2020年四川省乐山市中考数学试卷及答案解析

2020年四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．（3分）12的倒数是（ ） A ．−12 B ．12 C ．﹣2 D ．2
2．（3分）某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷
中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为（ ）
A ．1100
B ．1000
C ．900
D ．110
3．（3分）如图，E 是直线CA 上一点，∠FEA ＝40°，射线EB 平分∠CEF ，GE ⊥EF ．则
∠GEB ＝（ ）
A ．10°
B ．20°
C ．30°
D ．40°
4．（3分）数轴上点A 表示的数是﹣3，将点A 在数轴上平移7个单位长度得到点B ．则点
B 表示的数是（ ）
A ．4
B ．﹣4或10
C ．﹣10
D ．4或﹣10
5．（3分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，∠BAD ＝120°，O 是对角线BD 的中点，过点
O 作OE ⊥CD 于点E ，连结OA ．则四边形AOED 的周长为（ ）
A．9+2√3B．9+√3C．7+2√3D．8
6．（3分）直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b≤2的解集是（）
A．x≤﹣2B．x≤﹣4C．x≥﹣2D．x≥﹣4
7．（3分）观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为1），如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是（）
A．B．
C．D．
8．（3分）已知3m＝4，32m﹣4n＝2．若9n＝x，则x的值为（）
A．8B．4C．2√2D．√2
9．（3分）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC 绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分面积为（）
A ．π4
B ．π−√32
C ．π−√34
D ．√32π 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣x 与双曲线y =k x 交于A 、B 两点，P 是
以点C （2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP ，Q 为AP 的中点．若线段OQ 长度的最大值为2，则k 的值为（ ）
A ．−12
B ．−32
C ．﹣2
D ．−14
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）用“＞”或“＜”符号填空：﹣7 ﹣9．
12．（3分）某小组七位学生的中考体育测试成绩（满分40分）依次为37，40，39，37，40，
38，40．则这组数据的中位数是 ．
13．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为30°，在自
动扶梯下方地面C 处测得扶梯顶端B 的仰角为60°，A 、C 之间的距离为4m ．则自动扶梯的垂直高度BD ＝ m ．（结果保留根号）
14．（3分）已知y ≠0，且x 2﹣3xy ﹣4y 2＝0．则x y 的值是 ． 15．（3分）把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E 为AD 的中点，连
结BE 交AC 于点F ．则AF AC = ．
16．（3分）我们用符号[x ]表示不大于x 的最大整数．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么：
（1）当﹣1＜[x ]≤2时，x 的取值范围是 ；
（2）当﹣1≤x ＜2时，函数y ＝x 2﹣2a [x ]+3的图象始终在函数y ＝[x ]+3的图象下方．则实数a 的范围是 ．
三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分．
17．（9分）计算：|﹣2|﹣2cos60°+（π﹣2020）0．
18．（9分）解二元一次方程组：{2x +y =2，8x +3y =9．
19．（9分）如图，E 是矩形ABCD 的边CB 上的一点，AF ⊥DE 于点F ，AB ＝3，AD ＝2，
CE ＝1．求DF 的长度．
四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．
20．（10分）已知y =2x ，且x ≠y ，求（1x−y +1x+y ）÷x 2y x 2−y 2
的值． 21．（10分）如图，已知点A （﹣2，﹣2）在双曲线y =k x 上，过点A 的直线与双曲线的另一
支交于点B （1，a ）．
（1）求直线AB 的解析式；
（2）过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，连结AC ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ．求线段CD 的长．
22．（10分）自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．
根据上面图表信息，回答下列问题：
（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为万人，扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为°；
（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；
（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率；
（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1%、2.75%、3.5%、10%、20%，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．
