蒙特卡罗算法
蒙特卡洛算法仓位百分比
蒙特卡洛算法仓位百分比
蒙特卡洛算法是一种基于概率统计的算法，用于模拟随机现象和风险决策。
在金融投资中，蒙特卡洛算法可以用来模拟投资组合的收益和风险，并根据投资者的风险偏好确定仓位百分比。
具体来说，蒙特卡洛算法可以通过随机生成投资组合的收益率和波动率，以及预设的投资期限、风险偏好等参数，来模拟投资组合在未来一段时间内可能的回报情况。
通过多次模拟，可以得到投资组合在不同市场情况下的预期收益和风险。
根据模拟结果，可以根据投资者的风险偏好来确定仓位百分比。
通常，投资者风险偏好越高，可以承担的风险越大，仓位百分比会更高；相反，风险偏好越低，仓位百分比会更低。
蒙特卡洛算法只是一种模拟方法，结果具有一定的不确定性和局限性。
投资者在做出投资决策时，应该综合考虑蒙特卡洛模拟结果以及其他因素，如市场行情、个人财务状况等，做出合适的仓位分配决策。
同时，蒙特卡洛算法可以作为辅助工具，而不是唯一的决策依据。
蒙特卡洛算法
蒙特卡洛算法1. 蒙特卡洛⽅法的基本思想蒙特卡罗⽅法⼜叫统计模拟⽅法，它使⽤随机数（或伪随机数）来解决计算的问题，是⼀类重要的数值计算⽅法。
该⽅法的名字来源于世界著名的赌城蒙特卡罗，⽽蒙特卡罗⽅法正是以概率为基础的⽅法。
⼀个简单的例⼦可以解释蒙特卡罗⽅法，假设我们需要计算⼀个不规则图形的⾯积，那么图形的不规则程度和分析性计算（⽐如积分）的复杂程度是成正⽐的。
⽽采⽤蒙特卡罗⽅法是怎么计算的呢？⾸先你把图形放到⼀个已知⾯积的⽅框内，然后假想你有⼀些⾖⼦，把⾖⼦均匀地朝这个⽅框内撒，散好后数这个图形之中有多少颗⾖⼦，再根据图形内外⾖⼦的⽐例来计算⾯积。
当你的⾖⼦越⼩，撒的越多的时候，结果就越精确。
2.例⼦蒙特卡洛算法显然可⽤于近似计算圆周率：让计算机每次随机⽣成两个0到1之间的数，看这两个实数是否在单位圆内。
⽣成⼀系列随机点，统计单位圆内的点数与圆外的点数，内接圆⾯积和正⽅形⾯积之⽐为PI:4，PI为圆周率。
，当随机点取得越多时，其结果越接近于圆周率。
下⾯给出c++版本的实现：#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cmath>using namespace std;double in,out,ans;double x,y,dis;double getrand(){double ran=0;int t=rand()%10000;ran=(double)t/10000;return ran;}int main(){int time=0;scanf("%d",&time);for(int i=1;i<=time;i++){x=getrand()*2;y=getrand()*2;dis=sqrt((1-x)*(1-x)+(1-y)*(1-y));if(dis>1) out++;else in++;}ans=4*in/(in+out);printf("%lf",ans);return0;}如图，当time的值取1*10^9时，PI的值表⽰为3.040527，这个值和真实值仍有较⼤区别，主要原因在cstdlib库中的rand_max，即随机数值的最⼤范围仅为32767。
蒙特卡洛算法应用
蒙特卡洛算法应用蒙特卡洛算法是一种基于随机数模拟技术的数值计算方法，最初是应用在核物理领域中模拟中子扩散等问题。
近年来，随着计算机技术的发展，蒙特卡洛算法在各个领域得到了广泛的应用，例如计量经济学、金融风险评估、生命科学、气象学等领域。
下面，我们将具体介绍蒙特卡洛算法的应用及其优势。
一、基本原理蒙特卡洛算法的基本原理是利用随机抽样的方法，按照一定的概率分布来模拟某个系统或过程的随机性行为，通过数量统计和概率估计来得到该系统或过程的性质或规律。
例如，我们可以通过蒙特卡洛算法来求解复杂的多维积分问题，或者通过模拟股票价格走势来估计期权的价格等。
二、应用领域1. 计量经济学计量经济学是将数学和统计学方法应用于经济学研究的一门学科。
蒙特卡洛算法被广泛应用于计量经济学中的参数估计问题，例如通过蒙特卡洛模拟来得到回归系数的置信区间、方差的估计、非线性模型的参数估计等。
2. 金融风险评估在金融风险评估中，蒙特卡洛算法常常被用来模拟某个金融工具的价格变化，例如股票、期权、债券等，在此基础上计算预期收益率、波动率、价值-at-风险等指标，为投资决策提供支持。
3. 生命科学在生物学、药理学等领域中，蒙特卡洛算法被广泛应用于药物分子的建模与仿真，通过模拟分子的随机运动来计算其对蛋白质的亲和性、药效等指标，为新药发现提供重要的支持。
4. 气象学在气象学中，蒙特卡洛模拟被用来模拟气象变化、大气环流等复杂的自然现象，得到风险评估、预测和规划等方面的应用。
三、优势1. 灵活性蒙特卡洛算法不需要预先设定函数解析形式，具有很大的灵活性，适用于各种非线性、高维、复杂的数学问题。
2. 精度高蒙特卡洛算法基于大量的随机抽样，能够得到非常精确的数值解。
3. 方便性蒙特卡洛算法的实现相对简单，只需要模拟随机变量的抽取和计算即可，不需要对解析解进行处理和推导。
