09级信计专业课程设计内容

09级信计专业《算法设计》课程设计题
题1 ：序关系计数器
一、问题：
用关系“<”和“=”将3 个数A、B和C依序排列时有13 种不同的序关系：
A=B=C，A=B<C，A<B=C，A<B<C，A<C<B，A=C<B，B<A=C，B<A<C，B<C<A，B=C<A，C<A=B，C<A<B，C<B<A。

将n 个数（1 <= n <=50）依序排列时有多少种序关系。

二、算法设计与分析：
设n个数可列出的关系式的个数为g(n), 下面我们设法总结规律找出g(n)的递推关系：对于一个关系式：a1@a2@a3....@an
其中@表示< 或=，总存在一个k, 使a1, a2, ...ak，之间均用"="连接，即
a1=a2=a3...=ak<ak+1@...@an
根据组合定义，从n个对象中选出k个组成关系式a1=a2=a3...=ak，相当于在n个数中选取k个组合，因此关系式a1=a2=...=ak 的可能组合形式有C(n,k)，而ak+1@...@an 的可能形式有g(n-k)种，因此得出g(n)的递推公式为
g(n)=∑C(n,k)*g(n-k) k from 1 to n,g(0)=1
计算C(n,k)可用两重循环加组合的基本公式：C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)
算法在初始化部分计算出C(n,k)，存放在表中。

三、测试数据及结果
n: g(n)
1: 1
2: 3
3: 13
4: 75
5: 541
6: 4683
7: 47293
8: 545835
9: 7087261
10: 102247563
11: 1622632573
12: 28091567595
13: 526858348381
14: 10641342970443
15: 230283190977853
题2：最小重量机器设计问题
一、问题描述：
某一机器由n个部件组成，每一种部件都可以从m个不同的供应商处购得。

设w ij是从供应商j处购得的部件i的重量，cij是相应的价格。

试设计一个算法，给出总价格不超过c的最小重量机器设计。

二、编程任务：
对于给定的机器部件重量和机器部件价格，编程计算总价格不超过cost的最小重量机器设计。

三、数据输入：
由文件input.txt给出输入数据。

第一行有3个正整数n，m和cost，接下来的2n行，每行n个数，前n行是c，后n行是w。

四、结果输出：
将计算出来的最小重量，以及每个部件的供应商输出到文件output.txt。

输入示例：输出示例：
3 3
4 4
1 2 3 1 3 1
3 2 1
2 2 2
1 2 3
3 2 1
2 2 2
五、问题分析：
由题目描述可知，每个供应商提供的不同部件都有不同的价格和重量，因此该问题类似于背包问题。

题3：磁带最优存储问题
一、实验内容：
设有N个程序要存放在长度为L的磁带上。

程序i存放在磁带上的长度为li，1<=i<=n.
这N个程序的读取概率分别是p1,p2,…pn,且p1+p2+…pn=1;如果将这N个程序按i1,i2,…in的次序存放，则读取程序ir所需的时间tr=c*(p1*l1+…+pr*lr)。

这N个程序的平均读取时间为t1+t2+…+tn。

磁带最优存储问题目要求确定这N个程序在磁带上的一个存储次序，使平均读取时间达到最小。

试设计一个解此问题的算法。

并分析算法的正确性和计算复杂性。

二、算法说明（程序分析）：
假设这N个程序就按他们的编号排列，则
程序编号时间
1p1*l1
2p1*l1+p2*l2
…
n p1*l1+p2*l2+…+pn*ln
平均时间t=n(p1*l1)+(n-1)(p2*l2)+…+pn*ln;
从上式可以看出要使t最小，则p*l应按从小到大的顺序排列。

