第1章 质点力学 习题

第一章 质点力学 习题

习题1.1：设质点的运动方程为 j t y i t x t r )()()(+=，其中 m t s m t x 2)1()(1

+⋅=- ；

m t s m t y 2)4

1

()(22+⋅=--。（1）试求s t 3=时的速度；（2）作出质点的运动轨迹图。

解：（1）由题意可得速度分量分别为

1

1-⋅==s m dt dx x υ ；t s m dt dy y )2

1(2-⋅==υ

s t 3=时的速度为 j s m i s m )5.1()1(2

1--⋅+⋅=υ

速度 υ

与 x 之间的夹角

3.561

5.1arctan ==θ

m t s m t x 2)1()(1+⋅=-

（2）运动方程

m t s m t y 2)4

1()(2

2+⋅=-- 由运动方程消去参数 t 可得轨迹方程为

/m

x /m

y 0

轨迹图

2 4 6

- 6 - 4 - 2 2

4 6

=t s

2=t s

2-=t s

4-=t s

4=t m 3)m 4

1(21-+-=x x y

习题1.2：如图所示，A 、B 两物体由一长为 l 的刚性细杆相连，A 、B 两物体

可在光滑轨道上滑行。如物体

A 以恒定的速率 υ 向左滑行，当 60=α 时，物体

B 的速率为多少？

解：建立坐标系如上图所示。 物体 A 的速度

物体 B 的速度

AOB 为一直角三角形，刚性细杆的长度 l 为一常量：

两边求导得 即

∵

υ-=dt

dx ，y x =αtan ∴ j B αυυtan =

B υ

沿 y 轴正向，当 60=α 时，υυ73.1=B 。

x

y

o

A

B

l

α

v

i

i t

x i x A

v v v -===d d j

t

y i y B

d d ==v v y +22

2x =l 0d d 2d d 2=+t

y y t x x t x y x t y d d d d -=j

t

x y x j dt dy B

d d -==v

j i r +=21习题1.3：已知一质点的运动方程为 （SI ） ，求： ⑴ t = 1s 和 t = 2s 时位矢； ⑵ t = 1s 到 t = 2s 内位移；

⑶ t = 1s 到 t = 2s 内质点的平均速度； ⑷ t = 1s 和 t = 2s 时质点的速度； ⑸ t = 1s 到 t = 2s 内的平均加速度；

⑹ t = 1s 和 t = 2s 时的加速度；

解：⑴ m ， m 。 ⑵ m 。

⑶ m /s 。

⑷ m /s

m /s

⑸ m /s 2 。

⑹ m /s

2

。

习题1.4：一质点沿 x 轴运动，已知加速度为 t a 4=(SI)。初始条件为：0=t 时，

00=υ，100=x m 。求：运动方程。

解：取质点为研究对象，由加速度定义有 （一维可用标量式）

j t i t r )2(22

-

+=j

i r 242-=j i r r r 321

2-=-=∆j i j i t r v 321

232-

=--=∆∆=j t i dt r d v 22-==j i v 221-=j i v 422

-=j j

t v v t v a 21

2212-=--=∆-=∆∆=j dt v d dt

r d a 22

2

-===t dt

dv

a 4==tdt

dv 4=⇒

由初始条件有： 得：

由速度定义得：

由初始条件得：

即 m 。

由以上可见，习题1.3和习题1.4分别属于质点运动学中的第一类和第二类问题。

习题1.5：质点做平面曲线运动，其位矢、加速度和法向加速度大小分别为和速度为 试说明下式正确的有哪些 ？

⑴ ⑵ ⑶ ⑷

解：因为标量 ≠ 矢量，所以 ⑴ 不对。

由右图可见：

但

又

而 故 ⑵ 不对。

⎰

⎰

=t

v

tdt dv 0

42

2t v =22t dt

dx v ==dt

t dx 22=⇒dt

t dx t

x

⎰

⎰

=0

2

10

210323+=t x ;dt v d a =;22

dt r d a =;22dt

v d a a n =-.r v v a ⋅=,r r ∆≠∆

.

r r ∆=∆

,

22dt

r d a =,2222

dt

r d dt r d ≠ 2

2

v

d dv