四、结论在众多的数值计算方法中，蒙特卡洛算法因其灵活、精确和方便而被广泛应用于各个领域。
蒙特卡罗算法
蒙特卡洛算法算法简介：蒙特·卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。
是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
蒙特·卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特·卡罗方法正是以概率为基础的方法。
与它对应的是确定性算法。
蒙特·卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。
背景知识：蒙特卡洛是摩纳哥公国第一大城市，与澳门、美国拉斯维加斯并称世界三大赌城。
位于地中海沿岸，首都摩纳哥之北，建于阿尔卑斯山脉突出地中海的悬崖之上。
景色优美，是地中海地区旅游胜地。
市内建有豪华的旅馆、俱乐部、歌剧院、商店、游泳池、温泉浴室、运动场等娱乐设施。
城内开设有蒙特卡洛大赌场。
赌场建于1865年，为双层楼建筑，上有钟楼、塔厅和拱形亭阁，还饰以若干人物雕塑，庭前棕榈树成行，还辟有花园，旁边有大酒店和酒吧间。
整个城市在旺季时，约有赌场70多个，约有赌室3500间左右。
蒙特卡罗赌场由国家经营。
当地的其他活动，许多也带有赌博色彩。
游客住的旅店房间，有抽奖的号码，中奖的免付部分房费。
早餐的牛奶麦片粥里，如遇上金属牌子，亦可领奖。
该城只有1万人口，但每天报纸销量可达100万份，因为报纸上都印有可能得奖的号码。
游客最后离境，购买的车票上也印有彩票号码，于离境前开彩。
经营赌业是摩纳哥的主要经济来源，每年都从赌业中收取高额外汇利润。
蒙特卡洛算法简单描述：以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法。
将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。
比如，给定x=a，和x=b，你要求某一曲线f和这两竖线，及x轴围成的面积，你可以起定y轴一横线y=c 其中c>=f(a) and c>=f(b)，很简单的，你可以求出y=c,x=a,x=b,及x轴围成的矩形面积，然后利用随机参生生大量在这个矩形范围之类的点，统计出现在曲线上部点数和出现在曲线下部点的数目，记为：doteUpCount,nodeDownCount,然后所要求的面积可以近似为doteDownCounts所占比例*矩形面积。
蒙特卡洛算法的应用及原理
蒙特卡洛算法的应用及原理简介蒙特卡洛算法（Monte Carlo algorithm）起初是由数学家冯·诺依曼（John von Neumann）和斯坦尼斯拉夫·乌拉姆（Stanislaw Ulam）在20世纪40年代末引入的一种计算方法，利用随机数模拟求解问题。
蒙特卡洛算法在物理学、金融学、计算机科学等领域被广泛应用，尤其在复杂的计算问题上具有较高的效率和准确度。
原理蒙特卡洛算法的核心思想是通过随机采样和统计分析获得问题的近似解，而不是通过解析求解等传统计算方法。
其基本流程如下： 1. 确定问题的范围和目标。
2. 设计合适的模型并确定输入参数。
3. 生成符合模型要求的随机数，并进行实验或模拟。
4. 统计实验或模拟结果，得到问题的近似解。
5. 根据需要，调整模型和参数，并重复上述步骤，直到达到预期的结果。
应用领域蒙特卡洛算法在各个领域得到了广泛应用，以下列举几个常见的应用场景。
1. 物理学蒙特卡洛算法在物理学领域的应用非常广泛。
例如，在计算粒子物理学中，科学家利用蒙特卡洛算法模拟高能粒子在加速器中的相互作用，以研究粒子的行为和性质。
此外，蒙特卡洛算法还可以用于计算电磁场、热传导和量子力学等问题。
2. 金融学在金融学中，蒙特卡洛算法被用于评估金融产品的风险和收益。
例如，在期权定价中，可以使用蒙特卡洛模拟来估计期权的价值和价格。
此外，蒙特卡洛算法还可以应用于投资组合优化、风险管理和股票价格预测等方面。
3. 计算机科学蒙特卡洛算法在计算机科学中也有广泛的应用。
例如，在人工智能领域，蒙特卡洛树搜索算法被用于博弈论和决策树的建模。
此外，蒙特卡洛算法还可以应用于随机算法设计、优化问题求解和机器学习等方面。
4. 统计学蒙特卡洛算法在统计学中被用于参数估计和假设检验。
通过生成服从特定分布的随机样本，可以对未知参数进行统计推断。
此外，蒙特卡洛算法还可用于模拟数据、计算置信区间和进行统计模型的评估等。
蒙特卡洛算法求圆周率
蒙特卡洛算法求圆周率
蒙特卡洛算法是一种基于随机取样的方法，用于估计圆周率。
该方法的基本思想是，在一个单位正方形内，随机均匀地生成一组点，并计算落在单位圆内的点的数量。
根据面积比例的原理，可以通过计算落在单位圆内点的数量与总点数量的比例来估计圆周率。
具体的步骤如下：
1. 在一个边长为1的正方形内随机生成一组点。
2. 对于每个点，计算其到正方形中心的距离，即点的欧几里德距离。
3. 如果点到正方形中心的距离小于等于0.5，则认为该点落在
单位圆内。
