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常微分方程习题与答案

第十二章常微分方程(A)、是非题1.任意微分方程都有通解。

（）2 •微分方程的通解中包含了它所有的解。

（）3. 函数y =3si nx-4cosx是微分方程y，y=0的解。

（）4. 函数y = x2・e x是微分方程y'；"-2y ' y = 0的解。

（）5. 微分方程xy"T nx=0的通解是y =丄（1 nx）2+C （C为任意常数）。

（）26. y"=siny是一阶线性微分方程。

（）7. / = x3y3 xy不是一阶线性微分方程。

（）8 . /-2/ 5^0的特征方程为『-2—5=0。

（）9. dy = 1 x y2 xy2是可分离变量的微分方程。

（）dx、填空题1 .在横线上填上方程的名称①y _ 3 ln xdx _ xdy 二0 是__________________________ 。

②xy2 x dx y _ x2 y dy = 0 是__________________________ 。

③x-d^ = y l n 丫是。

dx x④xy ：= y x2 sin x 是__________________ 。

⑤y y -2y =0是________________________ 。

2 . y si nxy"-x=cosx的通解中应含____________ 个独立常数。

3. _____________________________________ y “ = e Qx的通解是。

4. ______________________________________ y = sin 2x - cos x 的通解是。

5. _______________________________ x^ 2x2y 2，x3y=x4，1是阶微分方程。

6•微分方程y y - y Q =0是________________ 阶微分方程。

i7. y-丄所满足的微分方程是。

常微分方程试题及答案

常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. $ y' + p(x)y = q(x) $B. $ y' = p(x)y + q(x) $C. $ y' - p(x)y = q(x) $D. $ y' + p(x)y = q(x) $ 或 $ y' - p(x)y = q(x) $答案：A4. 已知微分方程 $ y'' - y = 0 $ 的一个特解是 $ y = e^x $，那么它的通解是：A. $ y = C_1e^x + C_2e^{-x} $B. $ y = C_1e^x + C_2 $C. $ y = C_1e^x + C_2e^x $D. $ y = C_1 + C_2e^{-x} $答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 $ y'' + y' + y = 0 $ 的通解是 $ y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} $，其中 $ C_1 $ 和 $ C_2 $ 是常数。

2. 微分方程 $ y'' - 4y = 0 $ 的通解是 $ y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) $，其中 $ C_1 $ 和 $ C_2 $ 是常数。

3. 微分方程 $ y'' + 4y = 0 $ 的通解是 $ y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) $，其中 $ C_1 $ 和 $ C_2 $ 是常数。

数学必修二：常微分方程的应用习题答案

数学必修二：常微分方程的应用习题答案一、填空题1. 解微分方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{x+y}$，得到的特解为$y=$_____。

解答：首先，观察到该方程是一阶线性齐次方程的形式，所以我们假设解为 $y=ux$，代入原方程，得到 $\frac{du}{dx}=-\frac{1+u}{1-u}$。

化简后得到 $\frac{1+u}{u(1-u)}du=-dx$。

分离变量并两边积分，得到 $\ln\left|\frac{1+u}{u(1-u)}\right|=-x+c$，其中 $c$ 为常数。

进一步化简，得到 $\frac{1+u}{u(1-u)}=k\cdot e^{-x}$，其中 $k=\pm e^c$。

将$y=ux$ 代入，得到 $\frac{1+\frac{y}{x}}{\frac{y}{x}(1-\frac{y}{x})}=k\cdot e^{-x}$，整理后得到 $y=\frac{k\cdot x}{1-k\cdotx}$。

所以解为 $y=\frac{k\cdot x}{1-k\cdot x}$。

2. 解微分方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+y^2}{2x+y}$，得到的特解为 $y=$_____。

解答：我们先观察到该方程是一个齐次方程的形式，所以我们可以做变换 $y=vx$，得到 $\frac{dv}{dx}=\frac{1+v^2}{2+v}$。

将分子移到右边并分离变量，得到 $\frac{dv}{1+v^2}=\frac{dx}{2+x}$。

对左边积分，得到$\arctan(v)=\ln|2+x|+c$，其中$c$ 为常数。

再次代入$y=vx$，得到 $\arctan\left(\frac{y}{x}\right)=\ln|2+x|+c$。

整理之后，得到$y=x\tan(\ln|2+x|+c)$。

所以解为 $y=x\tan(\ln|2+x|+c)$。

《常微分方程》题库及答案

《常微分方程》题库及答案一．求解下列方程1．求方程0sin cos =+x y dxdyx之通解; 2．求方程xx y ax dy cos 1tan =+之通解； 3．解初值问题2(1)20(0)1dy x xy dx y ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩； 4．求方程()lndy x yxy x y dx x+-=+ 之通解； 5．求方程 yx xy y dx dy 321++= 的通解； 6. 求方程 0)3()3(2323=-+-dy y x y dx xy x 的通解； 7．求由以xxx x cos ,sin 为基本解组的线性齐次方程； 8．求方程 2)(22x dx dy xdx dy y +-=的通解及奇解； 9．求方程⎰+=+xx y x dt dtt dy 02)(2))((1 的通解； 10. 求方程 0)sin ()2sin (22=-++dy y xy dx x y x 的通解； 11．求由以 x x x ln , 为基本解组的线性齐次方程； 12．求方程 2222)(12dxdy y y dx y d += 的通解. 13.求方程y y dxdyln =之通解。

14.求方程xy dxdyy x 2)(22=+之通解。

15.求方程0)(222=-+dy y x xydx 之通解。

16. 求方程y x e dxdy-=之通解。

17. 求方程0)2(=+---dy xe y dx e yy 之通解。

18. 求方程x x y y sec tan '=+之通解。

二．1．解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧-==y x e axdyy 20)1(2.求如下微分方程组之通解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=++-=--=z x dtdz z y x dtdyz y x dt dx2. 3.求出初值问题的逐次近似解21,0y y y ：2(0)0dyx y dxy =+=⎧⎪⎨⎪⎩. 4. 求出微分方程0).().(=+dy y x N dx y x M 有形如)(22y x +=ϕυ的积分因子的充要条件。

