4.非Lipschitz的渐近弱伪压缩映象不动点的迭代逼近 [J], 沈霞;孟京华;刘文军
5.Banach空间中Lipschitz严格伪压缩映象的迭代逼近 [J], 曾六川; 杨亚立因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
有限族渐近伪压缩映象Ishikawa迭代收敛的充要条件
０ 引 言
设 Ｅ是实 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ 空间 ， Ｅ 是 Ｅ的对偶空间， 是 Ｅ到 ２ （ 其中１ ＜ ｐ ＜＋ 。 。 ） 的对偶映象 ， 定义为 （ ） ＝｛ ｆ Ｅ Ｅ ： （ ＝ ， ｌ ｌ 川 ＝ ｝ ， 其中（・ ， ・ ）表示 Ｅ和 Ｅ 的广义对偶组 对应的有规函数
渤海大学学报 （ 自然科 学版 ）
第３ ４卷
的修改的 Ｉ ｓ ｈ ｉ ｋ ａ ｗ ａ 迭代序列． 在一致光滑 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ空间中， 张石生教授…研究了渐近伪压缩映象和渐近非扩张映象不动点 的迭代
第３ ４卷 第 ４期
２ ０ １ ３年 １ ２月
渤海 大 学学 报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｂ ｏ ｈ ａ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
收稿 Ｅ ｔ 期： ２ ０ １ ３— ０ ６—１ ５ ．
基金项 目： 国家 自然科学基金 （ Ｎ ｏ ： １ １ ３ ７ １ ０ ７ ０ ） ． 作者简介 ： 张树义（ １ ９ ６ ０一） ， 男， 教授 ， 主要从事非线性算子迭代逼近理论 ， 变分不等式与优化理论方面研究
通讯作者 ： ｊ ｚ ｚ ｈ ａ ｎ ｇ ｓ ｈ ｕ ｙ ｉ ＠１ ２ ６ ． Ｃ Ｏ Ｉ Ｔ Ｉ ．
（ ） ＝ ｔ ｐ ～ ．当Ｐ＝ ２ 时， 具有规函数 （ ｔ ） ＝ ｔ 的对偶映象就是正规对偶映象 ， 记为 ． ， ．已知 （ ） ＝
（ ） ， Ｖ ｘ ∈ Ｅ且 ｘ ＃ ０ ， １ ＜ Ｐ＜＋ ∞． 对偶映象 （ ） 可等价地定义为泛函 （ ） ＝ ｐ （ ） ＝ （ ） ＝｛ ， ∈ Ｅ ’ ： （ ｙ ） 一 （ ） ≥（ Ｙ — 的单值映象． 用Ｄ （ ） 和Ｆ （ ） 分别表示映象 的定义域和不动点集．
(完整word版)泛函期末试题(A)
本试卷需：答题纸 5 页、草稿纸 2 页 试卷审核时间： 年 月 日考试时间：120分钟 考试方式：闭卷（提示：答案必须依试题顺序做在答题册上，并标明大、小题号，否则不予计分）一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）.A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B. 1≥-≤-αα， y x Ty Tx C. 10<<-≥-αα， y x Ty Tx D. 1≥-≥-αα， y x Ty Tx2. 设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）.A. 0等价于0且,0==≥x x xB. ()数复为任意实,αααx x =C. y x y x +≤+D. y x xy +≤3．下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）.A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列C ．基本点列是有界点列 D. 收敛点列是有界点列4. 设X 是复内积空间则下列哪个式子不成立（ ）.A ．X y x x y y x ∈∀=,,,,B. ααα,,,,,X y x y x y x ∈∀=为复数C. X x x x x ∈∀=,,2D. βαβααβα,,,,,,,,X z y x z x y x z y x ∈∀+=+为复数5. 设f 是度量空间X 到度量空间Y 上的连续影射，则下列说法哪个不成立（ ）.A ． Y 中()f x 的邻域U 的原像()1f U -是X 中x 的邻域续影的连续影YY y X x y A y Ax ∈∀∈∀=*,,,, B. *=A A C. D. ()A A =**二、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”，每小题3分，共15分）1．度量空间中的收敛点列是有界点集 （ ）课程考核试卷装订线2．度量空间中的柯西点列是收敛点列. （ ）3. 任何空间中压缩映射都有唯一的不动点. （ ）4. 内积空间是一种特殊的赋范线性空间. （ ）5. 强收敛一定弱收敛，但弱收敛不一定强收敛. （ ）三、填空题（每小题4分，共20分）1． 称为Banach 空间.2．设X 是内积空间，X y x ∈,，如果 ，则称x 与y 相互正交或垂直.3. 用极限来描述连续映射：设T 度量空间X 到Y 中的映射，那么T 在X x ∈0连续的充要条件为.4.设X 是赋范线性空间，f 是X 上的线性泛函，()f N 表示f 的零空间，那么f 是X 上的连续线性泛函的充要条件是()f N 是X 中的 .5.设X 是内积空间，X y x ∈,，请写出Schwarz 不等式.四、证明题（每小题10分，共50分）1．证明：设X 是实内积空间，X y x ∈∀,，有下式成立： ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=2241,y x y x y x . 2．设{}n x是内积空间X 中点列，若()∞→→n x x n ，且对一切X y ∈有 ()∞→→n y x y x n ,,，证明：()∞→→n x x n .3．证明：设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 中的线性算子，则T 为有界线性算子的充要条件为T 是X 上连续线性算子.4. 设n j i a ij ,2,1,,=为一组实数，适合条件()121,<-∑=n j i ijij a δ，其中ij δ当j i =时为1，否则为0.证明：代数方程组有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212111212111 对任何一组固定的,,,21n b b b 必有唯一解.,,21n x x x5.设n X X X ,,21 是一列Banach 空间，{} n x x x x ,,21=是一列元素，其中n n X x ∈, 并且∞<∑∞=1n p nx ，这种元素列全体记成X ，类似通常数列的加法和数乘，在X 中引入线性运算.若令p n p n x x 11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∞= 证明：当1≥p 时，X 是Banch 空间.。
严格伪压缩映象不动点的近似逼近
严格伪压缩映象不动点的近似逼近
赵宇;王素霞
【期刊名称】《石家庄铁路职业技术学院学报》
【年(卷),期】2004(003)001
【摘要】证明当T是Q一致光滑Banach空间X的有界闭凸子集到自身的严格伪压缩映象时,Ishikawa迭代法强收敛到T的唯一不动点;又当T∶XX是强增生算子时,Ishikawa迭代法强收敛到方程Tx=f的唯一解.