4. 统计落在单位圆内点的数量，并计算落在单位圆内点的比例，即落在单位圆内点的数量除以总点的数量。
5. 根据面积比例的原理，估计圆的面积为该比例乘以正方形的面积，即估计的圆面积为4乘以落在单位圆内点的比例。
6. 根据圆的面积公式，估计圆的半径为1，可以通过圆面积公
式计算得到圆的面积，即π乘以半径的平方。
7. 最后，通过计算得到的圆面积对半径的平方求解圆周率，即π等于圆面积除以半径的平方。
通过不断增加生成的随机点数量，可以提高对圆周率的估计精度。
蒙特卡洛法 算法
代码
#include <iostream> #include <cstdlib> #include <ctime> #include <cmath> using namespace std; // 预编译命令 // 预编译命令 // 预编译命令 // 预编译命令
int main() // 主函数 { long k=0, c=0, d=0; // 定义长整型变量 float pai=0.0, x=0.0, y=0.0; // 定义浮点类型变量 srand((unsigned int) time(NULL)); // 设置种子 for(k=1; k<=10000000; k++) { // 循环体开始 d=d+1; // 累加正方形中落入的一个雨点 x=(float)rand()/32767; // 雨点在x方向的位置 y=(float)rand()/32767; // 雨点在y方向的位置 if(sqrt(x * x + y * y) <= 1) c=c+1; // 累加扇形中落入的一个雨点 }
int main() { int k = 0; // 定义整型变量k srand((unsigned int) time(NULL)); //设置种子 for(k=0; k<10; k++) //循环输出随机数 cout << rand() << “ “; cout << endl; cout<<“rand能产生的最大随机数为" <<RAND_MAX << endl; //输出最大随机数 return 0; } // 主函数结束
蒙特卡洛算法和穷举算法对比
蒙特卡洛算法和穷举算法对比蒙特卡洛算法和穷举算法是两种常见的求解问题的方法，它们在不同情况下有着不同的应用和特点。
本文将对这两种算法进行对比，分析它们的优缺点和适用场景。
一、蒙特卡洛算法蒙特卡洛算法是一种基于概率统计的计算方法，其核心思想是通过随机抽样的方法，通过大量的实验来近似计算出问题的解。
蒙特卡洛算法的优点是能够在较短的时间内估计出问题的解，并且对问题的复杂度没有过多的要求。
同时，蒙特卡洛算法可以处理多维、非线性和随机性较强的问题，具有较好的鲁棒性。
在具体应用中，蒙特卡洛算法常常用于模拟和优化问题。
例如，在金融领域中，可以通过蒙特卡洛算法来模拟股票价格的走势，从而评估投资组合的风险和收益。
在物理学中，蒙特卡洛算法常常用于模拟粒子的运动轨迹，从而研究宏观系统的性质。
此外，蒙特卡洛算法还可以用于优化问题，如在机器学习中的参数优化和搜索问题中的解空间探索等。
然而，蒙特卡洛算法也存在一些缺点。
首先，由于是基于随机抽样的方法，蒙特卡洛算法的结果是近似值，存在一定的误差。
其次，蒙特卡洛算法的计算复杂度较高，需要进行大量的实验来获得较好的结果。
因此，在一些求解精确解或需要高精度结果的问题中，蒙特卡洛算法可能不太适用。
二、穷举算法穷举算法是一种最简单直观的求解方法，其核心思想是通过系统地枚举所有可能的解，然后逐个验证求解问题。
穷举算法的优点是能够获得精确的解，适用于求解所有可能解的问题。
此外，穷举算法的实现较为简单，不需要太多的数学和统计知识。
在具体应用中，穷举算法常常用于解决离散的、规模较小的问题。
例如，在密码学中，可以通过穷举算法来破解简单的密码，即尝试所有可能的密码组合。
在组合优化问题中，穷举算法可以用于求解旅行商问题、背包问题等。
此外，穷举算法也可以用于验证其他算法的正确性，如在编写排序算法时可以通过穷举算法来验证排序结果是否正确。
然而，穷举算法也存在一些明显的缺点。
首先，穷举算法的计算复杂度较高，当问题规模较大时，穷举算法需要枚举的解空间非常庞大，导致计算时间极长甚至不可行。
用蒙特卡洛算法求圆的面积
用蒙特卡洛算法求圆的面积
蒙特卡洛算法是一种基于随机抽样的方法，可以用于估计圆的面积。
该算法的基本思想是，在一个正方形区域内随机投点，然后统计
落在圆内的点的数量。
根据概率统计理论，通过计算圆内点的比例，
可以估计圆的面积。
具体操作步骤如下：
1. 假设一个单位半径的圆，其圆心位于正方形区域的中心，边长为2
个单位长度。
2. 在该正方形区域内随机生成大量的点，可以使用随机数生成器来实现。
生成的点的取值范围为[-1, 1]，分别表示正方形的边界，即左下
角(-1, -1)和右上角(1, 1)。
3. 统计这些随机生成的点中，有多少个落在圆内。
可通过判断点与原
点的距离小于等于1来确定点是否在圆内。
4. 根据统计结果，计算圆的面积的估计值。
根据概率统计理论，圆的
面积估计值等于圆内点的数量除以总点数，再乘以正方形区域的面积。
