代数几何综合问题(2)课后练习

代数几何综合问题(2)专项练习1. 如图，已知二次函数23y x bx =++与x 轴交于点B （3，0），与y 轴交于点A ，O 为坐标原点，P 是二次函数23y x bx =++图象上的一个动点，点P 的横坐标是m ，且m ＞3，过点P 作PM 垂直x 轴，PM 交直线AB 于点M 。

（1）求二次函数的解析式；（2）若以AB 为直径的⊙N 恰好与直线PM 相切，求此时点M 的坐标；（3）在点P 的运动过程中，△APM 能否为等腰三角形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说出理由。

2. 如图，已知二次函数()20y x bx c c =-++>的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB=OC=3，顶点为M 。

（1）求二次函数的解析式；（2）点P 为线段BM 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，若OQ=m ，四边形ACPQ 的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；（3）探索：线段BM 上是否存在点N ，使△NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由。

3. 将抛物线c 1：y=2+x 轴翻折，得抛物线c 2，如图所示。

（1）请直接写出抛物线c 2的表达式.（2）现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A ，B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴交点从左到右依次为D ，E 。

①当B ，D 是线段AE 的三等分点时，求m 的值；②在平移过程中，是否存在以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由。

代数几何综合问题(2)专项练习参考答案1. 解：（1）将点B （3，0）代入y=x 2+bx+3得：0=9+3b+3，解得b=-4， ∴二次函数的解析式为y=x 2-4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴A 点坐标为A （0，3）， 直线AB 的解析式为y=-x+3，C 为⊙C 的圆心，CA=CB=∴D 点坐标为(331,22⎛⎫ ⎪⎝⎭(312M x =+将(312M x =+代入y=-x+3得(312M y =∴点M 的坐标为((331,122⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）若△APM 为等腰三角形，进行分类讨论：若()243P m m m -+，，则()3M m m -+，，23PM m m =-，PA =，AM ==；①当PA=PM 时，可得23m m -=，解得m=4，2433m m -+=，则P 点坐标为()43P ，②当PA=AM =，解得m=3，或m=5，当m=3时，m 2-4m+3=0，由题意可知m ＞3，故m=3不合题意；[来源:学科网]当m=5时，2438m m -+=，故点P 坐标为()58P ，，③当PA=AM 时，23m m -=，解得3m =+或3m =由题意可知m ＞3，故3m =当3m =时，2432m m -+=，故点P 坐标为(3P +。

综上所述：()43P ，、()58P ，、(32P ++ 2. 解：（1）∵OB=OC=3， ∴B（3，0），C （0，3）∴0933b cc =-++⎧⎨=⎩解得23b c =⎧⎨=⎩∴二次函数的解析式为y=-x 2+2x+3；[来源:学。

科。

网Z 。

X 。

X 。

K]（2）()11••22AOCACPQ PQOC AO CO PQ CO OQ S SS ++=+=四边形梯形()()2119313263132222m m mm m =⨯⨯+-++⋅=-++≤<（3）设N 点坐标为(),x yCM =，CN =，MN =[来源:]①当CM=NC 时，此时71655N ⎛⎫⎪⎝⎭，②当CM=MN 时，此时14N +⎛⎝③当CN=MN 时，此时()22N ，。

综上所述：71655N ⎛⎫⎪⎝⎭，、14N +⎛⎝、()22N ，3. （1）2y = （2）①令20+=，得1211x x =-=，则拋物线c 1与x 轴的两个交点坐标为()()1010-，，，。

∴()()1010A m B m ---，，，。

同理可得：()()1010D m E m -++，，，。

当13AD AE =时，[来源:学|科|网Z|X|X|K]()()()()111113m m m m -+---=+---⎡⎤⎣⎦，∴12m =。

当13AB AE =时，()()()()111113m m m m ---+=+---⎡⎤⎣⎦，∴m=2。

故当B ，D 是线段AE 的三等分点时，12m =或2。

②存在。

连接AN ，NE ，EM ，MA 。

依题意可得：((M m N m -，，。

即M ，N关于原点O 对称，∴OM=ON。

[来源:学科网ZXXK] ∵()()1010A m E m --+，，，，∴A，E 关于原点O 对称，∴OA=OE∴四边形ANEM 为平行四边形。

∵()22214AM m m =-+++=，()22221444ME m m m m =+++=++，()22211484AE m m m m =+++=++，若222AM ME AE +=，则224444484m m m m +++=++，∴m=1，此时△AME 是直角三角形，且∠AME=90°。

