偏导数习题课

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? 提问：混合偏导数一定相等吗？满足什么条件？ 结论：在二阶偏导数连续的情况下，混合偏导数的
最终值和求导次序无关即二阶混合偏导数相 等。
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例3 求z ? ex sin(2x ? y)的所有二阶导数
解 ?z ? ex sin(2x ? y) ? 2e x cos(2x ? y)
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偏导数的概念:
如果函数z ? f (x, y)在平面区域 D内每一点(x, y)处对于x
（或y)的偏导数都存在，则称 函数f (x, y)在D内有对x(或y)
偏导函数,简称偏导数,记作
?z ?x
,
?f ?x
,
zx,
fx (x,
y ).
f x?( x ,
y)
或
?z ?y
,
?f ?y
, zy,
? 2z ? ex cos(2x ? y) ? 2ex sin(2x ? y) ?y?x
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学生练习：
1.求下列函数的偏导数 :
(1) z ? xey
(2)
z ? arctan x y
2.求下列函数的二阶偏导数 :
(1) z ? exy
(2) z ? sin 2 (x ? y)
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的规律,总有唯一确实的数值和它们对应，则变量z叫做变量x, y
的二元函数，记作z ? f (x, y)
其中x, y为自变量， z为因变量，(x, y)变化的范围 D称为函 数的定义域。设点 (x0 , y0 ) ? D,则，z ? f (x, y)称为对应于 (x0 , y0 )
的函数值，函数值的总体称为函数的值域。 类似地，可定义三元函数及其他多元函数。
x x2 ? y2
f y?(x, y) ? 1? 2
2y ? 1? x2 ? y2
y x2 ? y2
所以
f ?(3,4) ? 1? 3 ? 2 55
f y?(0,5) ? 1 ? 1 ? 0
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? 高阶偏导数
高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数.例如设
函数z ? f (x, y)在区域 D内具有偏导数：
?x
?z ? e x cos(2 x ? y) ?y
?2z ?x2
?
ex
sin(2x ?
y) ?
2ex
cos(2x ?
y) ?
2ex
cos(2x ?
y) ?
4e x
sin(2x ?
y)
?2z ?y 2
?
?ex
sin(2x ?
y)
? 2 z ? ex cos(2x ? y) ? 2e x sin(2x ? y) ?x?y
?x
?z ? 2x sin 2 y ?x
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为求 ?z ,视x看作常数，对y求导，得 ?z ? 2x2 cos 2 y
?y
?y
例2 设f (x, y) ? x ? y ? x2 ? y 2 , 求f x?(3,4), f y?(0,5)
解
因为fx?(x, y) ? 1? 2
2x ? 1? x2 ? y2
?z ?x
?
f（x x, y).
?z ?y
?
f y (x, y).
一般来说,这两个偏导数还是 x, y的函数，如果它们又存 在对
x或对y的偏导数，我们就定义 为函数z ? f (x, y)的二阶偏导数。
可定义二元函数的二阶偏导数如下
? ?z ?2z
( )? ?x ?x
?x2
?
f xx ( x, y)
§18～6 偏导数（习题课）
? 复习回忆:
1.二元函数的定义 2.偏导数的概念 3.二元函数的偏导数 4.高阶偏导数
? 例题分析: ? 学生练习:
例一: 例二: 例三:
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? 二元函数的定义 定义1 设有三个变量 x, y和z,如果当变量x, y在某一给定
的二元有序实数对 D内任取一对值 (x, y)时，变量 z按照一定
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源自文库
? (?z ) ? ?y ?x
?2z ? ?x?y
f xy ( x, y)
? ?z ?2z
( )? ?x ?y
?y?x
?
f yx ( x, y)
? ( ?z ) ? ?y ?y
?2z ?y2
?
f yy ( x, y)
这里，fxy?表示函数z ? f (x, y)先对自变量x求偏导数.
f xy?和f yx?通常称为二阶混合偏导 数。
fy (x,
y ).
f y?( x ,
y)
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根据偏导数的定义可知,求多元函数关于某个自变量的偏导数, 并不需要新的方法,只需将其他自变量看作常数,仅对一个自变量求 导,因此,一元函数的求导法则和求导公式,对求多元函数的偏导数仍 然适用.
例1 求z ? x2 sin 2 y的偏导数。 解 为求 ?z ,视y看作常数，对 x求导，得