五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．
23．（10分）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
车型每车限载人数（人）租金（元/辆）
商务车6300
轿车4
（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？
（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？
̂上一点，DE⊥AB于点E，24．（10分）如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是AC
交AC于点F，连结BD交AC于点G，且AF＝FG．
̂；
（1）求证：点D平分AC
（2）如图2所示，延长BA至点H，使AH＝AO，连结DH．若点E是线段AO的中点．求
证：DH是⊙O的切线．
六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．
25．（12分）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、
C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．
（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是；
（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的
结论是否仍然成立？
（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF、
AE、OE之间的关系．
26．（13分）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点，C 为抛物
线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，连结BC ，且tan ∠CBD =43，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P 是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P 作x 轴的平行线交线段BC 于点E ，过点E 作EF ⊥PE 交抛物线于点F ，连结FB 、FC ，求△BCF 的面积的最大值；
②连结PB ，求35PC +PB 的最小值．
2020年四川省乐山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．（3分）12的倒数是（ ） A ．−12 B ．12
C ．﹣2
D ．2 【解答】解：根据倒数的定义，可知12的倒数是2．
故选：D ．
2．（3分）某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷
中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为（ ）
A ．1100
B ．1000
C ．900
D ．110 【解答】解：2000×
85+2525+85+72+18
=1100（人）， 故选：A ．
3．（3分）如图，E 是直线CA 上一点，∠FEA ＝40°，射线EB 平分∠CEF ，GE ⊥EF ．则
∠GEB ＝（ ）
A ．10°
B ．20°
C ．30°
D ．40°
【解答】解：∵∠FEA ＝40°，GE ⊥EF ，
∴∠CEF ＝180°﹣∠FEA ＝180°﹣40°＝140°，∠CEG ＝180°﹣∠AEF ﹣∠GEF ＝
180°﹣40°﹣90°＝50°，∵射线EB平分∠CEF，
∴∠CEB=1
2
∠CEF=12×140°=70°，
∴∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG＝70°﹣50°＝20°，
故选：B．
4．（3分）数轴上点A表示的数是﹣3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B．则点B表示的数是（）
A．4B．﹣4或10C．﹣10D．4或﹣10
【解答】解：点A表示的数是﹣3，左移7个单位，得﹣3﹣7＝﹣10，
点A表示的数是﹣3，右移7个单位，得﹣3+7＝4．
所以点B表示的数是4或﹣10．
故选：D．
5．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连结OA．则四边形AOED的周长为（）
A．9+2√3B．9+√3C．7+2√3D．8
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝4，AB∥CD，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ADB＝∠CDB＝30°，
∵O是对角线BD的中点，
∴AO⊥BD，
在Rt△AOD中，AO=1
2AD＝2，
OD=√3OA＝2√3，∵OE⊥CD，
∴∠DEO＝90°，
在Rt △DOE 中，OE =12
OD =√3，
DE =√3OE ＝3，
∴四边形AOED 的周长＝4+2+√3+3＝9+√3．
故选：B ．
6．（3分）直线y ＝kx +b 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx +b ≤2的解集是
（ ）
A ．x ≤﹣2
B ．x ≤﹣4
C ．x ≥﹣2
D ．x ≥﹣4
【解答】解：∵直线y ＝kx +b 与x 轴交于点（2，0），与y 轴交于点（0，1），
∴{2k +b =0b =1，解得{k =−12b =1
∴直线为y =−12x +1，
当y ＝2时，2=−12x +1，解得x ＝﹣2，
由图象可知：不等式kx +b ≤2的解集是x ≥﹣2，
故选：C ．
7．（3分）观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为1），如果将它们
沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【解答】解：由题意，选项D 阴影部分面积为6，A ，B ，C 的阴影部分的面积为5， 如果能拼成正方形，选项D 的正方形的边长为√6，选项A ，B ，C 的正方形的边长为√5， 观察图象可知，选项A ，B ，C 阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得图1的5个图形，
可以拼成图2的边长为√5的正方形，
故选：D ．
8．（3分）已知3m ＝4，32m
﹣4n
＝2．若9n ＝x ，则x 的值为（ ）
A ．8
B ．4
C ．2√2
D ．√2
【解答】解：∵3m ＝4，32m ﹣4n
＝（3m ）2÷（3n ）4＝2．
∴42÷（3n ）4＝2， ∴（3n ）4＝42÷2＝8， 又∵9n ＝32n ＝x ，
∴（3n ）4＝（32n ）2＝x 2， ∴x 2＝8， ∴x =√8=2√2． 故选：C ．
9．（3分）在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1．如图所示，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB ′C ′．则图中阴影部分面积为（ ）
A ．π
4
B ．
π−√32
C ．
π−√34
D ．
√3
2
π 【解答】解：∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1， ∴AB =√3BC =√3，AC ＝2BC ＝2， ∴
90⋅π×22360
−
90⋅π×3360
−（12
×1×√3−
30⋅π×3360
）=
π−√3
2
， 故选：B ．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y=k
x交于A、B两点，P是
以点C（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ 长度的最大值为2，则k的值为（）
A．−1
2B．−
3
2C．﹣2D．−
1
4
【解答】解：点O是AB的中点，则OQ是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线时，PB最大，则OQ=1
2BP最大，
而OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，
则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，
设点B（m，﹣m），则（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝32，
解得：m2=1 2，
∴k＝m（﹣m）=−1 2，
故选：A．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）用“＞”或“＜”符号填空：﹣7＞﹣9．
【解答】解：∵|﹣7|＝7，|﹣9|＝9，7＜9，
∴﹣7＞﹣9，
故答案为：＞．
12．（3分）某小组七位学生的中考体育测试成绩（满分40分）依次为37，40，39，37，40，38，40．则这组数据的中位数是39．
【解答】解：把这组数据从小到大排序后为37，37，38，39，40，40，40，
其中第四个数据为39，
所以这组数据的中位数为39． 故答案为39．
13．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C 处测得扶梯顶端B 的仰角为60°，A 、C 之间的距离为4m ．则自动扶梯的垂直高度BD ＝ 2√3 m ．（结果保留根号）
【解答】解：∵∠BCD ＝∠BAC +∠ABC ，∠BAC ＝30°，∠BCD ＝60°， ∴∠ABC ＝∠BCD ﹣∠BAC ＝30°， ∴∠BAC ＝∠ABC ， ∴BC ＝AC ＝4，
在Rt △BDC 中，sin ∠BCD =BD
BC
， ∴sin60°=
BD 4=√3
2
， ∴BD ＝2√3（m ），
答：自动扶梯的垂直高度BD ＝2√3m ， 故答案为：2√3．
14．（3分）已知y ≠0，且x 2﹣3xy ﹣4y 2＝0．则x
y 的值是 4或﹣1 ．
【解答】解：∵x 2﹣3xy ﹣4y 2＝0，即（x ﹣4y ）（x +y ）＝0， 可得x ＝4y 或x ＝﹣y ， ∴x
y =4或x
y
=−1，
即x y
的值是4或﹣1； 故答案为：4或﹣1．
15．（3分）把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E 为AD 的中点，连结BE 交AC 于点F ．则
AF AC
=
35
．
【解答】解：连接CE ，∵∠CAD ＝30°，∠ACD ＝90°，E 是AD 的中点， ∴AC =√3
2AD ，CE =1
2AD ＝AE ， ∴∠ACE ＝∠CAE ＝30° ∵∠BAC ＝30°，∠ABC ＝90°， ∴AB =√32AC =3
4AD ，∠BAC ＝∠ACE ， ∴AB ∥CE ， ∴△ABF ∽△CEF ， ∴
AF CF =
AB CE =
34AD 12
AD =3
2
，
∴AF AC
=35
，
故答案为3
5．
16．（3分）我们用符号[x ]表示不大于x 的最大整数．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么： （1）当﹣1＜[x ]≤2时，x 的取值范围是 0≤x ≤2 ；
（2）当﹣1≤x ＜2时，函数y ＝x 2﹣2a [x ]+3的图象始终在函数y ＝[x ]+3的图象下方．则实数a 的范围是 a ＜−1或a ≥3
2 ． 【解答】解：（1）由题意∵﹣1＜[x ]≤2， ∴0≤x ≤2， 故答案为0≤x ≤2．
（2）由题意：当﹣1≤x ＜2时，函数y ＝x 2﹣2a [x ]+3的图象始终在函数y ＝[x ]+3的图象
下方，
则有x ＝﹣1时，1+2a +3＜﹣1+3，解得a ＜﹣1， 或x ＝2时，4﹣2a +3≤1+3，解得a ≥3
2， 故答案为a ＜﹣1或a ≥32
．
