第六章复合材料结构设计

为了修正误差，有人建议在上述公式的基本模量上乘以 修正系数0.63，即
E f ( 0 . 63 E m ) v f 3 (1 v f )
X
c
2v f
（拉压型）
X
c

0 . 63 G m 1 v
f
（剪切型）
6.2.2单层性能的确定 设计的初步阶段，为了层合板设计、结构设计的需要，必须 提供必要的单层性能参数，特别是刚度和强度参数。为此，通常 是利用细观力学分析方法推得到预测公式确定的。而在最终设计 阶段，一般为了单层性能参数的真实可靠，使设计更为合理，单 层性能的确定需用试验的方法直接测定。 A.单层树脂含量的选择
Ⅱ
2、横向弹性模量
并联模型的横向弹性模量与串联模型的纵向弹性模量相同。故
ET E L E f v f E m vm
Ⅱ

复合材料单层基本强度的预测
1. 纵向拉伸强度Xt 单层在承受纵向拉伸应力时，假定（1）纤维与基体之间没有 滑移，具有相同的拉伸应变；（2）每根纤维具有相同的强度，且 不计初应力。则在工程上发生上述两种破坏模式： A 基体延伸率小于纤维延伸率时 在应变达到εmu时，基体将先于纤维而开裂，但是纤维尚 能继续承载，直至应变达到εfu时，纤维断裂，复合材料彻底 破坏。对此，可偏于安全地认为纵向拉伸强度只取决于纤维。
1、串联模型的弹性常数 A 纵向弹性模量ELΙ
由模型І取出代表性体积单元， 作用平均应力δ1，在平面应力状态 下，如右图所示。这如同材料力学 中由两种材料并联组成的杆受拉时 的分析。由材料力学知道，已知纤 维材料的弹性模量Ef和基体材料 的弹性模量Em，欲求单元应变
ε1或纵向弹性模量EL的问题是 一次超静定问题。
(a)拉压型 (b)剪切型 图 纤维屈曲的两种形式
拉压型微屈曲引起破坏的纵向压缩强度为
X
t
2V
E f E mV
f
f
3 (1 V f )
剪切型微屈曲引起破坏的纵向压缩强度为
Xt Gm 1Vf
取式（2－80）和式（2－81）计算值中较小的一个为单向 复合材料的纵向压缩强度。 上述两公式的计算值通常比实测值高很多，这是因为计算 值是在假定纤维为完全平直的理想状态下推算的，而实际上偏离 理想状态的种种原因促使纵向压缩强度有明显的降低。
按照密度的定义，忽略孔隙 ，得复合材料的密度：
m V


f V f mV m
V
f v f m vm
上式称为复合材料密度的混合律。
三、用材料力学方法预测单向单层板的弹性常数
下图所示为复合材料单向板，将它简化为薄片模型Ⅰ 和薄片模型Ⅱ。 模型Ⅰ的纤维薄片和基体薄片在横向呈串联形式，故 称为串联模型。它意味纤维在横向完全被基体隔开，适用 于纤维所占百分比少的情况。模型Ⅱ的纤维薄片与基体薄 片在横向呈并联形式，故称为并联模型它意味纤维在横 向完全连通，适用于纤维所占百分比较高的情况。 一般说来，实际情况是介于两者之间的某个状态。
（1）EL的确定
图6－3 无纬单层的代表性体积单元
图6－4 代表性体积单元在1方向受载
①静力关系
1 A f A f m Am
（6－2）可改写为：
(6 - 2) (6 - 3)
罗森（Rosen）将单层板纵向受压的计算模型简化为纤维薄片 与基体薄片相间粘结成的纵向受压杆件，如图所示。假定只有纤维 承压，基体提供对纤维的横向支撑。当纵向压力达到临界值，纤维 薄片发生屈曲。
屈曲可能有两种形式，一种是纤维薄片 彼此反向屈曲，基体薄片交替地发生横向拉 伸和横向压缩变形（左图a），简称“拉压型”； 另一种是纤维薄片彼此同向屈曲，基体薄片 发生剪切变形（左图b） ，简称“剪切型”。
纵向压缩强度的预测远不如纵向拉伸强度那样简明 而准确。这是因为单向复合材料受纵向压缩载荷时，至 少有三种破坏模式，即纤维微屈曲破坏、横向拉伸破坏 和剪切破坏，从而使强度推算变得复杂。到目前为止， 压缩破坏机理尚无统一认识。由于纤维在弹性基础上的 微屈曲模式更为常见。 本节将只简单介绍确定纤维微屈曲引起破坏的纵向 压缩强度Xc 的公式。
m
m V
f
f V
L

