马尔可夫预测
马尔可夫预测
4.6 马尔可夫预测4.6.1 马尔可夫预测法分析概述马尔可夫是俄国著名的数学家，马尔可夫过程是以马尔可夫名字命名的一种特殊的描述事物发展过程的方法。
马尔可夫过程主要用于对企业产品的市场占有率的预测。
众所周知，事物的发展状态总是随着时间的推移而不断地变化的。
对于有些事物的发展,需要综合考察其过去与现在的状态，才能预测未来。
但有些事物的发展，只要知道现在状态,就可以预测将来的状态而不需要知道事物的过去状态。
例如，在下中国象棋时，一个棋子下一步应该怎样走，只与它当前的位置有关，而不需要知道它以前处于什么位置，也不需要知道它是怎么走到当前位置的。
这种与过去的取值无关，称为无后效性。
这种无后效性的事物的发展过程，就称为马尔可夫过程。
1.一步转移概率与转移概率矩阵如果变量的状态是可数的，假设有N个，那么从状态i经一步转移到j,都有发生的可能，我们称Pij为一步转移概率。
将这些依序排列起来构成的一个矩阵，叫做转移概率矩阵：转移概率矩阵具有下述性质;(1)矩阵每个元素均非负；(2)矩阵每行元素之各等于1.2.多步转移概率与转移概率矩阵在一步转移概率概念的基础上，可导出多步转移概率。
若系统在时刻T0处于状态i,经过n步转移，在时刻Tn时处于状态j,这种转移的可能性的数量指标称为n步转移概率，记为P（Xn=j|X0=i）=Pij(n)。
n步转移概率矩阵记为经过计算，可以得到一个有用的结论：同时,n步转移概率同一步转移概率一样具有下列性质;2.4.2市场占有率预测分析1.市场占有率预测分析概述在市场经济条件下，各企业都十分重视扩大自身产品的市场占有率。
因此，预测企业产品市场占有率，也就成为企业十分关心的问题。
市场占有率是指在一定地理范围内，某一类商品因为具有相同的用途或性质而相互竞争，那么在这类商品的整个销售市场上，每一种品牌的产品的销售额（销量）点该类商品总销售额（销量）的份额即为该品牌商品的市场占有率。
2.市场占有率预测分析的基本市场占有率预测分析的基本步骤如下:假设该地区市场上有三种同类商品。
系统预测马尔可夫预测
解：
划分状态。 按销售额多少作为划分状态的标准。 状态1——滞销：销售额60万元； 状态2——平销：60万元销售额
100万元； 状态3——畅销：销售额100万元。
19
则各状态出现的次数Mi为：
M1=7； M2=5； M3=8。 根据统计数据计算比例数，建立状态 转移概率矩阵。
20
由状态i转移为状态j的次数记为Mij，
24
条件
设市场中提供某种商品的厂商共有n家。 当前的市场占有率,即本期市场占有率为：
用Pij代表经过一个时期后i厂商丧失的顾 客转移到j厂商的概率，或j厂商得到由i 厂商转来的顾客的概率。特别是当i=j时， Pij代表i厂商保留上期顾客的概率。这样 Pij即为市场占有率的转移概率。
25
转移概率矩阵
3
一、Markov预测原理
例1：出租公司车站租、还车一步转移概率。
机场 租 风景区 车 宾馆
机场 0.8 0.2 0.2
还车 风景区
0.2
0
0.2
宾馆 0 0.8 0.6
p11
p12
p13 0.8 0.2
0
P
p21
p22
p23
0.2
0
0.8
p31
p32
p33 0.2 0.2 0.6
4
一、Markov预测原理
若假定各期的转移概率不变，则那 么对于下K期市场占有率的预测，可 以看成是在当前状态下经过K步转移 所达到的状态。即：S（K）=S（0）PK。
31
例5
已知市场上有A、B、C三种品牌
的洗衣粉，上月的市场占有率分布
为（0.3 0.4 0.3），并且转移概率矩
阵为：
马尔可夫预测算法
马尔可夫预测算法综述马尔可夫预测法以系统状态转移图为分析对象，对服从给定状态转移率、系统的离散稳定状态或连续时间变化状态进行分析马尔可夫预测技术是应用马尔可夫链的基本原理和方法研究分析时间序列的变化规律，并预测其未来变化趋势的一种技术。
方法由来马尔可夫是俄国的一位著名数学家 (1856—1922)，20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。
针对这种情况，他提出了马尔可夫预测方法，该方法具有较高的科学性，准确性和适应性，在现代预测方法中占有重要地位。
基础理论在自然界和人类社会中，事物的变化过程可分为两类:一类是确定性变化过程；另一类是不确定性变化过程。
确定性变化过程是指事物的变化是由时间唯一确定的，或者说，对给定的时间，人们事先能够确切地知道事物变化的结果。
因此，变化过程可用时间的函数来描述。
不确定性变化过程是指对给定的时间，事物变化的结果不止一个，事先人们不能肯定哪个结果一定发生，即事物的变化具有随机性。