【总页数】3页(P54-56)
【作者】赵宇;王素霞
【作者单位】西藏自治区山南地区教体局,山南,856000;石家庄市无线电三厂,石家庄,050002
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.凸度量空间中两无限族严格拟渐近伪压缩映象公共不动点的逼近 [J], 刘敏
2.关于广义变分不等式的解和严格伪压缩映象不动点的迭代逼近 [J], 李付成;谷峰
3.迭代算法逼近严格伪压缩映象最小范数不动点与变分不等式解 [J], 徐卫;李冰冰;屠国燕;董力强
4.φ强伪压缩映象不动点的近似逼近 [J], 野金花;崔云安
5.均衡问题与无限族k-严格伪压缩映象的公共不动点的迭代逼近 [J], 周光亚
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有限个广义φ-伪压缩映像不动点的迭代逼近
有限个广义φ-伪压缩映像不动点的迭代逼近冯媛媛;崔艳兰;许霞【摘要】在Banach空间中,给出了有限个广义φ-伪压缩映像的迭代逼近,并证明了一个强收敛定理,此结果推广了原有的相关结果.【期刊名称】《延安大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(029)002【总页数】3页(P22-24)【关键词】Banach空间;广义φ-伪压缩映像;不动点;迭代序列【作者】冯媛媛;崔艳兰;许霞【作者单位】延安大学,数学与计算机科学学院,陕西,延安,716000;延安大学,数学与计算机科学学院,陕西,延安,716000;延安大学,数学与计算机科学学院,陕西,延安,716000【正文语种】中文【中图分类】O177.91在Banach空间中，关于φ－伪压缩映像不动点的迭代逼近问题已经被许多作者深入研究，并获得一系列很好的结果。
2008年，胡洪萍［1］等引入了广义φ－伪压缩映像，并证明了迭代序列的收敛定理。
本文在此基础上，定义了有限个迭代程序，并证明了其迭代的收敛定理。
设E是一个实的Banach空间，〈·，·〉和‖·‖为其广义对偶对和范数，E*是 E的对偶空间，映像 Jp：E→2E*（其中1＜p＜∞）是由下式定义的对偶映像：注1 当p＝2时，对应的J2就是正规对偶映像，即很显然，Jp（x）＝‖x‖p－2J2（x），∀x∈E且x≠0。
定义1 设 D是 E的一非空子集，T：D→E是一映像。
φ：［0，∞］→［0，∞）是一严格递增的函数，满足φ（0）＝0。
（1）T称为φ－伪压缩的［2］，如果存在一点x*∈ D，使得∀x∈D，存在j（x －x*）∈J（x－x*），满足〈Tx－x*，j（x－x*）〉≤‖x－x*‖2－φ（‖x－x*‖）；（2）T称为广义φ－伪压缩的［1］，如果存在一点x*∈D，使得∀x∈D，存在∀jp（x－x*）∈Jp（x－x*）满足〈Tx－x*，jp（x－x*）〉≤‖x－x*‖p－φ（‖xx*‖）；注2 φ－伪压缩映像是广义φ－伪压缩映像当 p＝2时的特例。
Lipschitzф—半压缩映象的不动点迭代逼近
Lipschitzф—半压缩映象的不动点迭代逼近
周海云
【期刊名称】《《数学年刊：A辑》》
【年(卷),期】1999(20A)003
【摘要】设X为一致光滑的Banach空间，K为X的非空凸子集，T：
K→KLipschitzφ半压缩映象，设和为[0，1]中的实数列且满足一定条件，则Ishikawa迭代序列强收敛于T的唯一不动点。
【总页数】4页(P399-402)
【作者】周海云
【作者单位】石家庄军事工程学院基础部
【正文语种】中文
【中图分类】O189.2
【相关文献】
1.一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近? [J], 王绍荣;何彩香;杨泽恒;熊明
2.非Lipschitz渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近 [J], 张树义;宋晓光;万美玲;李丹
3.Lipschitz ψ-半压缩映象不动点的迭代逼近 [J], 张树义
4.非Lipschitz的渐近弱伪压缩映象不动点的迭代逼近 [J], 沈霞;孟京华;刘文军
5.一致L-Lipschitz的渐近伪压缩非自映象不动点的迭代逼近 [J], 张芳;向长合因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
Hilbert空间中(Φ)-强伪压缩映像的一个注记
Hilbert空间中(Φ)-强伪压缩映像的一个注记张树义;宋晓光【摘要】Abstract; Iteractive approximation problem of fixed points for a class of φstrongly pseudocontractive maps without continuity or even without boundedness in Hilbert space were studied under condtion cn ‖xn - Txn ‖ 2→0(n→∞ ) , the strongly convergence theorem was established.%在cn||xn - Txn‖ 2→0(n→∞)的条件下,在Hilbert空间中研究了一类未必连续,甚至未必有界的(Φ)-强伪压缩映像的不动点的迭代序列逼近问题,获得了一个强收敛定理.【期刊名称】《浙江师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(036)001【总页数】3页(P28-30)【关键词】Hilbert空间;(Φ)-强伪压缩映像;Mann迭代序列;不动点【作者】张树义;宋晓光【作者单位】渤海大学数理学院,辽宁锦州 121013;渤海大学数理学院,辽宁锦州121013【正文语种】中文【中图分类】O177.91关于φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近问题已在Hilbert空间或Banach空间并在映像具有Lipschitz或有界条件下进行了广泛研究，获得了一系列重要的成果[1-5].文献[2]对既非Lipschitz也非有界的φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近问题进行了研究，其结果为以下定理:定理1 设H为实Hilbert空间,K为H中非空凸子集,T:K→K为φ-强伪压缩映像(未必连续,未必有界).假设T在K中有一个不动点x*,设{cn}为(0,1)中的数列,满足对任意初值x1∈K,迭代地定义序列{xn}n≥1为若‖xn-Txn‖2<∞，则{xn}强收敛于T的唯一不动点x*.文献[2]指出：条件‖xn-Txn‖2<∞是可控的，特别当K为有界子集时，足以保证‖xn-Txn‖2<∞成立.一个问题是:当不收敛，但有cn→0(n→∞)时,就未必能保证‖xn-Txn‖2<∞，此时定理1就不易使用.本文的目的是:在cn‖xn-Txn‖2→0(n→∞)的条件下证明上述结果成立.此时,当K为有界子集时，cn→0(n→∞)足以保证cn‖xn-Txn‖2→0(n→∞).本文的结果是定理1的一种推广. 设H为实Hilbert空间,K为H中非空凸子集,称映像T:K→K为φ-强伪压缩的,如果存在一个严格增加的函数φ:R+=[0,+∞)→R+,满足φ(0)=0,使得对∀x,y∈K,恒有如果φ(t)=kt,k∈(0,1),则称相应的映像T为强伪压缩的;如果φ(t)=0,则称相应的映像T为伪压缩的.伪压缩映像的重要性在于它与增生算子之间的密切联系.记A=I-T,其中I:H→H为恒等映像,则T:K→K为伪压缩的(强伪压缩的,φ-强伪压缩的)当且仅当A:K→H是增生的(强增生的,φ-强增生的).引理1[2] 设H为实Hilbert空间,对于∀λ∈[0,1],∀x,y∈H,有‖x+y‖2=‖x‖2+2〈y,x〉+‖y‖2.定理2 设H为实Hilbert空间,K为H中非空凸子集,T:K→K为φ-强伪压缩映像(未必连续,未必有界).假设T在K中有一个不动点x*,设{cn}为(0,1)中的数列,满足对任意初值x1∈K,Mann迭代定义序列{xn}xn≥1为若cn‖xn-Txn‖2→0(n→∞)，则{xn}强收敛于T的唯一不动点x*.证明由式(1)易知T有唯一不动点x*.由式(2)与引理1得‖xn+1-x*‖2=(1-cn)2‖xn-x*‖2+2cn(1-cn)〈Txn-Tx*,xn-x*〉+c2n‖Txn-Tx*‖2(4)将式(3)代入式(4)得‖xn+1-x*‖2≤(1-cn)‖xn-x*‖2-2cn(1-cn)φ(‖xn-x*‖)‖xn-x*‖+cn‖xn+1-x*‖2+c2n(1-cn)‖xn-Txn‖2.将式(5)中的cn‖xn+1-x*‖2移项后并约去公因子1-cn得令τ.下面证明τ=0.若τ>0,则对∀n≥1,有得φ(‖xn-x*‖)≥φ(τ)，∀n≥1.由cn‖xn-Txn‖2→0(n→∞)知，∃n1>0，对∀n≥n1，有cn‖xn-Txn‖2<τφ(τ), 从而由式(6)知，对∀n≥n1,有由此得进一步‖xn1-x*‖2<∞.与矛盾.故τ=0.从而必存在子列{xnj}⊂{xn}，使得断定{‖xnj-x*‖}有界.若相反,即{‖xnj-x*‖}无界,则必存在子列{‖xnjk-x*‖}⊂{‖xnj-x*‖},使‖xnjk-x*‖→0(k→∞).因此,→1(k→∞).与式(7)矛盾.故{‖xnj-x*‖}有界,从而由于因此,对∀ε>0,∃n2>n1,使得对∀n>n2,有cn‖xn-Txn‖‖xn+1-xn‖进而‖xn+1-xn‖<.又因为‖xnj-x*‖→0(j→∞),所以存在N>n2,使得‖xN-x*‖<ε.下面证明:对∀k≥N,有‖xk-x*‖≤ε.当k=N时,结论显然成立.假设当k≥N时,结论成立.下面证明对k+1时结论也成立.假设结论不成立,则有‖xk+1-x*‖>ε,从而由式(6)有得到矛盾.因此,对∀k≥N,有‖xk-x*‖≤ε.于是‖xk-x*‖≤ε.由ε的任意性知xn→x*(n→∞).定理2证毕.【相关文献】[1]Chang S S,Cho Y J,Zhou H Y.Iterative methods for nonlinear operator equations on Banach spaces[M].New York:Nova Sci Publishers,2002.[2]张明虎,周和月.Hilbert空间中φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近[J].河北师范大学学报:自然科学版,2006,30(5):516-521.[3]谷峰.关于φ-伪压缩型映像的具误差的Ishikawa和Mann迭代过程的收敛性问题[J].数学年刊,2002,23A(1):49-54.[4]张树义.Lipschitz φ-半压缩映像不动点的迭代逼近[J].鲁东大学学报:自然科学版,2007,23(1):14-18.[5]宣渭峰,王元恒.双复合修正的Ishikawa迭代逼近非扩张映像不动点[J].浙江师范大学学报:自然科学版,2009，32(4):401-405.。
Hilbert空间中渐近半压缩型映象的不动点的迭代逼近
