代数几何综合问题(2)课后练习

代数几何综合问题(2)专项练习
1. 如图，已知二次函数2
3y x bx =++与x 轴交于点B （3，0），与y 轴交于点A ，O 为坐标原点，P 是二次函数2
3y x bx =++图象上的一个动点，点P 的横坐标是m ，且m ＞3，过点P 作PM 垂直x 轴，PM 交直线AB 于点M 。

（1）求二次函数的解析式；
（2）若以AB 为直径的⊙N 恰好与直线PM 相切，求此时点M 的坐标；
（3）在点P 的运动过程中，△APM 能否为等腰三角形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说出理由。

2. 如图，已知二次函数
()
2
0y x bx c c =-++>的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），
与y 轴交于点C ，且OB=OC=3，顶点为M 。

（1）求二次函数的解析式；
（2）点P 为线段BM 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，若OQ=m ，四边形ACPQ 的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；
（3）探索：线段BM 上是否存在点N ，使△NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由。

3. 将抛物线c 1：y=2
+x 轴翻折，得抛物线c 2，如图所示。

（1）请直接写出抛物线c 2的表达式.
（2）现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A ，B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴交点从左到右依次为D ，E 。

①当B ，D 是线段AE 的三等分点时，求m 的值；
②在平移过程中，是否存在以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m
的值；若不存在，请说明理由。

代数几何综合问题(2)专项练习
参考答案
1. 解：（1）将点B （3，0）代入y=x 2
+bx+3得：0=9+3b+3，解得b=-4， ∴二次函数的解析式为y=x 2
-4x+3；
（2）令x=0，则y=3，∴A 点坐标为A （0，3）， 直线AB 的解析式为y=-x+3，
C 为⊙C 的圆心，CA=CB=
∴D 点坐标为(3
31,2
2⎛⎫ ⎪⎝⎭
(3
12M x =+
将(312M x =+代入y=-x+3得(3
12
M y =
∴点M 的坐标为((331,122⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
（3）若△APM 为等腰三角形，进行分类讨论：
若(
)
2
43
P m m m -+，，则()3M m m -+，
，2
3PM m m =-，PA =，
AM ==；
①当PA=PM 时，可得
23m m -=，
解得m=4，2
433m m -+=，则P 点坐标为()43P ，
②当PA=AM =，解得m=3，或m=5，
当m=3时，m 2
-4m+3=0，由题意可知m ＞3，故m=3不合题意；[来源:学科网]
当m=5时，2438m m -+=，故点P 坐标为()58P ，，
③当PA=AM 时，23m m -=
，解得3m =+或3m =
由题意可知m ＞3，故3m =
当3m =时，2432m m -+=，故点P 坐标为(3P +。

综上所述：()43P ，
、()58P ，、(32P ++ 2. 解：（1）∵OB=OC=3， ∴B（3，0），C （0，3）
∴0933b c
c =-++⎧⎨
=⎩
解得23
b c =⎧⎨=⎩
∴二次函数的解析式为y=-x 2
+2x+3；[来源:学。

科。

网Z 。

X 。

X 。

K]
（2）()11••2
2
AOC
ACPQ PQOC AO CO PQ CO OQ S S
S +
+=+=
四边形梯形
()()21193
1326313222
2m m m
m m =⨯⨯+-++⋅=-++≤<（3）设
N 点坐标为
()
,x y
CM =
，
CN =
，
MN =
[来源:]
①当CM=NC 时，此时71655N ⎛⎫
⎪⎝⎭，
②当CM=MN 时，此时14
N +
⎛
⎝
③当CN=MN 时，此时()22N ，。

综上所述：71655N ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
、14N +
⎛
⎝
、()22N ，
3. （1）
2
y = （2
）①令20+=，得1211x x =-=，
则拋物线c 1与x 轴的两个交点坐标为()()1010-，，，。

