工程数学概率统计学绪论

3、短期的机遇变异和长期的规律性
重复投掷一枚均匀硬币六次，观察每 次出现的面： （1）正反正反反正 （2）反反反正正正 （3）正反反反反反
直觉认为结果（1）是随机的，结果 （2）和结果（3）很不随机。
从概率的观点认为结果（1）、
（2）、（3）的发生有相同的概率，
因而没有哪一个结果比其他结果更多
一点或少一点随机性。
• 4、统计方法研究和揭示现象之间在数量表 现层面上的相关关系，但不肯定是因果关 系。
• 统计研究显示：抽烟与肺癌死亡率之间有很强的 相关性，但尚不能肯定它们之间存在因果关系。 • 一项统计研究表明一国的人均拥有电视机数与人 的期望寿命有相关关系；但不能说人均电视机数 和寿命长短有因果关系。
（二）重在“观念”和“思考”
美国统计协会和数学会的一个联合课 程委员会曾指出：任何统计的入门课程， 都应该“强调如何做统计思考”而且内容 应该“多一些数据和观念，少一点公式和 推导过程”。 因此统计作为一门公共基础课程，其 内涵符合素质教育的基本精神，应重在 “观念”和“思考”。
变异性(Variablity)
Bortkiewicz （ 1898）的马踏死骑兵人数的统 计。
被马踢死的骑兵数的频率分布 死亡人数/年.队 0 1 2 3 频数 109 65 22 3 1 相对频数 0.545 0.325 0.11 0.015 0.005 理论概率 拟合频数
4
要寻找死亡人数的合理分布。
使用 Poisson 分布也许是一个好的拟合，参数 的估计为
2、随机性是自然界所固有的
• 凯特勒（A.Quetlet,1796-1874）利用概 率论概念描述社会学和生物现象 • 孟德尔（G.Mendel,1870）使用简单的随 机结构，建立了他的遗传法则 • 玻尔茨曼（Boltzmann,1866）给出了热 力学第二定律的统计学解释
这些伟人的思想观点是自然界的一场 革命，然而这些观点在当时并未为人们所 接受。
发现 S/s<P/p<R/r 结论：城堡中避难人数估计为 S/s
2、统计学是收集和分析数据 的科学和艺术
统计是一门科学，它依赖的基本原理 并不固定哪一种模式，作为量化和表现不确 定性的方法论科学，其基础涉及很多哲学 观点，能够对任一主题进行独立讨论，因 而对人们的正确的世界观的形成是十分必 要的。 统计是一门艺术，着重说明统计方法 需要灵活使用，依赖于人的判断以至灵感。
在某地的彩票活动中，七年中有 人累计中两次大奖的机会是： 一半对一半
人们的潜意识常常与理性思考的 结果有很大差别，如不善于统计思考， 即使面对十分平常的现象，也会闹出 笑话。
4、基于概率知识，将随机性归纳于 可能的规律性中，这正是统计学科 所涵盖的一个重要内容。
著名的分赌本问题
甲乙二人各有赌本1元，约定谁先胜三局赢得 全部赌本2元，假定甲、乙二人每一局的取胜概率 相等。现已赌三局结果是：甲二胜一负。由于某 种原因赌博中止，问如何分赌本才合理？ 分析：甲、乙均分显然不合理，由甲二胜一 负能否依2：1来分？也是不合理的。 巴斯卡提出一个关键点是：如赌局继续下去， 各人取胜的概率，这将决定甲、乙二人的期望所 得（后者现在称数学期望）。
对敏感问题的调查
为调查某地区人群中吸食大麻的比例 ， 随 机地挑选一人， 然后请到一个与人隔离的小房子 里，用掷一枚均匀硬币的方法挑选问题 S 或 T， 并作出回答。其中 S：你吸大麻吗？ T：你的电话号码末尾数是偶数吗？ =吸大麻人的比率（未知） =电话号码末尾数是偶数人的比率（已知） p =回答“是”的人的比率
因为变异无所不在，统计结论并不是绝对的。 例如统计研究发现：对50－64岁的妇女，乳房摄 影可以减少26％的死亡率，但26％这只是平均数， 对不同的妇女，结果可能大不相同。例如有些每 年做乳房摄影的妇女死于乳癌；而有一辈子都未 做过摄影的妇女，却活到100岁。
每天的天气预报，结果可能会错，但同时 告诉你晴或雨的概率是多大。因此谁也不会怀疑 天气预报的科学性和重要性。
5、随机性是创造性不可缺少的一个因素。
（1）抽样调查和试验设计的随机性 （2）罐子模型
（3） Monte Carlo法与模拟
Monte Carlo法与模拟
图2：如何求不规则图形的面积— 蒙特卡罗法或模拟法
Hale Waihona Puke Monte Carlo法与模拟
不规则图形面积 落入不规则图形内的随机点数 a m 正方形面积 正方形内随机点总数 m
• 第一部分 序言 • 第二部分 概率 • 第三部分 统计
第一部分 序言
（一） 从“什么是统计”说起 （二）重在“观念”和“思考” （三）“不确定性”和“随机性” （四） 统计的特点
（一）从“统计是什么”说起
1、几个案例
2、统计学是收集和分析数据的科学 和艺术。 3、统计是受过教育的人应有的素养。