《常微分方程》答案_习题4.2

习题4.21. 解下列方程（1）045)4(=+''-x x x 解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=tt t t e c e c e c e c --+++432221 (2)03332=-'+''-'''x a x a x a x 解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a =λ故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04)5(=''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-（4）0102=+'+''x x x解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i故通解为t e c t e c x t t 3sin 3cos 21--+= (5) 0=+'+'x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i-- 故通解为t ec t ec x t t 23sin 23cos 212211--+=(6) 12+=-''t s a s 解：特征方程022=-a λ有根=1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=at at e c e c -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -== 故通解为s=at at e c e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ 故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t(7) 32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (8) 322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321取特解行如c Bt At x ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (9)t x x cos =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--取特解行如t B t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--)sin (cos 21t t +-(10) t x x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1 故齐线性方程的通解为x=t t e c e c 221-+ 因为+-2i 不是特征根取特解行如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B 故通解为x=t t e c e c 221-+t t 2sin 562cos 52-- （11）t e x x =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=-- =λ1是特征方程的根，故t Ate x =~代入原方程解得A=31故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--+t te 31（12）t e s a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a 当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t tte c e c 21+,=λ1是特征方程的2重根，故t e At x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121t te c e c t t ++,当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at atte c e c --+21,=λ1不是特征方程的根，故t Ae x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=at at te c e c --+21+te a 2)1(1+ （13）t e x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5 故齐线性方程的通解为x=tte c e c 521--+=λ2不是特征方程的根，故t Ae x 2~=代入原方程解得A=211 故通解为x=t t e c e c 521--++t e 2211 （14）t e x x x t cos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i故齐线性方程的通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=i ±-1不是特征方程的根, 取特解行如t e t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B 故通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=+t e t t --)sin 414cos 415((15) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i 故齐线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+=t x x sin =+'',=1λi,是方程的解 )sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得 A=21- B=0 故t t x cos 21~-=t x x 2cos -=+'' t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得 A=31B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t 2cos 31+习题 6-11．求出齐次线性微分方程组y t A dtdy)(=的通解，其中A （t ）分别为：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011)(t A ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110)(t A ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010100)(t A 。

常微分方程课后习题答案.doc

习题2.1 1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+cy=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy2ydy dy=-11+x dx两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dxdy =yx xy y321++解：原方程为：dx dy =yy 21+31xx +yy 21+dy=31xx +dx两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：yy -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：dxdy =-yx y x +-令xy =u 则dx dy =u+x dxdu 代入有：-112++uu du=x1dxln(u 2+1)x=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy .6. xdxdy -y+22y x -=0解：原方程为：dx dy =xy +x x ||-2)(1xy -则令xy =u dxdy =u+ xdxdu211u- du=sgnx x1dxarcsinxy =sgnx ln|x|+c7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgydy =ctgxdx两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=xc cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c. 8dxdy +yexy 32+=0解：原方程为：dxdy =yey2e x 32 ex3-3e2y-=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =xy lnx y令xy =u ,则dxdy =u+ xdxduu+ xdxdu =ulnuln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy =cy.10.dxdy =e y x -解：原方程为：dxdy =e x e y -e y =ce x11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dxdy =dxdu -1dxdu -1=u 2211u+du=dxarctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dxdy =2)(1y x +解：令x+y=u,则dxdy =dxdu -1dxdu -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dxdy =1212+-+-y x y x解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=c xy-y 2+y-x 2-x=c14: dxdy =25--+-y x y x解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+解：原方程为：dx dy=（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dxdy=41dxdu -4141dx du -41=u 2+3dxdu =4 u 2+13u=23tg(6x+c)-1tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dxdy =2222x -2 y x 2y+证明：令xy=u,则x dxdy +y=dxdu则dxdy =x 1dxdu -2xu ，有：u x dxdu =f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。

(完整版)常微分方程习题及解答

常微分方程习题及解答一、问答题：1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。

常微分方程，自变量的个数只有一个。

偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。

常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。

2．举例阐述常数变易法的基本思想。

答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。

例：求()()dyP x y Q x dx=+的通解。

首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ⎰=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dxy c x ⎰=l ，微分之，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx⎰⎰=+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dx c x P x Q x ⎰⎰+⎰=+l l l即()()()P x dx dc x Q x dx-⎰=l 积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c -⎰=+⎰%l 进而得到方程的通解()()(())P x dxP x dxy Q x dx c -⎰⎰=+⎰%l l3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n nx a t xa t x a t x f t x t x t x t ηηη---'⎧++++=⎪⎨'===⎪⎩ 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a tb ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,...,n ηηη是已知常数。