Hilbert空间中渐近半压缩型映象的不动点的迭代逼近曾六川;闻涛【摘要】Investigates the convergence criteria of the modified Ishikawa iteration process with errors for the iterative approximation of fixed points of asymptotically hemicontractive type mappings in a real Hilbert space.%研究实Hilbert空间中用于迭代逼近渐近半压缩型映象不动点的带误差的修正的Ishikawa迭代程序的收敛判据.【期刊名称】《上海师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2005(034)001【总页数】6页(P6-11)【关键词】Hilbert空间;渐近半压缩型映象;带误差的修正的Ishikawa迭代程序;不动点【作者】曾六川;闻涛【作者单位】上海师范大学,数理信息学院,上海,200234;上海师范大学,数理信息学院,上海,200234【正文语种】中文【中图分类】O177.91Throughout this paper, let H be a real Hilbert space with norm and K be a nonempty convex subset of H. Let T:K → K be a mapping and F( T )denote the set of all fixed points of T in K .Definition 1 A mapping T:K → K is said to be(i) nonexpansive if(1)(ii) an asymptotically hemicontractive type mapping if F( T ) ≠ ∅ and(2)(iii) uniformly L -Lipschitzian if there exists a positive number L>0 such that(iv) compact if T is continuous and maps each bounded subset into a relatively compact subset.It is easy to see that the class of nonexpansive mappings with fixed points is a subclass of the class of asymptotically hemicontractive type mappings. Definition 2 (i) The Modified Ishikawa Iteration Process with Errors. Let K b e a nonempty convex subset of H, T:K → K be a mapping, x0 ∈ K be a given point, and {an},{bn},{cn}, and be four sequences in [0,1 ] . Then the sequence {xn} defined by(3)is called the modified Ishikawa iterative sequence with errors of T, where {un} and {vn} are two bounded sequences in K.(ii) The Modified Mann Iteration Process with Errors. In (3), if = 1 and =0, then yn = xn . The sequence {xn} defined byxn + 1 = an xn + bn Tnxn + cn un , n ≥ 1,(4)is called the modified Mann iterative sequence with errors of T. Recently, Hu [ 1 ] introduced the concept of p - asymptotically hemicontractive mappings in p - uniformly convex Banach spaces, and studied the problem of approximating fixed points of this class of mappings by the modified Mann and Ishikawa iteration processes. His results include Liu′s corresponding results [ 8 ] as special cases. But, unfortunately, his convergence criteria for the modified Mann and Ishikawa iteration processes are hard to be checked since these criteria involve the constant appearing in the norm inequalities in p - uniformly convex Banach spaces.The purpose of this paper is to investigate the convergence criteria for the modified Ishikawa iteration process with errors for the iterative approximation of fixed points of asymptotically hemicontractive type mappings in a real Hilbert space. In the setting of Hilbert spaces, our results generalize, improve and develop Hu′s results[ 1 ] in the following aspects: (i) Our convergence criteria do not involve the constant appearing in the norm inequalities; (ii) Our results extend Hu′s result[ 1 ] from the modified Ishikawa iteration process to the modified Ishikawa iteration process with errors; (iii) Our results remove Hu′s stronger res triction [ 1 ] , 0<ε≤ αn ≤ βn ≤ b<1,imposed on the iterative parameters {αn},{ βn} in the modified Ishikawaiteration process. Moreover, our results also develop and generalize Chidume and Moore′s results [ 4 ] since our results extend their method for studying hemicontractive mappings to that for studying asymptotically hemicontractive type mappings. In addition, in the setting of Hilbert spaces, our results are the extension and improvements of the corresponding results of Tan and Xu [ 2 ] and the author [5 ～7] .We shall make use of the following results as we go on.Lemma 1[ 2 ] Suppose that {ρn},{σn} are two sequences of nonnegative numbers such that for some real number N0 ≥ 1,ρn + 1 ≤ ρn + σn, n ≥ N0 .(i) If then ρn exists.(ii) I f and { ρn} has a subsequence converging to zero, then ρn = 0.We shall also use the following well-known identity for Hilbert spaces H:(5)Lemma 2[ 3 ] Let E be a normed space and K be a nonempty convex subset of E. Let T:K → K be a uni formly L -Lipschitzian mapping and be real sequences in [0,1 ] with an + bn + cn = 1. Let {un},{vn} be bounded sequences in K. For an arbitrary x1 ∈ K, generate a sequence {xn} by the modified Ishikawa iteration process with errors (3). Then for all n ≥ 1,Now, we prove the following main result of this paper.Theorem 1 Let K be a nonempty bounded closed convex subset of a real Hilbert space H, and T:K → K be a uniformly L -Lipschitzian and asymptotically hemicontractive type mapping. Let Tm be compact for some m ≥ 1. Let and be real sequences in [0,1 ] satisfying the following conditions:(i) an + bn + cn = 1 , n ≥ 1;(iv) 0 ≤ αn ≤ βn<1, n ≥ 1, where αn : = bn + cn , βn : .For an arbitrary x1 ∈ K, de fine a sequence n = 1 iteratively by the modified Ishikawa iteration process with errors (3), where {un},{vn} are arbitrary sequences in K. Then, n = 1 converges strongly to a fixed point of T.Proof Since T is an asymptotically hemicontractive type mapping, it is known that F( T ) ≠ ∅. Let x* ∈ K be an arbitrary fixed point of T. Using the identity (5), we obtain the following estimates: For some constants M1 ≥ 0,M2 ≥ 0,Now, utilizing the estimates above and the fact that T is an asymptotically hemicontractive type mapping, we havewhere M3 = M1 + M2 . Therefore, for some constant M4 ≥ 0,(8)where M5 = max (M3 ,M4), since αn ≤ 1. Let M6 = diam( K ). Then from the uniformly L -Lipschitzian continuity of T, we obtainNote that = ∞ and Sincewe deduce that βn = ∞ andSince αn ≤ βn, n ≥ 1, it follows from (8) and (9) that(*)which hence implies that(10)Let = δ≥ 0. We claim that δ = 0. Suppose that this is false, that is, δ>0. Then, there exists an integer N1 ≥ 1 such that ≥ n ≥ N1. Hence, from (10) it follows thatLetting n → ∞ , we get βn <∞. This contradicts the fact that βn = ∞ . Hence, the claim is valid. In view of Lemma 2, we getNext, observe thatHence, = 0. Since {xn} is bounded and Tm is compact, { Tmxn} has a convergent subsequence {Tmxnj } . Suppose Tmxnj = p. Thenwe obtain Tp = p, i e, p ∈ F( T ) .On the other hand, it follows from ( * ) that for any eleme nt x* ∈ F( T ),By Lemma 1, we conclude that exists. In particular, exists. Since = 0, we know that, {xn} converges strongly to the fixed point p ∈ F( T ) . The proof is completed.Remark 1 The conclusion of Theorem 1 remains