这样的变化过程称为随机过程一个随机试验的结果有多种可能性，在数学上用一个随机变量（或随机向量）来描述。
在许多情况下，人们不仅需要对随机现象进行一次观测，而且要进行多次，甚至接连不断地观测它的变化过程。
这就要研究无限多个，即一族随机变量。
随机过程理论就是研究随机现象变化过程的概率规律性的。
客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化状态即为客观事物可能出现或存在的状况，用状态变量表示状态：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==,2,1,,2,1t N i i X t 它表示随机运动系统，在时刻),2,1( =t t 所处的状态为),2,1(N i i =。
状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。
设客观事物有N E E E E ...,,321共 N 种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有N 个转向（包括转向自身），即由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。
马儿可夫预测例题
马儿可夫预测例题《马尔可夫预测例题》随着人工智能技术的不断发展，马尔可夫预测模型被广泛应用于各个领域。
马尔可夫预测模型是以数学统计为基础的模型，它基于过去的观测结果来预测未来的情况。
通过建立状态转移矩阵，我们可以根据当前状态的概率分布来预测下一个状态的概率分布，从而达到预测未来的目的。
以下是一个关于马尔可夫预测的例题：某小区的路口有一辆交通灯，该交通灯只有两种状态：红灯和绿灯。
统计数据显示，红灯状态持续的平均时间为3分钟，而绿灯状态持续的平均时间为2分钟。
根据这些数据，我们可以建立如下状态转移矩阵：状态 | 红灯 | 绿灯------------ | ------------ | -------------红灯 | 0.5 | 0.5绿灯 | 0.6 | 0.4假设初始状态为红灯，问小区交通灯状态在6分钟后是红灯的概率是多少？我们要计算的是在初始状态下穿越状态转移矩阵6次后，恢复到红灯状态的概率。
根据状态转移矩阵，我们可以得到：P(T0为红灯状态) = 1P(T1为红灯状态) = P(T0为红灯状态) * P(T1为红灯状态 | T0为红灯状态) = 1 * 0.5 = 0.5P(T2为红灯状态) = P(T1为红灯状态) * P(T2为红灯状态 | T1为红灯状态) + P(T1为绿灯状态) * P(T2为红灯状态 | T1为绿灯状态) = 0.5 * 0.5 + 0.5 * 0.6 = 0.55P(T3为红灯状态) = P(T2为红灯状态) * P(T3为红灯状态 | T2为红灯状态) + P(T2为绿灯状态) * P(T3为红灯状态 | T2为绿灯状态) = 0.55 * 0.5 + 0.45 * 0.6 = 0.545P(T4为红灯状态) = P(T3为红灯状态) * P(T4为红灯状态 | T3为红灯状态) + P(T3为绿灯状态) * P(T4为红灯状态 | T3为绿灯状态) = 0.545 * 0.5 + 0.455 * 0.6 = 0.5425P(T5为红灯状态) = P(T4为红灯状态) * P(T5为红灯状态 | T4为红灯状态) + P(T4为绿灯状态) * P(T5为红灯状态 | T4为绿灯状态) = 0.5425 * 0.5 + 0.4575 * 0.6 = 0.542因此，在经过6分钟后，小区交通灯状态是红灯的概率约为0.542。
决策与预测第八章 马尔可夫预测
( pilk 1) plj , i , j 1, 2,..., N l 1
N
（全概率公式 ）
22
一般地，
pij P X n k j X n i
k
P X n k 1 l X n i P xn k j X n k 1 l
24
初始状态概率向量 记 t 0 为过程的开始时刻，
pi 0 PX 0 X t0 i
则称
P 0 p1 0 , p2 0 ,..., pN 0
为初始状态概率向量。
25
初始状态概率向量 记 t 0 为过程的开始时刻，
pi 0 PX 0 X t0 i
p1 (1) ?
p12
p1 (0) p2 (0)
p22
p21
p2 (1) ?
33
p11
p1 (1) ?
p12
p1 (0) p2 (0)
p22
p21
p2 (1) ?
p1 (1) p1 (0) p11 p2 (0) p21
34
p11
p1 (1) ?