即：估计值 = 圆内点的数量 / 总点数 * 4 。
5. 由于投点的数量越多，估计值的准确度越高，可以反复进行多次实验，取平均值作为最终的估计结果。
通过蒙特卡洛算法，我们可以无需求解数学公式，直接通过统计
方法估计圆的面积。
这种方法具有简单易实施、无需复杂计算的优点，特别适合用于求解复杂形状的面积问题。
蒙特卡洛算法范文
蒙特卡洛算法范文蒙特卡洛算法（Monte Carlo Algorithm）是一种以概率统计方法为基础的计算方法，由于其随机性和模拟的特点，广泛应用于数值计算、风险评估、优化问题等领域。
本文将从原理、应用以及优缺点三个方面来详细介绍蒙特卡洛算法。
蒙特卡洛算法的原理基于统计学中的大数定律，即在大量的独立事件中，事件的频率收敛到事件的概率。
它通过随机抽样的方法，对问题进行模拟，通过多次重复实验得到的近似概率分布来估计相关的数值。
蒙特卡洛算法适用于无法通过解析方法求解的问题，可以通过模拟来近似计算。
蒙特卡洛算法的应用非常广泛，可以用于求解各种数学问题，例如求解积分、求解方程、求解微分方程等，在金融领域中，也广泛应用于期权定价、风险评估、投资组合优化等问题中。
此外，蒙特卡洛算法还可以用于计算机图形学中的光线追踪和物理仿真中的粒子模拟等。
蒙特卡洛算法的优点主要有以下几个方面。
首先，它适用于各种不规则、复杂的问题，无论问题是否可微分都可以使用蒙特卡洛算法求解。
其次，蒙特卡洛算法的结果是近似值，可以通过增加模拟次数来提高结果的精确性。
另外，蒙特卡洛算法可以并行计算，在处理大规模问题时具有一定的优势。
此外，蒙特卡洛算法相对简单直观，易于理解和实现。
然而，蒙特卡洛算法也存在一些缺点。
首先，由于是随机采样的方法，需要大量的随机抽样来达到较高的精度，因此计算成本较高。
其次，在采样过程中，数据的方差较大，可能会导致结果的不稳定性。
此外，蒙特卡洛算法对问题的维数敏感，高维问题需要更多的样本才能获得准确结果。
最后，蒙特卡洛算法依赖于概率分布的可生成性和采样的独立性，对于一些问题可能并不适用。
综上所述，蒙特卡洛算法作为一种基于概率统计的计算方法，具有广泛的应用场景和很多优点，但也存在一定的局限性。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的性质和需求，合理选择蒙特卡洛算法的应用方式，并结合其他方法进行综合分析和求解，以达到更好的结果。
蒙洛卡特算法
蒙洛卡特算法蒙洛卡特算法是一种基于随机抽样技术的数值计算方法，广泛应用于风险评估、金融衍生品定价、物理模拟等众多领域。
本文将对蒙洛卡特算法的原理、应用以及优势进行介绍。
一、蒙洛卡特算法原理蒙特卡洛算法是一种随机化算法，基于随机抽样的方法获取样本来求解问题。
直接蒙特卡洛算法是一种非常原始的方法，将问题转化为一个期望值，使用随机抽样的方法进行估计。
而蒙洛卡特算法则是通过改进直接蒙特卡洛算法，使得随机抽样的效率更高。
具体来说，蒙洛卡特算法首先通过随机抽样的方法生成多个独立的随机数序列，这些序列称为样本。
然后，将这些样本输入到函数中进行计算，最后对计算结果进行统计分析得到估计值。
蒙洛卡特算法有以下几个特点：1. 独立性。
样本之间应该是相互独立的，这意味着每个样本都是完全独立于其他样本的，并且可以多次使用。
2. 随机性。
随机抽样的过程应该是完全随机的，这意味着每个样本的值应该是随机的，并且应该具有相同的概率分布。
3. 代表性。
样本应该是代表性的，这意味着样本的数量应该足够大，以及样本应该来自于整个概率分布的区域。
4. 收敛性。
当样本数量足够大时，蒙洛卡特算法会收敛于真值。
二、蒙洛卡特算法应用1. 风险评估。
用蒙洛卡特算法进行风险评估，可以帮助投资者更加准确地评估投资的风险。
2. 金融衍生产品定价。
蒙洛卡特算法可以帮助金融衍生产品的定价，例如期权、期货等。
3. 物理模拟。
使用蒙洛卡特算法可以模拟物理系统，例如量子场论、蒙特卡洛模拟等。
4. 优化模型。
蒙洛卡特算法可以用于优化模型，例如寻找一个函数的最小值或最大值。
三、蒙洛卡特算法优势1. 可分布计算。
蒙洛卡特算法允许在分布式计算环境下运行，这使得它能够利用并行计算的优势来提高计算效率。
2. 适应高维数据。
相比于其他的数值计算方法，蒙洛卡特算法在处理高维数据时表现更加优秀。
3. 不要求导数。
相比较于一些需要求导数的数值计算方法，例如最优化算法和差分方程算法，蒙洛卡特算法不需要对函数进行求导。
蒙特卡洛算法
蒙特卡洛算法主要用在求解最优化模型（多约束非线性规划问题）上，图像采样的问题，是以一系列随机数来模拟过程，解决问题的算法，但是求解时间很长。
以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法。
将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。
步骤：Step1，根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致。
