一次函数代数几何综合问题

一次函数代几综合问题

一．填空题（共6小题）

1．如图，直线和x轴、y轴分别交于点A、B．若

以线段AB为边作等边三角形ABC，则点C的坐标是．

2．一次函数y=x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点，

使△ABC为等腰三角形，则这样的点C的坐标为．

3．如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1），

C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段

PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y=x交

于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q，

则点Q的坐标为．

4．如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直

线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴

的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；

按此作法继续下去，则点A4的坐标为．

5．在直角坐标系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、…、A n B n C n C n﹣1

按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、A n均在一次函数

y=kx+b的图象上，点C1、C2、C3、…、C n均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点A n的坐标为．

6．如图，直线1：与x轴、y轴分别相交于点A、B，

△AOB与△ACB关于直线l对称，则点C的坐标为．

二．解答题（共24小题）

7．已知一次函数y=2x﹣4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在该函数的图象上，P到x轴、y 轴的距离分别为d1、d2．（1）当P为线段AB的中点时，求d1+d2的值；

（2）直接写出d1+d2的范围，并求当d1+d2=3时点P的坐标；

（3）若在线段AB上存在无数个P点，使d1+ad2=4（a为常数），求a的值．

8．在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，直线y=mx+2与OC，BC两边分别相交于点D，G，以DG为边作菱形DEFG，顶点E在OA边上．

（1）如图1，当CG=OD时，直接写出点D和点G的坐标，并求直线DG的函数表达式；

（2）如图2，连接BF，设CG=a，△FBG的面积为S．

①求S与a的函数关系式；

②判断S的值能否等于等于1？若能，求此时m的值，若不能，请说明理由；

（3）如图3，连接GE，当GD平分∠CGE时，m的值为．

9．认真阅读材料，然后回答问题：

我们知道，在数轴上，x=1表示一个点．而在平面直角坐标系中，x=1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方方程2x﹣y+1=0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=2x+1的图象，它也是一条直线，

如图1可以得出：直线x=1与直线y=2x+1的交点P的坐标（1，3）就是方程组

在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x=1以及它左侧的部分，如图2；y≧2x+1也表示一个平面区域，即直线y=2x+1以及它上方的部分，如图3．回答下列问题：请你自己作一个直角坐标系，并在直角坐标系中

（1）用作图象的方法求出方程组的解．（2）用阴影表示，所围成的区域．

10．如图，直线l1的解析表达式为：y=3x﹣3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2

交于点C．（1）求△ADC的面积；

（2）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，则点P的坐标为；（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

11．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1和l2相交于点A，它们的解析式分别为l1：y=x，

l2：y=﹣x+．直线l2与两坐标轴分别相交于点B和点C，点P在线段OB上从点O出发．以每秒1个

单位的速度向点B运动，同时点Q从点B出发以每秒4个单位的速度沿B→O→C→B的方向向点B运动，过点P作直线PM⊥OB分别交l1，l2于点M，N．连接MQ．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）

（1）求点A的坐标；

（2）点Q在OC上运动时，试求t为何值时，四边形MNCQ为平行四边形；

（3）试探究是否存在某一时刻t，使MQ∥OB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

12．已知，将边长为5的正方形ABCO放置在如图所示的直角坐标系中，使点A在x轴上，点C在y轴上．点M（t，0）在x轴上运动，过A作直线MC的垂线交y轴于点N．

（1）当t=1时，求直线MC的解析式；

（2）设△AMN的面积为S，求S关于t的函数解析式并写出相应t的取值范围；

（3）在该平面直角坐标系中，第一象限内取点P（2，y），是否存在以M、N、C、P为顶点的四边形是直角梯形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

13．如图①，以四边形AOCD的顶点O为原点建立直角坐标系，点A、C、D的坐标分别为（0，2）、（2，0）、（2，2），点P（m，0）是x轴上一动点，m是大于0的常数，以AP为一边作正方形APQR（QR落在第一象限），连接CQ．

（1）请判断四边形AOCD的形状，并说明理由：

（2）连接RD，请判断△ARD的形状，并说明理由：

（3）如图②，随着点P（m，0）的运动，正方形APQR的大小会发生改变，若设CQ所在直线的表达式为y=kx+b（k≠0），求k的值．

14．如图，将边长为4的正方形纸片，置于平面直角坐标系内，顶点A在坐标原点，AB在x轴正方向上，E、F分别是AD、BC的中点，M在DC上，将△ADM沿折痕AM折叠，使点D折叠后恰好落在EF上的P点处．

（1）求点M、P的坐标；

（2）求折痕AM所在直线的解析式；

（3）设点H为直线AM上的点，是否存在这样的点H，使得以H、A、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．