高考考点知识点专题总结复习：一元二次方程

一元二次方程
基础知识
1 、一元二次方程
方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是 2 的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如的一般形式，我们把这样的方程叫一
元二次方程。

其中分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项， a 、 b 分别是二次项和一次项的系数。

如：满足一般形式，分别是二次项、一次项和常数项， 2 ，－ 4 分别是二次项和一次项系数。

注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。

2 . 一元二次方程求根方法
（ 1 ）直接开平方法
形如的方程都可以用开平方的方法写成，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。

（ 2 ）配方法
通过配方将原方程转化为的方程，再用直接开平方法求解。

配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。

配方应注意：当二次项系数为 1 时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为 1 ，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为 1 。

（ 3 ）公式法
求根公式：方程的求根公式
步骤：
1 ）把方程整理为一般形式：，确定 a 、 b 、 c 。

2 ）计算式子的值。

3 ）当时，把 a 、 b 和的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。

（ 4 ）因式分解法
把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。

3 、一元二次方程根的判别式的定义
运用配方法解一元二次方程过程中得到，显然只有当
时，才能直接开平方得：．
也就是说，一元二次方程只有当系数、、满足条件时才有实数根．这里叫做一元二次方程根的判别式．
4 、判别式与根的关系
在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定．
设一元二次方程为，其根的判别式为：则
① 方程有两个不相等的实数根．
② 方程有两个相等的实数根．
③ 方程没有实数根．
若，，为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；
若为完全平方式，同时是的整数倍，则方程的根为整数根．
说明：
⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有
两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，．
⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式判定方程的根的情况（有两个
不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点．
5 、一元二次方程的根的判别式的应用
一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：
⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；
⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；
⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；
（ 4 ）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．
6 、韦达定理
如果的两根是，，则，．（隐含的条件：）
特别地，当一元二次方程的二次项系数为 1 时，设，是方程的两个根，则，．
7 、韦达定理的逆定理
以两个数，为根的一元二次方程（二次项系数为 1 ）是
．
一般地，如果有两个数，满足，，那么，必定是
的两个根．
8 、韦达定理与根的符号关系
在的条件下，我们有如下结论：
⑴当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值．
⑵当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若
，则此方程的两根均为负根．
更一般的结论是：
若，是的两根（其中），且为实数，当
时，一般地：
① ，
② 且，
③ 且，
特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件．
其他有用结论：
⑴若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．
⑵若，则方程必有实数根．
⑶若，方程不一定有实数根．
⑷若，则必有一根．
⑸若，则必有一根．
9 、韦达定理的应用
⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；
⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；
⑶已知方程的两根，求作方程；
⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；
⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；
⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱
10 、整数根问题
对于一元二次方程的实根情况，可以用判别式来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．
方程有整数根的条件：
如果一元二次方程有整数根，那么必然同时满足以下条件：
⑴为完全平方数；
⑵或，其中为整数．
以上两个条件必须同时满足，缺一不可．
另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根 ( 其中、、均为有理数 )
11 、一元二次方程的应用
1 ．求代数式的值；
2. 可化为一元二次方程的分式方程。

步骤：
1 ）去分母，化分式方程为整式方程（一元二次方程）。

2 ）解一元二次方程。

3 ）检验
3. 列方程解应用题
步骤：审、设、列、解、验、答
●夯实基础
例 1 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。

