第03章 正弦交流电路

1、已知电路中的电阻与电抗， 求解复阻抗时，有：
z R 2 ( X L X C )2 XL XC arctan R 2、已知电路的复阻抗，求解电路中的电阻与电抗时，有：
R z cos X L X C z sin
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第3章 正弦交流电路
由复阻抗的定义式：
2）平均功率 1 T 1 P p d t UI sin 2t d t 0 T 0 T 0 3）无功功率
QL UI I 2 X L 0(VAR)
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第3章 正弦交流电路
二、C元件正弦交流电路
1、电压-电流关系 令：u U m sin t
i C
du d C (U m sin t ) CU m cos t I m sin(t 90 ) dt dt
原矢量数值大小不变，方向旋转α 角度，根据欧拉公式有
e cos jsin
90 ，代入上式有 若
j
e
j90
cos(90 ) jsin(90 ) j

由此可得，虚数号j也是旋转因子，矢量与j相乘，该 矢量将逆时针旋转90度，矢量与－j相乘，矢量将顺时针 旋转90度
2、功率
1）瞬时功率
p iu I m sin t U m sin I mU m sin 2 t IU (1 cos 2t )t
2）平均功率
1 T 1 T U2 2 P p d t IU (1 cos 2t ) d t IU I R T 0 T 0 R
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第3章 正弦交流电路
二、矢量图
定义：由几个表示同频率正弦量的矢量构成的 几何图形
注意： 1、矢量图中的各矢量频率相同，不同频率的矢量 不能够画在同一个矢量图中 2、矢量图中的各矢量满足平行四边形法则 3、选取了参考矢量后，矢量图中可以省略坐标轴
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第3章 正弦交流电路
三、矢量的复数表示
复平面中的矢量表示有四种方法
比较电压-电流表示式，有： 1） 0 90 90
u i
即：电容电压滞后电流 2）
Um U 1 1 XC Im I C 2 fC
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容抗 Xc：C元件对电流流过时的阻力，量纲（欧姆）
第3章 正弦交流电路
3）欧姆定律的向量式及向量图
I U j XC
一、周期与频率 1、名词：
周期 T ：正弦量变化一周所需的时间(s) 频率 f ： 单位时间内正弦量变化的次数（Hz） 角频率ω ：单位时间内正弦量变化的弧度数 （rad/s）
2、三者之间的关系：
1 f T
2 2 f T
3
第3章 正弦交流电路
二、幅值与有效值
瞬时值u、i：正弦量在任一瞬时的数值 初始值u（0）：正弦量在t=0时的数值 最大值Um：瞬时值中数值最大的值 有效值U、I：方均根值
1、代数式
OA a j b
j OA re
2、三角函数式 OA r cos j r sin
3、指数式 4、极坐标式
OA r
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第3章 正弦交流电路
四、旋转因子 e j
若矢量与旋转因子相乘有
j OA e re j e j re j( ) OB
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第3章 正弦交流电路
二、L元件的正弦交流电路
1、电压-电流关系 令： i I m sin t
uL di d L ( I m sin t ) L I m cos t U m sin(t 90 ) dt dt
比较电压-电流表示式，有： 1） u i 90 0 90 即：电感电压超前电流 90° 角
复阻抗：电压向量与电流向量的比值 XL XC U 2 2 Z R j( X L X C ) R ( X L X C ) arctan z I R
上式中 Z 是阻抗，φ 是阻抗角
复阻抗是复数，在复平面中 可以画出复阻抗
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第3章 正弦交流电路
由复阻抗的复平面表示可以得到阻抗三角形
Ψ >0
Ψ <0
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第3章 正弦交流电路
2）相位差
在数学中，相位差是任意两个同频率正弦量 的初相位之差，在工程电学中，相位差的定义是：
u i
当φ >0时，正弦电压超前于电流； 当φ <0时，正弦电压滞后于电流。
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第3章 正弦交流电路
3）相位差不同时的正弦波形
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第3章 正弦交流电路
A B r r r r r
A r r r B r r
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第3章 正弦交流电路
注意：
1、向量是表示正弦量的复数，但向量不是正弦量，即向 量代表正弦量，向量不等于正弦量 2、如果一个电路参数是复数，但不是正弦量，则该电路 参数不可以使用向量表示 3、根据公式 1 1 1 j j ，所以在正弦函数的 表示式中没有负号，电路运算出现的负号按照180度角 折算记入正弦量的相位角中。