比如在多约束非线性规划问题问题中，采用的是unifrnd函数。
Step2，根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。
通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，进行随机模拟试验。
Step3，根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。
比如在多约束非线性规划问题问题中，采用的是循环随机抽样。
Step4，按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解。
Step5，统计分析模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的精度估计。
（其精度检验需要手工来操作，因为涉及查表，但是需要在matlab 里面加入计算概率的语句。
）代码：《Matlab 在数学建模中运用》Test1.m 文件实现的是122/x x y ；例题：随机数生成方式：更为详细的在：/link?url=CF2pgipej6-j1p8V8IfxM_XDs2g RSsNBjUxgztOmfPP4d89txs0M06Yy__O48tTfY549WGn26_cW8o5jLuHdal O42KgjERnD8ZalfowTnWO/link?url=N5b5_BfgHTlzlA5OeFooJsyMJPZ PBgFddYfTo4X59iSy0JAgDw2riIHiivkxLmzsQS9BkxAxU9j4ABlGDQtcpEAgxPT6wYaX1Wc_2ytvJnaRand（n),,rand(n,m)Matlabbetarnd贝塔分布的随机数生成器binornd二项分布的随机数生成器chi2rnd卡方分布的随机数生成器exprnd指数分布的随机数生成器frndf分布的随机数生成器gamrnd伽玛分布的随机数生成器geornd几何分布的随机数生成器hygernd超几何分布的随机数生成器lognrnd对数正态分布的随机数生成器nbinrnd负二项分布的随机数生成器ncfrnd非中心f分布的随机数生成器nctrnd非中心t分布的随机数生成器ncx2rnd非中心卡方分布的随机数生成器normrnd正态（高斯）分布的随机数生成器poissrnd泊松分布的随机数生成器raylrnd瑞利分布的随机数生成器trnd学生氏t分布的随机数生成器unidrnd离散均匀分布的随机数生成器unifrnd连续均匀分布的随机数生成器weibrnd威布尔分布的随机数生成器Matlab自己产生的随机数：normrnd 可以生成一定均值和标准差的正态分布gamrnd 可以生成gamma分布的伪随机数矩阵chi2rnd 可以生成卡方分布的伪随机数矩阵trnd 可以生成t分布的伪随机数矩阵frnd 可以生成f分布的伪随机数矩阵raylrnd 可以生成rayleigh分布的伪随机数矩阵。
动力学蒙特卡洛算法
动力学蒙特卡洛算法动力学蒙特卡洛算法，听上去是不是有点拗口？别急，咱们慢慢聊。
咱们得搞清楚，这个“动力学”到底是什么意思。
大家都知道，生活中一切东西都是不断变化的，像风吹草动、时间流逝，这些变化看似随意，但其实它们背后总有规律可循。
动力学就研究这些规律，揭示系统如何随时间发展。
简单点说，就是研究“变化”的学问。
所以呢，动力学蒙特卡洛算法的本质就是一种通过模拟随机变化来解决问题的办法。
可能有小伙伴要问了：这个“蒙特卡洛”又是什么鬼？嘿嘿，别着急。
蒙特卡洛其实是个地名，名字好像挺高大上的。
它来源于一个非常有趣的故事。
早些年，有人发现在蒙特卡洛赌场里，赌徒用随机抽取的方式来预测和分析各种赌局结果，后来大家就把这种用随机性解决问题的方式给叫做“蒙特卡洛方法”。
很聪明吧？这种方法并不只局限于赌桌上，生活中的很多问题，也可以通过这种随机试验来得出结论。
举个例子，如果你不确定下次买彩票能不能中奖，蒙特卡洛方法就能模拟无数次的抽奖过程，来给你一个概率估计。
好啦，咱们再回来看看动力学蒙特卡洛算法到底是干嘛的。
说白了，它就是结合了动力学和蒙特卡洛的两种思想，用来研究一些复杂系统的行为。
举个简单的例子，如果你想知道一个气体分子在空间里怎么乱跑，或者某个化学反应在不同条件下如何进行，咱们通过这种算法模拟出一个又一个的“可能性”，然后从这些可能性中推测出最有可能的结果。
听起来是不是有点复杂？别急，接着往下看。
这个算法的精髓就在于“随机”二字。
你可能会想，随机嘛，随便怎么做不就行了？这不行，咱们可不能做“瞎猫碰上死耗子”的事儿，得有点儿“科学”的味道。
比如说，在模拟气体分子运动时，我们并不是随便把分子扔到屏幕上让它们乱跑，而是遵循一定的物理规律来进行模拟。
就好像你打乒乓球，不是随便一击就出，得考虑球的速度、方向、碰撞的角度等等。
所以，动力学蒙特卡洛算法的“随机”是有规则的，虽然看起来很像是在猜，但每一步其实都在依据某些规律进行。
MonteCarlo(蒙特卡洛算法)算法
用Monte Carlo 计算定积分
考虑积分
I
x 1exdx,
0
0.