true if condition (ii) in Theorem 1 is replaced by the condition: βn = ∞ and n <∞. A prototype of our parameters is as follows:for all integers n ≥ 1. Observe thatCorollary 1 Let K be a nonempty compact convex subset of a real Hilbert space H, and T:K → K be a uniformly L -Lipschitzian and asymptotically hemicontractive type mapping. Let and be real sequences in [0,1 ]satisfying the following conditions:(i) an + bn + cn = 1, n ≥ 1;(iv) 0 ≤ αn ≤ βn <∞, ∀n ≥ 1, where αn : = bn +cn ,βn : .For an arbitrary x1 ∈ K, define a sequence n = 1 iteratively by the modified Ishikawa iteration process with errors (3), where {un},{vn} are arbitrary sequences in K. Then, n = 1 converges strongly to a fixed point of T.Proof Th e existence of a fixed point of T follows from Schauder′s fixed point theorem. So, F( T ) ≠ ∅. It is easy to see that T:K → K is compact. Utilizing Remark 1, we can deduce that the conclusion of Corollary 1 is true. Corollary 2 Let ,βn be what we mentioned in Corollary 1. Let T: K → K bea nonexpansive mapping. For an arbitrary x1 ∈ K, define a sequence n =1 iteratively by the modified Ishikawa iteration process with errors (3), where {un},{vn} are arbitrary sequences in K. Then, n = 1 converges strongly to a fixed point of T.Proof The existence of a fixed point of T follows from Schauder′s fixed point theorem. So, F( T ) ≠ ∅. Since T is nonexpansive, T is a uniformly 1 -Lipschitzian and asymptotically hemicontractive type mapping. Therefore, the conclusion of Corollary 2 follows from Corollary 1.Remark 2 Clearly, from Theorem 1, Corollaries 1 and 2, we can immediately obtain the corresponding results on the modified Mann iteration process with errors, respectively.Reference:[1] HU CHANGSONG. Convergence theorems of the iteration processes for asymptotically hemicontractive mappings in p -uniformly convex Banach spaces [J]. Math Applicata, 1999, 12(3): 77- 80.[2] TAN K K, XU H K. Approximating fixed points of nonexpansive mappings by the Ishikawa iteration process [J]. J Math Anal Appl, 1993, 178: 301-308.[3] OSILIKE M O, ANIAGBOSOR S C. Weak and strong convergence theorems for fixed points of asymptotically nonexpansive mappings [J]. Math Comput Modelling, 2000, 32: 1181-1191.[4] CHIDUME C E, MOORE C. Fixed point iteration for pseudocontractive maps [J]. Proc Amer Math Soc, 1999, 127(4): 1163-1170.[5] ZENG L C. A note on approximating fixed points of nonexpansive mappings by the Ishikawa iteration process [J]. 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赋β-范线性空间中两种映像的公共不动点的强收敛性定理
赋β-范线性空间中两种映像的公共不动点的强收敛性定理董华【摘要】在赋β-范线性空间中，设计了一种新的关于有限个非扩张映像和有限个一致L—Lipschit—zian映像两种不同映像的迭代，在适当的条件下证明了该迭代序列的强收敛性，并且得到了三个推论，本文是一些有关文献的推广。
%The purpose of this paper is to propose a new iterative process for a finite family of nonexpansive map- pings and a finite family of uniformly L - Lipschitzian mappings in anormed linear space. Strong convergence of the iterative process is proved in proper condition. Three corollaries are obtained. The results of this paper improve and extend some relative results.【期刊名称】《延安大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(031)004【总页数】4页(P23-25,27)【关键词】非扩张映像;一致L-Lipschitzian映像;不动点;赋β-范线性空间【作者】董华【作者单位】福建师范大学数学与计算机科学学院,福建福州350007【正文语种】中文【中图分类】O177.91近年来，在Hilbert空间和一些特殊的Banach空间中，关于有限个非扩张映象迭代序列的逼近问题，许多学者采用各种各样不同的方法在一定的条件下进行了深入的研究。
例如，文献［1］是在一致光滑和一致凸的Banach空间中将严格渐近伪压缩映像和非扩张映像结合起来，得到了收敛性定理，文献［2］是在一般的赋β-范线性空间中做了一类映像的迭代逼近，受以上思想的启发，本文在赋β-范线性空间中修改Mann迭代序列，将有限族的非扩张映像Ti和有限族的一致L-lipschitzian映像Si结合起来，给出了一种新的迭代序列，即将文献［1］的空间扩展到赋β-范线性空间，迭代又与文献［2］不同，做出了两类不同映像的迭代，在适当的条件下证明了该序列强收敛于Ti和Si的一个公共不动点，并且得到三个推论，所得的结果推广了有关现有文献的结果。
连续伪压缩映象不动点的广义逼近方法
第39卷 第2期西南师范大学学报(自然科学版)2014年2月V o l .39 N o .2 J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y (N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n )F e b .2014文章编号:10005471(2014)2002205连续伪压缩映象不动点的广义逼近方法①龚黔芬1, 闻道君21.重庆工商大学计算机与信息工程学院,重庆400067;2.重庆工商大学数学与统计学院,重庆400067摘要:在H i l b e r t 空间中建立了一个逼近连续伪压缩映象不动点的广义迭代逼近方法,并在一定条件下证明了由该方法所产生的序列强收敛到伪压缩映象的某个不动点.关 键 词:伪压缩映象;不动点;强正算子;广义迭代;变分不等式中图分类号:O 177.91文献标志码:A不动点理论是现代非线性分析的重要组成部分,广泛应用于经济决策㊁最优化理论㊁算子理论㊁数值分析和动力系统等领域.近年来,非线性算子的不动点定理及其逼近算法引起了数学研究者的极大兴趣,并获得了一系列很好的研究成果[1-7].2006年,文献[8]介绍了一个逼近非扩张映象不动点的广义迭代方法,在一定条件下证明了迭代序列强收敛到非扩张映象的不动点,且该不动点为一类变分不等式问题的唯一解,同时也是非扩张映象的不动点集上二次泛函的最优化条件.2012年,文献[9]为了研究伪压缩映象和单调映象不动点定理,引入了T r n 和F r n 映象的定义,介绍了一个新的粘滞迭代逼近方法,并在一定条件下证明了逼近连续伪压缩映象和单调映象不动点的强收敛定理.在此基础上,本文将逼近非扩张映象不动点的迭代方法推广到伪压缩映象,定义一个逼近伪压缩映象不动点的改进的广义迭代方法,目的是在H i l b e r t 空间中建立逼近连续伪压缩映象不动点的强收敛定理,所得的结果改进并推广了文献[5,8-11]中相应的结论.设H 为一实H i l b e r t 空间,其内积和范数分别表示为<㊃,㊃>和 ㊃ ,K 为H 的一个非空闭凸子集,以ң 和 ⇀ 分别表示K 中序列的强弱收敛.如果<T x -T y ,x -y >ɤ x -y 2 ∀x ,y ɪK ,则称T :ңKK 为伪压缩映象.关于非扩张映象㊁压缩映象㊁k 严格伪压缩映象的定义与文献[9,11]相同.显然,伪压缩映象是包含非扩张映象和k 严格伪压缩映象的一类推广的映象.本文以F (T )表示T 的不动点集合,即F (T )={x ɪK :T x =x }.定理1 设K 为H i l b e r t 空间H 的非空闭凸子集,T :ңKK 为连续伪压缩映象,且F (T )ʂØ.设f :ңK K 是系数为ρɪ(0,1)的压缩映象.对给定的x 0ɪH ,αn ɪ(0,1),r n ɪ(0,ɕ),定义{x n }如下:①收稿日期:20121110基金项目:国家自然科学基金项目(11001287);重庆市自然科学基金项目(C S T C 2012j j A 00039,C S T C 2013j c y jA 00031);重庆市教委科技研究项目(K J 130712,K J 130731).作者简介:龚黔芬(1977),女,四川梓潼人,讲师,主要从事计算机应用与算法的研究.<T u n ,y -u n >-1r n <y -u n ,(1+r n )u n -x n >ɤ0x n +1=αn γf (x n )+(I -αn A )u ìîíïïïn ,(1)其中A 是系数为췍γ的强正有界线性算子,且0<γ<췍γρ,并满足下列条件:(i )l i m ңn ɕαn =0,ðɕn =0αn =ɕ,ðɕn =0|αn +1-αn |<ɕ;(i i )l i mi n f ңn ɕr n >0,ðɕn =0|rn +1-r n |<ɕ.则迭代序列{x n }强收敛到T 的某个不动点q ,且满足<(A -γf )q ,q -w >ɤ0 ∀w ɪF (T ).证 首先,证明序列{x n }有界.取p ɪF (T ),记T r nx ={z ɪK :<T z ,y -z >-1r n<y -z ,(1+r n )z -x >ɤ0(∀y ɪK )}.由文献[11]的引理2.6可知p ɪF (T r n).