∴当m=1时，以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形。

2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列运算正确的是（ ） A.a 5﹣a 3＝a 2 B.6x 3y 2÷（﹣3x ）2＝2xy 2 C.2212a2a -=D.（﹣2a ）3＝﹣8a 32．如图，已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴相交于点A ，B ，若在抛物线上有且只有三个不同的点C 1，C 2，C 3，使得△ABC 1，△ABC 2，△ABC 3的面积都等于a ，则a 的值是（ ）A ．6B ．8C ．12D ．16 3．如图，已知一次函数的图像与轴分别交于点，与反比例函数的图像交于点，且，则的值为（ ）A. B. C. D.4．一个圆锥的轴截面是一个边长为2cm 的等边三角形，则它的侧面积是（ ）. A ．4πB ．2πC ．πD．5．若整数a 使关于x 的不等式组()222233a xx x x +⎧≥-⎪⎪⎨⎪-->⎪⎩的解为2x <，且使关于x 的分手方程15444x a x x -++=---的解为正整数，则满足条件a 的的值之和为（ ） A ．12 B ．11 C ．10 D ．96．已知抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点②方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的解为x ＝0或x ＝4，③a ﹣b+c ＜0；④当0＜x ＜4时，ax 2﹣bx+c ＜0；⑤当x ＜2时，y 随x 增大而增大，其中结论正确的个数（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 为BC 边的中点，M 为对角线BD 上的一个动点。