(完整word)高等数学：常微分方程的基础知识和典型例题

常微分方程1 .( 05,4 分)微分方程xy 2yxln x 满足y(1)22x y)= x ln x.2 .( 06,4 分) 微分方程 y= y(1 x)的通解为 ———— x分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得dy( 11)dx.积分得 ln y ln x x C 1，即 y e C1xe x yxy Cxe x, 其中C 为任意常数 .(二)奇次方程与伯努利方程1 .( 97,2,5 分) 求微分方程 (3x2 2xy y 2)dx (x 22xy)dy 0的通解解：所给方程是奇次方程 . 令 y=xu, 则 dy=xdu+udx. 代入原方程得 3 ( 1+u- u 2) dx+x(1-2 u) du=0. 分离变量得1-2u2 du 3dx, 1uu x积分得 ln 1 u u 2 3ln x C 1,即 1 u u 2=Cx 3. 以 u y代入得通解 x 2xy y 2.xx( y x 2y 2)dx xdy 0(x 0),2 .(99,2,7 分 ) 求初值问题的解 .y x1 0分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为 . dy +2y dx x 2 dx lnx, 两边乘 e x=x 得积分得y(1)x 2y=C+ x 2 ln xdx C 1 ln xdx 3 3 1 11 得 C 0 y xln x x.9 39 C 1 x 3 ln x 3 13 x. 9 1 的解解：所给方程是齐次方程 (因 dx, dy 的系数 (y+ x 2 y 2)与 (-x)都是一次齐次函数)令 dy xdu udx,带入得x(u 1 u 2dx x( xdu udx) 0, 化简得 12u 2dx xdu 0.分离变量得dx- du=0. x 1 u 2积分得 ln x ln(u 1 u 2) C 1,即 u 1 u 2Cx. 以 u y代入原方程通解为y+ x 2 y 2 Cx 2.x 再代入初始条件 y x 1 0,得 C=1.故所求解为 y+x 2y2x 2，或写成y 12 (x 2 1).(三)全微分方程练习题(94,1,9 分)设 f ( x)具有二阶连续导数， f (0) 0, f (0) 1,且 [xy(x+y)- f(x)y]dx+[ f (x)+x 2y]dy=0为一全微分方程，求 f(x)以及全微分方程的通解先用凑微分法求左端微分式的原函数：122 122( y dx x dy ) 2( ydx xdy ) yd (2sin x cos x) (2sin x cos x)dy 0, 22 122d [ x y 2xy y (cos x 2sin x)] 0. 2其通解为 1x 2y 2 2xy y (cos x 2sin x) C.4.( 98,3分) 已知函数y y(x)在任意点x 处的增量 y= y2 x ,当 x0时 ,1x是 x 的高阶无穷小，y(0)= ，则 y(1)等于 ( )解：由全微分方程的条件，有即 x22xy f (x) f (x)y因而 f (x)是初值问题y x 2[xy(x y) f(x)y] y 2xy, 亦即 f (x) f (x) x 2.2yx的解，从而解得0, y x 0 12.22[ f (x) xy], x 2sin x cosx)dy 0.(A)2 .(B) .(C)e 4 .(D) e 4 .分析：由可微定义，得微分方程 y y. 分离变量得21x1y dx2,两边同时积分得 ln y arctan x C ,即 y Ce arctanx.y1x代入初始条件y(0) ，得 C= ，于是 y(x) earctanx,由此， y(1) e 4.应选 ( D)二、二阶微分方程的可降阶类型5( . 00,3分) 微分方程 x y 3y 0的通解为分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令 y =P( x)，则 y =P ，方程可化为一阶线性方程xP 3P 0,标准形式为 P+3P=0，两边乘 x 3得 (Px 3) =0. 通解为 y P C 30 .xx再积分得所求通解为 y C 22C 1.x216 .( 02,3分)微分方程 yy y 2=0满足初始条件y x 01， y x 0 2的特解是分析：这是二阶的可降阶微分方程 .令 y P(y)(以 y 为自变量 )，则 y dy dP P dP.dx dx dy代入方程得 yP dP +P 2=0，即 y dP+P=0(或 P=0, ，但其不满足初始条件y x 0 1)dy dy2分离变量得 dP dy 0,PyC积分得 ln P +ln y =C ，即 P= 1(P=0对应 C 1=0)； y11由 x 0时 y 1， P=y , 得 C 1 ，于是221 y P ,2 ydy dx, 积分得 y x C 2 2y .又由 y x 0 1 得 C 2. 1，所求特解为 y 1 x.三、二阶线性微分方程(一)二阶线性微分方程解的性质与通解结构7 .( 01,3分)设 y e x(C 1sin xC 2cosx)(C 1,C 2为任意常数 )为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 ___ .r1，r2 1 i，从而得知特征方程为分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是22(r r1 )(r r2) r (r1 r2 )r r1r2 r 2r 2 0.由此，所求微分方程为y 2y 2y 0.分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型(只要是二阶)，由通解y e x(C1sinx C2 cosx)求得y e x[( C1 C2 )sin x (C1 C2)cos x], y e x( 2C2 sin x 2C1 cos x),从这三个式子消去C1与C2,得y 2y 2y 0.(二)求解二阶线性常系数非齐次方程9.( 07,4分) 二阶常系数非齐次线性微分方程y 4y 3y 2e2x的通解为y=分析：特征方程24 3 ( 1)( 3) 0的根为1, 3.非齐次项 e x, 2不是特征根，非齐次方程有特解y Ae2x.代入方程得(4A 8A 3A)e2x2e2x A 2.因此，通解为y C1e x C2e3x2e2x..10.(10,10分 )求微分方程y 3y 2y 2xe x的通解.分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.1由相应的特征方程2 3 2 0, 得特征根 1 1, 2 2 相应的齐次方程的通解为y C1e x C2e2x.2非齐次项 f ( x) 2xe x , 1是单特征根，故设原方程的特解xy x(ax b)e .代入原方程得ax2 (4a b)x 2a 2b 3[ax2 (2a b)x b] 2(ax2 bx) 2x,即 2ax 2a b 2x, a 1,b 2.3原方程的通解为y C1e x C2e2x x(x 2)e x,其中 C1，C2为两个任意常数.04， 2, 4分)微分方程y y x2 1 sin x的特解形式可设为( )22(A)y ax bx c x(Asin x B cosx).(B)y x(ax bx c Asin x B cos x).22(C)y ax bx c Asin x.(D )y ax bx c Acosx.