∴()()1010A m B m ---，
，，。

同理可得：()()1010D m E m -++，
，，。

当13
AD AE =
时，[来源:学|科|网Z|X|X|K]
()()()()1
11113m m m m -+---=+---⎡⎤⎣⎦，
∴12m =。

当13AB AE =时，()()()()1
11113
m m m m ---+
=+---⎡⎤
⎣⎦，∴m=2。

故当B ，D 是线段AE 的三等分点时，
12m =
或2。

②存在。

连接AN ，NE ，EM ，MA 。

依题意可得：((M m N m -，，。

即M ，N
关于原点O 对称，∴OM=ON。

[来源:学科网ZXXK] ∵
()()
1010A m E m --+，，，，∴A，E 关于原点O 对称，∴OA=OE
∴四边形ANEM 为平行四边形。

∵
()2
2
2
14
AM m m =-+++
=，
()2
2
2
21444
ME m m m m =+++
=++，
()2
2211484
AE m m m m =+++=++，
若222
AM ME AE +=，则2
2
4444484m m m m +++=++，∴m=1，
此时△AME 是直角三角形，且∠AME=90°。

∴当m=1时，以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形。

2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．下列运算正确的是（ ） A.a 5﹣a 3＝a 2 B.6x 3y 2÷（﹣3x ）2＝2xy 2 C.2
2
12a
2a -=
D.（﹣2a ）3＝﹣8a 3
2．如图，已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴相交于点A ，B ，若在抛物线上有且只有三个不同的点C 1，C 2，C 3，使得△ABC 1，△ABC 2，△ABC 3的面积都等于a ，则a 的值是（ ）
A ．6
B ．8
C ．12
D ．16 3．如图，已知一次函数的图像与
轴分别交于点
，与反比例函数
的图像交于点，
且
，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4．一个圆锥的轴截面是一个边长为2cm 的等边三角形，则它的侧面积是（ ）. A ．4π
B ．2π
C ．π
D
．
5．若整数a 使关于x 的不等式组()22
2233a x
x x x +⎧≥-⎪⎪⎨⎪-->⎪⎩的解为2x <，且使关于x 的分手方程
15
444x a x x -++=---的解为正整数，则满足条件a 的的值之和为（ ） A ．12 B ．11 C ．10 D ．9
6．已知抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点②方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的解为x ＝0或x ＝4，③a ﹣b+c ＜0；④当0＜x ＜4时，ax 2﹣bx+c ＜0；⑤当x ＜2时，y 随x 增大而增大，其中结论正确的个数（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 为BC 边的中点，M 为对角线BD 上的一个动点。