则下列线段的长等于12AM BM +最小值的是（ ）A ．ADB ．AEC ．BD D ．BE8．一个个“刻度”，印证着中国高铁的不断前行．截至2017年底，全国铁路营业里程达到127000千米，其中高铁里程为25000千米，占世界高铁里程总量的66.3%，是当之无愧的“世界冠军”，其中25000千米用科学记数法表示为( ) A ．25×107米B ．2.5×107米C ．C.2.5×104米D ．D.0.25×108米9 ） A ．πB ．3πC ．4πD ．12π10．如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，点E 在边AD 上，点G 在边BC 上，点F 、H 在对角线BD 上，若四边形EFGH 是正方形，则AE 的长是（ ）A ．5B ．11924C ．13024D ．1692411．把边长相等的正六边形ABCDEF 和正五边形GHCDL 的CD 边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG 交AF 于点P ，则∠APG ＝（ ）A ．141°B ．144°C ．147°D ．150°12．如图，在正方形ABCD 中，E 是边BC 上一点，且BE ：CE ＝1：3，DE 交AC 于点F ，若DE ＝10，则CF 等于( )A ．7B ．CD ．二、填空题13．如图，在边长为3的正方形ABCD 的外部作等腰Rt AEF ，AE 1=，连接DE ，BF ，BD ，则22DE BF +=______．14．在矩形ABCD 中，AB=3cm ，BC=4cm ，则点A 到对角线BD 的距离为___________15．我们用[m]表示不大于m 的最大整数，如：[2]＝2，[4.1]＝4，[3.99]＝3．（1）＝_____；（2）若6=，则x 的取值范围是_____．16．某校规定学生的期末学科成绩由三部分组成，将课堂、作业和考试三项得分按1：3：6的权重确定每个人的期末成绩．小明同学本学期数学这三项得分分别是：课堂98分，作业95分，考试85分，那么小明的数学期末成绩是_____分．17．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：DB=1：2，DE=2，则BC 的长是 ．18．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 的延长线上一点.若110B ∠=°，则ADE ∠的大小为____________.三、解答题19．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一条直线上．已知纸板的两条边DE＝70cm，EF＝30cm，测得AC＝78 m，BD＝9m，求树高AB．20．某商场将进价为1800元的电冰箱以每台2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家"家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施,调查表明:这种冰箱的售价每降价50元,平均每天就能多售出4台(1)设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润为y元,求y与x之间的函数关系式(不要求写自变量的取值范围)(2)商场想在这种冰箱的销售中每天盈利8000元,同时又要使顾客得到实惠,每台冰箱应降价多少元?(3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润是多少元?21．如图，一辆轿车在经过某路口的感应线B和C处时，悬臂灯杆上的电子警察拍摄到两张照片，两感应线之间距离BC为6m，在感应线B、C两处测得电子警察A的仰角分别为∠ABD＝18°，∠ACD＝14°．求电子警察安装在悬臂灯杆上的高度AD的长．（参考数据：sin14°≈0.242，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）22．已知锐角△ABC，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于F．（1）求证：△BDF≌△ADC；（2）若BD＝4，DC＝3，求线段BE的长度．23．河南省开封市铁塔始建于公元1049年（北宋皇祐元年），是国家重点保护文物之一，在900多年中，历经了数次地震、大风、水患而巍然屹立，素有“天下第一塔”之称．如图，小明在铁塔一侧的水平面上一个台阶的底部A 处测得塔顶P 的仰角为45°，走到台阶顶部B 处，又测得塔顶P 的仰角为38.7°，已知台阶的总高度BC 为3米，总长度AC 为10米，试求铁塔的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin38.7°≈0.63，cos38.7°≈0.78，tan38.7°≈0.80）24．解方程：123132x x --=+． 25．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以点A 为圆心，AC 为半径，作⊙A ，交AB 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点E 作AB 的平行线交⊙A 于点F ，连接AF ，BF ，DF ． （1）求证：△ABC ≌△ABF ； （2）填空：①当∠CAB ＝ °时，四边形ADFE 为菱形；②在①的条件下，BC ＝ cm 时，四边形ADFE 的面积是cm 2．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．2014．125cm 15．916x ≤<16．3 17． 18．110°三、解答题19 【解析】【分析】先判定△DEF 和△DBC 相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC 的长，再加上AC 即可得解．【详解】解：在直角△DEF 中，DE ＝70cm ，EF ＝30cm ，则由勾股定理得到DF ==在△DEF 和△DBC 中，∠D ＝∠D ，∠DEF ＝∠DCB ，∴△DEF ∽△DCB ， ∴DF EF DB BC=， 又∵EF ＝30cm ，BD ＝9m ，∴BC ＝58EF DB DF ⋅==（m ） ∵78AC m =，∴AB ＝AC+BC ＝78+=m ． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF 和△DBC 相似是解题的关键．20．（1）y=-2240480025x x ++（2）400（3）每台冰箱降价250元时,商场利润最高.最高利润是9800元 【解析】【分析】(1)根据升降价问题,表示出每台冰箱的利润=(2400-1800-x)与总的销量(8+50x ⨯4),两者之积,即可求出, （2）结合函数解析式y=8000,即可表示出,然后解方程求出,（3）二次函数最值问题,求出结果【详解】(1) 设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元则y=(2400-1800-x) (8+50x ⨯4)=-2240480025x x ++ (2)由题意得:- 2240480025x x ++=8000 解得:x 1 =100,x 2 =400要使顾客得到实惠,取x=400答: 每台冰箱应降价400元 (3)y=2240480025x x ++=22(250)980025x -+ ∵a=2025＜ ∴y 有最大值・∴当x=250时y 最大=9800 ∴每台冰箱降价250元时,商场利润最高.最高利润是9800元【点睛】此题考查二次函数的应用，解题关键在于列出方程21．AD 的长为6.5 m ．【解析】【分析】设电子警察安装在悬臂灯杆上的高度AD 的长为xm ．通过解Rt △ADB 和Rt △ACD 求得BD 、CD 的长度，然后结合BC ＝CD ﹣BD 列出方程，并解答．【详解】设电子警察安装在悬臂灯杆上的高度AD 的长为x m ．