（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
（ 4 ）
（ 5 ）
例 2 已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围．例 3 若一元二次方程的常数项为零，则的值为_________ ．
●能力提升
例 4 关于 x 的方程是什么方程？它的各项系数分别是什么？例 5 已知方程是关于的一元二次方程，求、的值．
例 6 若方程（ m-1 ） x 2 + x=1 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是（）
A ．m≠1
B ．m≥0
C ．m≥0 且m≠1
D ． m 为任何实数
●培优训练
例 7 为何值时，关于的方程是一元二次方程．
例 8 已知方程是关于的一元二次方程，求、的值．
例 9 关于 x 的方程（ m+3 ） x m2-7 + （ m-3 ） x+2=0 是一元二次方程，则 m 的值为
解：∵该方程为一元二次方程，
∴m 2 -7=2 ，
解得 m=±3 ；
当 m=-3 时 m+3=0 ，则方程的二次项系数是 0 ，不符合题意；
所以 m=3 ．
例 10 （2000• 兰州）关于 x 的方程（ m 2 -m-2 ） x 2 +mx+1=0 是一元二次方程的条件是（）
A ．m≠-1
B ．m≠2
C ．m≠-1 或m≠2
D ．m≠-1 且m≠2
●课后练习
1 、为何值时，关于的方程是一元二次方程．
2 、已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围．
3 、已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围．
4 、若是关于的一元二次方程，求、的值．
5 、若一元二次方程
的常数项为零，则的值为 ________
●夯实基础
例 1 、（2012• 鄂尔多斯）若 a 是方程 2x 2 -x-3=0 的一个解，则 6a 2 -3a 的值为（）
A ． 3
B ． -3
C ． 9
D ． -9
解：若 a 是方程 2x 2 -x-3=0 的一个根，则有
2a 2 -a-3=0 ，
变形得， 2a 2 -a=3 ，
故 6a 2 -3a=3×3=9 ．故选 C ．
例 2 （2011 • 哈尔滨）若 x=2 是关于 x 的一元二次方程 x 2 -mx+8=0 的一个解．则 m 的值是（）
A ． 6
B ． 5
C ． 2
D ． -6
解：把 x=2 代入方程得： 4-2m+8=0 ，
解得 m=6 ．
故选 A
例 3 用直接开平方法解下列方程
（ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）
(4) (5) (6)
例 4 先配方，再开平方解下列方程
（ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）
(4) (5) (6)
例 5 用公式法解下列方程
（ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）
(4) (5) (6)
例 6 用因式分解法解下列方程
（ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）
(4) ． (5) (6)
●能力提升
例 7 （2011• 乌鲁木齐）关于 x 的一元二次方程（ a-1 ） x 2 + x+|a|-1 =0 的一个根是 0 ，则实数 a 的值为（ A ）
A ． -1
B ． 0
C ． 1
D ． -1 或 1
例 8 关于 x 的一元二次方程（ a-1 ） x 2 + ax + a 2 - 1=0 的一个根是 0 ，则 a 值为（ C ）
A ． 1
B ． 0
C ． -1
D ． ±1
例 9 方程 x 2 +ax+b =0 与 x 2 +cx+d=0 （a≠c ）有相同的根α ，则α= ______________
例 10 已知 a 、β 是方程 x 2 -2x-4=0 的两个实数根，则a 3 +8β+6的值为（ D ）
A ． -1
B ． 2
C ． 22
D ． 30
例 11 关于 x 的一元二次方程（ m-2 ） x m^-2 +2mx-1=0 的根是 _____ __________
例 12 解方程：
例 13 解方程
●培优训练
例 14 （新思维）阅读下面的例题：
解方程：
解：（ 1 ）当时，原方程化为，
解得（不合题意，舍去），
（ 2 ）当时，原方程化为．
解得（不合题意，舍去），．
∴原方程的根是
请参照，则方程的根是 _____________ ．
例 15 解方程：
例 16 （新思维）设 x 1 、 x 2 是方程的两个实数根，求代数式的值．
例 17 （新思维）先请阅读材料：
为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为，解得，．
当时，，得；当时，，得；
故原方程的解为，，，．
在解方程的过程中，我们将用 y 替换，先解出关于 y 的方程，达到了降低方程次数的目的，这种方法叫做“换元法”，体现了转化的数学思想．
请你根据以上的阅读，解下列方程：
（ 1 ）；
（ 2 ）．
例 18 已知关于 x 的方程的一个解与方程的解相同．
（ 1 ）求 k 的值；
（ 2 ）求方程的另一个解．
例 19 （新思维）若 x 、 y 是实数，且确定 m 的最小值．
例 20 （新思维）已知 x 、 y 、 z 为实数，且满足，则的最小值为 ______________ ．
课后练习
一、填空：
1. 一元二次方程的一般形式是 ______________________ 。

2. 一元二次方程的一般形式是 _________________________________ ，
a=___________ ， b=___________ ， c=___________ 。