则下列线段的长等于1
2
AM BM +
最小值的是（ ）
A ．AD
B ．AE
C ．B
D D ．BE
8．一个个“刻度”，印证着中国高铁的不断前行．截至2017年底，全国铁路营业里程达到127000千米，其中高铁里程为25000千米，占世界高铁里程总量的66.3%，是当之无愧的“世界冠军”，其中25000千米用科学记数法表示为( ) A ．25×107
米
B ．2.5×107
米
C ．C.2.5×104
米
D ．D.0.25×108
米
9 ） A ．π
B ．3π
C ．4π
D ．12π
10．如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，点E 在边AD 上，点G 在边BC 上，点F 、H 在对角线BD 上，若四边形EFGH 是正方形，则AE 的长是（ ）
A ．5
B ．
119
24
C ．
130
24
D ．
169
24
11．把边长相等的正六边形ABCDEF 和正五边形GHCDL 的CD 边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG 交AF 于点P ，则∠APG ＝（ ）
A ．141°
B ．144°
C ．147°
D ．150°
12．如图，在正方形ABCD 中，E 是边BC 上一点，且BE ：CE ＝1：3，DE 交AC 于点F ，若DE ＝10，则CF 等于( )
A ．
7
B ．
C
D ．
二、填空题
13．如图，在边长为3的正方形ABCD 的外部作等腰Rt AEF ，AE 1=，连接DE ，BF ，BD ，则
22DE BF +=______．
14．在矩形ABCD 中，AB=3cm ，BC=4cm ，则点A 到对角线BD 的距离为___________
15．我们用[m]表示不大于m 的最大整数，如：[2]＝2，[4.1]＝4，[3.99]＝3．（1）＝_____；
（2）
若6=，则x 的取值范围是_____．
16．某校规定学生的期末学科成绩由三部分组成，将课堂、作业和考试三项得分按1：3：6的权重确定每个人的期末成绩．小明同学本学期数学这三项得分分别是：课堂98分，作业95分，考试85分，那么小明的数学期末成绩是_____分．
17．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：DB=1：2，DE=2，则BC 的长是 ．
18．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 的延长线上一点.若110B ∠=°，则ADE ∠的大小为
____________.
三、解答题
19．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF
保持水平，并且边DE与点B在同一条直线上．已知纸板的两条边DE＝70cm，EF＝30cm，测得AC＝7
8 m，
BD＝9m，求树高AB．
20．某商场将进价为1800元的电冰箱以每台2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家"家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施,调查表明:这种冰箱的售价每降价50元,平均每天就能多售出4台
(1)设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润为y元,求y与x之间的函数关系式(不要求写自变量的取值范围)
(2)商场想在这种冰箱的销售中每天盈利8000元,同时又要使顾客得到实惠,每台冰箱应降价多少元?
(3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润是多少元?
21．如图，一辆轿车在经过某路口的感应线B和C处时，悬臂灯杆上的电子警察拍摄到两张照片，两感应线之间距离BC为6m，在感应线B、C两处测得电子警察A的仰角分别为∠ABD＝18°，∠ACD＝14°．求电子警察安装在悬臂灯杆上的高度AD的长．
（参考数据：sin14°≈0.242，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）
22．已知锐角△ABC，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于F．
（1）求证：△BDF≌△ADC；
（2）若BD＝4，DC＝3，求线段BE的长度．
23．河南省开封市铁塔始建于公元1049年（北宋皇祐元年），是国家重点保护文物之一，在900多年中，历经了数次地震、大风、水患而巍然屹立，素有“天下第一塔”之称．如图，小明在铁塔一侧的水平面上一个台阶的底部A 处测得塔顶P 的仰角为45°，走到台阶顶部B 处，又测得塔顶P 的仰角为38.7°，已知台阶的总高度BC 为3米，总长度AC 为10米，试求铁塔的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin38.7°≈0.63，cos38.7°≈0.78，tan38.7°≈0.80）
24．解方程：
123
132
x x --=+． 25．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以点A 为圆心，AC 为半径，作⊙A ，交AB 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点E 作AB 的平行线交⊙A 于点F ，连接AF ，BF ，DF ． （1）求证：△ABC ≌△ABF ； （2）填空：
①当∠CAB ＝ °时，四边形ADFE 为菱形；