p12
p1 (0) p2 (0)
S {1,2,, N }
（与时刻无关）
称其为状态空间。
X tn
Xn
5
设有一离散型随机过程，它在时刻 t n 所有可 能处于的状态的集合为
S {1,2,, N }
（与时刻无关）
称其为状态空间。
X tn
Xn
定义3 若 X n 只与 X n1 有关，而与 X n 2 ,..., X 1 等无关，称 {X t , t T } 为马尔可夫链，即
定义6 k步状态转移概率，k步状态转移概率矩阵
如何利用马尔可夫逻辑网络进行时间序列预测(Ⅲ)
时间序列预测是一种重要的数据分析方法，用于预测未来一段时间内的数据趋势。
马尔可夫逻辑网络（Markov Logic Network, MLN）是一种基于马尔可夫逻辑的概率图模型，可以用于建模复杂的关系数据，并进行概率推断。
本文将探讨如何利用马尔可夫逻辑网络进行时间序列预测。
1. 马尔可夫逻辑网络简介马尔可夫逻辑网络是一种基于一阶逻辑的概率图模型，它将一阶逻辑表示和马尔可夫随机场相结合，能够处理不确定性和复杂的关系数据。
MLN可以用一组命题逻辑公式来表示知识，然后通过学习参数来进行推断。
MLN的模型结构和参数学习算法使得它在处理关系数据方面具有很强的能力。
2. 时间序列建模在时间序列预测中，我们通常需要将时间序列数据转化为适合建模的形式。
对于离散时间序列数据，可以将其转化为一阶逻辑表示，例如用命题逻辑公式描述数据状态和变化关系。
然后，可以利用马尔可夫逻辑网络来学习这些逻辑表示之间的关系，并进行预测。
3. 马尔可夫逻辑网络在时间序列预测中的应用马尔可夫逻辑网络可以用于对时间序列数据进行建模和预测。
在时间序列预测中，马尔可夫逻辑网络可以用来学习序列数据之间的关系，并进行概率推断。
通过学习时间序列数据的逻辑表示和关系，马尔可夫逻辑网络可以捕捉到数据之间的复杂依赖关系，从而进行准确的预测。
4. 马尔可夫逻辑网络的优势相比传统的时间序列预测方法，马尔可夫逻辑网络具有以下优势：- 能够处理复杂的关系数据：马尔可夫逻辑网络可以处理复杂的关系数据，并学习数据之间的依赖关系，可以更准确地进行预测。
- 能够处理不确定性：马尔可夫逻辑网络可以处理不确定性，通过概率推断来进行预测，可以提供更可靠的预测结果。
- 能够进行参数学习：马尔可夫逻辑网络可以通过学习参数来进行模型训练，可以适应不同的时间序列数据，并提供更灵活的预测能力。
5. 结论马尔可夫逻辑网络是一种强大的概率图模型，可以用于时间序列预测。
通过学习时间序列数据的逻辑表示和关系，马尔可夫逻辑网络可以捕捉到数据之间的复杂依赖关系，从而进行准确的预测。
马尔科夫预测法的原理
马尔科夫预测法的原理
马尔科夫预测法是一种基于马尔科夫链的预测方法。
其原理是利用过去的一系列观测值，通过构建一个马尔科夫链模型来预测未来的观测值。
马尔科夫链是一种具有状态转移概率的数学模型，其特点是当前状态的转移只依赖于前一个状态，与其他历史状态无关。
马尔科夫预测法假设未来的观测值只与过去的观测值有关，而与其他因素无关。
具体实施马尔科夫预测法的步骤如下：
1. 收集并整理历史数据，将其分为一系列观测值的序列。
2. 根据历史数据计算每个状态之间的转移概率。
即计算每个观测值之间的转移概率，这可以通过统计历史数据中观测值之间的频率来进行估计。
3. 根据已知的初始状态分布，选择一个初始状态作为预测的起点。
4. 根据转移概率和初始状态，依次生成未来的观测值，直到达到所需的预测长度。
马尔科夫预测法的关键在于确定状态和计算状态之间的转移概率。
这可以通过统计方法、最大似然估计或其他相应的方法来实现。
然后，使用马尔科夫链的转移概率来模拟未来的状态转移，从而得到未来观测值的预测。
马尔可夫预测算法
马尔可夫预测算法马尔可夫预测算法是一种基于马尔可夫链的概率模型，用于进行状态转移预测。
它被广泛应用于自然语言处理、机器翻译、语音识别等领域。
马尔可夫预测算法通过分析过去的状态序列来预测未来的状态。
本文将介绍马尔可夫预测算法的原理、应用以及优缺点。
一、原理1.马尔可夫链马尔可夫链是指一个随机过程，在给定当前状态的情况下，未来的状态只与当前状态有关，与其他历史状态无关。
每个状态的转移概率是固定的，可以表示为一个概率矩阵。
马尔可夫链可以用有向图表示，其中每个节点代表一个状态，每个边表示状态的转移概率。
（1）收集训练数据：根据需要预测的状态序列，收集过去的状态序列作为训练数据。
（2）计算转移概率矩阵：根据训练数据，统计相邻状态之间的转移次数，然后归一化得到转移概率矩阵。
（3）预测未来状态：根据转移概率矩阵，可以计算出目标状态的概率分布。
利用这个概率分布，可以进行下一步的状态预测。
二、应用1.自然语言处理在自然语言处理中，马尔可夫预测算法被用于语言模型的建立。
通过分析文本中的单词序列，可以计算出单词之间的转移概率。
然后利用这个概率模型，可以生成新的文本，实现文本自动生成的功能。
2.机器翻译在机器翻译中，马尔可夫预测算法被用于建立语言模型，用于计算源语言和目标语言之间的转移概率。
通过分析双语平行语料库中的句子对，可以得到句子中单词之间的转移概率。
然后利用这个转移概率模型，可以进行句子的翻译。
3.语音识别在语音识别中，马尔可夫预测算法被用于建立音频信号的模型。
通过分析音频数据中的频谱特征，可以计算出特征之间的转移概率。
然后利用这个转移概率模型，可以进行音频信号的识别。
三、优缺点1.优点（1）简单易懂：马尔可夫预测算法的原理相对简单，易于理解和实现。
（2）适用范围广：马尔可夫预测算法可以应用于多个领域，例如自然语言处理、机器翻译和语音识别等。