假定随机变量具有密度函数
fX (x) ex,
则
I E( X 1).
用Monte Carlo 计算定积分-
2
2
T
T
Monte Carlo 模拟连续过程的欧式 期权定价-
均匀分布
R=unidrnd(N)，-产生1到N间的均匀分布随 机数
R=unidrnd(N,n,m),产生1到N间的均匀分布 随机数矩阵
连续均匀分布
R=unifrnd(A,B) -产生(A,B)间的均匀分布随 机数
R=unifrnd(A,B,m,n)产生(A,B)间的均匀分布 随机数矩阵
Matlab 的随机数函数-
正态分布随机数
R=normrnd(mu,sigma) R=normrnd(mu,sigma,m) R=normrnd(mu,sigma,m,n)
特定分布随机数发生器 R=random(‘name’,A1,A2,A3,m,n)
例
a=random(‘Normal’,0,1,3,2) a=
基本思想和原理
基本思想：当所要求解的问题是某种事件出现 的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它 们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事 件出现的频率，或者这个随机变数的平均值， 并用它们作为问题的解。
原理：抓住事物运动的几何数量和几何特征， 利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模 拟实验。
实现从已知概率分布抽样
构造了概率模型以后， 按照这个概率分 布抽取随机变量 （或随机向量），这一 般可以直接由软件包调用，或抽取均匀 分布的随机数构造。这样，就成为实现 蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这 也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原 因。
蒙特卡洛算法
蒙特卡洛算法
蒙特卡洛算法是一种利用计算机模拟来解决复杂问题的方法，它被认为是一种博弈论算法，可以用于多种实际问题的数学解决方案，并且在许多工业领域得到广泛应用。
蒙特卡洛算法的基本思想是，它重复性地从概率分布中生成随机样本，使用这些样本来估算一个定义在概率分布领域上的数学函数。
这个数学函数是一个所谓的“期望”，所谓“期望”是指把采样概率分布的概率乘以所采样的值，然后求和的操作。
蒙特卡洛算法的核心思想是服从某一分布的随机实验，并经过数量规模放大来反映出大量样本的特性。
在实施蒙特卡洛算法时，我们需要先确定随机实验，并选择有利于解决问题的期望值，然后再收集尽可能多的样本，以此来估计期望值。
蒙特卡洛算法有许多优势，其中最重要的一点是它能够解决复杂的问题，不论问题的规模大小如何，只要有足够的样本量，就能够解决。
此外，蒙特卡洛算法不需要任何特定的先验知识，并且不像函数优化算法耗费大量时间，以及不像任何人工智能算法耗费大量计算开支，所以可以说，蒙特卡洛算法有着很高的效率。
蒙特卡洛算法的应用非常广泛，比如在金融领域，它可以用来评估风险、寻找投资机会、定义投资组合、进行盘活资产等。
在工业制造领域，它可用来设计优化工艺流程，解决配送问题。
此外，蒙特卡洛算法也可以在建模、机器学习、自然语言处理等领域得到应用。
总之，蒙特卡洛算法是一种相当有效的算法，能够被广泛应用于
各种实际问题的数学解决方案之中，且其优势明显。
因此，研究人员们希望能够不断提出新的蒙特卡洛算法，以更好地解决复杂的实际问题。
（完整版）蒙特卡洛算法详讲
（完整版）蒙特卡洛算法详讲Monte Carlo 法§8.1 概述Monte Carlo 法不同于前⾯⼏章所介绍的确定性数值⽅法，它是⽤来解决数学和物理问题的⾮确定性的（概率统计的或随机的）数值⽅法。
Monte Carlo ⽅法（MCM ），也称为统计试验⽅法，是理论物理学两⼤主要学科的合并：即随机过程的概率统计理论（⽤于处理布朗运动或随机游动实验）和位势理论，主要是研究均匀介质的稳定状态[1]。
它是⽤⼀系列随机数来近似解决问题的⼀种⽅法，是通过寻找⼀个概率统计的相似体并⽤实验取样过程来获得该相似体的近似解的处理数学问题的⼀种⼿段。
运⽤该近似⽅法所获得的问题的解in spirit 更接近于物理实验结果，⽽不是经典数值计算结果。
普遍认为我们当前所应⽤的MC 技术，其发展约可追溯⾄1944年，尽管在早些时候仍有许多未解决的实例。
MCM 的发展归功于核武器早期⼯作期间Los Alamos （美国国家实验室中⼦散射研究中⼼）的⼀批科学家。