分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是2 1 0,特征根为i .y y x2 1L()与 1 y y sin xL( 2)方程 (1) 有特解 y ax2 bx c,方程(2)的非齐次项 f (x) e x sin x sin x( 0, 1，i 是特征根), 它有特解y x(Asin x B cosx).y ax2 bx c x(Asin x Bbcosx).应选 (A).(四)二阶线性变系数方程与欧拉方程12.(04, 4分 )欧拉方程x2 d2y 4x dy 2y 0(x 0)的通解为dx dx分析：建立 y 对 t 的导数与y 对 x 的导数之间的关系 .222dy dy dx dyd y d y 2 dy 2 d y dy( sin x), 2 2 sin t cost (1 x ) 2 x .dt dx dt dx dt dx dx dx dxd 2y于是原方程化为 2 y 0,其通解为 y C 1 cost C 2sint.dt 2 回到 x 为自变量得 y C 1x C 2 1 x 2.x由 y (0) C 2 1 C 2 1.y(0) C 1x 02 C 1 2.1 x 2因此特解为 y 2x 1 x 2 .四、高于二阶的线性常系数齐次方程13.( 08， 4分)在下列微分方程中，以 y C 1e xC 2cos2x C 3 sin 2x(C 1, C 2, C 3为任意常数)为通解的是()(A)y y 4y 4y 0.(B)y y 4y 4y 0. (C)y y 4y 4y 0.(D ) y y 4y 4y 0.分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是： 1, 2i(i 1)，对应的特征方程是 ( 1)( 2i)( 2i) ( 1)( 24) 3244 0,因此所求的微分方程是 y y 4y 4y 0，选(D).(00,2,3分 ) 具有特解 y 1 e x , y 2 2xe x ,y 3 3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是( )(A)y y y y 0.(B)y y y y 0. (C)y 6y 11y 6y 0.(D)y2y y 2y 0.分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为 r 1 r 21,r 3 1，从而特征方程为(1)求导数 f (x)； (2)证明：当 x 0时 ,成立不等式 e分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量22d y dy d y dy 2 (4 1) 2y 0,即 2 3 2y xe t(t l n x)，将它化成常系数的情形： 0.1, 2 2, 通解为 yC 1e t C 2e 2t. y C 1 x C 22,其中C 1,C 2为任意常数(05,2,12分 )用变量代换 xcost (0 t)化简微分方程 (1 x 2)y xy y 0，并求其(r 1)2(r 1) 0,即r3r 2r 1 0,由此，微分方程为y y y y 0.应选(D).五、求解含变限积分的方程00, 2,8分) 函数y=f(x)在0, 上可导，f (0) 1，且满足等式1xf (x) f (x) 1 f (t)dt 0，x10f(x) 1.求解与证明()首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分： 1x(x 1)f (x) (x 1)f(x) 0f (t)dt 0,(x 1)f (x)(x 2)f (x)0.在原方程中令变限 x 0得 f (0) f (0) 0,由 f (0) 1,得 f (0) 1.现降阶：令 u f (x),则有 u x 2u 0，解此一阶线性方程得x1x e f (x) u C eu 0x1 x e 由 f (0) 1,得 C 1,于是 f (x) e. x1xe (2)方法 1 用单调性 . 由f (x) e0(x 0), f (x)单调减 , f(x) f(0) 1(x );x1x 又设 (x) f (x) e x ,则 (x) f (x) e x x e x0(x 0), (x)单调增，因此 (x)x1 (0) 0(x 0),即 f(x) e x(x 0) . 综上所述，当 x 0时 ,e x f (x) 1.方法 2 用积分比较定理 . 由牛顿 -莱布尼茨公式，有六、应用问题 (一)按导数的几何应用列方程练习题 1 .( 96,1,7分)设对任意 x 0,曲线 y f(x)上点 (x, f(x))处的切线在 y 轴上的截距等于1 xf (t)dt,求 f ( x)的一般表达式 . x 0解：曲线 y f (x)上点 (x, f ( x))处的切线方程为 Y f ( x) f ( x)( X x).令 X 0得 y 轴上的截距 Y f(x) xf (x).由题意 1x1f(t)dt f(x) xf (x) x 0x, 得x 2f(t)dt xf (x) x 2f (x)( ) 恒等式两边求导，得 f (x) f (x) xf (x) 2xf (x) x 2f ( x)，即 xf (x) f (x) 0 在 ( )式中令 x 0得 0 0,自然成立 . 故不必再加附加条件. 就是说f (x)是微分方程 xy y 0的通解 . 令 y P(x),则 y P ,解 xP P 0,得 y P C 1.xf ( x) f (0) x0 f (t)dt, f(x) t 由于 0 e t1从而有 e x e t (t 0),有 0 f (x) 1. 0t e t d t 1 dt . 1 x t e t dt x e (x再积分得 y f ( x) C1 ln x C2.12( . 98,2,8分) 设 y y(x)是一向上凸的连续曲线 ,其上任意一点 (x, y)处的曲率为 1,1 y 2y P tan( x).(二 )按定积分几何应用列方程3.(97,2,8分 )设曲线 L 的极坐标方程为 r r( ), M (r, )为 L 上任一点 ,M 0(2,0)为 L 上一定点 ,若极径 OM 0,OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0、 M 两点间弧长值的一半，求曲线L 的方程 .且此曲线上点 (0,1)处的切线方程为 y x 1, 求该曲线的方程，并求函数 y y( x)的极值 .解：由题设和曲率公式有y( x)向上凸 , y 0, y令 y P(x)，则 y P ,方程化为 y) ,化简得 y 12. yP1 P 21， dP 分离变量得 2 dx,积分得C 1.y (0) 1即 P(0) 1,代入可得 C 1，故再积分得 y ln cos( x) C 2 又由题设可知y(0)1,代入确定 C 2 11ln 2，1y ln cos( x) 1 ln 2x , 即当 4 2,3时 ,cos( x) 0, 而3 或时, 44cos( x)y ln cos( 40,ln cos( x)1 x) 12 ln2( 4 x34 )显然，当 x 时 ,ln cos( x) 4410, y 取最大值 1 1ln 2,显然 y 在 (3)，没有极小值解：由已知条件得r 2d r 2 r 2d ， 2020 两边对求导 ,，得 r 2 r 2 r (隐式微分方程)2 ,解出 r r r 2 1，从而， L 的直角坐标方程为 x m 3y 2.1 arccos r 分离变量，得 dr r r 2 dr r r 2 1 d 1 1 d( )1 r (r 1)2 arccos 1 , 或 r dr r r 2 1d tarccos 1(r sect ) 两边积分，得代入初始条件 r(0) 2，得 1arccos 2 1arccos r3L 的极坐标方程为 1 r cos( ) 31 co s 3si。