2.缺点（1）数据需求大：马尔可夫预测算法需要大量的训练数据，才能准确计算状态之间的转移概率。
马尔科夫预测方法.pptx
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终极状态概率预测
① 定义 ：经过无穷多次状态转移后所得到的状态概率称为终极状态概率 ，即： ② 终极状态概率应满足的条件：
马尔可夫预测法
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③ 例题：在例1中，设终极状态的状态概率为 则
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马尔可夫预测法
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例题2： 将例题1中1999年的农业收成状态记为 =[0,1,0] ，将状态转移概率矩阵（3.7.5）式及代入递推公式（3.7.8）式，可求得2000——2010年可能出现的各种状态的概率（见表3.7.2）。
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表3.7.2 某地区1990—2000年农业收成 状态概率预测值
例题1： 考虑某地区农业收成变化的三个状态，即“丰收”、“平收”和“欠收”。记E1为“丰收”状态，E2为“平收”状态，E3为“欠收”状态。表3.7.1给出了该地区1960～1999年期间农业收成的状态变化情况。试计算该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵。
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表3.7.1 某地区农业收成变化的状态转移情况
几个基本概念
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状态转移概率。在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。由状态Ei转为状态Ej的状态转移概率是
（3.7.1）
状态转移概率矩阵。假定某一个事件的发展过程有n个可能的状态，即E1，E2，…，En。记为从状态Ei转变为状态Ej的状态转移概率 ，则矩阵
几个基本概念
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状态转移概率矩阵的计算。 计算状态转移概率矩阵P，就是求从每个状态转移到其它任何一个状态的状态转移概率 。 为了求出每一个，一般采用频率近似概率的思想进行计算。
如何利用马尔可夫逻辑程序进行分类与预测(五)
马尔可夫逻辑程序（Markov Logic Network, MLN）是一种基于概率逻辑的统计学习框架，它将一阶逻辑表示与概率模型相结合，能够有效地进行分类与预测。
在本文中，我们将探讨如何利用马尔可夫逻辑程序进行分类与预测，从而帮助读者更好地理解和应用这一强大的机器学习工具。
一、马尔可夫逻辑程序的基本原理马尔可夫逻辑程序将一阶逻辑表示和概率模型相结合，它由一组逻辑子句和相应的权重组成，其中逻辑子句表示领域知识，权重表示子句的重要性。
通过对这些权重进行学习，可以得到一个概率模型，用于进行分类与预测。
马尔可夫逻辑程序的基本原理是将逻辑表示转化为概率分布，从而能够处理不确定性和复杂性的问题。
二、马尔可夫逻辑程序的学习方法马尔可夫逻辑程序的学习方法主要包括两个步骤：参数学习和结构学习。
参数学习是指通过已有的数据来学习逻辑子句的权重，通常采用最大似然估计或者贝叶斯方法来进行。
结构学习是指通过已有的数据来学习逻辑子句的结构，通常采用贪婪搜索或者启发式算法来进行。
通过这两个步骤，可以得到一个完整的马尔可夫逻辑程序，用于进行分类与预测。
三、马尔可夫逻辑程序的应用领域马尔可夫逻辑程序在许多领域都有着广泛的应用，例如自然语言处理、生物信息学、社交网络分析等。
在自然语言处理领域，马尔可夫逻辑程序可以用于文本分类、实体识别和关系抽取等任务；在生物信息学领域，马尔可夫逻辑程序可以用于蛋白质结构预测、基因功能预测等任务；在社交网络分析领域，马尔可夫逻辑程序可以用于社交关系推荐、事件预测等任务。
通过这些应用案例，可以看出马尔可夫逻辑程序在各个领域都有着重要的作用。
四、马尔可夫逻辑程序的性能评估马尔可夫逻辑程序的性能评估通常包括准确率、召回率、F1值等指标。
准确率是指分类器预测正确的样本数量占总样本数量的比例，召回率是指分类器能够找出所有正样本的能力，F1值是准确率和召回率的调和平均数。
通过这些指标，可以评估马尔可夫逻辑程序的分类与预测性能，从而为实际应用提供参考。
马尔可夫预测
林地
旱地 水田 园地 水域 居民点
0.984 0 0 0 0 0
0.0088 0.0048 0.983 0.0058 0.0138 0.979 0 0 0 0 0 0
0.0012 0 0.0003 0.0036 0.0003 0.0064 0 0.0002 0.0049 1 0 0 0 1 0 0 0 1
2.1 相关概念 状态：某一事件在某一时刻出现的某种结果。如，农 业
收成预测中有“丰收”、“平收” “欠收”等状态；人 口 构成预测中有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、 “老年”等状态
状态转移：事件的发展，从一种状态转变为另一种状态。