m

m
w w
f

f
w w
L

4、横向泊松比的确定 5、面内剪切模量的确定
并联模型的弹性常数
1、纵向弹性模量
从并联模型取出代表性体积单元，在正轴1方向作用平均 应力σ1，容易看出，纵向弹性模量与串联模型I相同，即
E L ＝ E L＝ E f v f E m v m
Xt X
mt
(1 v f )
( v f v fmin 时 )
(6 - 78)
分别按式（6－75）和式（6－78）画出Xt 随vf 的变化曲线，如 下图所示。这里两条直线的交点对应于vfmin 值，该点满足
X ft v f min m (1 v f min ) X mt (1 v f min )
X t X ft v f
然而，纵向拉伸强度的实验测定值通常比上式的理论计算 为高。这表明基体虽已开裂，但因基体的开裂是随机分布的，不 太会都出现在同一截面上，未开裂部分基体仍能传递载荷。这样， 预测单向复合材料纵向拉伸强度时可用下式：
X t X ft v f X
mt
(1 v f )
6. 复合材料结构设计
6.1 概述 一、从设计的观点来看，有以下几个问题： （1）原材料、组成、制造方法的多样性 （2）影响因素多，有关物理性能的设计资料不可能十分完备 （3）复合材料一般是各向异性材料，在设计思想、计算方法、 设计准则和试验方法等方面，都存在很大困难。 二、设计程序 （1）明确设计条件 （2）材料设计 （3）结构设计 设计程序可归纳为三个主要内容： （1）性能或功能设计 （2）结构（强度、刚度）设计 （3）工艺设计
B.刚度的预测公式 将单层从细观角度视为两种材料构成的非均匀材料。作为单 层来说，其应力和应变在宏观上是均匀的；而作为细观来说，由 于有两种不同组分材料，所以应力和应变是不均匀的。
假定纤维在单元中的厚度与基体一样，且看成是矩形，单元宽 度使纤维宽度和基体宽度之比正好等于单层纤维含量与基体含量之 比。单元长度可以是任意的。单元中各组分材料分别是各向同性的。

即
v f min X
X
mt
mt

ft
m
X

m
( 6 79 )
图2－3 纤维和基体的 应力－应变示意图
图2－4复合材料强度与 纤维体积含量关系曲线
比较式（2－77）和式（2－79）可知，vfcr 总是大于 vfmin 。 工程中采用的复合材料的vf通常都大于vfcr，因此复合材料强度 总是由纤维控制的。
E 、 、 v — 分别表示弹性模量、泊 代表纤维和基体； X f、 X
m
松比和体积含量，下标
f 和 m 分别
— 分别为纤维和基体的强
度。
细观力学的研究对象是复合材料的多相结构，但又不可能考虑 各材料的一切因素，因此必须以一系列假设作为出发点，归纳后有：
（1）复合材料单层是宏观非均匀的，线弹性的，并且无初 应力； （2）纤维是均质的、线弹性的，各向同性或横观各向同性 的、形状和分布是规则的； （3）基体是均质的、线弹性的、各向同性的； （4）各相间粘结完好，界面无孔隙。
1
fu
X t X ft v f m (1 v f )

( v f v f min )
(6 - 75)
式中δm*为基体应变等于εfu时对应的基体应力。
从上式可以看出，纤维体积含量越高，纵向拉伸强度就 越大。如降低纤维体积含量，则纵向拉伸强度就减小。
当纤维体积含量降到某一值时，可使复合材料纵向拉伸 强度等于基体拉伸强度Xmt，即
a. 静力关系
1 A f A f m Am

