2015年高考山东理科数学试题及答案解析
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共 50 分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）【2015年山东，理1】已知集合
，
，则
（）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）【2015年山东，理2】若复数 满足
（A）
（B）
（3）【2015年山东，理3】要得到函数
，其中 是虚数单位，则 （ ）
（C）
（D）
的图象，只需将函数
的图像（ ）
（A）向左平移 个单位（B）向右平移 个单位（C）向左平移 个单位（D）向右平移 个单位
（4）【2015年山东，理4】已知菱形ABCD的边长为 ，
，则
=（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）【2015年山东，理5】不等式
（A）
（B）
的解集是（ ） （C）
（D）
（6）【2015年山东，理6】已知 满足约束条件
若
的最大值为4，则 （ ）
（A）3
（B）2
（C）-2
（D）-3
（7）【2015年山东，理7】在梯形
中，
，
，
绕 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
．将梯形
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布
，从中随机取一件
，其长度误差落在区间
内的概率为（
）（附：若随机变量 服从正态分布
，则
，
）
（A）
（B）
（9）【2015年山东，理9】一条光线从点
所在的直线的斜率为（ ）
（C） 射出，经 轴反射与圆
（D）
相切，则反射光线
（A） 或
（B） 或
（C） 或
（D） 或
（10）【2015年山东，理10】设函数
则满足
的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
第 II 卷（共 100 分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 （11）【2015年山东，理11】观察下列各式：
1 / 13
照此规律，当
时，
．
（12）【2015年山东，理12】若“
”是真命题，则实数 的最小值为
．
（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的 的值为
．
（14）【2015年山东，理14】已知函数
的定义域和值域都是
，则
．
（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系
中，双曲线
的渐近线与抛物线
交于点
，若
的垂心为 的焦点，则 的离心率为
．
三、解答题：本大题共6题，共75分．
（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设
．
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）在锐角
中，角
的对边分别为 ，若
，求
面积．
（17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台
分别为
的中点．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）若
平面
，
，求平面
面 所成角（锐角）的大小．
中， 与平
2 / 13
（18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列 的前 项和为 ，已知
．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足
，求数列 的前 项和 ．
（19）【2015年山东，理19】（本小题满分12分）若 是一个三位正整数，且 的个位数字大于十位数字，十 位数字大于百位数字，则称 为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参 加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增 数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整 除，得1分． （Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”； （Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分 的分布列和数学期望 ．
3 / 13
（20）【2015年山东，理20】（本小题满分13分）平面直角坐标系 中，已知椭圆
的
离心率为 ，左、右焦点分别是
,以 为圆心，以3为半径的圆与以 为圆心，以1为半径的圆相
交，交点在椭圆 上． （Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设椭圆
， 为椭圆 上的任意一点，过点 的直线
交椭圆 于 两
点，射线 交椭圆 于点 ．
（i）求
的值；（ii）求
面积最大值．
（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数 4 / 13
，其中
．
（Ⅰ）讨论函数 极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若
，
成立，求 的取值范围．
5 / 13
2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共 50 分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）【2015年山东，理1】已知集合
，
，则
（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
【解析】
，
，故选C．
（2）【2015年山东，理2】若复数 满足
，其中 是虚数单位，则
（A） 【答案】A
【解析】
（B） ，
（C） ，故选A．
（） （D）
（3）【2015年山东，理3】要得到函数
的图象，只需将函数
的图像（ ）
（A）向左平移 【答案】B 【解析】
个单位（B）向右平移 ，只需将函数
个单位（C）向左平移 个单位（D）向右平移 个单位 的图像向右平移 个单位，故选B．
（4）【2015年山东，理4】已知菱形ABCD的边长为 ，
，则
=（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】D
【解析】由菱形ABCD的边长为 ，
可知
，
，故选D．
（5）【2015年山东，理5】不等式
（A）
（B）
【答案】A 【解析】当
时，
；当 时，
的解集是（ ） （C）
（D）
成立；当
时，
不成立．综上
，故选A．
，解得
，则
（6）【2015年山东，理6】已知 满足约束条件
若
的最大值为4，则 （ ）
（A）3 【答案】B 【解析】由
意；当
时在
（B）2
（C）-2
（D）-3
得 ，即
，借助图形可知：当
，即
时在
，即
时在
时有最大值
时在
时有最大值
，不满足
时有最大值
，满足 ，故选B．
时有最大值0，不符合题
，不满足
；当
；当
，即
（7）【2015年山东，理7】在梯形
中，
，
，
．将梯形
绕 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
6 / 13
【解析】
，故选C．
（8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布
，从中随机取一件
，其长度误差落在区间
内的概率为（
）（附：若随机变量 服从正态分布
，则
，
）
（A） 【答案】D
（B）
（C）
（D）
【解析】
，故选D．