常微分方程试题及参考答案

常微分方程试题一、填空题(每小题3分，共39分)1.常微分方程中的自变量个数是________.2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________.3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程.4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________.5.方程=(x+1)3的通解为________.6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解.7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________.9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式.11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________.12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵exp A t=________.13.方程组的奇点类型是________.二、计算题(共45分)1.(6分)解方程= .2.(6分)解方程x″(t)+ =0.3.(6分)解方程(y-1-xy)dx+xdy=0.4.(6分)解方程5.(7分)求方程：S″(t)-S(t)=t+1满足S(0)=1, (0)=2的解.6.(7分)求方程组的基解矩阵Φ(t).7.(7分)验证方程：有奇点x1=1, x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.三、证明题(每小题8分，共16分)1.设f(x,y)及连续，试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.2.函数f(x)定义于-∞<x<+∞，且满足条件|f(x1)-f(x2)|≤N|x1-x2|,其中0<N<1,证明方程x=f(x)存在唯一的一个解.常微分方程试题参考答案一、填空题(每小题3分，共39分)1.12. 2+c1t+c23.u=4. c为任意常数5.y= (x+1)4+c(x+1)26.y=y0+7. (x)=8.对任意t9.x(t)=c1e t+c2te t+c3e-t+c4te-t10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t) +c n x n(t)11. x1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=312.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+ ]13.焦点二、计算题（共45分）1.解：将方程分离变量为改写为等式两边积分得y-ln|1+y|=ln|x|-即y=ln 或e y=2.解：令则得=0当0时-arc cosy=t+c1y=cos(t+c1) 即则x=sin(t+c1)+c2当=0时y= 即x3.解：这里M=y-1-xy, N=x令u=xye-xu关于x求偏导数得与Me-x=ye-x-e-x-xye-x 相比有则因此u=xye-x+e-x方程的解为xye-x+e-x=c4.解：方程改写为这是伯努利方程，令z=y1-2=y-1 代入方程得解方程z==于是有或5.特征方程为特征根为对应齐线性方程的通解为s(t)=c1e t+c2e-tf(t)=t+1, 不是特征方程的根从而方程有特解=（At+B）,代入方程得-(At+B)=t+1两边比较同次幂系数得A=B=-1故通解为S(t)=c1e t+c2e-t-(t+1)据初始条件得c1=因此所求解为：S(t)=6.解：系数矩阵A=则，而det特征方程det( )=0, 有特征根对对对因此基解矩阵7.解：因故x1=1，x2=0是方程组奇点令X1=x1-1, X2=x2, 即x1=X1+1,x2=X2代入原方程，得化简得*这里R(X)= , 显然（当时）方程组*中，线性部分矩阵det(A- )=由det(A- )=0 得可见相应驻定解渐近稳定三、证明题（每小题8分，共16分）1.证明：若dy-f(x,y)dx=0为线性方程则f(x,y)=因此仅有依赖于x的积分因子反之，若仅有依赖于x的积分因子。

常微分方程_习题集(含答案)

《常微分方程》课程习题集一、单选题1. 设函数(,),(,)M x y N x y 连续可微, 则方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 是全微分方程的充分必要条件是 . (A) M N y x ∂∂=∂∂， (B) ,M N x y ∂∂=∂∂ (C) ,M N y x ∂∂≠∂∂ (D) .M N x y ∂∂≠∂∂2. 下面的方程是全微分方程的是 . (A) 0ydx xdy x y-=+， (B) 220y dx x dy +=， (C) 220xy dx x ydy -=， (D)220ydx xdy x y -=-. 3. 设一阶方程2()()(),(()()0)dy p x y q x y r x p x r x dx=++≠，则它是。

（A ）线性非齐次方程；（B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。

4. 设一阶方程()(),(0,1)n dy p x y q x y n dx=+≠，则它是。

（A ）线性非齐次方程；（B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。

5. 形如'(')y xy y ϕ=+的一阶隐式方程称为。

（A ）线性非齐次方程；（B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。

6. 二阶微分方程2100x x x '''++=的通解是。

（A ）12[cos3sin 3]t x e C t C t -=+,（B ）312[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,(D) 312[cos3sin 3]t x e C t C t -=+.7. 二阶微分方程250x x x '''++=的通解是。

（A ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,（B ）212[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+,(D) 212[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+.8. 二阶微分方程440x x x '''-+=的通解是。

常微分方程习题及答案.[1](可编辑修改word版)

一、是非题第十二章常微分方程(A)1. 任意微分方程都有通解。

()2. 微分方程的通解中包含了它所有的解。

()3. 函数 y = 3sin x - 4 cos x 是微分方程 y ' + y = 0 的解。

()4. 函数 y = x 2 ⋅ e x 是微分方程 y ' - 2 y ' + y = 0 的解。

()5. 微分方程 xy ' - ln x = 0 的通解是()y =1(ln x )2+ C 2( C 为任意常数)。

6. y ' = sin y 是一阶线性微分方程。

()7. y ' = x 3 y 3 + xy 不是一阶线性微分方程。

()8． y ' - 2 y ' + 5 y = 0 的特征方程为r 2 - 2r + 5 = 0 。

( ) 9． dy= 1 + x + y 2 + xy 2 是可分离变量的微分方程。

()dx二、填空题1. 在横线上填上方程的名称① (y - 3)⋅ ln xdx - xdy = 0 是。

② (xy 2 + x )dx + (y - x 2 y )dy = 0 是。

③ x dy = y ⋅ l n y 是。

dx x ④ xy ' = y + x 2 sin x 是。

⑤ y ' + y ' - 2 y = 0 是。

2. y ' + sin xy ' - x = cos x 的通解中应含个独立常数。

3. y ' = e -2x 的通解是。

4. y ' = sin 2x - cos x 的通解是。

5. xy ' + 2x 2 y '2 + x 3 y = x 4 + 1是阶微分方程。

6. 微分方程 y ⋅ y ' - (y ')6= 0 是阶微分方程。

51 2 1 2 7. y = 1所满足的微分方程是。

常微分方程课后练习题含答案

常微分方程课后练习题含答案练习1：考虑动力学方程组：$$ \\begin{align} \\frac{dx}{dt}&=x(1-y)\\\\ \\frac{dy}{dt}&=y(1-x)\\end{align} $$a)画出相图b)确定方程组的固定点及其稳定性c)求出轨道在极限$\\lim\\limits_{t\\to\\infty}$时的行为答案1：a)相图如下所示：image-1b)如果(x,y)是方程组的一个固定点，则：$$ \\begin{aligned} \\frac{dx}{dt}&=0 \\\\ \\frac{dy}{dt}&=0\\end{aligned} $$由$\\frac{dx}{dt}=x(1-y)$得，固定点必须是x=0或y=1•当x=0时，$\\frac{dy}{dt}=y$，因此固定点为(0,0)，是不稳定的。

