王淑华固体物理答案第二章

b6 A6 N 3 εσ6
2b6 U 4b 12 0 5 3 V V0 V V
可得
2b12 V b 6
12
A12 N εσ A N 3 εσ6 6
5
12

12
A12 A 6
12
Nσ 3
1 zo z j e 2 N zo z j N N U zo z j 2R j α 2R j 2 j r α oj j j
马德隆常数
1 1 1 1 2 1 2ln2 j αj 2 3 4
6 σ 12 σ 解： （1）由 U R 2Nε A12 A6 R R
（4）抗张强度。
得
U R
可知
R0
σ 12 σ6 2Nε 12A12 13 6A6 7 0 R0 R0
（3）体积弹性模量
2U K V0 V 2
V0
1 9NβN0
5 2 2U 4ε A6 R 2 σ 3 A3 2 R0 12
（4） 抗张强度公式为
U U R pm V Vm R Rm V Rm R 1 3 2 V N β R V 3N β R R V 3N β R 2
n 1α2e K 2e 4 18R 0 2e
2
4
n 3 n 1
K e
2.5 有一晶体在平衡时的体积为 V0 ，原子间总的互作用能为
α β U 0 。若原子间互作用能由式 ur n m 表述，试证明晶 r r mn 。 体的体积弹性模量为 K U 0 9V 0
αe 2 B U R N R Rn
试问当离子电荷加大1倍时，平衡离子间距、互作用势能和体 积弹性模量将受何影响？ 解： 按题给
αe 2 B U R N R Rn
由平衡条件
αe 2 nB U n 1 0 N 2 R0 R R0 R0
第二章 晶体中原子的结合
2.1 由N个原子（离子）所组成的晶体的体积V可写为
N Nv Nβ R
3。式中，
v为每个原子（离子）平均所占据的体积；R为粒子间的最
短距离；是和结构有关的常数。试求下列各种结构的值：
(1).简单立方点阵；
(2).面心立方点阵； (3).体心立方点阵； (4).金刚石结构； (5).氯化钠型结构。
则
2 6.02 10 1.64 1.6 2 10 E 2.34 1010
23

