专题二 电磁感应中的动力学

专题二 电磁感应中的动力学、能量和动量问题

电磁感应中的动力学问题

1.用“四步法”分析电磁感应中的动力学问题

解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是“先电后力”，具体思路如下：

2.电磁感应中的动力学临界问题

(1)解决这类问题的关键是通过受力情况和运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度为最大值或最小值的条件。

(2)基本思路是：导体受外力运动――→E ＝Bl v 感应电动势错误!感应电流错误!导体受安

培力―→合外力变化――→F 合＝ma 加速度变化―→速度变化―→临界状态―→列式求

解。

【例1】 如图1所示，足够长的平行金属导轨MN 和PQ 表面粗糙，与水平面间的夹角为θ＝37°(sin 37°＝0.6)，间距为1 m 。垂直于导轨平面向上的匀强磁场的磁感应强度的大小为4 T ，P 、M 间所接电阻的阻值为8 Ω。质量为2 kg 的金属杆ab 垂直导轨放置，不计杆与导轨的电阻，杆与导轨间的动摩擦因数为0.25。金属杆ab 在沿导轨向下且与杆垂直的恒力F 作用下，由静止开始运动，杆的最终速度为8 m/s ，取g ＝10 m/s 2，求：

图1

(1)当金属杆的速度为4 m/s 时，金属杆的加速度大小；

(2)当金属杆沿导轨的位移为6 m时，通过金属杆的电荷量。

解析(1)对金属杆ab应用牛顿第二定律，有

F＋mg sin θ－F安－f＝ma，f＝μN，N＝mg cos θ

ab杆所受安培力大小为F安＝BIL

ab杆切割磁感线产生的感应电动势为E＝BL v

由闭合电路欧姆定律可知I＝E

R

整理得F＋mg sin θ－B2L2

v－μmg cos θ＝ma

R

代入v m＝8 m/s时a＝0，解得F＝8 N

代入v＝4 m/s及F＝8 N，解得a＝4 m/s2。

(2)设通过回路横截面的电荷量为q，则q＝It

回路中的平均电流强度为I＝E

R

回路中产生的平均感应电动势为E＝ΔΦ

t

回路中的磁通量变化量为ΔΦ＝BLx，联立解得q＝3 C。

答案(1)4 m/s2(2)3 C

1.如图2所示，足够长的粗糙绝缘斜面与水平面成θ＝37°角放置，在斜面上虚线aa′和bb′与斜面底边平行，在aa′、bb′围成的区域中有垂直斜面向上的有界匀强磁场，磁感应强度为B＝1 T；现有一质量为m＝10 g，总电阻R＝1 Ω、边长d ＝0.1 m的正方形金属线圈MNQP，让PQ边与斜面底边平行，从斜面上端由静止释放，线圈刚好匀速穿过整个磁场区域。已知线圈与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：

图2

(1)线圈进入磁场区域时的速度大小；

(2)线圈释放时，PQ 边到bb ′的距离；

(3)整个线圈穿过磁场的过程中，线圈上产生的焦耳热。

解析 (1)对线圈受力分析，根据平衡条件得

F 安＋μmg cos θ＝mg sin θ，F 安＝BId ，I ＝E R ，E ＝Bd v

联立并代入数据解得v ＝2 m/s 。

(2)线圈进入磁场前做匀加速运动，根据牛顿第二定律得

a ＝mg sin θ－μmg cos θm

＝2 m/s 2 线圈释放时，PQ 边到bb ′的距离

L ＝v 22a ＝22

2×2

m ＝1 m (3)由于线圈刚好匀速穿过磁场，

则磁场宽度等于d ＝0.1 m ，

Q ＝W 安＝F 安·2d

代入数据解得Q ＝4×10－3 J 。

答案 (1)2 m/s (2)1 m (3)4×10－3 J

2.(2020·广东模拟)如图3甲，两根足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面内，导轨间距为1.0 m ，左端连接阻值R ＝4.0 Ω的电阻；匀强磁场磁感应强度B ＝0.5 T 、方向垂直导轨所在平面向下；质量m ＝0.2 kg 、长度L ＝1.0 m 、电阻r ＝1.0 Ω的金属杆置于导轨上，向右运动并与导轨始终保持垂直且接触良好。t ＝0时对杆施加一平行于导轨方向的外力F ，杆运动的v －t 图像如图乙所示。其余电阻不

计。求：

图3

(1)从t＝0开始，金属杆运动距离为5 m时电阻R两端的电压；

(2)在0～3.0 s内，外力F大小随时间t变化的关系式。

解析(1)根据v－t图像可知金属杆做匀减速直线运动时间Δt＝3 s，t＝0 s时杆速度为v0＝6 m/s，

由运动学公式得其加速度大小a＝v0－0Δt

设杆运动了5 m时速度为v1，

则v20－v21＝2as1

此时，金属杆产生的感应电动势E1＝BL v1

回路中产生的电流I1＝E1

R＋r

电阻R两端的电压U＝I1R

联立以上几式可得U＝1.6 V。

(2)由t＝0时BIL＜ma，可分析判断出外力F的方向与v0反向。金属杆做匀减速直线运动，由牛顿第二定律有

F＋BIL＝ma

设在t时刻金属杆的速度为v，杆的电动势为E，回路电流为I，

则v＝v0－at，又E＝BL v，I＝E

R＋r

联立以上几式可得F＝0.1＋0.1t。

答案(1)1.6 V(2)F＝0.1＋0.1t

电磁感应中的能量问题

1.电磁感应中的能量转化

2.求解焦耳热Q的三种方法

3.动量守恒定律在电磁感应现象中的应用

在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律求解比较方便。

【例2】(2019·4月浙江选考，22)如图4所示，倾角θ＝37°、间距l＝0.1 m的足够长金属导轨底端接有阻值R＝0.1 Ω的电阻，质量m＝0.1 kg的金属棒ab垂直导轨放置，与导轨间的动摩擦因数μ＝0.45。建立原点位于底端、方向沿导轨向上的坐标轴x。在0.2 m≤x≤0.8 m区间有垂直导轨平面向上的匀强磁场。从t ＝0时刻起，棒ab在沿x轴正方向的外力F作用下，从x＝0处由静止开始沿斜面向上运动，其速度v与位移x满足v＝kx(可导出a＝k v)，k＝5 s－1。当棒ab运动至x1＝0.2 m处时，电阻R消耗的电功率P＝0.12 W，运动至x2＝0.8 m处时撤去外力F，此后棒ab将继续运动，最终返回至x＝0处。棒ab始终保持与导轨垂直，不计其他电阻，求：(提示：可以用F－x图像下的“面积”代表力F做的功，sin 37°＝0.6，g取10 m/s2)

图4