三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分． 17．（9分）计算：|﹣2|﹣2cos60°+（π﹣2020）0． 【解答】解：原式=2−2×12+1 ＝2．
18．（9分）解二元一次方程组：{2x +y =2，8x +3y =9．
【解答】解：{2x +y =2①
8x +3y =9②，
法1：②﹣①×3，得 2x ＝3， 解得：x =3
2，
把x =32
代入①，得 y ＝﹣1， ∴原方程组的解为{
x =
3
2y =−1； 法2：由②得：2x +3（2x +y ）＝9， 把①代入上式， 解得：x =3
2，
把x =3
2
代入①，得 y ＝﹣1， ∴原方程组的解为{
x =
3
2y =−1
． 19．（9分）如图，E 是矩形ABCD 的边CB 上的一点，AF ⊥DE 于点F ，AB ＝3，AD ＝2，CE ＝1．求DF 的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴DC ＝AB ＝3，∠ADC ＝∠C ＝90°． ∵CE ＝1，
∴DE =√DC 2+CE 2=√10． ∵AF ⊥DE ，
∴∠AFD ＝90°＝∠C ，∠∠ADF +∠DAF ＝90°． 又∵∠ADF +∠EDC ＝90°， ∴∠EDC ＝∠DAF ， ∴△EDC ∽△DAF ， ∴
DE AD
=
CE FD ，即
√102=1FD
， ∴FD =
√10
5
，即DF 的长度为
√10
5
．
四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．
20．（10分）已知y =2x ，且x ≠y ，求（1x−y +1x+y ）÷x 2y
x 2−y 2的值．
【解答】解：原式=2x (x+y)(x−y)÷x 2y
x 2−y 2
=
2x x 2−y 2×x 2−y 2
x 2y =2
xy ， ∵y =2
x ，
∴原式=
2
x⋅2x
=1 解法2：同解法1，得原式=2
xy
， ∵y =2
x ， ∴xy ＝2， ∴原式=
2
2=1． 21．（10分）如图，已知点A （﹣2，﹣2）在双曲线y =k
x 上，过点A 的直线与双曲线的另一支交于点B （1，a ）． （1）求直线AB 的解析式；
（2）过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，连结AC ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ．求线段CD 的长．
【解答】解：（1）将点A （﹣2，﹣2）代入y =k x
，得k ＝4， 即y =4
x ，
将B （1，a ）代入y =4
x ，得a ＝4， 即B （1，4），
设直线AB 的解析式为y ＝mx +n ，
将A （﹣2，﹣2）、B （1，4）代入y ＝kx +b ，得{−2=−2m +n 4=m +n ，解得{m =2n =2，
∴直线AB 的解析式为y ＝2x +2；
（2）∵A （﹣2，﹣2）、B （1，4）， ∴AB =√(−2−1)2+(−2−4)2=3√5，
∵S△ABC=1
2
×AB×CD=12×BC×3，
∴CD=BC×3
AB
=
3√5
=4√55．
22．（10分）自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．
根据上面图表信息，回答下列问题：
（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为20万人，扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为72°；
（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；
（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率；
（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1%、2.75%、3.5%、10%、20%，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．
【解答】解：（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为9÷45%＝20（万人），
扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为360°×4
20
=72°，
故答案为：20、72；
（2）20﹣39岁人数为20×10%＝2（万人），补全的折线统计图如图2所示；
（3）该患者年龄为60岁及以上的概率为：9+4.520
×100%=67.5%=0.675；
（4）该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率为：
0.5×1%+2×2.75%+4×3.5%+9×10%+4.5×20%
20
×100%=10%．
五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．
23．（10分）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
车型 每车限载人数（人）
租金（元/辆）
商务车 6 300 轿车
4
（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？
（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？ 【解答】解：（1）设租用一辆轿车的租金为x 元， 由题意得：300×2+3x ＝1320， 解得 x ＝240，
答：租用一辆轿车的租金为240元；
（2）①若只租用商务车， ∵
346
=52
3
，
∴只租用商务车应租6辆，所付租金为300×6＝1800（元）； ②若只租用轿车， ∵
344
=8.5，
∴只租用轿车应租9辆，所付租金为240×9＝2160（元）；
③若混和租用两种车，设租用商务车m 辆，租用轿车n 辆，租金为W 元． 由题意，得 {6m +4n =34W =300m +240n ，
由6m +4n ＝34，得 4n ＝﹣6m +34，