②在①的条件下，BC ＝ cm 时，四边形ADFE 的面积是cm 2．
【参考答案】*** 一、选择题
二、填空题 13．20
14．12
5
cm 15．916x ≤<
16．3 17． 18．110°
三、解答题
19 【解析】
【分析】
先判定△DEF 和△DBC 相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC 的长，再加上AC 即可得解．
【详解】
解：在直角△DEF 中，DE ＝70cm ，EF ＝30cm ，
则由勾股定理得到DF ==
在△DEF 和△DBC 中，∠D ＝∠D ，∠DEF ＝∠DCB ，
∴△DEF ∽△DCB ， ∴DF EF DB BC
=， 又∵EF ＝30cm ，BD ＝9m ，
∴BC ＝
58EF DB DF ⋅==（m ） ∵78
AC m =，
∴AB ＝AC+BC ＝
78+=m ． 【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF 和△DBC 相似是解题的关键．
20．（1）y=-
2240480025x x ++（2）400（3）每台冰箱降价250元时,商场利润最高.最高利润是9800元 【解析】
【分析】
(1)根据升降价问题,表示出每台冰箱的利润=(2400-1800-x)与总的销量(8+
50x ⨯4),两者之积,即可求出, （2）结合函数解析式y=8000,即可表示出,然后解方程求出,
（3）二次函数最值问题,求出结果
【详解】
(1) 设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元
则y=(2400-1800-x) (8+
50x ⨯4)=-2240480025x x ++ (2)由题意得:- 2240480025
x x ++=8000 解得:x 1 =100,x 2 =400
要使顾客得到实惠,取x=400
答: 每台冰箱应降价400元 (3)y=
2240480025x x ++=22(250)980025x -+ ∵a=2025
＜ ∴y 有最大值・∴当x=250时y 最大=9800 ∴每台冰箱降价250元时,商场利润最高.最高利润
是9800元
【点睛】
此题考查二次函数的应用，解题关键在于列出方程
21．AD 的长为6.5 m ．
【解析】
【分析】
设电子警察安装在悬臂灯杆上的高度AD 的长为xm ．通过解Rt △ADB 和Rt △ACD 求得BD 、CD 的长度，然后结合BC ＝CD ﹣BD 列出方程，并解答．
【详解】
设电子警察安装在悬臂灯杆上的高度AD 的长为x m ．
在Rt △ADB 中，tan ∠ABD ＝
AD BD ， ∴BD ＝0
tan tan18AD x ABD =∠， 在Rt △ACD 中，tan ∠ACD ＝ AD CD
， ∴CD ＝0
tan tan14AD x ACD =∠， ∵BC ＝CD ﹣BD ， ∴
0tan14x ﹣0tan18
x ＝6， ∴4x ﹣4013x ＝6． 解这个方程，得x ＝6.5．
答：电子警察安装在悬臂灯杆上的高度AD 的长为6.5 m ．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）BE ＝
285
. 【解析】
【分析】
（1）由题意可得AD=BD ，由余角的性质可得∠CBE=∠DAC ，由“ASA”可证△BDF ≌△ADC ；（2）由全等三角形的性质可得AD=BD=4，CD=DF=3，BF=AC ，由三角形的面积公式可求BE 的长度.
【详解】
解：（1）∵AD ⊥BC ，∠ABC ＝45°
∴∠ABC ＝∠BAD ＝45°，
∴AD＝BD，
∵DA⊥BC，BE⊥AC
∴∠C+∠DAC＝90°，∠C+∠CBE＝90°
∴∠CBE＝∠DAC，且AD＝BD，∠ADC＝∠ADB＝90°∴△BDF≌△ADC（ASA）
（2）∵△BDF≌△ADC
∴AD＝BD＝4，CD＝DF＝3，BF＝AC
∴BF＝5
∴AC＝5，
∵S△ABC＝1
2
×BC×AD＝
1
2
×AC×BE
∴7×4＝5×BE
∴BE＝28
5
.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用三角形面积公式可求BE的长度. 23．铁塔约高55米．
【解析】
【分析】
如图，过点B作BE⊥DP于点E，由题可知，∠EBP＝38.7°，∠DAF＝45°，BE＝CD，DP＝AD，设铁塔高度DP为x米，则BE＝CD＝x+10，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
如图，过点B作BE⊥DP于点E，
由题可知，∠EBP＝38.7°，∠DAF＝45°，BE＝CD，DP＝AD，
设铁塔高度DP为x米，则BE＝CD＝x+10，
EP＝DP﹣DE＝AD﹣BC＝x﹣3，
在Rt△BEP中∵EP＝x﹣3，BE＝x+10，
∴tan∠EBP＝EP
BE
，x﹣3＝（x+10）×tan38.7°，
解得x＝55，
答：铁塔约高55米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，还考查的知识点有三角函数、直角三角形的性质以及勾股定理等，解题的关键是纷杂的实际问题中整理出直角三角形并解之．
24．57
x = 【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解
【详解】
解：2(1－2x)＝3(x －3)＋6
2－4x ＝3x －9＋6
－4x －3x ＝－9＋6－2
－7x ＝－5
57
x = 【点睛】
此题考查解分式方程，掌握运算法则是解题关键
25．（1）证明见解析；（2）60；（3）6.