由(1)式和文献[8]的引理2.5得 x n +1-p ɤαn γf (x n )-A p + (I -αn A )(u n -p ) ɤαn γ f (x n )-f (p ) +αn γf (p )-A p +(1-αn 췍γ) u n -p ɤ[1-(췍γ-γρ)αn ] x n -p +αn γf (p )-A p ɤm a x { x n -p ,1췍γ-γργf (p )-A p }.类似地,递推可得x n -p ɤm a x { x 0-p ,1췍γ-γργf (p )-A p } n ȡ0(2)因此{x n }有界.进一步可得{u n },{A u n }和{f (x n )}有界.其次,证明l i m ңn ɕx n +1-x n =0.由(1)式得 x n +1-x n = αn γf (x n )-αn γf (x n -1)+αn γf (x n -1)-αn -1γf (x n -1)+(I -αn A )u n -(I -αn A )u n -1+(I -αn A )u n -1-(I -αn -1A )u n -1 ɤαn γ f (x n )-f (x n -1) +|αn -αn -1| γf (x n -1) +(1-αn 췍γ) u n -u n -1 +|αn -αn -1| A u n -1 ɤαn γρ xn -x n -1 +(1-αn 췍γ) u n -u n -1 +|αn -αn -1|M 1,(3)其中M 1=s u p {γ f (x n ) + A u n }.另一方面,由u n =T r n x n ɪK 和文献[9]中(3.11)-(3.15)式类似可得u n +1-u n ɤ x n +1-x n +1-r nr n +1 u n +1-x n +1 .(4)由条件(i i ),不妨设r n ȡk >0,并结合式(3)和(4)式得 x n +1-x n ɤ[1-(췍γ-γρ)αn ]+|αn -αn -1|M 1+1-r n r n +1 u n +1-x n +1 ɤ[1-(췍γ-γρ)αn ]+|αn -αn -1|M 1+1k|r n +1-r n |M 2,(5)其中M 2=s u p { u n +1-x n +1 }.由(5)式和文献[11]的引理2.2得l i m ңn ɕx n +1-x n =0.(6)又因为32第2期 龚黔芬,等:连续伪压缩映象不动点的广义逼近方法x n -u n ɤ x n -x n +1 +αn γf (x n )-A u n ,由条件(i )和(6)式得l i m ңn ɕx n -u n =0.(7)由于{x n }有界,故存在一个弱收敛的子列{x n i },不放设x n i ⇀w .类似地,如果{u n i}为{u n }的一个弱收敛子列,则由(7)式可知u n i⇀w ,且<T u n i ,y -u n i >-1r n i<y -u n i ,(1+r n i )u n i -x n i>ɤ0 ∀y ɪK .(8)记z t =t v +(1-t )w ∀t ɪ(0,1],v ɪK ,由(8)式得<T z t ,u n i -z t >ȡ<T z t ,u n i -z t >+<T u n i ,z t -u n i >-1r n i<z t -u n i ,(1+r n i )u n i -x n i>=-<T z t -T u n i ,z t -u n i >-1r n i <z t -u n i ,u n i -x n i >-<z t -u n i ,u n i>ȡ- z t -u n i 2-1r n i<z t -u n i ,u n i -x n i >-<z t -u n i ,u n i>=-<z t -u n i ,z t >-<z t -u n i,u n i -x n ir n i>.由(7)式可知,1r n i (u n i -x n iң)0(ңi ɕ),则l i m ңi ɕ<T z t ,u n i -z t >=<T z t ,w -z t >ȡ<w -z t ,z t >.(9)将z t =t v +(1-t )w 代入(9)式得-<T z t ,v -w >ȡ-<v -w ,z t >.(10)由T 的连续性和(10)式可得l i m ңt 0<T z t ,w -v >=<T w ,w -v >ȡ<w -v ,w > ∀v ɪK .(11)令v =T w ,由(11)式得w =T w ,即w ɪF (T ).定义映象Φn x =t γf (x )+(I -t A )T r nx ∀t ɪ(0,1).对∀x ,y ɪH ,有Φn x -Φn y ɤt γ f (x )-f (y ) +(1-t 췍γ) T r n x -T r ny ɤ[1-(췍γ-γρ)t ] x -y .由于0<1-(췍γ-γρ)t <1,则Φn 是压缩映象,故存在唯一的不动点.不妨设x t =t γf (x t )+(I -t A )T r n x t,(12)由于{x t }有界,所以l i m ңt 0x t -T r n x t =l i m ңt 0t γf (x t )-A T r n x t=0.(13)对给定的w ɪF (T )=F (T r n),由(12)式和文献[11]的引理2.6得 x t -w 2=t <γf (x t )-A w ,x t -w >+<(I -t A )(T r n x t-w ),x t -w >ɤ(1-t 췍γ) x t -w 2+t γ<f (x t )-f (w ),x t -w >+t <γf (w )-A w ,x t -w >ɤ(1-t 췍γ) x t -w 2+t γρ xt -w 2+t <γf (w )-A w ,x t -w >,整理得42西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第39卷x t -w 2ɤ1췍γ-γρ<γf (w )-Aw ,x t -w >.(14)因为t ɪ(0,1)且{x t }有界,故存在一个弱收敛子列{x t j },x t j ⇀q (t ңj 0).由(14)式可知x t ңjq ,并且由(13)式和文献[11]的引理2.6得q ɪF (T )=F (T r n).另一方面,(12)式可整理为(A -γf )x t =-1t(I -t A )(I -T r n)x t .(15)又因为T r n 的非扩张性,不难验证<(I -T r n )x -(I -T r n )y,x -y >ȡ0 ∀x ,y ɪH .(16)结合(15)和(16)式得<(A -γf )x t ,x t -w >=-1t<(I -t A )(I -T r n)x t ,x t -w >=-1t<(I -T r n )x t -(I -T r n )w ,x t -w >+<A (I -T r n )x t ,x t -w >ɤ<A (I -T r n)x t ,x t -w >(17)将式(17)中的x t 替换为x t j ,由于(I -T r n )x t ңj (I -T r n )q ,则l i m ңj ɕ<(A -γf )x t j ,x t j-w >=<(A -γf )q ,q -w >ɤ0,(18)因此l i ms u p ңn ɕ<(A -γf )q ,q -x n >=l i m ңi ɕ<(A -γf )q ,q -x n i>ɤ0.(19)最后,证明{x n }强收敛到q ɪF (T )=F (T r n).由(1)式和文献[8]的引理2.5得 x n +1-q 2=αn <γf (x n )-A q ,x n +1-q >+<(I -αn A )(u n -q ),x n +1-q >ɤαn γ<f (x n )-f (q ),x n +1-q >+αn <γf (q )-A q ,x n +1-q >+(1-αn 췍γ) u n -q x n +1-q ɤ[1-(췍γ-γρ)αn ] x n -q x n +1-q +αn <γf (q )-A q ,x n +1-q >ɤ1-(췍γ-γρ)αn 2 x n -q 2+12x n +1-q 2+αn <γf (q )-A q ,x n +1-q >,整理得x n +1-q 2ɤ[1-(췍γ-γρ)αn ] x n -q 2+2αn <γf (q )-A q ,x n +1-q >.(20)结合式(19)-(20)式和文献[11]的引理2.2得l i m ңn ɕx n -q =0.定理2 设K 为H i l b e r t 空间H 的非空闭凸子集,T :ңKK 为连续严格伪压缩映象,且F (T )ʂØ.设f :ңK K 是系数为ρɪ(0,1)的压缩映象,A 是系数为췍γ的强正有界线性算子且0<γ<췍γρ.对给定的x 0ɪH ,r ȡk >0,αn ɪ(0,1),定义{x n }如下:<T u n ,y -u n >-1r <y -u n ,(1+r )u n -x n >ɤ0x n +1=αn γf (x n )+(I -αn A )u ìîíïïïn ,且l i m ңn ɕαn =0 ðɕn =0αn=ɕ ðɕn =0|αn +1-αn |<ɕ.则序列{x n }强收敛到T 的某个不动点q ,且<(A -γf )q ,q -w >ɤ0 ∀w ɪF (T )证 由于伪压缩映象包含严格伪压缩映象,在定理1中取变参数r n =r ȡk >0,类似定理1可证.52第2期 龚黔芬,等:连续伪压缩映象不动点的广义逼近方法62西南师范大学学报(自然科学版)h t t p://x b b j b.s w u.c 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n M e t h o d s o f F i x e dP o i n t s f o raC o n t i n u o u sP s e u d o-C o n t r a c t i v eM a p p i n gG O N G Q i a n-f e n1, W E N D a o-j u n21.C o l l e g eo f C o m p u t e r S c i e n c ea n d I n f o r m a t i o nE n g i n e e r i n g,C h o n g q i n g T e c h n o l o g y a n dB u s i n e s sU n i v e r s i t y,C h o n g q i n g400067,C h i n a;2.C o l l e g eo fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,C h o n g q i n g T e c h n o l o g y a n dB u s i n e s sU n i v e r s i t y,C h o n g q i n g400067,C h i n aA b s t r a c t:A g e n e r a l a p p r o x i m a t i o n m e t h o d s i s p r o p o s e d f o r f i n d i n g a f i x e d p o i n to f ac o n t i n u o u s p s e u d o-c o n t r a c t i v em a p p i n g,w h i c hs t r o n g c o n v e r g e n c e t h e o r e m s a r e p r o v e du n d e r s o m e s u i t a b l e c o n d i t i o n s.T h e r e s u l t s p r e s e n t e di nt h i s p a p e rc a nb ec o n s i d e r e da sa ne x t e n s i o na n di m p r o v e m e n to fs o m e p r e v i o u s l y k n o w n r e s u l t s.K e y w o r d s:p s e u d o-c o n t r a c t i v em a p p i n g;f i x e d p o i n t;s t r o n g l yp o s i t i v eo p e r a t o r;g e n e r a l i t e r a t i o n;v a r i a-t i o n a l i n e q u a l i t y责任编辑廖坤。
有限族渐近非扩张映象隐迭代序列收敛性充要条件
有限族渐近非扩张映象隐迭代序列收敛性充要条件
唐净熔
【期刊名称】《重庆交通大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(026)005
【摘要】在一致凸Banach空间中,提出了一类新的两步隐迭代序列,证明了此序列收敛到有限族渐近非扩张映象的公共不动点的充要条件.所得结果推广和改进了近期相应结果.
