《计算机应用数学》全套教案

《计算机应用数学》教案

教学过程： 一、知识回顾

回顾中学数学的基本初等函数的基本知识.

二、新课导入

本章将在中学数学已有函数知识的基础上进一步理解函数概念，并介绍反函数、复合函数及初等函数的主要性质，这些内容是学习本课程必须掌握好的基本知识.

三、新课内容

1、基本知识 1）常量与变量

一种是在观察过程中保持不变的量，这种量称为常量，通常用字母,,,a b c 来表示；另一种在观察过程中会起变化的量，这种量称为变量，通常用字母

,,,

x y z 来表示.

2）区间

设两个实数,a b 且a b <，则满足a x b ≤≤的实数的全体称为闭区间，记作：

[,]a b ；满足a x b <<的实数的全体称为开区间，记作：(,)a b ；满足a x b ≤<或

a x

b <≤的实数的全体称为半开半闭区间，分别记作：[,)a b 或(,]a b .

上面这些区间称为有限区间，除了有限区间之外，还有无限区间.

(,]a -∞表示全体不大于a 的实数，(,)a -∞表示全体小于a 的实数，[,)b +∞表

示全体不小于b 的实数，(,)b +∞表示全体大于b 的实数，(,)-∞+∞表示全体实数.

3）邻域

邻域是在微积分中经常用到的一个概念.

在数轴上，以点0x 为中心的任何开区间称为点0x 的邻域，记作：0()U x .设δ为任意一个正数（0δ>），则开区间00(,)x x δδ-+就是点0x 的一个邻域，这个邻域称为点0x 的δ邻域，记作：0(,)U x δ，即00(,){}U x x x x δδ=-<，其中点0x 称为邻域的中心，δ称为邻域的半径. 2、函数概念

1）定义1.1 设有两个变量x 和y ，若当变量x 在非空实数集D 内，任意取定一个数值时，变量y 按照一定法则f ，总有唯一确定的数值和它对应，则称y

是x 的函数，记作：

:f x y →或者()y f x = ，x D ∈

其中x 的变化范围D 称为这个函数的定义域，x 叫做自变量，y 叫做因变量. 2）函数的定义域与值域的求解方法.

3）相同函数.通过对函数定义的分析不难发现，确定一个函数，起作用的两要素是：定义域和对应法则.若两个函数的定义域相同且对应法则也相同，则这两个函数就相同，否则就不同.

3、分段函数

有的函数要用几个式子来表示.这种在其定义域的不同范围内，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数.

注意：（1）分段函数是用几个式子合起来表示一个函数，而不是几个函数； （2）由于分段函数是分段表示的，因此各个式子的定义域必须明确标出； （3）对于分段函数求值时，不同点的函数值应代入相应范围的式子中去求； （4）分段函数的定义域是各项定义域的并集.

【例题精讲】

例1 函数21y x =+的定义域为(),D =-∞+∞，值域是(),W =-∞+∞，其图形是一条直线，如图所示：

图1.3 图1.4

例2 函数,(0),(0)x x y x x x ≥?==?-

值域是[)0,W =+∞，它的图形如图1.4所示.

例3 下列各组函数是否相同？为什么？

（1）(),()f x x g x ==（2）2()lg ,()2lg .f x x g x x ==

解：（1）不相同.因为()f x x =，而()g x x ==，两个函数对应法则不同，所以()f x 与()g x 不相同.

（2）不相同，因为(,0)(0,)f D =-∞?+∞，(0,)g D =+∞，两个函数的定义域

不同，所以()f x 与()g x 不相同.

【课堂练习】

例1 函数1,(0)sgn 0,(0)1,(0)x y x x x >??

===??-

解：它的定义域为(),D =-∞+∞，值域是{}1,0,1W =-. 例2 求下列函数的定义域. （1

）2

1()4f x x

=

-（2

）2

()lg(9)f x x =-

解：（1）

要使2

1

()4f x x =-必须24050x x ?-≠?+≥?，解得25x x ≠±??≥-?，所以该函数的定义域为[5,2)(2,2)(2,)f D =---+∞.