【解析】
【分析】
（1）首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB ，然后利用SAS 证得两三角形全等即可；
（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE 为菱形，根据∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，从而得到EF=AD=AE ，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形ADFE 是菱形；
（3）设菱形AEFD 的边长为a ，易知△AEF 、△AFD 都是等边三角形，列出方程求出a ，再在RT △ACB 中，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】
（1）证明：∵EF ∥AB ，
∴∠E ＝∠CAB ，∠EFA ＝∠FAB ，
∵∠E ＝∠EFA ，
∴∠FAB ＝∠CAB ，
在△ABC 和△ABF 中，
AF AC FAB CAB AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC ≌△ABF ；
（2）当∠CAB ＝60°时，四边形ADFE 为菱形，
证明：∵∠CAB ＝60°，
∴∠FAB ＝∠CAB ＝∠CAB ＝60°，
∴EF ＝AD ＝AE ，
∴四边形ADFE 是菱形，
故答案为60．
（3）∵四边形AEFD 是菱形，设边长为a ，∠AEF ＝∠CAB ＝60°，
∴△AEF、△AFD都是等边三角形，
a2＝
∴a2＝12，
∵a＞0，
∴a＝
∴AC＝AE＝，
在RT△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝CAB＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝，BC6．
故答案为6．
【点睛】
本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方
法及全等三角形的判定方法，难度不大，记住等边三角形面积公式a2（a是边长）
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，点B是直线l外一点，在l的另一侧任取一点K，以B为圆心，BK为半径作弧，交直线l与点M、
N；再分别以M、N为圆心，以大于1
2
MN为半径作弧，两弧相交于点P；连接BP交直线l于点A；
点C是直线l上一点，点D、E分别是线段AB、BC的中点；F在CA的延长线上，
,8,6
FDA B AC AB
∠=∠==则四边形AEDF的周长为（）
A.8
B.10
C.16
D.18
2．估6的值应在（）
A.3和4之间
B.4和5之间
C.5和6之间
D.6和7之间
3．在刚刚结束的中考英语听力、口语测试中，某班口语成绩情况如图所示，则下列说法正确的是（）
A．中位数是9 B．众数为16 C．平均分为7.78 D．方差为2
4．如图，将△ABC绕C顺时针旋转，使点B落在AB边上的点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，则下列结论中错误的是（）
A.∠BCB′＝∠ACA′
B.∠ACB＝2∠B
C.B′C平分∠BB′A′
D.∠B′CA＝∠B′AC
5．下列图形中，的是( )
A. B.
C. D.
6．如图所示的四边形，与选项中的一个四边形相似，这个四边形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．如图，用四个直角边分别是6和8的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，随机往大正方形区域内投针一次，则针扎在小正方形EFGH 内的概率是（）
A ．14
B ．16
C ．124
D ．125
8．如图，抛物线()()142L y x t x t =---+：（常数0t >），双曲线6(0)y x x
=>.设L 与双曲线有个交点的横坐标为0x ，且满足034x <<，在L 位置随t 变化的过程中，t 的取值范围是（ ）
A ．322t <<
B ．34t <<
C ．45t <<
D ．57t <<
9．如图，小山岗的斜坡AC 的坡度是tan α＝34
，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，则小山岗的高AB 是（ ）（结果取整数，参考数据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.50）
A.300米
B.250米
C.400米
D.100米
10，则它的外接圆的面积为（）A．πB．3πC．4πD．12π
11．直线y＝﹣2x+5分别与x轴，y轴交于点C、D，与反比例函数y＝3
x
的图象交于点A、B．过点A作
AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，连结EF；下列结论：①AD＝BC；②EF∥AB；③四边形AEFC是平行四边形；④S△EOF：S△DOC＝3：5．其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，在⊙O中，弦AB＝10，PA＝6㎝，OP＝5㎝，则⊙O的半径R等于（）
A．7㎝B㎝C．49㎝D㎝
二、填空题
13．在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2014个正方形的面积为_________。