【总页数】3页(P164-166)
【作者】唐净熔
【作者单位】重庆师范大学,初等教育学院,重庆,400700
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.Banach空间强伪压缩映象族和φ-强伪压缩映象族的隐迭代序列的收敛性 [J], 赵彦青
2.有限族严格伪压缩映象具误差的隐迭代序列的强收敛性 [J], 杨理平
3.一族中间意义下的渐近拟非扩张映象隐式迭代序列的强收敛性 [J], 李雪松;黄小平
4.Banach空间中有限族严格伪压缩映像隐迭代序列的收敛性问题 [J], 温丽诗;郝彦
5.有限族渐近非扩张映象具误差的隐迭代序列的弱收敛性与强收敛性 [J], 杨理平; 余扬
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关于渐近伪压缩映象不动点的粘滞-混合投影方法
关于渐近伪压缩映象不动点的粘滞-混合投影方法龚黔芬;闻道君;唐艳【摘要】将压缩映象推广到Meir-Keeler压缩映象,定义了一个逼近渐近严格伪压缩映象不动点的粘滞-混合投影方法,该方法简化并推广了W.Takahashi等提出的混合投影方法(CQ算法),并在去掉了集合有界性的条件下证明了粘滞-混合投影序列强收敛到渐近严格伪压缩映象的不动点.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(037)002【总页数】5页(P183-187)【关键词】渐近伪压缩映象;粘滞逼近;投影算子;Meir-Keeler压缩映象【作者】龚黔芬;闻道君;唐艳【作者单位】重庆工商大学计算机与信息工程学院,重庆400067;重庆工商大学数学与统计学院,重庆400067;重庆工商大学数学与统计学院,重庆400067【正文语种】中文【中图分类】O177.911 预备知识设H为一实Hilbert空间,其内积和范数分别表示为〈·,·〉和‖·‖.设C为H的一个非空闭凸子集,设T:C→C为一非线性映象,称T是非扩张映象,如果同时,文献[6]介绍了一类广义的渐近伪压缩映象,如果存在常数kn∈[1,∞),,使得在Hilbert空间中,(2)式定义的渐近伪压缩映象等价于显然,渐近严格伪压缩映象是严格伪压缩映象的进一步推广,并且每一个渐近非扩张映象均为渐近0-严格伪压缩映象.渐近λ-严格伪压缩映象一定是渐近伪压缩映象,但其逆命题却不成立[1-6].本文以Fix(T)表示T的不动点集合,即Fix(T)={x∈C,Tx=x}.不动点理论是现代非线性分析的重要组成部分,广泛应用于经济决策、最优化理论、算子理论、数值分析和动力系统等领域.近年来,非线性映象的不动点定理及其逼近算法引起了数学研究者的极大兴趣,他们努力寻求各种有效的数值算法逼近Fix(T)中的某个元素,并获得了一系列很好的研究成果[7-21].2000年,A.Moudafi[7]引进压缩映象f∶C→C,建立一个粘滞逼近方法.在一定条件下证明了粘滞迭代序列强收敛到T的某个不动点q,并且该不动点为变分不等式的唯一解.此后,粘滞逼近方法被应用到凸优化问题、单调包含和微分方程等领域,受到越来越多数学爱好者和经济领域研究者的广泛关注[8-10].2008年,W.Takahashi 等[11]利用投影技巧建立了逼近非扩张映象不动点的混合投影算法,并在一定条件下证明了混合迭代序列强收敛到非扩张映象T的不动点q=PFix(T)x.2010年,H.Zegeye等[12]进一步将混合投影算法推广到渐近伪压缩映象的不动点逼近,并在集合C有界的条件下证明了相应的迭代序列强收敛到渐近伪压缩映象T的不动点.在此基础上,将粘滞逼近方法(4)中的压缩映象f推广到Meir-Keeler压缩映象,定义一个新的逼近渐近伪压缩映象不动点的粘滞 -混合投影投影方法.目的在于在Hilbert空间中简化并改进W.Takahashi等[11]提出的混合投影算法(CQ算法),建立逼近渐近伪压缩映象不动点的强收敛定理,并在收敛性分析中去掉了C的有界性.所得的主要结论改进并推广了文献[7,11-12]中相应的研究成果.设H为一实Hilbert空间,其内积和范数分别表示为〈·,·〉和‖·‖,C为H的一个非空闭凸子集.以xn→x和xn⇀x分别表示序列{xn}强和弱收敛到x.对∀x∈H,在C中存在唯一的最近点PCx,即称PC为H到C上的度量投影.从文献[1]可知,PC是非扩张的,且u=PCx的充分必要条件是称T是一致L-Lipschitz连续的,如存在L>0,使得‖Tnx-Tny‖≤L‖x-y‖, ∀x,y∈C, n∈N.引理1[12] 设C为Hilbert空间H的非空闭凸子集,T:C→C为(3)式定义的渐近伪压缩映象.如果T是一致L-Lipschitz连续的,则Fix(T)为闭凸集.引理2[12] 设C为Hilbert空间H的非空闭凸子集,T:C→C为(3)式定义的渐近伪压缩映象.如果T是一致L-Lipschitz连续的且{xn}⊂C且xn⇀x,xn-Txn→0,则x∈Fix(T).引理3[13] 在Hilbert空间H中,下列不等式成立:引理4[13] 设C为Hilbert空间H的非空闭凸子集,对∀x,y,z∈H和给定的a∈R,则ΠC为闭凸集,其中设(X,d)为一完备度量空间,称f:X→X为压缩映象:如果存在系数r∈(0,1),使得从文献[14]可知,压缩映象f存在唯一不动点.另一方面,Meir-Keeler定义了一个新的压缩映象,称为Meir-Keeler压缩映象:如果对∀ >0,存在δ>0,当d(x,y)< +δ时,有Meir-Keeler压缩映象包含压缩映象,是压缩映象的一种推广形式,且有如下结论. 引理5[15] 设f是完备度量空间(X,d)中的Meir-Keeler压缩映象,则f存在唯一不动点.引理6[16] 设K为Banach空间E的凸子集,f:K→K为Meir-Keeler压缩映象,则对∀ >0,存在r∈(0,1),当‖x-y‖≥ 时有成立.设{Cn}为H的非空闭凸子集序列,N为正整数集.定义H的s-LinCn子集:x∈s-LinCn当且仅当存在{xn}⊂H并满足xn→x和xn∈Cn,∀n∈N.类似地,定义H的w-LsnCn子集:y∈w-LsnCn当且仅当存在{Cni}⊂{Cn},{yi}⊂H并满足yi⇀y和yi∈Cni,∀i∈N.如果C0⊂H且C0=s-LinCn=w-LsnCn,称{Cn}收敛到C0,记为C0=M-具有该极限性质最简单的例子是呈现包含关系的递减序列{Cn}比如(参见文献[17]).引理7[18] 设{Cn}为Hilbert空间H的非空闭凸子集序列,如果存在且不为空集,则对∀x∈H,序列{PCnx}强收敛到{PC0x}.2 主要结果定理1 设C为Hilbert空间H的非空闭凸子集,f:C→C为Meir-Keeler压缩映象,T:C→C为一致L-Lipschitz连续的渐近伪压缩映象且Fi x(T)≠ Ø.如果0<a≤αn≤βn≤b且b∈(0,)),对给定x1∈C,C1=C,则由(5)式定义的粘滞迭代序列{xn}强收敛到q∈Fix(T),且q=PFix(T)f(q).证明由引理1和PC的非扩张性,可知PFix(T)f是定义在C上的Meir-Keeler压缩映象[16].由引理5,PFix(T)f存在唯一不动点,记q=PFix(T)f(q).首先,证明Cn是闭凸集且Fix(T)⊂Cn.由(6)式和引理4易得 Cn是闭凸集.另一方面,由于Fix(T)⊂C1=C,不妨假设Fix(T)⊂Ck,k≥1.对∀p∈Fix(T)⊂Ck,结合(5)式和引理3得不难验证θn→0(n→∞).在(8)式中取n=k即得p∈Ck+1.因此,对∀n≥1,有Fix(T)⊂Cn+1⊂Cn.(II)对∀n≥n0都有‖xn-q‖≥+δ成立,则由(5)和(11)式得参考文献[1]Takahashi W.Nonlinear Functional Analysis[M].Yokohama:Yokohama Publishers,2000.