∴W ＝300m +60（﹣6m +34）＝﹣60m +2040， ∵﹣6m +34＝4n ≥0， ∴m ≤
173
， ∴1≤m ≤5，且m 为整数， ∵W 随m 的增大而减小，
∴当m ＝5时，W 有最小值1740，此时n ＝1．
综上，租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740元．
24．（10分）如图1，AB 是半圆O 的直径，AC 是一条弦，D 是AC ̂上一点，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ，连结BD 交AC 于点G ，且AF ＝FG ． （1）求证：点D 平分AC
̂； （2）如图2所示，延长BA 至点H ，使AH ＝AO ，连结DH ．若点E 是线段AO 的中点．求证：DH 是⊙O 的切线．
【解答】证明：（1）如图1，连接AD 、BC ， ∵AB 是半圆O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠ABD，
又∵AF＝FG，即点F是Rt△AGD的斜边AG的中点，∴DF＝AF，
∴∠DAF＝∠ADF＝∠ABD，
又∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴AD
̂=DĈ，
∴即点D平分AC
̂；
（2）如图2所示，连接OD、AD，
∵点E是线段OA的中点，
∴OE=1
2
OA=12OD，
∴∠AOD＝60°，
∴△OAD是等边三角形，
∴AD＝AO＝AH，
∴△ODH是直角三角形，且∠HDO＝90°，
∴DH是⊙O的切线．
六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．
25．（12分）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．
（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是OE＝OF；
（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF、AE、OE之间的关系．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
又∵∠AEO＝∠CFO，∠AOE＝∠COF＝90°，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF，
故答案为：OE＝OF；
（2）补全图形如图所示，
结论仍然成立，
理由如下：
延长EO交CF于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠GCO，
∵点O为AC的中点，
∴AO＝CO，
又∵∠AOE ＝∠COG ，
∴△AOE ≌△COG （AAS ），
∴OE ＝OG ，
∵∠GFE ＝90°，
∴OE ＝OF ；
（4）点P 在线段OA 的延长线上运动时，线段CF 、AE 、OE 之间的关系为OE ＝CF +AE ， 证明如下：如图，延长EO 交FC 的延长线于点H ，
由（2）可知△AOE ≌△COH ，
∴AE ＝CH ，OE ＝OH ，
又∵∠OEF ＝30°，∠HFE ＝90°，
∴HF =12
EH ＝OE ，
∴OE ＝CF +CH ＝CF +AE ．
26．（13分）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点，C 为抛物
线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，连结BC ，且tan ∠CBD =43，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P 是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P 作x 轴的平行线交线段BC 于点E ，过点E 作EF ⊥PE 交抛物线于点F ，连结FB 、FC ，求△BCF 的面积的最大值；
②连结PB ，求35PC +PB 的最小值．
【解答】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣5）， ∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，
∴D （2，0），
又∵tan ∠CBD =43=CD DB
， ∴CD ＝BD •tan ∠CBD ＝4，
即C （2，4），
代入抛物线的解析式，得4＝a （2+1）（2﹣5），
解得 a =−49，
∴二次函数的解析式为 y =−49(x +1)(x −5)=−49x 2+
169x +209； （2）①设P （2，t ），其中0＜t ＜4，
设直线BC 的解析式为 y ＝kx +b ，
∴{0=5k +b ，4=2k +b.
， 解得 {k =−43，b =203.
即直线BC 的解析式为 y =−43x +
203， 令y ＝t ，得：x =5−34t ，
∴点E （5−34t ，t ），
把x =5−34t 代入y =−49(x +1)(x −5)，得 y =t(2−t 4)，
即F(5−34t ，2t −14t 2)，
∴EF =(2t −14t 2)−t =t −t 24，
∴△BCF 的面积=12×EF ×BD =32（t −t 24）=−38(t 2−4t)=−38(t −2)2+32， ∴当t ＝2时，△BCF 的面积最大，且最大值为32； ②如图，连接AC ，根据图形的对称性可知∠ACD ＝∠BCD ，AC ＝BC ＝5，
∴sin ∠ACD =AD AC =35，
过点P 作PG ⊥AC 于G ，则在Rt △PCG 中，PG =PC ⋅sin ∠ACD =35PC ， ∴35PC +PB =PG +PB ， 过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则PG +PH ≥BH ，
∴线段BH 的长就是35PC +PB 的最小值， ∵S △ABC =12×AB ×CD =12×6×4=12，
又∵S △ABC =12×AC ×BH =52BH ，
∴52BH =12， 即BH =245，
∴35PC +PB 的最小值为245．。