14．如图，矩形ABCD中，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠时点B落在点F处，连接FC，若∠DAF
＝18°，则∠DCF ＝_____度．
15．点（﹣1，2）所在的象限是第_____象限．
16．如图，在▱ABCD 中，点E 为CD 的中点，点F 在BC 上，且CF ＝2BF ，连接AE ，AF ，若AF AE ＝7，tan ∠EAF ＝52
，则线段BF 的长为_____．
17．2019年4月10日，全球六地同步发布“事件视界望远镜”获取的首张“黑洞”煕片，这个位于室女座足系团中的黑洞，质量约为太阳的6500000000倍．将6500000000用科学记数法表示为_____．
18．若m 为任意实数，则关于x 的一元二次方程211(3)(2)142
x x m m ---
=+实数根的个数为_______. 三、解答题
19．如图，ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 中点，四边形BCED 为平行四边形，DE 、AC 相交于点F ．求证：
（1）点F 为AC 的中点；
（2）试确定四边形ADCE 的形状，并说明理由；
（3）若四边形ADCE 为正方形，ABC 应添加什么条件？并证明你的结论．
20．某化工材料经销公司购进一种化工材料若干千克，价格为每千克40元，物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克40元．经市场调查发现，日销量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数，且当x ＝70时，y ＝80；x ＝60时，y ＝100．在销售过程中，每天还要支付其他费用350元．
(1)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(2)求该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(3)当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大利润是多少元？
21．如图，在“飞镖形”ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．
（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；
（2）“飞镖形”ABCD 满足条件 时，四边形EFGH 是菱形．
22．“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A ．非常了解，B ．比较了解，C ．基本了解，D ．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图.
请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)填空：本次共调查_____名学生；扇形统计图中C 所对应扇形的圆心角度数是_____°；
(2)请直接补全条形统计图；
(3)填空：扇形统计图中，m 的值为_____；
(4)该校共有500名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的约有多少名？
23．如图，在△ABC 中，E 为BC 边上一点，以BE 为直径的AR 半圆D 与AC 相切于点F ，且EF ∥AD ，AD 交半圆D 于点G ．
（1）求证：AB 是半圆D 的切线；
（2）若EF ＝2，AD ＝5，求切线长AB ．
24．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC D ⊥于点.
（1）如图1，点E 、F 在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =.
（2）点M ，N 分别在直线AD ，AC 上，且90BMN ∠=︒.
①如图2，当点M 在AD 的延长线上时，求证：AB AN +=
；
②当点M 在点A ，D 之间，且30AMN =︒∠时，已知AB =
AM 的长. 25．已知四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，148BCD ∠=︒.
（Ⅰ）如图①，若E 为AB 上一点，延长DE 交O 于点P ，连接AP ，求APD ∠的大小； （Ⅱ）如图②，过点A 作O 的切线，与DO 的延长线交于点P ，求APD ∠的大小.
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．402635()
2⨯ 14．
15．二
16．135
17．5×109
18．2
三、解答题