•当y=1时，$\\frac{dx}{dt}=0$，因此固定点为(1,1)，是稳定的。

综上，方程组的固定点为(0,0)和(1,1)，其中(1,1)是稳定的。

c)当$t\\to\\infty$时，我们需要检查轨道的极限行为。

假设(x(t),y(t))是由方程组确定的轨迹，x0=x(0)和y0=y(0)是轨迹的起点。

轨迹的限制曲线由y(1−x)=x(1−y)确定，展开可得y=x或xy=0.5。

将方程组改写为$$ \\frac{dy}{dx}=\\frac{y(1-x)}{x(1-y)} $$则在y=x处，$$ \\frac{dy}{dx}=1 $$这意味着沿着这个轨道移动的速度是恒定的，因此轨迹沿着一条直线移动。

由$\\frac{dy}{dx}=\\frac{y(1-x)}{x(1-y)}$可知，在非负轴上，当y>1−x时$\\frac{dy}{dx}>0$，当y<1−x时$\\frac{dy}{dx}<0$。

常微分方程课后习题答案.doc

习题 3.4(一)、解下列方程，并求奇解（如果存在的话）：1、422⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx dy x dx dyx y解：令p dxdy =，则422p x xp y +=，两边对x 求导，得dxdp px xpdxdp xp p 3244222+++=()02213=⎪⎭⎫⎝⎛++p dx dpxxp 从0213=+xp 得 0≠p 时，2343,21py px -=-=；从02=+p dxdp x得 222,c pc y pc x +==，0≠p 为参数，0≠c 为任意常数.经检验得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==222c p c y p c x ，（0≠p ）是方程奇解.2、2⎪⎭⎫⎝⎛-=dx dy y x解：令p dxdy =，则2p x y +=，两边对x 求导，得dxdp p p 21+=pp dxdp 21-=，解之得 ()c p p x +-+=21ln 2，所以()c p p p y +-++=221ln 2，且y=x+1也是方程的解，但不是奇解. 3、21⎪⎭⎫ ⎝⎛++=dx dy dxdy xy解：这是克莱洛方程，因此它的通解为21c cx y ++=，从⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=01122c cx c cx y 中消去c, 得到奇解21x y -=.4、02=-+⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy x dx dy 解：这是克莱洛方程，因此它的通解为 2c cx y +=，从⎩⎨⎧=++=022c x c cx y 中消去c, 得到奇解 042=+y y . 5、022=-+⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy xdx dy 解：令p dxdy =，则22p xp y +=，两边对x 求导，得 dxdp pdxdp xp p 222++=22--=x pdpdx ，解之得 232-+-=cpp x ，所以 1231-+-=cpp y ，可知此方程没有奇解. 6、0123=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy y dx dy x解：原方21⎪⎭⎫⎝⎛-=dx dy dxdy xy ，这是克莱罗方程，因此其通解为21ccx y -=，从⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-02132c x c cx y 中消去c ，得奇解042732=+y x .7、21⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx dy dx dy x y解：令p dxdy =，则()21p p x y =+=，两边对x 求导，得 22+-=-p ce x p ，所以 ()212+-+=-p e p c y p ，可知此方程没有奇解. 8、()022=--⎪⎭⎫ ⎝⎛a x dx dy x解：()xa x dx dy 22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛xa x dxdy -±=dx x a x dy ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-±= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±=2123232axx y ()()22349a x x c y -=+可知此方程没有奇解. 9、3312⎪⎭⎫⎝⎛-+=dx dy dx dyx y解：令p dxdy =，则3312p p x y -+=，两边对x 求导，得 dxdp pdxdp p 22-+=212pp dxdp --=解之得 ()c p p x +--+-=2ln 3222，所以 c p p p p y +------=2ln 6433123，且 322-=x y 也是方程的解，但不是方程的奇解.10、()012=-++⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy x dx dy 解：2⎪⎭⎫⎝⎛++=dx dy dx dydx dyx y这是克莱罗方程，因此方程的通解为2c c cx y ++=，从⎩⎨⎧++++=cx c c cx y 212中消去c, 得方程的奇解()0412=++y x .（二）求下列曲线族的包络. 1、2c cx y +=解:对c 求导，得 x+2c=0, 2x c -=, 代入原方程得，442222xxxy -=+-=，经检验得，42xy -=是原方程的包络.2、0122=-+cx y c解：对c 求导，得 yxc x yc 2,0222-==+，代入原方程得0124424=--yxy yx，即044=+y x ，经检验得044=+y x 是原方程的包络. 3、()()422=-+-c y c x解：对c 求导，得 –2(x-c)-2(y-c)=0, 2y x c +=,代入原方程得()82=-y x .经检验,得 ()82=-y x 是原方程的包络.4、()c y c x 422=+-解：对c 求导，得 -2(x-c)=4, c=x+2,代入原方程得()2442+=+x y ，()142+=x y , 经检验，得()142+=x y 是原方程的包络.(三) 求一曲线，使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之和等于常数c.解：设所求曲线方程为y=y(x),以X 、Y 表坐标系，则曲线上任一点（x,y(x)）的切线方程为()()()()x X x y x y Y -'=-，它与X 轴、Y 轴的截距分别为y y x X '-=，y x y Y '-=，按条件有 a y x y y y x ='-+'-，化简得y y a y x y '-'-'=1，这是克莱洛方程，它的通解为一族直线cac cx y --=1，它的包络是()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----=--=21101c acc a x c ac cx y ，消去c 后得我们所求的曲线()24a y x ax +-=.(四) 试证：就克莱洛方程来说，p-判别曲线和方程通解的c-判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解.证：克莱洛方程 y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法，从()()⎩⎨⎧'+=+=c f x c f cx y 0 中消去p 后而得的曲线；c-判别曲线就是用c-消去法，从通解及它对求导的所得的方程()()⎩⎨⎧'+=+=c f x c f cx y 0中消去c 而得的曲线，显然它们的结果是一致的，是一单因式，因此p-判别曲线是通解的包络，也是方程的通解. 习题4.11. 设()t x 和()t y 是区间b t a ≤≤上的连续函数，证明：如果在区间b t a ≤≤上有()()≠t y t x 常数或()()t x t y 常数，则()t x 和()t y 在区间b t a ≤≤上线形无关。