如，天气从“阴天”变为“晴天”。
马尔可夫过程：在事件的发展过程中，每次状态的转
某地区1990～2000年农业收成状态概率预测值
年份 2000 E1 E2 0.5 0.15 385 28 2004 E2 0.35 09 E3 0.27 99 2008 E1 0.36 47 E3 0.30 77 E1 0.30 24 2001 E2 0.41 4 2005 E2 0.35 32 E3 0.27 99 E1 0.36 56 2009 E3 0.28 37 E1 0.38 67 2002 E2 0.33 34 2006 E2 0.35 24 E3 0.27 99 E1 0.36 53 2010 E3 0.27 99 E1 0.35 87 2003 E2 0.35 89 2007 E2 0.35 26 E3 0.27 99 E3 0.27 79
7 P21 P( E2 E1 ) P( E1 E2 ) 0.5385 13
2 P22 P( E2 E2 ) P( E2 E2 ) 0.1538 13 4 P23 P( E2 E3 ) P( E3 E2 ) 0.3077 13 4 P31 P( E3 E1 ) P( E1 E3 ) 0.3636 11
马尔可夫模型预测实例python
马尔可夫模型预测实例python马尔可夫模型是一种统计模型，它基于当前状态预测下一个状态，假设下一个状态只依赖于当前状态。
以下是一个简单的马尔可夫模型预测实例，使用Python编写。
假设我们有一个天气数据集，其中包含每天的天气状态，包括“晴天”，“雨天”和“多云”。
我们想使用马尔可夫模型来预测明天的天气。
首先，我们需要计算状态转移概率矩阵。
这个矩阵描述了从当前状态转移到下一个状态的概率。
我们可以使用Pandas库来处理数据集，并使用Numpy库来计算矩阵。
以下是一个简单的示例代码：pythonimport pandas as pdimport numpy as np# 读取数据集data = pd.read_csv('weather.csv')# 计算状态转移概率矩阵states = ['晴天', '雨天', '多云']transition_matrix = pd.DataFrame(0, index=states, columns=states)for i in range(len(data)-1):current_state = data.iloc[i]['weather']next_state = data.iloc[i+1]['weather']transition_matrix.at[current_state, next_state] += 1for state in states:s = transition_matrix.loc[state].sum()transition_matrix.loc[state] = transition_matrix.loc[state] / s# 预测明天的天气today_weather = '晴天'tomorrow_weather = np.random.choice(states, p=transition_matrix.loc[today_weather])print(f"今天是{today_weather}，明天可能是{tomorrow_weather}")在这个示例中，我们首先读取天气数据集，然后计算状态转移概率矩阵。
马尔可夫预测方法
个时刻（ 第k个时刻（时期）的状态概率预测 个时刻 时期）
如果某一事件在第0个时刻（或 时期）的初始状态已知，即π ( 0 ) 已知， 则利用递推公式(3.7.8)，就可以求得 它经过k次状态转移后，在第k个时刻 （时期）处于各种可能的状态的概率， 即 ，从而就得到该事件在第k个 π (k ) 时刻（时期）的状态概率预测。
状态转移： 状态转移： 事件的发展，从一种状态转变为另一种状态， 称为状态转移。例如某产品在当前考察时处于畅 销阶段，过了一段时间，我们再来考察时，犹豫 市场竞争等多种因素，产品可能不再畅销，比如 处于滞销，则其状态从1转移到了2；某产品当前 装有是其市场占有率的20%，假如在下一个考察 时间点其市场占有率为25%，则其装有从20%转移 到了25%；某机器设备当前状态处于正常运转， 下一个考察时间点其状态有可能仍然是正常运转， 也可能处于待修状态。
预测方法——马尔可夫预测
预测⽅法——马尔可夫预测马尔可夫预测若某⼀系统在已知现在情况的条件下，系统未来情况只与现在有关，与历史⽆直接关系，则称描述这类随机现象的数学模型为马尔可夫模型（马⽒模型）。
时齐马尔可夫链：系统由状态i转移到状态j的转移概率只与时间间隔长短有关，与初始时刻⽆关。
状态转移概率矩阵及柯尔莫哥洛夫定理：概率矩阵：若系统在时刻 t0 处于状态 i，经过 n 步转移，在时刻 tn 处于状态 j 。
那么，对这种转移的可能性的数量描述称为 n 步转移概率。
记为:P(xn =j|x=i)=P(n)ij令P(n)=P11(n)P12(n)⋯P1N(n) P21(n)P22(n)⋯P2N(n)⋯⋯⋯P N1(n)P N2(n)⋯P NN(n)为n部转移概率矩阵。
(P0为初始分布⾏向量)性质：1. P(n)=P(n−1)P2. P(n)=P n转移概率的渐进性质——极限概率分布正则矩阵:若存在正整数k，使得p k的每⼀个元素都是正数，则称该马尔可夫链的转移矩阵P是正则的。
马克可夫链正则阵的性质：1. P有唯⼀的不动点向量W，W的每个分量为正，满⾜WP=W；2. P的n次幂P n随n的增加趋近于矩阵V, V的每⼀⾏向量均等于不动点向量W。