（2

）要使2()lg(9)f x x =-+2

290

10x x ?->?->?

，解得

33

11

x x x -<

<->?或，所以该函数的定义域为(3,1)(1,3)f D =--. 【问题思考】

设()y f x =的定义区间为(0,1]，求下列各函数的定义域.

（1）2()f x （2）(sin )f x （3）(lg )f x （4）21

()(log )2

f x f x -+

【知识小结】

1、理解函数的概念和性质；

2、会求函数的定义域.

【课后作业】

习题1.1 1.（1）（2） 2.（1）（2） 3.（2）（4）

四、板书设计

《计算机应用数学》教案

教学过程： 一、知识回顾

回顾函数的概念.

二、新课导入

中学阶段所学的基本初等函数的性质和图像.

三、新课内容

1、函数的简单性质 1）函数的有界性

设函数()y f x =在D 上有定义，若存在正数M ，使对于任何x D ∈，都有

()f x M ≤，则称函数()y f x =在D 上有界；否则，称为无界.若一个函数在它的整个定义域内有界，则称该函数为有界函数.有界函数的图形必位于两条直线

y M =与y M =-之间.

2）函数的单调性

设函数()y f x =在D 上有定义，任取两点12,x x D ∈，当12x x <时，有

12()()f x f x <，则称函数()y f x =在D

上

是单调增加的；当12x x <时，有12()()f x f x >，则称函数()y f x =在D 上是单调减少的.

单调增加或单调减少的函数，它们的图形分别是沿x 轴正向逐渐上升或下降，分别如图1.5（a ）和（b ）所示.

（a ） （b ）

图1.5

单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.若函数()y f x =在其定义域D 内的某个区间内是单调的，则称这个区间为函数()y f x =的单调区间.

3）函数的奇偶性

设函数()y f x =的定义域D 关于原点对称.若任取x D ∈，都有()()f x f x -=，则称()y f x =是D 上的偶函数.若任取x D ∈，都有()()f x f x -=-，则称()y f x =是D 上的奇函数.

从几何图形上看，偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称. 4）函数的周期性

设函数()y f x =的定义域为D ，若存在正数T ,使于任何x D ∈，有

()x T D ±∈,且()()f x T f x ±=，则称函数()y f x =是为周期函数，T 称为()f x 的

周期.通常我们说的周期函数的周期是指其最小正周期.

2、 反函数和复合函数 1）反函数

定义1.2 设给定y 是x 的函数()y f x =，若把y 当作自变量，x 当作函数，则由关系式()y f x =所确定的函数()x y ?=称为函数()y f x =的反函数，记作：

()x y ?=，也常记作：1()x f y -=，f y W ∈.

由定义可知，()y f x =与1()x f y -=互为反函数.我们习惯上，用x 表示自变量，y 表示因变量，所以反函数常习惯地表示成1()y f x -=的形式.

注：（1）函数()y f x =与其反函数1()x f y -=是表示同一个函数.

（2）求反函数的方法：给出一个函数()y f x =，要求其反函数，只要把x 用

y 表示出来，再交换x 与y 的位置即可.

2）复合函数

定义 1.3 设y 是u 的函数()y f u =，而u 又是x 的函数()u g x =，且当x 在()u g x =的定义域

（或该定义域的一部分）D 内取值时，对应的u 值使y 有定义，则称y 是x 的一个定义于D 的复合函数，记作：[()],y f g x x D =∈，称()y f u =为

外层函数，()u g x =为内层函数，u 为中间变量，x 为自变量，y 为因变量.

注：（1）函数()u g x =与函数()y f u =构成的复合函数通常记为f g o ，即

()()[()]f g x f g x =o .

（2）不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的.只有当函数()y f u =的定义域与函数()u g x =的值域有公共部分时，两个函数()y f u =与()u g x =才能复合成函数[()]y f g x =；否则，这两个函数就不能复合. （3）有时我们会遇到两个以上的函数构成的复合函数. 1.1.4 函数的四则运算

设函数(),()f x g x 的定义域分别为12,D D ，1

2D D D =≠?，则我们可以定

义这两个函数具有下列运算：

和（差）f g ±: ()()()(),f g x f x g x x D ±=±∈. 积 f g ?: ()()()(),f g x f x g x x D ?=?∈. 商

f g ： ()

()()f f x x g g x ??= ???