题4：最小路径覆盖
★问题描述：
给定有向图G＝（V,E），设P是G的一个简单路径（顶点不相交）的集合。

如果V中每个顶点恰好在P的一条路径上，则称P是G的一个路径覆盖。

P中路径可以从V的任何一个顶点开始，长度也是任意的，特别地，可以为0。

G的最小路径覆盖是G的所含路径最少的路径覆盖。

设设一个算法求一个有向无环图G的最不路径覆盖。

★算法设计：
对于给定的有向无环图G,找出G的一个最小路径覆盖。

★数据输入：
由文件input.txt提供输入数据。

文件的第1有2个正整数n和m。

n是给定有向无环图G的顶点数，m是G的边数。

接下来的m行，每行有2个正整数i和j，表示一条有向边（i,j）。

★结果输出：将最小路径覆盖输出到文件output.txt。

从第1行开始，每行输出一条路径。

文件的最后一行是最少路径数。

★问题分析：
最小路径覆盖实际上可以转化为二分图来做，将要求的图中的每个结点都分成两个结点，然后分成两个集合，对与集合A中的一个点，如果与某结点有关联，那么可以将其关联到集合B中的同一点，这样就形成了一个二分图，求这个二分图的最大匹配n，这样其最小路径覆盖就是总结点数减去其最大匹配数。

简要证明如下：
在一个ＰＸＰ的有向图中，路径覆盖就是在图中找一些路经，使之覆盖了图中的所有顶点，且任何一个顶点有且只有一条路径与之关联；（如果把这些路径中的每条路径从它的起始点走到它的终点，那么恰好可以经过图中的每个顶点一次且仅一次）；如果不考虑图中存在回路，那么每每条路径就是一个弱连通子集．
由上面可以得出：
１.一个单独的顶点是一条路径；
２．如果存在一路径p1,p2,......pk，其中p1 为起点，pk为终点，那么在覆盖图中，顶点p1,p2,......pk不再与其它的顶点之间存在有向边．
最小路径覆盖就是找出最小的路径条数，使之成为Ｐ的一个路径覆盖．
路径覆盖与二分图匹配的关系：
最小路径覆盖＝｜Ｐ｜－最大匹配数；
其中最大匹配数的求法是把Ｐ中的每个顶点pi分成两个顶点pi'与pi''，如果在p中存在一条pi到pj的边，那么在二分图Ｐ＇中就有一条连接pi'与pj''的无向边；这里pi' 就是p中pi 的出边，pj''就是p中pj 的一条入边；
对于公式：最小路径覆盖＝｜Ｐ｜－最大匹配数；可以这么来理解；
如果匹配数为零，那么Ｐ中不存在有向边，于是显然有：
最小路径覆盖＝｜Ｐ｜－最大匹配数＝｜Ｐ｜－０＝｜Ｐ｜；即Ｐ的最小路径覆盖数为｜Ｐ｜；
Ｐ＇中不在于匹配边时，路径覆盖数为｜Ｐ｜；
如果在Ｐ＇中增加一条匹配边pi'－－＞pj''，那么在图P的路径覆盖中就存在一条由pi连接pj的边，也就是说pi与pj 在一条路径上，于是路径覆盖数就可以减少一个；
如此继续增加匹配边，每增加一条，路径覆盖数就减少一条；直到匹配边不能继续增加时，
路径覆盖数也不能再减少了，此时就有了前面的公式；但是这里只 是说话了每条匹配边对应于路径覆盖中的一条路径上的一条连接两个点之间的有向边；下面来说明一个路径覆盖中的每条连接两个顶点之间的有向边对应于一条匹配 边；
与前面类似，对于路径覆盖中的每条连接两个顶点之间的每条有向边pi--->pj ，我们可以在匹配图中对应做一条连接pi'与pj''的边， 显然这样做出来图的是一个匹配图（这一点用反证法很容易证明，如果得到的图不是一个匹配图，那么这个图中必定存在这样两条边 pi'---pj'' 及 pi' ----pk''，（j!=k ），那么在路径覆盖图中就存在了两条边pi-->pj, pi--->pk ，那边从pi 出发的路径就不止一条了，这与路径覆盖图是矛盾的；还有另外一种情况就是存在pi'---pj'',pk'---pj''，这种情况也类似可证）；
至此，就说明了匹配边与路径覆盖图中连接两顶点之间边的一一对应关系，那么也就说明了前面的公式成立！
题5：习题3-3（P102）
题6：模平方根问题
一、问题：
设P 是一个奇素数，11x p ≤≤-，如果存在一个整数y ，11y p ≤≤-，使得2(mod )x y p =，
则称y 是x 模p 的平方根，如：63是55的模103的平方根。

试一个求整数x 的模p 平方根的拉斯维佳斯算法（算法的计算时间应为log p 的多项式）。

题7：习题4-25（P144）
题8：习题3-9（P103）。