机械振动与机械波

第3章 机械振动与机械波

3-1判断下列运动是否为简谐振动？

（1） 小球沿半径很大的水平光滑圆轨道底部小幅度摆动； （2） 活塞的往复运动；

（3） 质点的运动方程为sin(/3)cos(/6)x a t b t ωπωπ=+++ （4） 质点的运动方程为cos(/3)cos(2)x a t b t ωπω=++

（5） 质点摆动角度的微分方程为 2221050d dt

θθ++=

答：（1）是简谐振动，类似于单摆运动； （2）不是简谐振动；

（3）是简谐振动，为同频率、同振动方向的两个简谐振动的合成； （4）不是简谐振动，为不同频率、同振动方向的两个简谐振动的合成； （5）不是简谐振动。

3-2物体沿x 轴作简谐振动，振幅A =0.12m ，周期T =2s 。当0=t 时，物体的位移x =0.06m ，且向x 轴正方向运动。 求：(1)此简谐振动的表达式； (2)4

T

t =

时物体的位置、速度和加速度； (3)物体从06.0-=x m 向x 轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间。

解：（1）设此简谐振动的表达式为：0cos()x A t ωϕ=+，

则振动速度0sin()dx

A t dt

υωωϕ=

=-+, 振动加速度2202cos()d x

a A t dt

ωωϕ==-+

由题意可知：0.12A =m ，2T =s ，则22T

π

ω=

=(rad/s) 又因为0t =时0.06x =m 且0υ>，把初始运动状态代入有： 00.060.12cos ϕ=，则03

π

ϕ=±

又因为0t =时0sin 0A υωϕ=->，所以03

π

ϕ=-时

故此简谐振动的表达式为：0.12cos()3

x t π

π=- m

(2) 把4

T

t =

代入简谐振动表达式：

10.12cos()0.10423

x π

π=⨯-==（m ）

把4

T

t =代入简谐振动速度表达式：

10.12sin()0.060.1823

π

υπππ=-⨯⨯-=-=-(m/s)

把4

T

t =代入简谐振动加速度表达式：

2210.12cos() 1.0323

a πππ=-⨯⨯-=-=(m/s 2

)

(3) 由旋转矢量法可知，物体在06.0-=x m 向x 轴负方向运动时，相位为

123πϕ=

，而物体从06.0-=x m 向x 轴负方向运动第一次回到平衡位置时，相位为232

π

ϕ=，

旋转的角度21325236πππ

θϕϕ∆=-=-=，

则所需的时间为：5

6

t θω∆∆===0.83(s)

3-3 如图示，质量为g 10的子弹以速度

310=v s /m 水平射入木块，并陷入木块中，使

弹簧压缩而作简谐振动。设弹簧的劲度系数

3108⨯=k 1m N -⋅，木块的质量为kg 99.4，桌面摩

擦不计，试求：（1）振动的振幅；（2）振动方程。

解：（1）子弹进入木块后，与木块一起做简谐振动，子弹与木块的作用

习题3-3 图

时间短，在水平方向动量守恒且弹簧没有形变，设子弹进入木块后木块的位置为坐标原点，水平向右的方向为正方向，子弹进入木块后与木块的共同速度为0υ，则0()m M m υυ=+，0m M m

υ

υ=

+，代入数据得：02υ=(m/s)， 子弹与木块相互作用时，弹簧没有形变，即该简谐振动的初始位置00x =，弹

簧简谐振动的圆频率ω=

，代入数据得：40ω=(rad/s)，

所以A =0.05A =m 。

(2) 由0t =时，00x =且向X 轴的正方向运动，所以02

π

ϕ=-，

所以振动方程为：0.05cos(40)2

x t π

=- m

3－4一重为p 的物体用两根弹簧竖直悬挂，如图所示，各弹簧的劲度系数标明在图上。试求图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率。

解：a 图中两弹簧是串联的，总劲度系数12

12

k k k k k =+， 弹簧振子的固有频

率为ω=

= b 图中两弹簧是并联的，总劲度系数2K k =

，弹簧振子的固有频率为

ω=

=

3-5 一匀质细圆环质量为m ，半径为R ，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的周期。

解：设转动轴与细圆环的交点为坐标原点，过原点的竖直

轴为Y 轴，由转动轴定理可知，该圆环的小幅度摆动的平衡位置为圆环的质心在Y 轴时，由平行轴定理可知，圆环对通过环上一点而与环平面垂直的水

平轴的转动惯量为：

把圆环沿逆时针方向拉离平衡位置转动θ，则圆环对转轴的重力矩为

sin M mgR θ=，方向为θ增大的反方向，由转动轴定理：M J β=， 即22d sin 0d J mgR t

θ

θ+=，

由于环做小幅度摆动，所以sin θ≈θ，可得微分方程22d 0d mgR

t J

θθ+

=， 摆动的圆频率为：mgR

J

ω=， 周期为：2222J R

T mgR g

ππ

π

ω

=

== 3-6． 横截面均匀的光滑的U 型管中有适量液体如图所示，液体的总长度为L ，求液面上下微小起伏的自由振动的圆频率。

解：如图所示建立坐标，两边液面登高时为坐标原点，向上为Y 轴正方向，左边液面上升y ，则右边液面下降y ，U 型管的横截面面积为S ，液体的密度为ρ，则左右液面的压力差为：2F gyS ρ=-，方向为Y 轴的负方向，由牛顿第二定律：F ma =可知，

222d y gyS SL dt ρρ-=，即2220d y g

y dt L

+=，

故液面上下微小起伏的运动为简谐振动，其振动的圆频率

2g L

ω=

3-7 如图一细杆AB 一端在水平槽中自由滑动，另一端与连接圆盘上，圆盘转轴通过o 点且垂直圆盘和OX 轴，当圆盘以角速度ω做匀速圆周运动时，写出槽中棒端点B 的振动方程，自行设计参数，利用mathematica 软件或