，{()0}x x x D g x ∈∈≠且. 3、基本初等函数

1) 常数函数y C =（C 为常数）. 2) 幂函数a y x =（a 为常数）. 3) 指数函数x y a =（0a >且1a ≠）. 4) 对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）.

5) 三角函数sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x y x y x y x y x ======. 6) 反三角函数sin ,cos ,tan ,cot y arc x y arc x y arc x y arc x ====.

这六种函数统称为基本初等函数，已在中学数学中学过，它们的定义域、值

域、图形、性质等参见附录2.

4、 初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算所构成的，且可用一个解析式表示的函数称为初等函数.否则，称为非初等函数.今后我们讨论的函数，绝大多数都是初等函数.

【例题精讲】

例1 正弦函数sin y x =是有界函数，因为它在定义域(,)-∞+∞内，总有

sin 1x ≤.

例22()f x x =是偶函数，因为其定义域为(,)-∞+∞，且

22()()()f x x x f x -=-==；3()f x x =是奇函数，因为其定义域为(,)-∞+∞，且33()()()f x x x f x -=-=-=-.

例3 求y =.

解：由y =31x y =-，交换x 与y ，得31y x =－，即为所求反函数. 可以证明，函数()y f x =的图形与1()y f x -=的图形关于直线y x =对称. 例4 设2()4f x x x =-，()sin g x x =，试写出[()]f g x ，[()]g f x 的表达式. 解：2[()](sin )4sin sin f g x f x x x ==-，22[()](4)sin(4)g f x g x x x x =-=-.

【课堂练习】

例1 2()f x x =在(,0]-∞上单调减少，(,0]-∞为单调减少区间；在[0,)+∞上单调增加，[0,)+∞为单调增加区间，但该函数在(,)-∞+∞上不是单调函数.

例2 函数2

(51)3x y -=可以看成由哪些函数复合而成？

解：原函数可以看成下列三个函数的复合： 3u y =，2u v =，51v x =-，其中u 与v 为中间变量.

【问题思考】

设函数()f x 的定义域为[1,2]，求函数(1)f x -的定义域.

【知识小结】

1、会利用函数的性质解题；

2、反函数及复合函数.

【课后作业】

习题1.1 5.（1）（2）

四、板书设计

《计算机应用数学》教案

,,n

是数列，它们的通项分别为n a ，1n a n

=，(n a =-

教学过程： 一、知识回顾

数列的概念

二、新课导入

极限概念是自始至终贯穿于微积分的重要概念，它是研究微积分的重要工具，如微积分中的导数、定积分等概念都是通过极限来定义的，因此，掌握极限的思想与方法是学好微积分的前提条件.

三、新课内容

1、数列的极限 1）数列的概念

定义1.4 定义在正整数集上的函数()n a f n =(1,2,n =…)，其函数值按自变量n 增大的次序排成一列数123,,,,,n a a a a L L 称为数列，记作：{}n a .

其中1a 称为数列的首项，n a 称为数列的一般项或通项. 2）数列的极限

定义1.5 设有数列{}n a 和常数A .若当n 无限增大时，n a 无限趋近于A ，则称A 是数列{}n a 的极限（或称数列{}n a 收敛于A ），记作：

lim n n a A →∞

= 或()n a A n →→∞，

否则，则称数列{}n a 的极限不存在，或者说数列{}n a 是发散的.

数列极限的几何解释：将常数A 和数列的各项123,,,,,n a a a a L L 在数轴上用对应的点表示，若数列{}n a 收敛于A ，则表示随着项数n 越来越大，在数轴上表

示n a 的点从点A 的一侧（或两侧）就越来越接近A ，如图1.6所示.

图1.6

若数列{}n a 收敛，则该数列有如下性质：

性质1（唯一性）若数列{}n a 收敛，则该数列的极限唯一. 性质2（有界性）若数列{}n a 收敛，则该数列一定有界. 定理1.1（单调有界原理）单调有界数列必有极限. 推论 无界数列一定发散.