（9）【2015年山东，理9】一条光线从点 所在的直线的斜率为（ ）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共 50 分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）【2015年山东，理1】已知集合
，
，则
（）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）【2015年山东，理2】若复数 满足
（A）
（B）
（3）【2015年山东，理3】要得到函数
，其中 是虚数单位，则 （ ）
（C）
（D）
的图象，只需将函数
的图像（ ）
（A）向左平移 个单位（B）向右平移 个单位（C）向左平移 个单位（D）向右平移 个单位
（4）【2015年山东，理4】已知菱形ABCD的边长为 ，
，则
=（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）【2015年山东，理5】不等式
（A）
（B）
的解集是（ ） （C）
（D）
（6）【2015年山东，理6】已知 满足约束条件
若
的最大值为4，则 （ ）
（A）3
（B）2
（C）-2
（D）-3
（7）【2015年山东，理7】在梯形
中，
，
，
绕 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
．将梯形
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布
，从中随机取一件
，其长度误差落在区间
内的概率为（
）（附：若随机变量 服从正态分布
，则
，
）
（A）
（B）
（9）【2015年山东，理9】一条光线从点
所在的直线的斜率为（ ）
（C） 射出，经 轴反射与圆
（D）
相切，则反射光线
（A） 或
（B） 或
（C） 或
（D） 或
（10）【2015年山东，理10】设函数
则满足
的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
第 II 卷（共 100 分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 （11）【2015年山东，理11】观察下列各式：
1 / 13
照此规律，当
时，
．
（12）【2015年山东，理12】若“
”是真命题，则实数 的最小值为
．
（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的 的值为
．
（14）【2015年山东，理14】已知函数
的定义域和值域都是
，则
．
（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系
中，双曲线
的渐近线与抛物线
交于点
，若
的垂心为 的焦点，则 的离心率为
．
三、解答题：本大题共6题，共75分．
（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设
．
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）在锐角
中，角
的对边分别为 ，若
，求
面积．
（17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台
分别为
的中点．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）若
平面
，
，求平面
面 所成角（锐角）的大小．
中， 与平
2 / 13
（18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列 的前 项和为 ，已知
．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足
，求数列 的前 项和 ．
（19）【2015年山东，理19】（本小题满分12分）若 是一个三位正整数，且 的个位数字大于十位数字，十 位数字大于百位数字，则称 为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参 加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增 数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整 除，得1分． （Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”； （Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分 的分布列和数学期望 ．
3 / 13
（20）【2015年山东，理20】（本小题满分13分）平面直角坐标系 中，已知椭圆
的
离心率为 ，左、右焦点分别是
,以 为圆心，以3为半径的圆与以 为圆心，以1为半径的圆相
交，交点在椭圆 上． （Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设椭圆
， 为椭圆 上的任意一点，过点 的直线
交椭圆 于 两
点，射线 交椭圆 于点 ．
（i）求
的值；（ii）求
面积最大值．
（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数 4 / 13
，其中
．
（Ⅰ）讨论函数 极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若
，
成立，求 的取值范围．
5 / 13
2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共 50 分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）【2015年山东，理1】已知集合
，
，则
（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
【解析】
，
，故选C．
（2）【2015年山东，理2】若复数 满足
，其中 是虚数单位，则
（A） 【答案】A
【解析】
（B） ，
（C） ，故选A．
（） （D）
（3）【2015年山东，理3】要得到函数
的图象，只需将函数
的图像（ ）
（A）向左平移 【答案】B 【解析】
个单位（B）向右平移 ，只需将函数
个单位（C）向左平移 个单位（D）向右平移 个单位 的图像向右平移 个单位，故选B．
（4）【2015年山东，理4】已知菱形ABCD的边长为 ，
，则
=（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】D
【解析】由菱形ABCD的边长为 ，
可知
，
，故选D．
（5）【2015年山东，理5】不等式
（A）
（B）
【答案】A 【解析】当
时，
；当 时，
的解集是（ ） （C）
（D）
成立；当
时，
不成立．综上
，故选A．
，解得
，则
（6）【2015年山东，理6】已知 满足约束条件
若
的最大值为4，则 （ ）
（A）3 【答案】B 【解析】由
意；当
时在
（B）2
（C）-2
（D）-3
得 ，即
，借助图形可知：当
，即
时在
，即
时在
时有最大值
时在
时有最大值
，不满足
时有最大值
，满足 ，故选B．
时有最大值0，不符合题
，不满足
；当
；当
，即
（7）【2015年山东，理7】在梯形
中，
，
，
．将梯形
绕 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
6 / 13
【解析】
，故选C．
（8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布
，从中随机取一件
，其长度误差落在区间
内的概率为（
）（附：若随机变量 服从正态分布
，则
，
）
（A） 【答案】D
（B）
（C）
（D）
【解析】
，故选D．
（9）【2015年山东，理9】一条光线从点 所在的直线的斜率为（ ）