马尔可夫链预测法步骤：1. 划分预测对象可能出现的状态；2. 计算初始概率，由此计算⼀步状态转移概率；3. 计算多步状态转移概率；4. 根据状态转移概率进⾏预测。
()实例：eg：由于公路运输的发展，⼤量的短途客流由铁路转向公路。
历年市场调查结果显⽰，某铁路局发现今年⽐上年相⽐有如下规律：原铁路客流有85%仍由铁路运输，有15%转由公路运输，原公路运输的客流有95%仍由公路运输，有5%转由铁路运输。
已知去年公、铁客运量合计为12000万⼈，其中铁路10000万⼈，公路2000万⼈。
预测明年总客运量为18000万⼈。
运输市场符合马⽒链模型假定。
试预测明年铁、公路客运市场占有率各是多少？客运量是多少？最后发展趋势如何？解：1. 计算去年铁路、公路客运市场占有率将旅客由铁路运输视为状态1，由公路运输视作状态2，则铁、公占有率就是处于两种状态的概率，分别记作a1,a2.以去年作为初始状态，则初始状态概率向量:A(0)=(a1(0),a2(0))=(0.83,0.17)2. 建⽴状态转移矩阵PP=0.850.15 0.050.953. 预测明年铁路，公路客运市场占有率A(2)=(a1(2),a2(2))=A(0)P2=(0.83,0.17)0.850.150.050.952=(0.62,0.38)4. 进后发展趋势lim ()()Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。
《马尔可夫预测》PPT课件
二、状态和状态转移 1、状态：系统在某时刻出现的某种结果。 常用Ei表示（i=1，2，…，N）。 2、状态变量Xt=i：表示系统在时刻t处于 Ei 。 3、状态转移：系统由一种状态转移为另一种状态 。常用Ei →Ej表示。
状态举例： 例1：人民生活水平可分为三种水平状态：温 饱、小康、富裕。 例2：企业经营状况可分为：盈利、不盈不亏、 亏损。 例3：商品销售状况可分为：畅销、平销、滞 销。 状态转移举例： 例4：营业情况由盈利→亏损。
例：设一步转移矩阵为：
0.5 0.5 P 求P(2) 0.6 0.4 0.5 0.5 解： P(2) 0.6 0.4 0.5 0.5 0.5 0.6 0.5 0.5 0.5 0.4 = 0.6 0.5 0.4 0.6 0.6 0.5 0.4 0.4 0.55 0.45 = 0.54 0.46
0≤ Pij ≤1 ∑ Pij =1
所有Pij构成的矩阵为：
P 11 P P 21 PN 1 P 12 P22 PN 2 P 1N P2 N P ij N N PNN
称为一步转移概率矩阵。
在多步转移中，k步转移概率记为：
解：状态转移概率为
400 P 0.8 11 500 20 P21 0.05 400 10 P31 0.1 100 50 P 0.1 12 500 300 P22 0.75 400 10 P32 0.1 100 50 P 0.1 13 500 80 P23 0.2 400 80 P33 0.8 100
五、状态转移概率和转移概率矩阵
设系统有N个状态Ei（i=1，2，…，N），以状态变量 xt=i表示在时刻t处于Ei（i=1，2，…，N），如果系统在时 刻t处于Ei而在时刻t+1转移到Ej的概率只与Ei有关而与t以 前处的状态无关，则此概率可表示为： Pij=P（Ei→Ej）=P（ xt+1 =j∣xt =i） 并称为一步转移概率。
马尔可夫预测算法
马尔可夫预测算法综述马尔可夫预测法以系统状态转移图为分析对象，对服从给定状态转移率、系统的离散稳定状态或连续时间变化状态进行分析马尔可夫预测技术是应用马尔可夫链的基本原理和方法研究分析时间序列的变化规律，并预测其未来变化趋势的一种技术。
方法由来马尔可夫是俄国的一位著名数学家 (1856—1922)，20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。
针对这种情况，他提出了马尔可夫预测方法，该方法具有较高的科学性，准确性和适应性，在现代预测方法中占有重要地位。
基础理论在自然界和人类社会中，事物的变化过程可分为两类:一类是确定性变化过程；另一类是不确定性变化过程。
确定性变化过程是指事物的变化是由时间唯一确定的，或者说，对给定的时间，人们事先能够确切地知道事物变化的结果。
因此，变化过程可用时间的函数来描述。
不确定性变化过程是指对给定的时间，事物变化的结果不止一个，事先人们不能肯定哪个结果一定发生，即事物的变化具有随机性。
这样的变化过程称为随机过程一个随机试验的结果有多种可能性，在数学上用一个随机变量（或随机向量）来描述。
在许多情况下，人们不仅需要对随机现象进行一次观测，而且要进行多次，甚至接连不断地观测它的变化过程。
这就要研究无限多个，即一族随机变量。
随机过程理论就是研究随机现象变化过程的概率规律性的。
客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化状态即为客观事物可能出现或存在的状况，用状态变量表示状态：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==,2,1,,2,1t N i i X t 它表示随机运动系统，在时刻),2,1( =t t 所处的状态为),2,1(N i i =。
状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。