1

A
f
f

A
m
m
A
A
f v f m vm
b. 几何关系
1
1 E L 1

f1
m1

E f
c. 物理关系
f1
f1
m1 E m m1
综合上式即可得
E L E f v f E m vm

2
E
f
m2
2
Em
故可得
1 ET
I

1 E
f
V
f

1 Em
V
m
或改写成
E
I T

E
m
vf
E E E (1 v
f m f
f
)
3、纵向泊松比 vL 的确定
图
代表性体积单元在1方向受载
单元的横向变形量ΔW＝Wε2＝－ Wε1υL 从细观来看，单元的横向变形量应等于纤维与基体的横向变形量 之和， ΔW＝ ΔWf + ΔWm = － Wf εf υf － Wmεmυm 式中εf 、εm为纤维、基体的纵向线应变。 根据几何关系，纤维和基体具有相同纵向线应变，且等于单 元的纵向线应变： ε1 ＝εf ＝εm 因此 － Wε1υL= － Wfεfυf － Wmεmυm
二、复合材料的密度及各相的含量
取一体积为V、质量为m的复合材料单元体，m为纤维质量m0f 与基体m0m质量之和，即
m= m0f + m0m
体积V包括纤维、基体和空隙三部分所占的体积，即 V = Vf + Vm +Vvo 用m和V分别去除以上二式，得
1 m
f
mm
(5) (6)
1 v f vm vv

这就是纵向弹性模量的混合法则公式。
如果忽略空隙含量的影响，则
Vf + Vm = 1 因此式（2－21）又可写成
E L E f v f E m (1 v f )
I
式中EIL为单层板的纵向弹性模量，角标I表示由模型I所得到。
B
横向弹性模量
ET

由模型I给出的代表性体积单元， 在正轴2方向作用平均应力σ2，见左 图。
Xt X
mt
( v f v fcr )
此时的纤维体积含量称为临界纤维体积含量vfcr。当vf≤ vfcr时 ，纤维失去增强效果。将（6－75）代入上式，并解出vf， 即为vfcr：
v fcr X X
mt ft

m m
( 6 77 )
当纤维体积含量vf太小时，即vf<vfmin ，式（6－75）不适用。 因为此时纤维数目太少，在较小的外载下纤维就断裂，但基体 还能继续承受载荷，直到复合材料的应变达到基体材料的断裂 应变，即ε1 = εmu 。此时复合材料的破坏由基体控制，其纵向拉 伸强度按下式计算：
单层板的细观力学分析
一、引言 复合材料的细观力学将复合材料单层看成是各向异性的 非均质体系,而认为组分材料是均质的和各向同性的。它是以 各相材料性能的实验精确测定和关于相几何的准确抽象为前提 的。本节的主要目的是用细观力学方法寻找下列函数关系：
C ij C ( E f , f , v f , E m , m , v m ) X i X ( X f , v f , X m , vm )
从单层板来看，单元的变形量Δb为
b 2b
从细观来看，
b
图 取自模型I的代表性体积 单元在2方向受载荷作用
f 2
b f m 2bm
f 2
所以
2
v f m 2vm
对于串联模型，各部分应力相同。因此，单元、纤维和基体 应变分别为：
2
2 I

ET
f 2
三、设计方法特点 材料设计和结构设计必须同时进行。对于一般的复合材料宜 用弹性力学来分析，并建立其结构计算理论（第1章～第4章）
6.2 材料设计 材料设计包括原材料选择、单层性能的确定和复合材料层合板 设计。
6.2.1原材料的选择与复合材料性能 A. 原材料的选择原则 B. 纤维选择 C. 树脂选择
需要指出，从理论上讲复合材料的强度随着纤维体积含量增 加而提高。但实际上当vf >0.8时，复合材料强度反而随vf 增加而 有下降的趋势。这是由于vf 太大时，工艺上不能保证基体与纤维 的均匀分布，以致有的纤维周围没有基体，形成了缺陷，导致强 度下降。所以，复合材料的纤维体积含量也不能太大。
纵向压缩强度Xc
式中Xft 和 Xmt 分别表示纤维和基体的极限拉伸强度。
这样的估算与试验结果比较符合。
B 基体延伸率大于纤维延伸率（εmu>εfu）时
1 fu
复合材料的纵向拉伸强度是由纤维断裂所引起。用应变 表示其强度条件时，有 式中ε1为复合材料的极限应变。 上式表示复合材料的破坏应变等于纤维的断裂应变。此时 复合材料达到纵向拉伸强度Xt，破坏是由纤维控制的。