19．（1）证明见解析；（2）四边形ADCE 为菱形，理由见解析；（3）AC=BC ，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的中位线，证出即可；
（2）由题意容易证明CE 平行且等于AD ，AD=CD=BD ，所以得到四边形ADCE 为菱形；
（3）应添加条件AC=BC ，证明CD ⊥AB 且相等即可．
【详解】
证明：（1）∵四边形DBEC是平行四边形，
∴DE∥BC，
∵D为AB中点，
∴DF为△ABC的中位线，
即点F为AC的中点；
（2）∵平行四边形BDEC，
∴CE平行等于BD．
∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∴CE平行且等于AD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
又∵AD=CD=BD，
∴四边形ADCE为菱形；
（3）应添加条件AC=BC．
证明：∵AC=BC，D为AB中点，
∴CD⊥AB（三线合一的性质），即∠ADC=90°．
∵四边形BCED为平行四边形，四边形ADCE为平行四边形，
∴DE=BC=AC，∠AFD=∠ACB=90°．
∴四边形ADCE为正方形．（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形）
【点睛】
此题主要考查平行四边形、正方形的判定．
20．(1) y＝﹣2x+220(40≤x≤70)；(2) w＝﹣2x2+300x﹣9150；(3) 当销售单价为70元时，该公司日获利最大，为2050元．
【解析】
【分析】
（1）根据y与x成一次函数解析式，设为y＝kx+b（k≠0），把x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出y与x的解析式，并求出x的范围即可；
（2）根据利润＝单价×销售量，列出w关于x的二次函数解析式即可；
（3）利用二次函数的性质求出w的最大值，以及此时x的值即可．
【详解】
(1)设y＝kx+b(k≠0)，
根据题意得
7080 60100
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：k＝﹣2，b＝220，
∴y＝﹣2x+220(40≤x≤70)；
(2)w＝(x﹣40)(﹣2x+220)﹣350＝﹣2x2+300x﹣9150＝﹣2(x﹣75)2+2100；
(3)w＝﹣2(x﹣75)2+2100，
∵40≤x≤70，
∴x＝70时，w有最大值为w＝﹣2×25+2100＝2050元，
∴当销售单价为70元时，该公司日获利最大，为2050元．
【点睛】
此题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
21．(1)见解析；（2）AC=BD
【解析】
【分析】
（1）连接AC，根据三角形的中位线定理求出EH＝1
2
BD，HG＝
1
2
AC，EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EF∥AC，
推出平行四边形EFGH即可；
（2）根据菱形的判定定理即可得到结论．
【详解】
（1）证明：连接AC．
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点．∴EF、GH分别是△ABC、△ACD的中位线．
∴EF∥AC，EF＝1
2
AC，GH∥AC，GH＝
1
2
AC，
∴EF＝GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）“飞镖形”ABCD满足条件AC＝BD时，四边形EFGH是菱形AC＝BD，
故答案为：AC＝BD．
【点睛】
本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能求出四边形是平行四边形是解此题的关键．
22．（1）60，90；（2）详见解析；（3）30；（4）全校学生中对这些交通法规“非常了解”的约有200名．【解析】
【分析】
(1)利用A的人数以及A所占的比例即可求得调查的学生数，继而利用C所占的比例乘以360度即可求得C所对应的圆心角的度数；
(2)求出D的人数，继而求出B的人数，根据B、D的人数即可补全条形统计图；
(3)求出B所占的百分比即可求得m的值；
(4)用500乘以“非常了解”的比例即可得答案.
【详解】
(1)本次共调查学生：24÷40%＝60(名)，
扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数：360°×15
60
=90°，
故答案为：60，90；
(2)扇形统计图中D所对应的学生数：60×5%＝3(名)，
扇形统计图中B所对应的学生数：60﹣24﹣15﹣3＝18(名)，补全条形统计图如下：
(3)18
60
×100%＝30%，
扇形统计图中，m的值为30，
故答案为：30；
(4)500×40%＝200(名)，