设客观事物有 N E E E E ...,,321共 N 种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有N 个转向（包括转向自身），即由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。
马尔可夫预测方法
马尔可夫预测方法1马尔可夫预测的性质及运用对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的可能性程度。
这就是关于事件发生的概率预测。
马尔可夫（Markov)预测法，就是一种关于事件发生的概率预测方法。
它是根据事件的目前状况来预测其将来各个时刻（或时期)变动状况的一种预测方法。
马尔可夫预测法是地理预测研究中重要的预测方法之一。
2基本概念（一)状态、状态转移过程与马尔可夫过程1.状态 在马尔可夫预测中，“状态”是一个重要的术语。
所谓状态，就是指某一事件在某个时刻（或时期)出现的某种结果。
一般而言，随着所研究的事件及其预测的目标不同，状态可以有不同的划分方式。
譬如，在商品销售预测中，有“畅销”、“一般”、“滞销”等状态；在农业收成预测中，有“丰收”、“平收”、“欠收”等状态；在人口构成预测中，有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、“中年”、“老年”等状态；等等。
2.状态转移过程 在事件的发展过程中，从一种状态转变为另一种状态，就称为状态转移。
事件的发展，随着时间的变化而变化所作的状态转移，或者说状态转移与时间的关系，就称为状态转移过程，简称过程。
3.马尔可夫过程 若每次状态的转移都只仅与前一时刻的状态有关、而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。
在区域开发活动中，许多事件发展过程中的状态转移都是具有无后效性的，对于这些事件的发展过程，都可以用马尔可夫过程来描述。
（二)状态转移概率与状态转移概率矩阵1.状态转移概率 在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。
根据条件概率的定义，由状态E i 转为状态E j 的状态转移概率P （E i →E j )就是条件概率P （E j /E i )，即 P(Ei Ej)=P(Ej/Ei)=Pij → （１）2.状态转移概率矩阵 假定某一种被预测的事件有E 1，E 2，…，E n ，共n 个可能的状态。
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9、几种特殊矩阵：
▪ 1）对角矩阵
a11
k a11
A
a22
其性质有k * A
k a22
ann
k
ann
a1
b1
a1 b1
a2
b2
a2 b2
an
bn
an
bn
▪ 乘法亦如此。
2)数量矩阵
a
A
a
,
a11
a22
a33
a
a
3）单位矩阵a=1时，记为
a12 a22
a11a22
a12a21
▪ 2、矩阵的乘法：1）若
a11 A a21
a31 a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
,B
b11 b21 b31
b12 b22 b32
,C
c11 c21 c31 c41
c12 c22 c32 c42
▪ 则有：A*B=C
▪ 2）A*BB*A，矩阵的乘法不满足于交换率。 A*X称为用X右乘A，X*A称为用X左乘A。
S (k) i
(i
1,2,
,
n)
▪ K表示时间；N表示系统互不相容的状态个 数；
▪ 4、状态转移，是系统从一种状态转变为另 一种状态。描述动态系统从一个状态的变 量值转变到另一个状态的变量值，就是系 统的状态实现了转移。并且状态的转移完 全是随机的。
二、马尔可夫链是马尔可夫过程 的一种特殊情况
应用马尔可夫链以及概率矩阵的原理对随机事件未来变化趋势所进 行的预测决策，称为马尔可夫决策。
随机变量和时间参数
▪ 连续型随机过程：随机变量和时间都是连续的； ▪ 离散型随机过程：随机变量是离散的，时间是连
续的； ▪ 连续随机序列：随机变量是连续的，时间是离散
的； ▪ 离散随机序列：随机变量和时间都是离散的；
▪ 假定根据历史资料有：当商品本月处于畅销，下个月仍处于畅
销的概率是0.7，下个月转移到滞销的概率是0.3。当商品本月
处于滞销时，下个月转移到畅销的概率是0.4，下个月仍处于
滞销的概率的是0.6。即转移概率矩阵为
0.7 0.3
P
0.4
0.6
▪ 现在要求计算今后半年各个月的状态概率，对该商品的市场销 售状态进行预测。
p12 pn2
p1n
,且有
pij 1
pnn
第三节 马尔可夫链在经济预测中 的应用
▪ 一、应用要求：
▪ 1、目的：分析研究一个经济系统的一种状 态转移到另一状态的概率或系统的未来状 况时，应用马尔可夫链预测模型进行预测。
2、前提假设条件
▪ 1）转移概率矩阵必须逐期保持不变，即转 移概率不随时间而变。
▪ 2、确定转移概率矩阵。 ▪ 3、预测计算并分析评价。
四、马尔可夫预测在预测中的应 用：
▪ 市场销售状态预测：
▪ 例2、某种商品在市场的销售状态有畅销与滞销两种。如果现 在（K=0）处于畅销状态，即状态1，则畅销的概率为1，滞销
▪ 的概率为0。状态概率向量为 S 0 S10S20 01
第七章马尔可夫分析法
本章介绍马尔可夫决策中的几个重 要概念，以及如何就市场占有率、 期望利润等问题使用状态转移矩阵
进行预测决策的步骤与方法。
第一节 马尔可夫决策过程