常微分试题及答案

常微分试题及答案一、选择题1. 若微分方程 dy/dx = 3x^2，则它的通解为：A. y = x^3 + CB. y = x^2 + CC. y = x^3/3 + CD. y = x^4/2 + C答案：C2. 设 y = e^x 是微分方程 dy/dx - y = 0 的解，则该微分方程的通解为：A. y = e^xB. y = e^(2x)C. y = e^(3x)D. y = e^(4x)答案：A3. 设 y = x^2 是齐次微分方程 y'' - y' - 2y = 0 的解，则该微分方程的通解为：A. y = x^2B. y = x^2 + CC. y = e^x + CD. y = e^(2x) + C答案：B二、计算题1. 解微分方程 dy/dx = 2x + 1，并求出满足初始条件 y(0) = 1 的特解。

解：对微分方程进行分离变量得：dy = (2x + 1)dx两边同时积分得：∫dy = ∫(2x + 1)dxy = x^2 + x + C代入初始条件 y(0) = 1 得：1 = 0^2 + 0 + CC = 1特解为：y = x^2 + x + 12. 求微分方程 y'' + 2y' + y = 0 的通解。

解：首先设通解为 y = e^(rx)，带入微分方程得：r^2e^(rx) + 2re^(rx) + e^(rx) = 0化简得：e^(rx)(r^2 + 2r + 1) = 0由指数函数的性质可知，e^(rx) 不等于 0，因此：r^2 + 2r + 1 = 0求解这个二次方程得：r = -1 （二重根）所以，通解为 y = (C1 + C2x)e^(-x)三、应用题有一容器中装有某种细菌，已知初始时刻容器中有 1000 个细菌，随着时间的推移，细菌的数量的变化率与它们的数量成正比。

经实验测得 2 小时后细菌的数量增加到 2000 个。

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〈常微分方程》应用题及答案应用题(每题10 分)1、设f(X)在(，)上有定义且不恒为零，又f(X)存在并对任意x, y恒有f (x y) f(x)f(y)，求 f (x)。

2、设F(x) f(x)g(x)，其中函数f(x),g(x)在(，)内满足以下条件f (x) g(x),g (x) f (x), f (0) 0, f(x) g(x) 2e x(1)求F(x)所满足的一阶微分方程；(2)求出F(x)的表达式。

3x t “3、已知连续函数f(x)满足条件f(x) f - dt e ，求f (x)。

0 34、已知函数f (x)在(0,)内可导，f(x) 0, lim f (x) 1，且满足x11f (x hx)h7 十 \lim e x，求 f (x)。

h 0f(x)55、设函数f(x)在(0,)内连续，f(1) 2，且对所有x,t (0,)，满足条件xt x t1 f (u)du t i f (u)du x 1 f (u)du，求f (x)。

16、求连续函数f(x)，使它满足o f (tx)dt f (x) sinx x。

7、已知可微函数f(t)满足:J■包dt f(x) 1，试求f(x)。

1 t3f(t) t2 x 18设有微分方程y' 2y (x)，其中(x) 。

试求在(，)内的连0 x 1续函数y y(x)使之在(，1)和1, 内部满足所给方程，且满足条件y(0) 0 。

42 19、设位于第一象限的曲线y f (x)过点——，-，其上任一点P(x,y)处的法线2 2与y轴的交点为Q,且线段PQ被x轴平分。

(1)求曲线y f(x)的方程；(2)已知曲线y si nx在［0,］上的弧长为I，试用I表示曲线y f (x)的弧长s。

17、已知连续函数f(x)满足 f (tx) dt x解：设u=tx ，则原式化为 xf (x)— f (t)dt ，求 f (x). x21 xf(x) - 0f (t)dtx 0 x即 2 0f (t)dt xf (x)1 x f (u)du xx 0由f (x)连续知上式右端可导即f (X )可导对上式两端关于x 求导，得一阶线性方程f'( x)丄f(x)x3x 所求函数丄dx为 f(x) e x(3xe 产dx c) cx 3x 2c 为任意常数10、求微分方程xdy (x 2y)dx 0的一个解y y(x)，使得由曲线y y(x)与直线x 1, x 2以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。

11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相3 3交，交点记为A ，已知|MA| |0A|，且L 过点-，^，求L 的方程。

12、设曲线L 的极坐标方程为r r( ), M (r,)为L 上任一点，M °(2,0)为L 上一定点，若极径OM o , 0M 与曲线L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M o , M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的方程。

13、设y x 和y xln x 是二阶齐次线性方程y" p(x) y' q(x) y 0的两个解，求p(x),q(x)以及该方程的通解。

14、设对任意x 0，曲线y f(x)上点(x, f (x))处的切线在y 轴上的截距等于1 x -f (t)dt ，求f (x)的一般表达式。

x 015、设函数 f(x),g(x)满足 f'(x)g(x), g'(x) 2e x f(x)，且型竺dx 。

1 x (1 x)2)内具有二阶导数，且y' 0，x x(y)是试将x x( y)满足的微分方程3(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0) 0, y'(0)-的解。

