第三讲 手拉手模型

手拉手模型专题训练

两等边三角形或等腰直角三角形或两正方形共端点考虑手拉手模型：

1、已知,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B. C重合)，以AD为边作正方形ADEF，连接CF.

(1)如图1，当点D在线段BC上时，求证：①CF=BD；②CF⊥BD.

(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其它条件不变,线段CF与BD的上述关系是否还成立?请直接写出结论即可(不必证明).

(3)如图3，当点D在线段BC的反向延长线上，且点A. F在直线BC的两侧，其它条件不变，线段CF与BD的上述关系是否还成立?若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由。

2、在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D在射线BC上(与B. C两点不重合)，以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G.

(1)若点D在线段BC上，如图1.

①依题意补全图1；

②判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；

(2)若点D在线段BC的延长线上,且G为CF中点,连接GE,AB=2，则GE的长为___，并简述求GE长的思路。

3、如图1,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,D是△ABC内部一点,∠ADC=135°,将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE.

(1)①依题意补全图形；②请判断∠ADC和∠CDE之间的数量关系，并直接写出答案。

(2)在(1)的条件下，连接BE，过点C作CM⊥DE，请判断线段CM，AE和BE之间的数量关系，并说明理由。

(3)如图2,在正方形ABCD中,AB=2,如果PD=1,∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离。

4、图(1)中，C点为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗?说明理由；

如图(2)C点为线段AB上一点，等边三角形ACM和等边三角形CBN在AB的异侧，此时AN与BM相等吗?说明理由；

如图(3)C点为线段AB外一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗?

说明理由。

5、(1)如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CBN，连接AN，BM.分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF.观察并猜想△CEF的形状，并说明理由。

(2)若将(1)中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么(1)中的结论还成立吗?若成立，加以证明；若不成立，请说明理由。

6、如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为α．

（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；

（2）如图2，G为BC中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′=E′D；

（3）小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，△DCD ′与△CBD ′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能说明理由．

7、在等边三角形ABC 中,AD ⊥BC 于点D.

(1)如图1,请你直接写出线段AD 与BC 之间的数量关系:AD=___BC

(2)如图2,若P 是线段BC 上一个动点(点P 不与点B 、C 重合),联结AP,将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°,得到线段AE,联结CE,猜想线段AD 、CE 、PC 之间的数量关系,并证明你的结论;

(3)如图3,若点P 是线段BC 延长线上一个动点,(2)中的其他条件不变,按照(2)中的作法,请在图3中补全图形,并直接写出线段AD 、CE 、PC 之间的数量关系.

8、 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝60 °，AC ＞BC ，又△AB 'C 、△BC 'A ，△CA 'B 都是△ABC 外的等边三角形，而点D 在AC 上，且BD ＝BC ．

（1）证明：△'C BD ≌△'B DC ；

（2）证明：△A 'C D ≌△D '

B A ；

（3）从△ABC 、△'A BC 、△A 'B C 、△AB 'C 面积大小的关系上，能得出什么结论？

（4）求证：ABC △S +ABC'△S ='BCA S △+'ACB S △

9、如图,△ABC中,∠ABC=90°,AC=2,以AC为边向右侧作等边三角形ACD.

(1)如图1,将线段AB绕点A逆时针旋转60°,得到线段AB

1,联结DB

1

,则与DB

1

长度相等的

线段为(直接写出结论);

(2)如图2,若P是线段BC上任意一点(不与点C重合),点P绕点A逆时针旋转60°得到点Q,求∠ADQ的度数;

(3)画图并探究:若P是直线BC上任意一点(不与点C重合),点P绕点A逆时针旋转60°得到点Q,是否存在点P,使得以A、C、Q、D、为顶点的四边形是梯形,若存在,请指出点P的位置,并求出PC的长;若不存在,请说明理由.

10、在▱ABCD中,∠A=∠DBC,过点D作DE=DF,且∠EDF=∠DBA,连接EF、EC,N、P分别为EC、BC的中点,连接NP.

(1)如图1,若点E在DP上,EF与DC交于点M,试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠DBA 与∠MNP满足的等量关系,请直接写出你的结论;

(2)如图2,若点M在线段EF上,当点M在何位置时,你在(1)中得到的结论仍然成立,写出你确定的点M的位置,并证明(1)中的结论.

11、如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E.

（1）如图1，猜想∠QEP= °；

（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；

（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．