3. 关于 x 的方程是一元二次方程，则 m 的取值范围是
___________ 。

4. 关于 x 的方程是一元二次方程时， m 的取值范围是 ___________ ，是一元一次方程时， m 的取值范围是 ___________ 。

2、下列方程中，是一元二次方程的为（）
A ． x 2 +3x=0
B ． 2x+y=3
C
D ． x （ x 2 +2 ） =0
三、用两种方法解下列方程：
1 .
2 .
3 .
4. 5. 6.
7. 8.
9. 10.
4、解关于的方程：．
五、解关于的方程：
六、（新思维）△ ABC 中，三边
试判
定△ ABC 的形状
7、（新思维）设 x 、 y 为实数，求代数式的最小值．
●夯实基础
例 1 不解方程，判断下列方程是否有实根，若有，指出相等还是不等。

（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）（ x 是未知数）
例 2 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
例 3 已知，，为正数，若二次方程有两个实数根，那么方程的根的情况是（）
A ．有两个不相等的正实数根
B ．有两个异号的实数根
C ．有两个不相等的负实数根
D ．不一定有实数根
例 4 若关于 x 的方程有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围。

例 5 求证：当 a 和 c 的符号相反时，一元二次方程一定有两个不等实根。

例 6 已知、、是的三边的长，且方程有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．
●能力提高
例 7 关于的方程有实数根，则整数的最大值是．
例 8 为给定的有理数，为何值时，方程的根为有理数？
例 9 为何值时，方程有实数根．
例 10 已知关于 x 的方程在下列情况下，分别求 m 的非负整数值。

（ 1 ）方程只有一个实数根
（ 2 ）方程有两个相等的实数根
（ 3 ）方程有两个不相等的实数根
例 11 （新思维）已知一元二次方程有两个不相等的实数根．则 k 的最大整数值为 ____________ ．
例 12 （新思维）如果一直角三角形的三边长分别为 a 、 b 、 c ，∠ B =90 °，那么，关于 x 的方程的根的情况是（）．
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法确定
●培优训练
例 13 （新思维）已知关于 x 的方程
（ 1 ）求证：无论 k 取任何实数值，方程总有实数根；
（ 2 ）若等腰三角形 ABC 的一边长 a =1 ，另两边长 b 、 c 恰好是这个方程的两个根，求△ ABC 的周长．
例 14 （新思维）已知函数
（ 1 ）若这两个函数的图象都经过点（ 1 ， a ），求 a 和 k 的值；
（ 2 ）当 k 取何值时，这两个函数的图象总有公共点？
例 15 （新思维）若 x 0 是一元二次方程的根，则判别式与平方式
的大小关系是（）．
A． B ． C ． D ．不能确定
解：把 x 0 代入方程 ax 2 +bx+c=0 中得 ax 0 2 +bx 0 =-c ，
∵（ 2ax 0 +b ） 2 =4a 2 x 0 2 +4abx 0 +b 2 ，
∴（ 2ax 0 +b ） 2 =4a （ ax 0 2 +bx 0 ） +b 2 =-4ac+b 2 =△，
∴M=△．
故选 B
例 16 （新思维）关于 x 的方程仅有两个不同的实根，则实数 a 的取值范围是（）．
A ．
B ．
C ．
D ．
●课后练习
1 、一元二次方程的根的情况为（）
Ａ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根
Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根
2 、若关于 z 的一元二次方程没有实数根，则实数 m 的取值范围是（）
A ． m<l
B ． m>-1
C ． m>l
D ． m<-1
3 、关于 x 的方程的两根同为负数，则（）
A ．且
B ．且
C ．且
D ．且
4 、不解方程，判断下列各方程根的情况
（ 1 ） . （ 2 ） . （ 3 ） .
5 、 k 为何值时，方程的两个根相等？
6 、 k 为何值时，方程有两个不相等的实根？
7 、已知，，判断关于的方程的根的情况，并给出必要的说明．
8 、已知关于的方程有两个不相等的实数根，化简：
9 、已知关于的方程有两个不相等的实数根．
⑴求的取值范围；
⑵若为整数，且，是上述方程的一个根，求代数式的值．
10 、在等腰中，、、的对边分别为、、，已知，
和是关于的方程的两个实数根，求的周长．
11 、如果关于的方程（其中，，均为正数）有两个相等的实数根．证明：以，，为长的线段能够组成一个三角形，并指出三角形的特征．
12 、 k 为何值时，方程没有实根？
●夯实基础
例 1 解方程
例 2 一个车间加工 300 个零件，加工完 80 个以后，改进了操作方法，每天能多加工 15 个，一共用了 6 天完成了任务，求改进操作方法后每天加工的零件的个数。