[2]刘敏.广义平衡问题与无限族k-严格伪压缩映象的强收敛定理[J].四川师范大学学报:自然科学版,2011,34(1):63-70.[3]Wen D J.Strong convergence theorems for equilibrium problems and k-strict pseudocontractions in Hilbert spaces[J].Abst ApplAnal,2011,doi:10.1155/2011/276874.[4]Kim T H,Xu H K.Convergence of the modified Mann’s iteration m ethodfor asymptotically strict pseudocontractions[J].NonlinearAnal,2008,68:2828-2836.[5]Qin X,Lin L J,Kang S M.On a generalized Ky Fan inequality and asymptotically strict pseudocontractions in the intermediate sense[J].J Optim Theory Appl,2011,150:553-579.[6]Qin X,Cho S Y,Kim J K.Convergence theorems on asymptotically pseudocontractions in the intermediate sense[J].J Optim TheoryAppl,2011,150:553-579.[7]Moudafi A.Viscosity approximation methods for fixed-points problems[J].J Math Anal Appl,2000,241:46-55.[8]刘英,苏珂.Hilbert空间中广义平衡问题和不动点问题的粘滞逼近法[J].数学学报,2010,53(2):363-374.[9]Inchan I.Viscosity iteration method for generalized equilibrium problems and fixed point problems of finite family of nonexpansivemappings[J].Appl Math Comput,2012,219:2949-2959.[10]Kimuraa Y,Nakajo K.Viscosity approximations by the shrinking projection method in Hilbert spaces[J].Comput Math Appl,2012,63:1400-1408.[11]Takahashi W,Takeuchi Y,Kubota R.Strong convergence theorems by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in Hilbertspaces[J].J Math Anal Appl,2008,341:276-286.[12]Zegeye H,Robdera M,Choudhary B.Convergence theorems on asymptotically pseudocontractive mappings in the Intermediatesense[J].Comput&Math Appl,2011,62(1):326-332.[13]Marino G,Xu H K.Weak and strong convergence theorems for strict pseudo-contractions in Hilbert spaces[J].J Math Anal Appl,2007,329:336-346.[14]Banach S.Sur les opération dans les ensembles abstraits etleur applications auxéquations intégrales[J].Fund Math,1922,3:133-181. 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赋范线性空间中一类算子的不动点逼近问题
赋范线性空间中一类算子的不动点逼近问题
周海云;刘立红;高改良
【期刊名称】《应用泛函分析学报》
【年(卷),期】2006(8)2
【摘要】使用新的分析技巧研究了一类(ψ)-强伪压缩影像的不动点和(ψ)-强增生影像的零点的迭代逼近问题,推广并改进了许多相应的结果.
【总页数】4页(P126-129)
【作者】周海云;刘立红;高改良
【作者单位】华北电力大学应用数学系,河北,保定,071003;军械工程学院应用数学所,河北,石家庄,050003;军械工程学院应用数学所,河北,石家庄,050003;军械工程学院应用数学所,河北,石家庄,050003
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.赋范线性空间中有限簇渐近一致Φ-伪压缩映象的不动点迭代逼近 [J], 阿力非日;张艳
2.开放逻辑中一类算子的不动点 [J], 苏开乐;丁德成
3.赋范线性空间中渐近伪压缩映象不动点迭代逼近的充要条件 [J], 唐玉超;刘理蔚
4.赋范线性空间中一致L-Lipschitz映射的不动点迭代逼近 [J], 许炎;郭伟平
5.序Banach空间中一类算子的不动点定理 [J], 黄梅娟; 卫亚茹; 王海霞
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严格伪压缩映象的不动点的迭代逼近
严格伪压缩映象的不动点的迭代逼近
刘晓纲;张树义
【期刊名称】《南阳师范学院学报》
【年(卷),期】2006(005)009
【摘要】设E为任意Banach空间X的非空闭凸子集,T:E→E是Lipschitzian严格伪压缩映象,使用某些分析技巧,在较弱条件下,证明Ishikawa迭代序列强收敛于T 的唯一不动点,进一步给出了更一般收敛率的估计,从而统一和发展了一些有关的结果.
【总页数】3页(P1-3)
【作者】刘晓纲;张树义
【作者单位】渤海大学,数学系,辽宁,锦州,121000;渤海大学,数学系,辽宁,锦
州,121000
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.关于严格伪压缩映象不动点迭代逼近的一点注记 [J], 时翠梅;屈静国;赵雪婷;赵晓芬;刘海新
2.关于广义变分不等式的解和严格伪压缩映象不动点的迭代逼近 [J], 李付成;谷峰
3.多值次伪压缩映象不动点和多值次增生映象零点的Ishikawa迭代逼近 [J], 高兴慧;崔艳兰
4.多值Φ-强伪压缩映象不动点和多值Φ-强增生映象方程解的Ishikawa迭代逼近
[J], 张石生;谷峰
5.均衡问题与无限族k-严格伪压缩映象的公共不动点的迭代逼近 [J], 周光亚因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
Lipschitz ψ-半压缩映象不动点的迭代逼近
Lipschitz ψ-半压缩映象不动点的迭代逼近
张树义
【期刊名称】《鲁东大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(23)1
【摘要】使用分析的技巧,在实Banach空间中研究ψ-半压缩映象具有Lipschitz 不动点的Ishikawa和Mann迭代的逼近问题,将Lipschitz强伪压缩映象不动点Mann迭代和Ishikawa迭代的相关结果,扩展到了ψ-半压缩映象类,并提供了更为一般的收敛率的估计.
