直线的参数方程

2.直线参数方程的一般式
当a2xyb2xy1时00 ，abt有tt (明t为确参的几数何）意义，即 t M0M
当a 2b2 1时，t没有明确的几何意义。
| M M | a2 b2 | t | | M1M2 | a2 b2 | t1 t2 |
直线参数方程的应用
1. 求（线段）弦长 2. 线段的中点问题 3. 求轨迹问题
|t|=|M0M|
y M(x,y)
M0(x0,y0)
e
O
x
B
· y
· A M（x，y）x x0 t cos
·· M0（x0，y0）
y y0 t sin
(t是参数）
O
x 若M0为中点, t 0 t1＋t2 0
•t表示有向线段M0P的数量。|t|=| M0M|
•t只有在标准式中才有上述几何意义
y
e (cos,sin )
因为M0M // e,所以存在实数t R,
M0(x0,y0)
使M0M te,即
(x x0, y y0) t(cos,sin)
e
(cos,sin)
O
x
x x0 t cos, y y0 t sin
即，x x0 t cos, y y0 t sin
问题：已知一条直线过点M0(x0 ,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
即，x x0 t cos, y y0 t sin
y
所以，该直线的参数方程为
e
x y
x0 y0
t t
cos（t为参数） sin
M(x,y) M0(x0,y0)
O
x
由M0M te,你能得到直线l的参数方程中 参数t的几何意义吗？
解: M0M te M0M te y
1， 直线的参数方程是如何推导的？ 2，直线的参数方程中的参数有何意义？
问题：已知一条直线过点M0(x0 ,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
解： 在直线上任取一点M(x,y),则
M0M （x, y) (x0 y0) (x x0, y y0 ) 设e是直线l的单位方向向量，则
M(x,y)
当堂测试：
.一条直线的参数方程是
x
1
1 2
t
(t为参数），
y
5
4
233t
另一条直线的方程是x-y-2 3 0,则两直线的交点
与点（1，-5）间的距离是
课后作业：P39.T1
例题选讲
例1.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于 A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B
思考：
求
直
线
x y
1 2t 2 3t
与 圆x2
y2
9所 交 弦 长 。
分析：此处的t的系数平方和不等于1，且－
3<0因此t不具有参数方程标准式中t的几何意
义。要先化为标准式。
思考.求直线
x y
1 2
2t 3t
与圆x
2
y2
9所交弦长。
解：
x
1
y 2
2 ( 13t ) 13 3 ( 13t )
两点的距离之积。
分析:
1.用普通方程去解还 是用参数方程去解;
2.分别如何解.
y
A
M(-1,2)
B
O
x
3.点M是否在直线上
即x 1
2t 2 (t为参数）
来自百度文库
y
2
2t 2
y
A
M(-1,2)
把它代入抛物线y=x2的方程,得
B
t2 2t 2 0
O
x
t1 t2 2, t1t2 2
由参数t的几何意义得
(t为参数）
当a 2b2 1时，t有明确的几何意义，即 t M0M
当a 2b2 1时，t没有明确的几何意义。
| M0M | a2 b2 | t | | M1M2 | a2 b2 | t1 t2 |
小结:
1.直线参数方程的标准式
x=x0
y
y0
t cos t sin
(t是参数）
|t|=|M0M|
普通方程为y y0 k(x x0 )或x x0。 t表示几何意义：
M（0 x0
,
y0
)到直线上的点M（x,
y)(不同于点M
）的
0
有向线段M 0 P的数量.
注意向量工具的使用. 此时,若t>0,则 M0M 的方向向上;
若t<0,则 M0M 的点方向向下;
若t=0,则M与点M0重合.
并且，直线参数方程中参数t 的绝对值等于直线上动点M到 定点M0的距离.
又 e是单位向量， e 1
M
M0M t e t
所以,直线参数这方就程是中t参的几何 数t的绝对值等于意直义线,要上牢记 动点M到定点M0的距离.
|t|=|M0M|
M0
e
O
x
直线的参数方程(标准式）
直
线
的
参
数
方
程xy
x0 y0
t t
cos sin
(t为
参
数)
其中(x0, y0 )时直线上的定点,是倾斜角;其对应的
直线的参数方程
请同学们回忆:
我们学过的直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0 )
斜截式： y kx b
两点式: y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
截距式： x y 1
ab
一般式: Ax By C 0
自主学习：
时间：3分钟
请大家阅读课本P35-P36的内容，回答下 面几个问题：
令t'＝－ 13t
13
方程可化为
x
1
y 2
2 t' 13 3 t'
13
代入方程得： 4 t'2－ 4 t'＋1＋ 9 t'2＋ 12 t'＋4－9＝0
13
13
13
13
AB t1 t2 10
MA MB t1 t2 t1t2 2
例题选讲
1.一直线l过点P0
(3,4),
倾斜角为＝
4
，
求此直线
与
3x 2 y 6的交点与P0之间的距离.
2.直
线l过
点P0
(4,0),
倾
斜
角
为＝
6
，l与
圆x
2
y2
7
相 交 与A, B两 点.
（1）求弦长| AB |;(2)求交点A, B的坐标.
3.直线 xy
t t
cos
sin a
(t为参数）与圆
x y
4 2
2 cos sin
(为参数）相切，则直线倾斜角为( A )
A. 或 5
66
B. 或 3
44
C. 或 2
33
D. 或 5
66
直线的参数方程一般式:
直线的参数方程可以写成这样的形式:
x y
x0 y0
at bt
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参
数值分别为t1,t2.
（1）|AB|＝t1 t2
（2）M是AB的中点，求M对应的参
t1 t2 2
练习
1.求直线
x
y
2
tctossi2n020(t为参
数)的倾斜角
2。直线
x y
t sin 20o t cos 20o
3
(t为参数）的倾斜角是
C
A.20o B.70o C.110o D.160o