例 3 某商场运进 120 台空调准备销售，由于开展了促销活动，每天比原计划多售出 4 台，结果提前 5 天完成销售任务，原计划每天销售多少台？
例 4 甲、乙两队学生绿化校园，如果两队合作， 6 天可以完成，如果单独工作，甲队比乙队少用 5 天，问两队单独工作各需多少天完成？
例 5 如图，在长为 10cm ，宽为 8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形 ( 图中阴影部分 ) 面积是原矩形面积的 80 ％，求所截去小正方形的边长．
例 6 某汽车销售公司 2005 年盈利 1500 万元，到 2007 年盈利 2160 万元，且从2005 年到 2007 年，每年盈利的年增长率相同．
(1) 该公司 2006 年盈利多少万元 ?
(2) 若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计 2008 年盈利多少万元 ?
例 7 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2 ∶ 1 ．在温室内，沿前侧内墙保留 3m 宽的空地，其他三侧内墙各保留 1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少米时，蔬菜种植区域的面积是 288m 2 ?
●能力提高
例 8 （新思维）如图，在宽为 20m ，长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为 540m 2 ，求道路的宽（部分参考数据： 32 2 =1024 ， 52 2 =2704 ， 48 2 =2304 ）．
例 9 （新思维）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克．现该商场要保证每天盈利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
例 10 （新思维）如图，某农户打算建造一个花圃，种植两种不同的花卉供应城镇市场，这时需要用长为 24 米的篱笆，靠着一面墙（墙的最大可用长度 a 是 10 米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽 AB 为 x m ，面积为 S m 2 ．
（ 1 ）求 x 与 S 的函数关系式；
（ 2 ）若要围成面积为 45m 2 的花圃， AB 的长是多少米？
（ 3 ）花圃的面积能达到 48m 2 吗？如果能，请求出此时 AB 的长；如果不能，请说明理由．
例 11 某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入．因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数．在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系．在这样的情况下，如果确保每周 4 万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价值应是多少元？
●培优训练
二、列方程解应用题
1. 从一块长为 80cm ，宽为 60cm 的铁片中间截去一个长方形，使剩下的长方形四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度？
2. 某车间一月份生产零件 7000 个，三月份生产零件 8470 个，该车间这两个月生产零件平均每月增长的百分率是多少？
●夯实基础
例 1 若方程的一个根为，则方程的另一根为 _______ ， c =______ ．
例 2 已知方程的两根为 x 1 、 x 2 ，则_________
例 3 如果是一元二次方程的两根，那么，
，．这就是著名的韦达定理．现在我们利用韦达定理解决问题：
已知 m 与 n 是方程的两根。

（ 1 ）填空：
（ 2 ）计算的值．
例 4 （2011 • 厦门）已知关于 x 的方程有两个不相等的实数根．（ 1 ）求 n 的取值范围；
（ 2 ）若 n ＜ 5 ，且方程的两个实数根都是整数，求 n 的值．
例 5 （2011 • 孝感）已知关于 x 的方程有两个实数根．
（ 1 ）求 k 的取值范围；
（ 2 ）若，求 k 的值．
例 6 （2011 • 十堰）请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍．
解：设所求方程的根为 y ，则 y=2x 所以．
把代入已知方程，得
化简，得
故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（ 1 ）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为：。