19 2

9 109 1 1 2 5.4
227.47 10 6 1 227.47 10 6 6 1 0.815 3.16 10 2.34 10 10 5.4 2.34 10 10
U r
得
Baidu Nhomakorabea
r0
N 2
αe 2 nβ n 1 0 2 4π 0 r0 r0
（3）
αe2 nβ n 4π 0 r0 r0
将（1）、（3）两式代入（2）式
可得
1 nβ c exp r0 ρ n r0 r0 ρ
n 1 r0 ρ
r0 n ρ
于是
nn 1β m n r0 1 mm 1α
把（1）式代入，即得
nn 1β nβ 1 mm 1α mα
1
n1 1, n m m1 这个结果表明，排斥力是短程力，与吸引力相比较，它随原 子间的距离的变化更陡峭。
所以
2.4 有一离子晶体，其总互作用势能表示为
3 0
12
所以
σ 12 N 4 σ6 N 2 U V 2Nε A12 A6 4 2 4V 2V
1 b12 b6 5 12 1 3 6 1 A12 N εσ A6 N εσ 4 2 4 2 2 V V V V b12
可知
1 A12 N 5 εσ 12 2
mn U 0 9V0
由于 U 0 0 ， 因此 U U0 ， 于是 K U 0
mn 9V0
2.6 已知有N个离子组成的NaCl晶体，其结合能为
N αe 2 β U r n 2 40 r r
n 今若排斥项 β r 由 cexp r ρ 来代替，且当晶体处于平衡
由平衡条件
dU R 0 dR R0
得
N m α Am n β An n 1 0 m 1 2 R0 R0
由（1）、（2）两式可解得
(2)
2U0 αAm nR0m N m n 2U0 βAn mR0n N m n
利用体积弹性模量公式
ur 0 r r0
且
2 ur r 0 r0
因为
α β ur m n r r
α β ur m m 1 n n 1 0 r0 r0 r r0
解之有
n β r0 m α
U r
得
r0
N 2
αe 2 c exp r0 ρ 0 2 4π 0 r0 ρ
（2）
αe 2 c exp r0 ρ 2 4π0 r0 ρ
N αe 2 β U r n 2 40 r r
又
2.8 已知由N个惰性气体原子结合成的具有面心立方结构的晶
体，其互作用能可表示为
6 σ 12 σ U R 2Nε A12 A6 R R 式中R为最近邻原子间的距离， ε,σ, A6 , A12 为常数，试求
（1）平衡时原子间的最短距离； （2）平衡时晶体体积； （3）平衡时体积弹性模量；
于是得
V β nR 3
(2)
R为离子间的最短距离。题给的各种晶格均为立方格子，如令
其晶格常数为a，则有 V a3 。可由式(2)直接求出各种格子的
值。所得结果列表如下： 晶格(a) 晶包体积 晶胞中包含粒 离子间最 结构常 （ 短距离 数（ β） V ） 子数（n）
简单立方 面心立方 体心立方
1 1 n
（2）
由（1）、（2）两式可知，当离子带电量加倍时，则有
41 1 n R 0 e
4N α e 2 1 n n1 U 2e U e 1 4 R0 2e n
体积弹性模量可按下式求出
n 1αe 2 K e 4 18R 0 e
R02 K 9V0
得
2U R 2 R0
1 N mm 1αAm nn 1βAn K m 9V0 2 R0 R0n 1 N m m 1 2U0 nR0m nn 1 2U0 mR0n m n 9V0 2 R0 N m n R0 N m n
得到离子平衡间距作为离子带电状态的函数
nB R0 e 2 αe
1 n1
（1）
从而晶体的内能也作为离子带电状态的函数
N α e2 U R0 U e R0
nB R 0 2e α2e2
1 n 1
时，这两者对互作用势能的贡献相同，试求出n与 ρ 的关系。 解：晶体平衡时，原子间最近邻距离一定为 r0 （ r0 不因求解时排斥势选择不同而不同） 已知
β r0n cexp r0 ρ
（1）
N 由 U r 2
αe 2 cexp r ρ 4π ε0 r
即
2.7 立方ZnS的晶格常数a=5.41A，试计算其结合能 Eb J mol 。
Nμ q 2 1 解： 已知公式 Eb 1 和 μ 1.64 ， 8π ε0 R0 n
1molZnS N 2 6.02 1023 个 mol ， n 5.4 ，
O 1 3 9 2 2 9 10 Nm c ， R0 a 2.34 A 4 4π ε0
a3
1 4 2
a
2 a 2
1 0.71 0.77 1.54 1
a
3
a3
金刚石结构 氯化钠结构 8
a3 a3
8
1 a 2
3 a 2 3 a 4
2.2证明有两种离子组成的、间距为 R0 的一维晶格的马德隆常
再令
1 1 Am m , An n j a j a j j
N αAm βAn U m n 2 R R
得到
平衡时R R0 ，则由已知条件 U R0 U0 ，得
N αA m βAn m n U0 2 R0 R0
表述。 2.3 设两原子间的互作用能可由 ur n m
r r
式中第一项为吸引能，第二项为排斥能； α, β 均为正的常 数。证明，要使这两原子系统处于平衡状态，必须m>n。 证明：相互作用着的两原子系统要处于稳定平衡状态，相应 于平衡距离 r0 处的能量应为能量的极小值， 即当 r r0 时，
解：题给
N Nv Nβ R3
(1)
式中，V为晶体体积，N为晶体包含的原子数，v为每个原子平 均占据的体积。若以 N 表示晶体包含的晶胞数， V 表示晶体 中每个晶胞的体积，n表示晶胞中所含的粒子数，则(1)式完全
等效于
3 V N V N nv N nβ R
1 n m
（1）
因而
α β α m ur0 m n m 1 r r0 r0 n
其次，对应于 r0 处能量取极小值，应有
2 ur m m 1α nn 1β 0 m2 n 2 r 2 r0 r0 r0
A12 6 R 2 σ A6
6 0
A12 R0 2 σ A6
1 6
（2）对于面心立方，N个原子构成晶体体积 3 R03 a3 1 V0 N N 2 R0 N 4 4 2


可得
R 2V N
3
由（1）中结果知
R 1 3 2A12 3 A12 V0 N N σ Nσ A6 A 2 2 6
数 μ 2ln2 。
证明：
C
B
A
O
A
B
C
选取负离子O为参考离子，相邻两离子间的距离用R表示。 第j个离子与参考离子的距离可表示为 roj α j R 。 对于参考 离子O，它与其它离子的互作用势能为
2 z z e o j u0 j r oj
设晶体共含有N个原子，则总能量为 证明：
1 U R urij 2 i j
由于晶体表面层的原子的数目与晶体内原子数目相比少得多， 因此可忽略它们之间的差异， 于是上式简化为
N U R urij 2 j
设最近临原子间的距离为R，则有
rij a j R