【总页数】5页(P14-18)
【作者】张树义
【作者单位】渤海大学数学系,辽宁,锦州,121000
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近? [J], 王绍荣;何彩香;杨泽恒;熊明
2.非Lipschitz渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近 [J], 张树义;宋晓光;万美玲;李丹
3.非Lipschitz的渐近弱伪压缩映象不动点的迭代逼近 [J], 沈霞;孟京华;刘文军
4.Lipschitzф—半压缩映象的不动点迭代逼近 [J], 周海云
5.一致L-Lipschitz的渐近伪压缩非自映象不动点的迭代逼近 [J], 张芳;向长合
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２１ ０ ０年 ６月
南 昌大学学报 （ 理科 版）
Ｊｕ ａ ｏ ａｃ ａｇＵ ｉ ｒｔ（ ａ ｒ ｃ ｎｅ ｏｒ ｌ ｆ ｎｈ ｎ ｎ ｅｓｙ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ ） ｎ Ｎ ｖ ｉ ｕｌ ｅ
Ｖｏ ． ４ Ｎｏ ３ １３ ．
］ｎ２ Ｏ ｕ ． ０ｌ
文章 编 号 ：０ ６— ４４ ２ １ ）３— ２０— ４ １０ ０ ６ （０ ０ ０ ０ １ ０
￣ ａ Ｂｌ ： ｌ ｌ ｌ 基金项 目 ：江西省 自然科学基金资助 ｆ （０ ９ Ｚ０ ２ ０７ （ ２ ６ ４ １３ ） 江 西省教育厅 高等学 校教学改革 研究 学基金资助 ｌ ２０ Ｇ Ｓ０ １ ２０ Ｇ ｂ ０ ３ ０ １０ ６ ； ， Ｑ Ｓ ， 基 金 项 目： 立项重点课题 （ｘ Ｇ一 ８ ｊ ｊ ０ —１—１ ） 南 昌大学校基金资助项 目（／ Ｏ￣） １； Ｚ （ Ｍ 作者简介 ： 唐玉超 （９ ２一） 男 ， １８ ， 讲师 ， 硕士 ．
间 ， ・ ・ 表示 与 问的配对。 （ ，） 映象 ． ， ： 一２ 是 由下式 定义 的正 规对偶 映象 ：
Ｊｘ ＝｛ （ ） ｆ∈Ｘ （ ＝ ｌ ｌ ＝ ｌ ｌ｝ ： √ ｌ ｌ ｌ ， 厂ｌ
∈ Ｘ’
Ｙ ： （ ） ＋ ＂ ＋ ， ０ （ ． ） １一 卢 Ｔｘ ｎ≥ １ ７
１ 引 言 与预 备 知 识
设 是一 实 赋 范 线 性 空 间 ， 是 的 对偶 空
｛ ｝ ［ ，］中的 的两 个数 列 。 是 ０１ 由下 式 定义 的序列 ｛ ｝ 为修 改 的具 误差 的 Ｉｈｋｗ 迭 代序列 ， 称 ｓｉａ ａ
＋ １＝ （ １—０ ） ＋ Ｔｙ ｆ ＇ ＋
赋 范线 性 空 间 中渐 近伪 压 缩 映 象不 动 点 迭 代 逼 近 的 充 要 条 件
唐玉超 ， 刘理蔚
（ 南昌大学 数 学 系， 江西 南 昌 ３ ０３ ） ３ ０ １
摘
要 ： Ｘ是赋范线性空间 ， 设 是 的非空闭凸子集 ， ：一 是一 致 Ｌ—Ｌｐｃ ｉ 设 Ｋ ｉｓｈ￣的渐 近伪压缩 映象 ， 迭代 在
（） ２ 称为一致 Ｌ— ｉｓｈ ｚ ， Ｌｐｃｉ 的 如果存在常数 ｔ
≥ １使 得 ， Ｉ ｌ 一Ｔｙｌ ｌ —Ｙｌ， ， ｎ≥ １ ＂ ｌ≤ ｌ Ｖ ＹＥ Ｋ， ｌ
范线性空间中一致 Ｌ—Ｌｐｃｉ 渐近伪压缩映象由 ｉ ｈｔ ｓ ｚ 具误差的 Ｉ ｉａ ａ ｓ ｋｗ 迭代和 Ｍａｎ ｈ ｎ 迭代强收敛于其不 动点 的充要 条件 。 们 的 工作 在 以下 方 面做 了改进 我 和推广 ： ｉ 取消 了谷和堵 中 ｛ ｝ （ ） 是有界的假 设； ｉ （ｉ）将张 … ， 和刘 ］唐 和刘 推 广到 具误 王 Ｈ， 差的迭代序列情形 ； ｉ ） （ｉ 我们 的方法不 同于谷 和 ｉ 堵 ］孙 ， 和何 等 。 ， 倪
下面 的引理 在本 文 中起 了重 要 的作 用 。 引理 １１１ 设 ｛ ， ｝ ｛ 是三个非 ．［ 引 Ａ ｝｛ 和 ｃ ｝ 负 的实数列 ， 足不等 式 ： 满
Ａ＋ １≤ （ １＋曰 ） ＋Ｃ ， ０ Ａ Ｖｎ≥
（） ３ 称为渐近伪压缩的 ， 如果存在实数列 ｛ ｝ ｋ ｃ ［， １ ＋∞） ｌ ｋ ，ｍ ＝１而且对任意的 ， ｉ ， Ｙ∈Ｋ 存 ，
在 ｊｘ一） （ ， Ｊ ｘ—ｙ ）∈ （ ）满足
（ —Ｔ ， — ） ｌ — ， １ Ｙｊ ｙ （ Ｙ ）≤ Ｊ ＹＩ Ｖ ｌ ｎ≥ 注 由定 义 １ １ 知 ， ．易 如果 是具 序列 ｛ ｋ ｝ｃ
［， １ ＋∞ ） ｌ ＝ １的渐近 非扩 张映象 ， ，ｍｋ ｉ 则 是 一
参 数 ｛ ｝ ｛ 的适 当假设 下 ， 出了由修改 了的具有误差的 Ｉ ｉ ｗ 和 届｝ 给 ｓ ｋ ａ和 Ｍａｎ迭代 程序生成 的序列 ｛ 强收敛 ｈａ ｎ ｘ｝
于 的不动点 的充分必要条件 ， 所得结果取消 了谷和堵 中｛ ｝ 有界的假设 ， 并且推广 了已知 的一些结果 。 关键词 ： 渐近非扩张映象 ； 渐近伪压缩映象 ； 修改 的具误差 的 Ｉｈ ａ ａ ｓｉ ｗ 迭代序列 ； ｋ 不动点 中图分类号 ： １７ ９ Ｏ ７．１ 文献标志码 ： Ａ
关 于渐 近非扩 张映 象和渐 近伪 压缩 映象不 动点
的迭代 逼 近 问题 ， Ｈｌｅｔ 间 和一 致 凸 空 间 在 ｉ ｒ空 ｂ 在 一 中讨论 过 。 … 在 Ｂ ｎｃ 间的框架 下 ， 张 ａａｈ空 采
用新 的迭代技 巧研 究 了渐近伪 压缩 映象 和渐 近非扩 张映 象不动 点 的迭代 逼 近 问题 。 和 堵 Ｊ孙 ， 和 谷 ， 倪 何［ ３ 等在 赋范 线性 空 间 中 ， 明 了修 改 的具误差 的 证 Ｉ ｉａ ａ ｓ ｋｗ 迭代 和 Ｍａ ｎ 代 强 收敛 于 渐近 伪 压缩 映 ｈ ｎ迭 象 的不动点 。 文将继 续这方 面 的工作 ， 出了实赋 本 给
致 Ｌ—Ｌｐｃ ｉ 映象 ， 中Ｌ＝ｓｐ ｝＜＋∞， ｉ ｈｚ ｓ ｔ 其 ｕ｛ 同 时 也是渐近伪压缩映象。 定义 １２ ３ 设 是 的非空 凸子集 ， ．［ Ｉ ： Ｋ且 ， ＋ Ｋ 。。∈ Ｋ是任一 给定 的点 ， ｝ ｛ ，
如果 日 ＜＋。 。和 ｃ ＜＋∞， 则 Ａ 存Байду номын сангаас 。 引理 １２１ 设 ｛ 和 ｛ 是两 非负实 数 ．［ ＂ Ａ｝ ｂ｝
定 义 １Ｉ ．ｔ
一
设 是 的 非空子集 ， Ｋ Ｋ是 ：
映象 。
（ ） 为渐 近 非 扩 张 的 ， 果 存 在 一 实 数 列 １ 称 如 ｛ ｝ｃ ［ ，＋∞ ）ｌ ＝１ 使得 １ ， ｍｋ ｉ ，
ｎ—＋∞
ｌ ｌ
一Ｔｙｌ ｋ Ｉ — ， ， ＇ Ｉ≤ ｌ Ｙｌ Ｖ Ｙ∈Ｋ，， １ Ｉ ／≥ ７ ，