一、马尔可夫决策 1、概念：某事件的第n次试验经果决定于第n-1次试验的结果， 且在向第n次结果的转移过程中存在一转移概率，同时通过这一 转移概率，第n次试验结果可依据第n-1次结果推算出。一连串 的这种转移过程的整体，称为马尔可夫链过程。
n
P (k ) ij
P P (k 1)
im
mj
▪
m1
▪ 可得到K步转移概率矩阵
P(K ) P(K 1) * P P(K ) PK 1P PK
▪ 由上述可以说明，K步转移概率是在以前转 移的基础上再进行一次转移，所以K步转移 概率矩阵是一步转移概率矩阵P的K次方。
K步转移概率矩阵的性质：
1)Pij k 0, (i, j 1,2, , n)
4
0
7、正规概率矩阵：
▪ 一概率矩阵P，若它的某次方 Pm 的所有
元素均为正数，则称其为正规概率矩阵。
▪如
1 1
0 P 1
2
1 1 , 2
P2
2 1
32
▪ 这一性质，为充分利用4一4次 调查结果做市场
现象结构问题的连续性研究提供了理论依据。
8、固定向量概率：
▪ 任一概率向量 u u1 u2 un
2x11 x11 2
x21 x21
2x12 x12 2
x22 x22
1 1
42
x11
1,
x21
1,
则x
1 1
02
4、矩阵的转置
▪ 矩阵的转置：M*N矩阵A的行与列分别互换， 得到M*N矩阵，称为A的转置矩阵 ，
AT 或A
A
a11 a21
a12 a22
,
AT
a11 a12
a21 a22
▪ 5、概率向量：一行向量，如果其中各元 素非负，且总和为1，此行向量称为概率 向量
▪ 2、马尔可夫链可以是连续的或离散的。马尔可夫过程的阶数是 指系统转移至另一状态时，与系统前面的状态的关系。若只与前 一状态有关，称一阶；若和前两状态有关，称为二阶。
▪ 3、马尔可夫方法的研究对象是一个动态系统的“状态”和“状 态转移”。系统是指我们研究的事物。状态是指系统的在某一时 刻的状况，是系统在某一时刻的变量，决定系统在某一时刻的行 为，即状态。常用概率向量表示，称为状态概率向量。系统的状 态概率向量一般表示为：
▪ 将趋近于固定概率向量U组成的方阵U，称 之为稳定概率矩阵。
▪ 例如：
0.5 0.25 0.25
P
0.5
0
0.5
0.25 0.25 0.5
▪ 求稳定概率矩阵U。设固定概率向量为
▪ U (U1,U2,1U1 U2) 根据UP=U解方程求得，
0.5 0.25 0.25
(u1,u2,1 u1 u2 ) 0.5
▪如
u 1 1 2 0 4 4 4
6、概率矩阵：
▪ 若方阵
P pij
▪ 若其各行均为概率向量，则此方
阵称为概率矩阵。如： ▪
0
1
1
2 1
2
4
2
1
3
3
▪ 也称状态转移概率矩阵。性质：
1）A、B均为概率矩阵，则
C=A*B亦为概率矩阵。
▪ 2）A为概率矩阵， An 是概率矩
阵。
1
2 1
▪转移概率矩阵的性质
P ( pij )nn ,
n
(1) pijo , j 1,2, , n;(2) pij 1,i 1,2, , n. j 1
结论：
▪ 1、
一步转移概率与一步转移概率矩阵：
▪ 设系统的状态有N个，系统在时间T（M）时处 于状态I，在下一个时间T（M+1）时转变为状态 J的概率为P（IJ），我们称P（IJ）为一步转移概 率矩阵。将这些P（IJ）依序排列，就构成一个 矩阵称为一步转移概率矩阵，用P表示。
▪ 3、矩阵乘法性质：（AB）C=A（BC） （A+B）C=AC+BC
▪ C（A+B）=CA+CB K（AB）=K（A） B=A（KB）
▪
例题：解题：有矩阵方程：
2 1
12x
1 1
42
▪ X为二阶矩阵
x11 x21
x12 x22
则有
2 1
1 2
x11 x21
x12 x22
1 1
2 4
▪ 则， ▪ 解得：
S (k 1)
S (0) * Pk 1
(S1k
S 1 k 2 2
Snk 1)
P11 P12 P1n
(
S1(0
)
S
(0 2
)
S
n
(
0)
)
P21
P22
P2
n
Pn1
Pn 2
Pnn
▪ 由概率性质得
n
Si k 1
i 1
▪ 马尔可夫链预测模型是利用目前的初始状态概率向
量与转移概率矩阵，预测事物未来的状态。
1
In
1
1
4）三角矩阵A为n阶的上三角矩阵，
a11 a12 a1n
aij
0(i
j),即A
a22
a2n
ann
▪ 同B为n阶的下三角矩阵，bij 0, (i j)
10、状态：将研究对象视为系统，系统研究变量所涉及的多个 因素在不同阶段会有不同结果，称为研究变量的状态。（即概
P (k) 11
P(K )
P (k) 21
P (k) n1
P (k) 12
P (k)
n2
P (k) 1n
P (k) 2n
P (k) nn
n
结论： P (2) ij
Pim Pmj
m 1
▪ 即系统从状态I出发经过一步转移到状态M（M=1， 2，N），然后再从状态M转移到J的概率的总和。 一般对于K步转移概率矩阵有
0
0.5
0.25 0.25 0.5
(u1,u2,1 u1 u2 )
结论：
▪ 解方程求得 解得 0.4 0.2 0.4
u (0.4,0.2,0.4),则u 0.4 0.2 0.4 0.4 0.2 0.4
Pn U
▪ 就市场占有率预测，当转移概率矩阵为正规矩阵 时，最终市场占有率平衡于固定概率向量。
▪ 马尔可夫过程是指时间转移，状态转移的随机过 程。马尔可夫链是马尔可夫过程的一种特殊情况， 即马尔可夫链的时间参数取离散数值，其状态是 有限的，只是可数个状态。把时间和状态作为离 散的马尔可夫过程就是马尔可夫链。