（ 2 ）己知关于 x 的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的倒数．
例 7 （2011 • 南充）关于的一元二次方程的实数解是和．（ 1 ）求 k 的取值范围；
（ 2 ）如果 且 k 为整数，求 k 的值 ．
例 8 （ 2010 • 淄博）已知关于 x 的方程 ．
（ 1 ）若这个方程有实数根，求 k 的取值范围 ； （ 2 ）若这个方程有一个根为 1 ， 求 k 的值； （ 3 ）若以方程 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰
在反比例函数 的图象上，求满足条件的 m 的最小值．
● 能力提升
例 1 已知：关于 x 的一元二次方程 kx 2 + （ 2k － 3)x+k － 3 = 0 有两个不相等实数根（ k<0 ）．
（ ） 用含 k 的式子表示方程的两实数根； （ ）设方程的两实数根分别是 ，
（其中
），若一次函数 y=(3k －
1)x+b 与反比例函数 y = 的图像都经过点（ x 1 ， kx 2 ），求一次函数与反比例
函数的解析式 ．
例 2 （昌平） 已知：关于 的一元二次方程 ．
（ 1 ）若原方程有实数根，求 的取值范围； （ 2 ）设原方程的两个实数根分别为
， ．
①当 取哪些整数时，
， 均为整数；
② 利用图象，估算关于 的方程
的解．
例 3 （顺义） 已知：关于 的一元二次方程
．
y K
O
1
234-1-2-3-4
1234-1-2-3-4
（ 1 ）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（ 2 ）若方程的两个实数根满足，求的值．
例 4 海淀 09 一模）．已知 : 关于 x 的一元一次方程kx = x +2 ①的根为正实数，二次函数 y = ax 2 - bx + kc
（c ≠ 0 ）的图象与 x 轴一个交点的横坐标为 1.
（ 1 ）若方程①的根为正整数，求整数 k 的值；
（ 2 ）求代数式的值；
（ 3 ）求证 : 关于 x 的一元二次方程 ax 2 - bx + c =0 ②必有两个不相等的实数根 . 例 5 知关于 x 的一元二次方程，.
（ 1 ）若方程有实数根，试确定 a ， b 之间的大小关系；
（ 2 ）若 a ∶ b =2∶，且，求 a ， b 的值；
解： (1) ∵关于 x 的一元二次方程有实数根 ,
∴ Δ = 有 a 2 - b 2 ≥0, （ a+b ）（ a-b ）≥ 0.
∵,
∴ a+b ＞ 0, a-b ≥ 0.
∴. ………………………… 2 分
（ 2 ）∵ a ∶ b = 2 ∶，
∴设.
解关于 x 的一元二次方程，
得.
当时，由得.
当时，由得（不合题意，舍去） .
∴. ………………………… 5 分
●培优训练
例 1 设关于 x 的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数 k 的值。