2f (0)0, g(0)2，求16、设函数y y(x)在(y y(x)的反函数。

( 23d 2x dx 2(y sinx)dydy1) 0，变换为y y(x)所满足的微分方程;22 418、.对于任意简单闭曲线L ,恒有门2xyf(x )dx [f(x ) x ]dy 0L其中f (x)在(,)有连续的导数，且f (0)=2.求f (x).19、设 f (x)满足 f (x) =f (1-x),求 f (x)x20、设(x) e xJx u) (u)du ,其中(x)为连续函数，求(x)21、人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比。

(1) 如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？44(2) 如在3小时的时候，有细菌数10个，在5小时的时候有4 10个，那么在开始时有多少个细菌？应用题答案1、解：首先从导数定义出发，证明f (x)处处可微，并求出f (x)与f (X )满足的关系，最后定出f(x)。

由于f(x)不恒为零，设f(x 0 0) 0,因而f(x 。

) f(x 。

0) f(x °)f(0)得到 f(0) 1又由f '(0)存在，对任意x 有解得 f (x) ce f (0)x 又由 f (0)1 所以 f(x)e f '(0)x2、解：(1) F (x) f (x)g(x) f(x)g (x) g 2(x) f 2(x)[f(x)g(x)]2 2f (x)g(x)(2e 2)22F(x)于是F (x)满足一阶线性微分方程y 2y 4e 2x(2)按一阶线性微分方程的通解公式，F(x) e 皿 4e 2x e "lx C e 2x 4e*dx Ce 2x Ce 2x由 F(0) f (0)g(0) 0 得 C 1,于是F(x) e 2x e 2x .3、解：方程两端同时对x 求导，得到 f (x) 3f (x) 2e 2xf'(x) lim f(x x)f(x)x 0x f(x)[f( x) limx 0limf(x)f( x)x 01]f(x)f (0)f(x)由此可见f (x)处处可微且满足 f '(x)f(x)f'(0)f (0)dx由题设知道 f (0) 0 e 0 1由y x0 1得到C 3 于是 f(x) 3e 3x 2e 2x .5、解：由题意可知，等式的每一项都是 x 的可导函数，于是等式两边对x 求导，得ttf (xt) tf (x)1 f(u)du( 1)5 5 t在(1)式中令 x 1，由 f(1) ，得 tf (t) t 1 f (u)du ，2 2 1(2)则f(t)是(0,)内的可导函数，(2)式两边对t 求导，得 5f(t) tf '(t) f(t)，5即 f '(t)—。

2t5 上式两边求积分，得 f (t) ln t C2故令f (x) y 即得y 3y 2e 2xy x0 1 3 dxye C2 x 3dx2e e dx3xe2e x dx Ce 3x 2e 2x4、解：设yf (x hx) hf(x)则ln y1 f (x hx) ln h f(x)因为 limlnh 0故 limh 0lim 丄 In f(x hx) h 0 h f(x)x[ln f (x hx) In f (x)]hxx[ln f (x)]，f (x hx ) h x [In ef (x)]由已知条件得ex[ln f(x)]1解之得f (x) Ce x 。

1ex，因此 x[ln f(x)]1，即[In f (x)] x由 lim f(x) 1,得 C 1。

故 f(x) e x 。

cosx xsinx C.由 f(1) ，得C于是f (t)52(^ 1)。

6、解：令 u tx, du xdt ,原方程变为xo f(u)du f(x) xsinxx即 0f(u)du xf(x) 两边求导数，得到 f (x) f'(x)f (x) 2cosx积分得2 . xsinx.2f(x) xf (x) 2xsinx x cosx 2sin x xcosxxds inx 2cosx xsinx cosx C 解：当x1时，y 2y 22dx2dxi 2x亠— 2x .亠 2xy eC12e dx eC 12e dxC 1e 由 y(0) 0 代入得 G 1所以y e 2x 1(x1)当x 1 时 y 2y 0通解为y 2dxC ?eC 2e 2x (x 1)18 丿叩0(C 2e 2 丿叩0C 2e 2x 由x 1处y(x)是连续的e 2x 1)7、解：首先从题设可求得f(1)1,方程两边求导得 fhf'(x).f(x) y，得y —x y x考虑xx(y)，方程可化为伯努利方程dx dyx 2du 2x 3dx2dy ydu 2 u dy y-dyydy2 3 3y 2 3y变量还原得 C~~2y2 3y或者又因为f(1) 1，代入上式可得f 2(x) x5 —0 32 f 3(x) 3f 2(x) x|f 3(x) 3e 2 1.所以 C 2e 2 e 2 1 C 21 e 2.于是若补充函数值yx 1e 2 1 ，则得到( ,)上连续函数是所求的函数e 2x 1 x 1y(x) 一 2、 2x(1 e )e x 1是所求的函数。

1 9、解：(1)曲线y f(x)在点P(x,y)处的法线方程为 Y y —(X x), yx 其中(X,Y)为法线上任意一点的坐标，令 X 0,贝U Y y -,y'故其弧长为yxyG0 , 即2ydy xdx 0。

积分得2^2x 2yC (C 为任意常数)由y x 21丄知C 1，故曲线 y f (x)的方程为222x 2y 2 1 (x0, y 0)。

故Q 点坐标为0'乍。

由题设知l 2(2)曲线y sinx 在［0,］上的弧长为曲线y f(x)的参数方程为 y cos ,2 . sin 2 cos 2 xdx .02“sin 2；cos 2 d1 21_ J cos 21 ( dt)1 21 22、1 sin 2 d02“ COS 2 t)2 2土.410、解：原方程可以改写为一阶线性方程2dx应用其通解公式得 y e x Cdy dxMdXxdxgdx xCx 2由y Cx 1 2 x, x 1, x 2, y 0所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的75故C o—5是唯一的极小值点，因而也是最小值点，于是得所求曲线为124 75 2y x x 。

12411、解：设点M 的坐标为由切线MA 的方程为 Y y y (X x)令X 0，则Y y xy'，故点A 的坐标为(0, y xy') 由 | MA I |OA|，有 |y ■ 2xy'I x(x 0) (y yxy')2化简后得 2yy'1 2y x 。