Los Alamos ⼩组的基础⼯作刺激了⼀次巨⼤的学科⽂化的迸发，并⿎励了MCM 在各种问题中的应⽤[2]-[4]。
“Monte Carlo ”的名称取⾃于Monaco （摩纳哥）内以赌博娱乐⽽闻名的⼀座城市。
Monte Carlo ⽅法的应⽤有两种途径：仿真和取样。
仿真是指提供实际随机现象的数学上的模仿的⽅法。
⼀个典型的例⼦就是对中⼦进⼊反应堆屏障的运动进⾏仿真，⽤随机游动来模仿中⼦的锯齿形路径。
取样是指通过研究少量的随机的⼦集来演绎⼤量元素的特性的⽅法。
例如，)(x f 在b x a <<上的平均值可以通过间歇性随机选取的有限个数的点的平均值来进⾏估计。
这就是数值积分的Monte Carlo ⽅法。
MCM 已被成功地⽤于求解微分⽅程和积分⽅程，求解本征值，矩阵转置，以及尤其⽤于计算多重积分。
任何本质上属随机组员的过程或系统的仿真都需要⼀种产⽣或获得随机数的⽅法。
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一般地，
A
f ( x)d (measure of A) (average of f over n random points in A)
9
Monte Carlo数值积分的优点
与一般的数值积分方法比较，Monte Carlo方法 具有以下优点：
1. 一般的数值方法很难推广到高维积分的情形，而 Monte Carlo方法很容易推广到高维情形
每个 xi j 有 m 种选择，所以向量 ( xi 1 , xi 2 ......xi -k ) 可以取 mk -1 个不同的值，所以这样的随机数生成器 的最大周期可以达到 m 生成器的周期。
k -1
1，大大提高了简单同余
23
算法实现
许多程序语言中都自带生成随机数的方法，如 c 中的 random() 函数，Matlab中的rand()函数等。 但这些生成器生成的随机数效果很不一样，比如 c 中的函数生成的随机数性质就比较差，如果用 c ，最好自己再编一个程序。Matlab 中的 rand() 函数，经过了很多优化。可以产生性质很好的随 机数，可以直接利用。
我们可产生一系列随机数 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,....... 可简单取3个随机数构成一个随机点，即
(1, 2 , 3 ), (4 , 5 , 6 ),.......
相应地，
1 b 1 n a f ( x)dx n f ( xi ) ba i 1 d b 1 1 n c a f ( x, y)dxdy n f ( xi , yi ) (d c)(b a) i 1
5
于是有： l p P( X sin ) 2 0
l sin 2
0
2 2l dxd a a
2l ap
若我们独立重复地作 n 次投针试验，记 n ( A) 为 A 发生的次数。 fn ( A) 为 A
ˆ 在 n 次中出现的频率。假如我们取 fn ( A) 作为 p P( A) 的估计，即 p f n ( A) 。
随机投针可以理解成针的中心 点与最近的平行线的距离X是均匀 地分布在区间 [0, a / 2] 上的r.v.，针 与平行线的夹角是均匀地分布 在区间 [0, ] 上的r.v.，且X与相互独立，
l 于是针与平行线相交的充要条件为 X 2 sin , l 即相交 A { : X 2 sin }.
2147483399 2147483563
复杂一些的生成器
Multiple recursive generator
xi (a1 xi 1 a2 xi 2 ...... ak xi k ) mod m ui xi / m 需要选取种子(xk 1 , xk 2 .......x0 )
一般形式： xi 1 (axi c) mod m ui 1 xi 1 / m
1. c是非负整数.通过适当选取参数c可以改善 随机数的统计性质(独立性,均匀性).
2. 线性同余器可以达到的最长周期为 m 1 ，我们 可以通过适当的选择 m 和 a ，使无论选取怎样的 初值 x0 都可以达到最大周期(一般选取 m 为质数)
17
乘同余法：
U(0,1)随机数的生成
xi 1 axi mod m ui 1 xi 1 / m
其中 xi , a, m 均为整数, x0 可以任意选取。
x0 称为种子,a 是乘因子,m是模数
18
一个简单的例子
当 x0 1 时,得到序列: 1,6,3,7,9,10,5,8,4,2,1,6,3......