例 2 、已知关于 x 的方程 a 2 x 2 - (3a 2 - 8a)x ＋ 2a 2 - 13a ＋ 15=0( 其中 a 是非负整数 ) 至少有一个整数根，求 a 的值．
例 3 、设 m 是不为零的整数，关于 x 的二次方程 mx 2 - (m - 1)x ＋ 1 ＝ 0 有有理根，求 m 的值
例 4 、关于 x 的方程 ax 2 +2(a - 3)x+(a - 2)=0 至少有一个整数解，且 a 是整数，求 a 的值．
例 5 、已知关于 x 的方程 x 2 ＋ (a - 6)x ＋ a=0 的两根都是整数，求 a 的值．
例 6 、求所有有理数 r ，使得方程 rx 2 +(r+1)x ＋ (r - 1)=0 的所有根是整数．
例 7 、已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ＋ ( m ＋ 3) x ＋ m ＋ 1 ＝ 0 ．
（ 1 ）求证：无论 m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（ 2 ）当 m 为何整数时，原方程的根也是整数．
解： (1) 证明：Δ=
=
=
= ．
∵≥0 ，
∴＞ 0 ．
∴无论 m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根. …………2 分
（ 2 ）解关于 x 的一元二次方程 x 2 ＋ ( m ＋ 3) x ＋ m ＋ 1 ＝ 0 ，
得. ………………3 分
要使原方程的根是整数，必须使得是完全平方数 .
设，
则.
∵+ 和的奇偶性相同，
可得或
解得或. ………………5 分
将 m = － 1 代入，得
符合题意. ………………6 分
∴当 m = － 1 时，原方程的根是整数. ……………7 分
例 8 知关于 x 的方程．
（ 1 ）若方程有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围；
（ 2 ）当方程有两个相等的实数根时，求关于 y 的方程的整数根（为正整数）．
解：（ 1 ）△ =
=
= ……………………………………………………………… 1 分
∵方程有两个不相等的实数根，
∴即
∴的取值范围是且．…………………………………… 3 分
（ 2 ）当方程有两个相等的实数根时，
△ = = ．
∴．………………………………………………………………… 4 分
∴关于 y 的方程为．
∴
．
由 a 为正整数，当是完全平方数时，方程才有可能有整数根．设（其中 m 为整数），（、均为整数），∴．即．
不妨设两式相加，得．
∵与的奇偶性相同，
∴ 32 可分解为，，，，
∴或或或．
∴或或（不合题意，舍去）或．
当时，方程的两根为，即，．…… 5 分当时，方程的两根为，即，．…… 6 分
当时，方程的两根为，即，．………… 7 分例 9 （ 011 西城二模）阅读下列材料：若关于 x 的一元二次方程的两个实数根分别为 x 1 ， x 2 ，则，．
解决下列问题：
已知： a ， b ， c 均为非零实数，且 a ＞ b ＞ c ，关于 x 的一元二次方程有两个实数根，其中一根为 2 ．
（ 1 ）填空： 0 ， a 0 ， c 0 ；（填“＞”，“＜”或“＝”）
（ 2 ）利用阅读材料中的结论直接写出方程的另一个实数根（用含a ， c 的代数式表示）；
（ 3 ）若实数 m 使代数式的值小于 0 ，问：当 x = 时，代数式的值是否为正数？写出你的结论并说明理由．
解：（ 1 ）＝，＞，＜．…………………………………………………………………… 3 分
（ 2 ）．…………………………………………………………………………… 4 分
（ 3 ）答：当 x = 时，代数式的值是正数．理由如下：
设抛物线（a ≠ 0 ），则由题意可知，它经过 A ， B
两点．∵ a ＞ 0 ， c ＜ 0 ，
∴抛物线开口向上，且＜ 0 ＜ 2 ，即点 A 在点 B 左侧．………………………………………………………………………… 5 分
设点 M 的坐标为，点 N 的坐标为．
∵代数式的值小于 0 ，
∴点 M 在抛物线上，且点 M 的纵坐标为负数．
∴点 M 在 x 轴下方的抛物线上．（如图 5 ）
∴，即．
∴，即．
以下判断与的大小关系：
∵＝ 0 ， a ＞ b ， a ＞ 0 ，
∴．
∴．
∴．………………………………………………………… 6 分
∵ B ， N 两点都在抛物线的对称轴的右侧， y 随 x 的增大而增大，
∴，即 y >0.
∴当 x = 时，代数式的值是正数．……………………… 7 分
课后练习
1 、若 x 1 、 x
2 是方程的两个实数根，则的值是
____________ ．
2 、已知 x 1 、 x 2 是方程的两根，那么的值是（）．
A ． 1
B ． 5
C ． 7
D ．
3 、已知关于 x 的一元二次方程．
（ 1 ）当 m 为何值时，这个方程有两个相等的实数根；
（ 2 ）如果这个方程的两个实数根 x 1 、 x 2 满足，求 m 的值．
4 、（ 2011 延庆一模）已知：关于的一元二次方程
（ 1 ）求证：方程有两个实数根；
（ 2 ）设，且方程的两个实数根分别为（其中），若是关于的函数，且＝，求这个函数的解析式；
（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，利用函数图象求关于的方程的解．
5 、已知关于的方程的两根都是整数，求的值．
6 、（2010 • 中山）已知一元二次方程．
（ 1 ）若方程有两个实数根，求 m 的范围；
（ 2 ）若方程的两个实数根为，且，求 m 的值．
7 、（2010 • 孝感）关于 x 的一元二次方程有两实数根，（ 1 ）求 p 的取值范围；
（ 2 ）若，求的值．
8 、（ 2011 海淀二模）已知关于 x 的方程，其中。

（ 1 ）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（ 2 ）设方程的两个实数根分别为，，其中，若，求 y 与 m 的函数关系式；
（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式成立的
的取值范围。