在Rt △ADB 中，tan ∠ABD ＝AD BD ， ∴BD ＝0tan tan18AD x ABD =∠， 在Rt △ACD 中，tan ∠ACD ＝ AD CD， ∴CD ＝0tan tan14AD x ACD =∠， ∵BC ＝CD ﹣BD ， ∴0tan14x ﹣0tan18x ＝6， ∴4x ﹣4013x ＝6． 解这个方程，得x ＝6.5．答：电子警察安装在悬臂灯杆上的高度AD 的长为6.5 m ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．22．（1）见解析；（2）BE ＝285. 【解析】【分析】（1）由题意可得AD=BD ，由余角的性质可得∠CBE=∠DAC ，由“ASA”可证△BDF ≌△ADC ；（2）由全等三角形的性质可得AD=BD=4，CD=DF=3，BF=AC ，由三角形的面积公式可求BE 的长度.【详解】解：（1）∵AD ⊥BC ，∠ABC ＝45°∴∠ABC ＝∠BAD ＝45°，∴AD＝BD，∵DA⊥BC，BE⊥AC∴∠C+∠DAC＝90°，∠C+∠CBE＝90°∴∠CBE＝∠DAC，且AD＝BD，∠ADC＝∠ADB＝90°∴△BDF≌△ADC（ASA）（2）∵△BDF≌△ADC∴AD＝BD＝4，CD＝DF＝3，BF＝AC∴BF＝5∴AC＝5，∵S△ABC＝12×BC×AD＝12×AC×BE∴7×4＝5×BE∴BE＝285.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用三角形面积公式可求BE的长度. 23．铁塔约高55米．【解析】【分析】如图，过点B作BE⊥DP于点E，由题可知，∠EBP＝38.7°，∠DAF＝45°，BE＝CD，DP＝AD，设铁塔高度DP为x米，则BE＝CD＝x+10，解直角三角形即可得到结论．【详解】如图，过点B作BE⊥DP于点E，由题可知，∠EBP＝38.7°，∠DAF＝45°，BE＝CD，DP＝AD，设铁塔高度DP为x米，则BE＝CD＝x+10，EP＝DP﹣DE＝AD﹣BC＝x﹣3，在Rt△BEP中∵EP＝x﹣3，BE＝x+10，∴tan∠EBP＝EPBE，x﹣3＝（x+10）×tan38.7°，解得x＝55，答：铁塔约高55米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，还考查的知识点有三角函数、直角三角形的性质以及勾股定理等，解题的关键是纷杂的实际问题中整理出直角三角形并解之．24．57x = 【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解【详解】解：2(1－2x)＝3(x －3)＋62－4x ＝3x －9＋6－4x －3x ＝－9＋6－2－7x ＝－557x = 【点睛】此题考查解分式方程，掌握运算法则是解题关键25．（1）证明见解析；（2）60；（3）6.【解析】【分析】（1）首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB ，然后利用SAS 证得两三角形全等即可；（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE 为菱形，根据∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，从而得到EF=AD=AE ，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形ADFE 是菱形；（3）设菱形AEFD 的边长为a ，易知△AEF 、△AFD 都是等边三角形，列出方程求出a ，再在RT △ACB 中，利用勾股定理即可解决问题．【详解】（1）证明：∵EF ∥AB ，∴∠E ＝∠CAB ，∠EFA ＝∠FAB ，∵∠E ＝∠EFA ，∴∠FAB ＝∠CAB ，在△ABC 和△ABF 中，AF AC FAB CAB AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△ABF ；（2）当∠CAB ＝60°时，四边形ADFE 为菱形，证明：∵∠CAB ＝60°，∴∠FAB ＝∠CAB ＝∠CAB ＝60°，∴EF ＝AD ＝AE ，∴四边形ADFE 是菱形，故答案为60．（3）∵四边形AEFD 是菱形，设边长为a ，∠AEF ＝∠CAB ＝60°，∴△AEF、△AFD都是等边三角形，a2＝∴a2＝12，∵a＞0，∴a＝∴AC＝AE＝，在RT△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝CAB＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝，BC6．故答案为6．【点睛】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方法及全等三角形的判定方法，难度不大，记住等边三角形面积公式a2（a是边长）2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，点B是直线l外一点，在l的另一侧任取一点K，以B为圆心，BK为半径作弧，交直线l与点M、N；再分别以M、N为圆心，以大于12MN为半径作弧，两弧相交于点P；连接BP交直线l于点A；点C是直线l上一点，点D、E分别是线段AB、BC的中点；F在CA的延长线上，,8,6FDA B AC AB∠=∠==则四边形AEDF的周长为（）A.8B.10C.16D.182．估6的值应在（）A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间3．在刚刚结束的中考英语听力、口语测试中，某班口语成绩情况如图所示，则下列说法正确的是（）A．中位数是9 B．众数为16 C．平均分为7.78 D．方差为24．如图，将△ABC绕C顺时针旋转，使点B落在AB边上的点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，则下列结论中错误的是（）A.∠BCB′＝∠ACA′B.∠ACB＝2∠BC.B′C平分∠BB′A′D.∠B′CA＝∠B′AC5．下列图形中，的是( )A. B.C. D.6．如图所示的四边形，与选项中的一个四边形相似，这个四边形是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，用四个直角边分别是6和8的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，随机往大正方形区域内投针一次，则针扎在小正方形EFGH 内的概率是（）A ．14B ．16C ．124D ．1258．如图，抛物线()()142L y x t x t =---+：（常数0t >），双曲线6(0)y x x=>.设L 与双曲线有个交点的横坐标为0x ，且满足034x <<，在L 位置随t 变化的过程中，t 的取值范围是（ ）A ．322t <<B ．34t <<C ．45t <<D ．57t <<9．如图，小山岗的斜坡AC 的坡度是tan α＝34，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，则小山岗的高AB 是（ ）（结果取整数，参考数据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.50）A.300米B.250米C.400米D.100米10，则它的外接圆的面积为（）A．πB．3πC．4πD．12π11．直线y＝﹣2x+5分别与x轴，y轴交于点C、D，与反比例函数y＝3x的图象交于点A、B．过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，连结EF；下列结论：①AD＝BC；②EF∥AB；③四边形AEFC是平行四边形；④S△EOF：S△DOC＝3：5．其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．412．如图，在⊙O中，弦AB＝10，PA＝6㎝，OP＝5㎝，则⊙O的半径R等于（）A．7㎝B㎝C．49㎝D㎝二、填空题13．在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2014个正方形的面积为_________。