高中数学专题-二次函数综合问题例谈

二次函数综合问题例谈

二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题.

1. 代数推理

由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质.

1.1 二次函数的一般式c bx ax y ++=2)0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.

例1 已知f x ax bx ()=+2，满足1≤-≤f ()12且214≤≤f ()，求f ()-2的取值范围.

分析：本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1≤-≤f ()12和4)1(2≤≤f 当成两个独立条件，先用()1-f 和()1f 来表示b a ,.

解：由()b a f +=1，()b a f -=-1可解得：

))1()1((2

1)),1()1((21--=-+=f f b f f a （*） 将以上二式代入f x ax bx ()=+2，并整理得

()()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2)1(2122x x f x x f x f , ∴ ()()()1312-+=f f f .

又∵214≤≤f ()，2)1(1≤-≤f ,

∴ ()1025≤≤f .

例2 设()()f x ax bx c a =++≠2

0，若()f 01≤，()f 11≤，()f －11≤, 试证明：对于任意-≤≤11x ，有()f x ≤54

. 分析：同上题，可以用()()()1,1,0-f f f 来表示c b a ,,.

解：∵ ()()()c f c b a f c b a f =++=+-=-0,1,1,

∴ ()()()()0)),1()1((2

1),0211(21f c f f b f f f a =--=--+=, ∴ ()()()()()222102121x f x x f x x f x f -+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. ∴ 当01≤≤-x 时，

()()()().4

545)21(1

)1(2212

2102

121222222

222

22≤++-=+--=-+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-++≤-⋅+-⋅-++⋅≤x x x x x x x x x x x x x x f x x f x x f x f

当10-≤≤x 时， ()()()()222102

121x f x x f x x f x f -⋅+-⋅-++⋅≤ 22212

2x x x x x -+-++≤ )1(22222x x x x x -+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= .4

545)21(1

22≤+--=++-=x x x 综上，问题获证.

1.2 利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式()().21x x x x a y --= 例３ 设二次函数()()f x ax bx c a =++>2

0，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满

足0112<<

. 当()x x ∈01,时，证明()x f x x <<1. 分析：在已知方程()f x x -=0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数()x x f -的表达式，从而得到函数)(x f 的表达式.

证明：由题意可知))(()(21x x x x a x x f --=-.

a

x x x 1021<<<< , ∴ 0))((21>--x x x x a ,

∴ 当()x x ∈01,时，x x f >)(.

又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f ,

,011,

0221>->+-<-ax ax ax x x 且

∴ 1)(x x f <,

综上可知，所给问题获证. 1.3 紧扣二次函数的顶点式,44222a b ac a b x a y -+⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=对称轴、最值、判别式显合力

例4 已知函数x z a x f 2

2)(-=。 （1）将)(x f y =的图象向右平移两个单位，得到函数)(x g y =，求函数)(x g y =的解析式；

（2）函数)(x h y =与函数)(x g y =的图象关于直线1=y 对称，求函数)(x h y =的解析式；

（3）设)()(1)(x h x f a x F +=

，已知)(x F 的最小值是m 且72+>m ，求实数a 的取值范围。

解：(1)()();22222---=-=x x a

x f x g

(2)设()x h y =的图像上一点()y x P ,，点()y x P ,关于1=y 的对称点为()y x Q -2,，由点Q 在()x g y =的图像上，所以 y a

x x -=---22222，