高中数学 正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理

(一)复习指导

1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

(二)基础知识

1. 三角形中的有关公式

(1)内角和定理：三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.

(2)正弦定理：

2sin sin sin a b c R A B C

===(R 为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R

== 2c R =；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.

(3)余弦定理：222222

2cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc +-=+-=等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状. (4)面积公式：111sin ()222a S ah ab C r a b c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）.如ABC ∆中，若C B A B A 22222sin sin cos cos sin =-，判断ABC ∆的形状（答：直角三角形）。

特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A B C π++=这个特殊性：,sin()sin ,sin cos 22

A B C A B C A B C π++=-+==；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。

2、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。

(三)解题方法指导

例1．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，则其最大角为____．

例2．在△ABC 中，有a cos A =b cos B ，判断△ABC 的形状．

例3．在△ABC 中，∠A =60°，面积为310，周长为20，求三条边的长．

例4．在一条河的对岸有两个目标物A ，B ，但不能到达．在岸边选取相距32里的C ，D 两点，并测得∠ACB =75°，∠BCD =45°，∠ADC =30°，∠ADB =45°，且A ，B ，C ，D 在同一个平面内，求A ，B 之间的距离．

例题解析

例1解：因为三条边中c 边最大，则角C 最大，根据余弦定理，21cos -=C ，所以⋅=3

π2C 例2解：由正弦定理，a =2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入有2R sin A cos A =2R sin B cos B ，即sin2A =sin2B ，所以2A =2B 或2A =π－2B ．即A =B 或2

π=+B A ，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 例3解：因为310sin 2

1==∆A bc S ABC ，所以bc =40，又a ＋b ＋c =20，a 2=b 2＋c 2－2bc cos A ，解得三条边为5，7，8．

例4分析：在很多实际测量问题中，都离不开解三角形，根据相关条件画一张比较清晰的直观图，可以帮我们找到解题的思路．

要求AB ，可以把AB 放到一个三角形中，看看这个三角形中还有哪些条件，然后可以根据正余弦定理求值． 解：中△ACD 中，∠ACD =120°，∠ADC =30°

所以∠DAC =30°，所以｜AC ｜=｜CD ｜=23，

在△BCD 中，∠BCD =45°，∠CDB ＝75°，

所以∠CBD =60°，由正弦定理,60sin ||75sin ||,o

o CD BC = 所以,2660sin 75sin ||||o

o

+==CD BC 在△ABC 中，∠BCA =75°，

根据余弦定理，｜AB ｜2=｜AC ｜2＋｜BC ｜2

－2｜AC ｜·｜BC ｜·cos75°，求得

｜AB ｜2=20，⋅=52||AB