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第3章 正弦交流电路
在正弦交流电路中
1、如果 >0， u i >0 电路就称为感性电路，电路中电压超前电流
2、如果 <0， u i <0 电路就称为容性电路，电路中电压滞后电流
3、如果 =0， u i =0 电路就称为阻性电路，电路中电压与电流同相位
三、相位与初相位
1、名词 相：正弦量的状态称为相 相位角（ω t＋ψ ）：决定正弦量状态的角度 初相位（ψ ）：t＝0时的相位 相位差（φ ）：两个同频率正弦量的初相位之差
(t 1 ) (t 2 ) 1 2
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第3章 正弦交流电路
2、注意
1）初相位Ψ 的取值范围 规定：Ψ 的数值在 –π— +π之间
1 T 2 I i dt T 0
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第3章 正弦交流电路
2、最大值与有效值的关系
将正弦函数式代入有效值的计算公式，可以 得到最大值与有效值之间的关系式：
1 T 0 T 0
T T
I T Im T 2 2
2 m
即：
Im I 2
2 R 2
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第3章 正弦交流电路
以串联电流为参考向量，在复平面中可以画 出电压向量的向量图
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第3章 正弦交流电路
由向量图可以得到串联电路的电压三角形
1、已知分电压求解总电压时，有：
U U (U L U C )
2 R
2
UL UC arctan UR
2、已知总电压求解分电压时，有：
§6 功率因数的提高........................54
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第3章 正弦交流电路
§1 正弦函数的表示方法
正弦函数的表示有三要素：
频率：表示正弦函数变化的快慢 幅值：表示正弦函数的数值大小 初相位：表示正弦函数在t=0时的状态
i I m sin(t )
2
第3章 正弦交流电路
比较电压-电流表示式，有： 1）在R元件电路中，电压与电流同相位 u i 0
Um U 2） R Im I
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1、电压-电流关系 令： u U sin t
m
第3章 正弦交流电路
3） R元件电路欧姆定律的向量表示式与向量图为
U I R
4）正弦波形
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第3章 正弦交流电路
I Ie j
I I
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第3章 正弦交流电路
六、向量运算
设两个向量分别为
A a j b r
则向量运算式如下
B a j b r
A B (a j b) (a j b) (a a) j(b b) a j b r
U R U cos (U L U C ) U sin
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第3章 正弦交流电路
二、阻抗三角形
由欧姆定律可以得到串联电路电压-电流的关系式：
U U R U L U C RI j X L I j X C I I R j( X L X C )
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第3章 正弦交流电路
3、有效值的物理意义
定义：一个正弦电流流过一个定值电阻，在一个 周期时间内产生的热量与一个直流电流流过同一 个电阻在同样时间内产生的热量相同，这个直流 电流的数值即为正弦电流的有效值。
即：

T
0
i R d t I RT
2 2
1 T 2 I 0 i d t T
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第3章 正弦交流电路
4）波形图
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第3章 正弦交流电路
2、功率
1）瞬时功率
p ui U m sin t I m sin(t 90 ) I mU m sin t cos t IU sin 2t
2）平均功率
1 T 1 P pdt T 0 2
3）无功功率

2
0
UI sin 2t d t 0
§2 正弦量的向量表示
一、旋转矢量的建立 条件：
1.矢量的长度＝正弦量的幅值 2.矢量与坐标轴正方向的夹角＝正弦量的初相 3.矢量按照逆时针方向旋转的角速度＝正弦量的角频率
结论：
满足上述条件的旋转矢量在任一瞬时在坐标纵轴上的 投影＝正弦量的瞬时值
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第3章 正弦交流电路
旋转矢量的图示
表示正弦量的旋转矢量
第3章 正弦交流电路
§1 正弦电压与电流........................02 §2 正弦量的相量表示方法.............11 §3 R、L、C元件的正弦交流电路....20