不能仅仅根据一次抽样的结果就断言p 不多不少就是57(%)！重要的是对变异性 有科学的描述。在这里运用概率思考是重 要的。 对上例置信陈述可以是一个合适的工 具：例如，以95(%)的置信水平，这个比 例p在0.546和0.624之间。
（三）“不确定性”和“随机 性”
1、C.R.Rao：统计学就是围绕不确定 性的驾驭而发展起来的 2、随机性是自然界所固有的 3、短期的机遇变异和长期的规律性 4、将随机性归纳于可能的规律性之中
ˆ 2p 得到 估计为
3、统计是受过教育的人应有 的素养。
• 血液检查中的经济学
血液检查中的经济学
第二次大战时，必须招募很多士 兵，为检查某种疾病需对每个申请者 作血液检查，工作量巨大。如何在保 证质量的前提下减少检验次数呢？假 定该病的流行率为1/20。
可将申请者分成20人一组，如每组进行20次 检查，则平均一组有一例阳性。 今把20人分成2组（10人一组），采得每个 组的10个人的混合血液，分别再对二次混合血液 各做一次检验，则有一组呈阳性，而另一组为阴 性。再对呈阳性一组，做10次检验，以确认哪一 个人为阳性，如此只须做2+10=12次检验，比 20次减少40%。 如分成5人一组，则同理只须做4+5=9次检 验，减少55%。这是在流行率为1/20的条件下， 对20个人的最少检验次数。
统计数据和统计资料具有变异性， 即个体之间有差异，而对同一个体的多次 观察，其结果也会不一样，并且几乎每一 次观察都随着时间的不同而改变，因而变 异性是一个重要的统计观念。
• 抽样结果的差异是变异性的主要表现。例 如，要调查某个人群中参与股票交易的比 例p，抽取大小1523的样本，参与人数为 ˆ 57(%) ，另外再抽 868，则p的估计为 p 一次，大小为1523的样本，结果是什么?
4
比较拟合频数与实际频数，拟合程度比较好。
5、随机性是创造性不可缺少的一个因素。
（1）抽样调查和试验设计的随机性
（2）罐子模型 考虑二种医学处理（用1和2表示） 的临床比较试验模型的设计
一罐子有二类型号的球，即型1及型2 的球，当一个病人接受处理时，随机抽一 球，如为i型，则病人接受处理i，当处理的 “效应”为成功时，则附加α 个型i球及β 个型号2-i+1球（α ≧β >0待定）；如“效 应”为失效，则附加β 个型i球及α 个型号 2-i+1球，可找出α ，β 的设计使模型在某 种意义下最优。 这种设计的优点在于有人性化，即较 多的病人接受较好的处理。
ˆ 0.61 ，基此算出理论频率（表中第四列）和拟合频数（表中
第五列）
死亡人数/年.队 0 1 2 3
频数 109 65 22 3 1
相对频数 理论概率 拟合频数 0.545 0.325 0.11 0.015 0.005 0.544 0.331 0.101 0.021 0.003 108.8 66.2 20.2 4.2 0.6
参考书目
1、复旦大学数学系，概率论（第一、二册），北京：高等 教育出版社，1979 2、浙江大学数学系，概率论与数理统计，北京：高等教育 出版社，1979 3、王梓坤，概率论及其应用，北京：科学出版社，1976 4、陈希孺，数理统计学简史，长沙：湖南教育出版社， 2002 5、陈希孺，概率论与数理统计，合肥：中国科技大学出版 社，1992 6、G.R.Iverson and M.Gergen. Statistics-the conceptual approach. New York:SpringerVerlag,1997 7、D.Freedman, R.Pisaui, R.Purves and A.Adhikari. Statistics. New York:W.W.Norton&Company,1991
四 统计的特点
• 1、统计学是使用有效方法收集分析数据， 并作出结论的方法论科学。 • 2、统计方法不涉及问题的专业内涵，是 “中性”的，任何人都可以使用。 • 3、统计结论并非百分之百 • 4、统计方法研究和揭示现象之间在数量表 现层面上的相关关系，但不肯定是因果关 系。
• 3、统计结论并非百分之百
1、几个案例
小儿麻痹症 盐的统计
小儿麻痹症
20世纪五十年代的一种流行病，对于 一种疫苗有效性检验。收集20万儿童随机 分成二组：实验组和对照组。结果对照组 中有138个受感染；而实验组则有56个受 到感染。使用假设检验的统计方法，表明 138与56的差异是高度显著，疫苗是有效 的。
盐的统计
1947 年印度独立时，德里发生一次公共暴乱，一少数民 族团体中的大多数人避难到称之为红色堡垒的地方，少部分 人逃到修姆因庙，政府必须给避难者提供食物；但无避难者 人数的任何信息，而受委托的承包商提出的购买各种日用品 的帐单，开支巨大，政府求助统计学家估计红色城堡中避难 者的正确人数。 从帐单可知如下数据： 品种 总量(kg) 需求量/人.天 大米 R r 豆类 P p 盐 S s