答：全校学生中对这些交通法规“非常了解”的约有200名．
【点睛】
本题考查了条形统计图与扇形统计图，准确识图，从中找到有用的信息是解题的关键．
23．（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接DF，根据切线的性质得到DF⊥AC，根据平行线的性质得到∠EFD＝∠ADF，∠FED＝∠ADB，由等腰三角形的性质得到∠EFD＝∠FED，求得∠ADF＝∠ADB，根据全等三角形的性质得到∠ABD＝∠AFD＝90°，于是得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到
2
5
CE CF EF
CD CA AD
===，设CE＝2x，于是得到CD＝5x，DF＝
DE＝3x，根据勾股定理得到CF＝4x，于是得到AF＝6x，在Rt△ADF中根据勾股定理即可得到结论．【详解】
（1）证明：连接DF，
∵AC与半圆D相切于点F，
∴DF⊥AC，
∴∠AFD＝90°，
∵EF∥AD，
∴∠EFD＝∠ADF，∠FED＝∠ADB，
又∵DF＝DE，
∴∠EFD＝∠FED，
∴∠ADF＝∠ADB，
在△ABD与△AFD中
DB DF
ADB ADF AD AD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
∴△ABD≌△AFD （SAS），∴∠ABD＝∠AFD＝90°，∴AB是半圆D的切线；（2）解：∵EF∥AD，
∴△CFE∽△CAD，
∴
2
5 CE CF EF
CD CA AD
===，
设CE＝2x，
∴CD＝5x，DF＝DE＝3x，
∴在Rt△DFC中，由勾股定理得CF＝4x，∴AF＝6x，
在Rt△ADF中，（6x）2+（3x）2＝52，
解得x
∴AB＝AF＝6x
＝
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练正确切线的判定定理是解题的关键．
24．（1）见解析；（2
1.
【解析】
【分析】
（1）先判断出∠BAD=∠CAD=45°，进而得出∠CAD=∠B，再判断出∠BDE=∠ADF，进而判断出△BDE≌△ADF，即可得出结论；
（2）①先判断出AM=PM，进而判断出∠BMP=∠AMN，判断出△AMN≌△PMB，即可判断出AP=AB+AN，再判断
出
，即可得出结论；
②先求出BD，再求出∠BMD=30°，最后用三角函数求出DM，即可得出结论．【详解】
∴∠B=∠C=45°，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠B，AD=BD，
∵∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF；
（2）①如图1，过点M作MP⊥AM，交AB的延长线于点P，
∴∠AMP=90°，
∵∠PAM=45°，
∴∠P=∠PAM=45°，
∴AM=PM，
∵∠BMN=∠AMP=90°，
∴∠BMP=∠AMN，
∵∠DAC=∠P=45°，
∴△AMN≌△PMB（ASA），
∴AN=PB，
∴AP=AB+BP=AB+AN，
在Rt△AMP中，∠AMP=90°，AM=MP，
∴，
∴AM；
②如图，
在Rt△ABD中，AD=BD=
2
∴∠BMD=90°-30°=60°，
在Rt △BDM 中，DM=1
BD tan BMD ==∠，
∴．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出△BDE ≌△ADF 是解（1）的关键，构造出全等三角形是解（2）的关键．
25．（Ⅰ）；58APD ∠=︒；（Ⅱ）26APD ∠=︒.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）连接BD ，根据圆内接四边形的对角互补得出BAD 32∠=︒，再根据直径所对的圆周角是直角得出ADB 90∠=︒，从而求出ABD ∠，再根据同弧所对的圆角角相等即可得出APD ∠的度数.
（Ⅱ）连接AD,根据等腰三角形的性质，可得ADO OAD 32∠∠==︒，再根据切线的性质和三角形即可得出APD ∠度数.
【详解】
解：
（Ⅰ）连接BD ，
∵四边形ABCD 是圆内接四边形，
∴BCD BAD 180.∠∠+=︒
∵BCD 148,∠=︒
∴BAD 32.∠=︒
又AB 是O 的直径，
∴BDA 90.∠=︒
∴BAD ABD 90,∠∠+=︒
∴ABD 58.∠=︒
∴APD ABD 58.∠∠==︒
（Ⅱ）连接AD,由（Ⅰ）可知：BAD 32,∠=︒
又OA OD =，可得ADO OAD 32,∠∠==︒
∵DP 切O 于点A,
∴OA PA ⊥，即PAO 90.∠=︒
则PAD PAO OAD 122,∠∠∠=+=︒
在APD 中，
∵PAD ADO APD 180,∠∠∠++=︒
∴APD 26∠=︒.
【点睛】
本题考查了圆内接四边形定理、圆周角定理、切线的性质等知识，熟练掌握相关的定理定义是解题的关键.。