针长 投针次数 相交次数
π的估计值
Wolf
1850
0.80
5000
2532
3.15956
Smith
1855
0.60
3204
1218
3.15665
Fox
1884
0.75
1030
489
3.15951
Lazzarini
1925
0.83
3408
1808
3.14159292
7
数值积分问题
选取(0, 1)中随机数序列x1， x2， x3， …… xn。则
Monte Carlo Simulation Methods 蒙特卡罗模拟方法
1
主要内容
M-C方法概述
随机数的生成 模拟训练
2
一.M-C方法概述
蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，或称计算机 随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计 算方法。这一方法源于美国在第二次世界大 战中研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划 的主持人之一、数学家冯· 诺伊曼用驰名世 界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名 这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。
0, 0 U i 0.3 xi 1, 0.3 U i 0.6 2, 0.6 U i
则 x1 , x2 ,, x N 是具有X分布律的随机数.
28
Matlab程序
Function r=rnd-u(a,b) %产生在[a,b]间均匀分布的随机数 r=a+(b-a)*rand; return
12
均匀分布随机变量X的取值具有”均匀性” 均匀性特点:均匀分布随机变量X落在(a,b)内 任意子区间的概率只与子区间的长度有关,而与 子区间的位置无关. 可假设有这种特性的随机变量服从均匀分布.
13
2. 正态分布 正态分布随机变量X的概率密度函数是
1 1 x 2 f ( x) exp[ ( ) ], x R 2 2
1
0
1 n f ( x)dx E[ f ( xi )] f ( xi ) n i 1
1 误差约 ，它并不能和一些高级的数值积分算法比拟， n
但对多维情况，MC方法却很有吸引力。
8
1 1 1
0 0 0
1 n f ( x, y, z )dxdydz f ( xi , yi , zi ) n i 1
15
3. 指数分布 指数分布随机变量X的概率密度为
e x , x 0 f布常用来描述寿命问题.
16
二.随机数的生成
1.蒙特卡罗模拟的关键是生成优良的随机数。 2.在计算机实现中,我们是通过确定性的算法生成 随机数,所以这样生成的序列在本质上不是随机 的,只是很好的模仿了随机数的性质(如可以通过 统计检验)。我们通常称之为伪随机数(pseudorandom numbers)。 3.在模拟中，我们需要产生各种概率分布的随机数， 而大多数概率分布的随机数产生均基于均匀分布 U(0,1)的随机数。
据此,可得产生 X 的随机数的具体过程为:每产 生一个(0,1)区间上均匀分布随机数U ,若
P(n 1) U P(n)
则令 X 取值 xn .
27
例1:
离散型随机变量X有如下分布律: X 0 1 2 P(x) 0.3 0.3 0.4 设 U1 ,U 2 ,,U N 是(0,1)上均匀分布的随机数,令
4.必要时，还应改进模型以降低估计方差和减少试验费 用，提高模拟计算的效率
11
回顾几种连续型分布
1.均匀分布U(a,b) 其概率密度函数为
1 ,a x b f ( x) b a 0 , 其他
有
d c P{c x d } , 其中(c, d ) (a, b) ba
正态分布由两个参数 和 唯一确定.其中 是X 的均值(数学期望): =E(X),它确定了概率曲线的 中心位置,而 是X的标准差: D(X ) ,它确定了 概率曲线的”宽窄”程度.
14
在许多实际问题中,有一类随机变量可以表 示成为许多相互独立的随机变量之和,而其中每 个随机变量对总和只起微小的影响,这类随机变 量往往服从或近似服从正态分布.在实际应用中, 如果我们分析到一个随机变量受到较多独立的 微小因素的叠加影响,就可以用正态分布来模拟 这个变量.如:工厂产品的测量尺寸,农作物的收 获量,某地区成年人的身高,体重等可看成服从正 态分布的随机变量.
xi 1 6xi mod11, ui+1 xi 1 /11 （a 6, m 11 ）
如果令 a 3, x0 1 ,得到序列: 1,3,9,5, 4,1,3,9........ 如果令 a 3, x0 2, 得到序列： 2, 6, 7,10,8, 2, 6.......
19
一个简单的例子(续)
上面的例子中，第一个随机数生成器的周期 长度是 10，而后两个生成器的周期长度只有 它的一半。我们自然希望生成器的周期越长 越好，这样我们得到的分布就更接近于真实 的均匀分布。
在给定 m 的情况下，生成器的周期与 a 和 初值 x0 (种子)选择有关。
20
线性同余生成器(混合同余法) (Linear Congruential Generator )
21
常用的线性同余生成器
Modulus m 2^31-1 =2147483647 Multiplier a 16807 39373 742938285 950706376 1226874159 40692 40014 Reference Lewis, Goodman, and Miller L’Ecuyer Fishman and Moore Fishman and Moore Fishman and Moore L’Ecuyer L’Ecuyer 22
将 {P(n)} 作为区间(0,1)的分点.若随机变量 U ~ U (0,1) ,有
P{P(n 1) U P(n)} P(n) P(n 1) pn , (n 1,2, )
26
令 {P(n 1) U P(n)} {X xn }