注：有界数列不一定收敛，发散数列不一定无界. 2、 函数的极限

对于给定的函数()y f x =，因变量y 随着自变量x 的变化而变化.若当自变量

x 无限接近于某个目标（数0x 或无穷大∞）时，因变量y 无限接近于一个确定的

常数A ，则称函数()y f x =以A 为极限.下面我们根据自变量x 无限接近于不同的目标，分别介绍函数的极限.

1）当x →∞时，函数()f x 的极限

定义1.6 设函数()f x 对于绝对值无论多大的x 是有定义的，若当x 无限增大（即x →∞）时，函数()f x 无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为函数()f x 当x →∞时的极限，记作：

lim ()x f x A →∞

=或()()f x A x →→∞.

有时需要区分趋于无穷大的符号，我们将x 取正值无限增大，记作：x →+∞；将x 取负值其绝对值无限增大，记作：x →-∞.

类似地，若当x →-∞（或x →+∞）时，函数()f x 无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为函数()f x 当x →-∞（或x →+∞）时的极限，记作：

lim ()x f x A →-∞

=（或lim ()x f x A →+∞

=）.

定理1.2 lim ()x f x A →∞

=的充分必要条件是lim ()x f x A →-∞

=且lim ()x f x A →+∞

=.

2）当0x x →时，函数()f x 的极限

定义1.7 设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义（0x 可以除外），若当x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，函数()f x 无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为函数()f x 当0x x →时的极限，记作：

lim ()x x f x A →=或0()()f x A x x →→.

注：（1）极限研究的是当0x x →时，()f x 的变化趋势，与()f x 在0x 处有无定义无关.（2）0x x →是指x 从0x 的左右两侧趋近于0x .

定义1.8 若当x 从0x 的左侧无限趋近于0x （即0x x -→）时，函数()f x 无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为函数()f x 当x 从左侧无限趋近于0x （即

0x x -→）时的左极限，记作：0

lim ()x x f x A -

→=或0(0)f x A -=. 类似地，若当x 从0x 的左侧无限趋近于0x （即0x x -→）时，函数()f x 无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为函数()f x 当x 从左侧无限趋近于0x （即

0x x -→）时的左极限，记作：0

lim ()x x f x A +

→=或0(0)f x A +=. 左极限和右极限通称为单侧极限.

定理1.3 0

lim ()x x f x A →=的充分必要条件是0

lim ()x x f x A -→=且0

lim ()x x f x A +→=.

【例题精讲】

例1 将下列数列在数轴上表示出来，并讨论其收敛性.

（1）2,4,8,,2,n L L （2）123,,,,2341

n

n +,L L （3）1,1,1,(1),n ---,

L L 解：将数列（1）（2）（3）在数轴上分别表示出来，如图所示：

从数轴上可以看出，数列（1）（3）的极限不存在，它们是发散数列；数列

（2）的极限是常数1，记作：lim lim

11

n n n n

a n →∞

→∞==+.

例2 函数1

()f x x

=

的图形如图所示，试判断其极限情况.

解：从图可以看出，()0f x →()x →-∞，()0f x →()x →+∞，所以

l i m ()0x f x →∞

=，

即当x →∞时，()f x 以0为极限.

例3 当x →-∞与x →+∞时，()arctan f x x =的变化趋势，并判断当x →∞时，

()f x 的极限是否存在？

解：由图可得，lim ()lim arctan 2

x x f x x π

→-∞

→-∞

==-

，lim ()lim arctan 2

x x f x x π

→+∞

→+∞

==

，

由定义1.6可知，当x →∞时，()arctan f x x =无法与一个确定的常数接近，所以当x →∞时，()f x 的极限不存在.

例4 设函数10

()0x x f x x x +>?=?-≤?，画出该函数的图形，并判断0lim ()x f x →是否

存在？

解：如图1.12所示，0

lim ()lim()0x x f x x --→→=-=，0

lim ()lim(1)1x x f x x ++

→→=+=，由定理1.3可知，0

lim ()x f x →不存在.