高一数学必修1复合函数定义域的求法
“复合函数定义域的求法”例题课后辅导
“复合函数定义域的求法”例题课后辅导河池学院数学系07数应1班 卢红兰 27 在每一个学校，任何时候教师都会遇到课堂上讲新课学生很容易懂，老师上课也很轻松，但学生课后做练习就感觉习题很难，教师课后辅导起来也感到比较吃力，尤其是高中，对于基础比较差的班级，学生总会向老师反应：课本那么简单，为什么练习那么难老师课后辅导就会感觉到自己无论怎么讲，学生都不太理解，实习期间我就遇到了这样的问题。
一、背景实习中我所带的班级数学基础比较差，指导老师上了“函数定义域”这节新课后，由于时间关系，配套练习《导与练》没有得讲解。
这节内容尤其是“复合函数定义域的求法”比较难理解，对于高一初学者来说，做这节相应练习是有一定的难度，所以自习课很多学生都问了我下面的这三道题，在给他们辅导过程中我发现无论用什么方法讲解，他们都不太明白，使我不得不对自己的辅导效果进行反思。
二、辅导实录例1 若函数)(x f y =的定义域［-1，2］，求)1(2-=x f y 的定义域。
T ：所谓的定义域是指自变量的取值范围， )1(2-=x f y 的定义域是指里边的x 的取值范围，故由已知)(x f y =的定义域为［-1，2］，得2112≤-≤-x ，再解这个不等式就行了。
S ：为什么由)(x f y =的定义域为［-1，2］ 就得到2112≤-≤-x T ：因为)(x f y =中的x 与)1(2-=x f y 中的12-x 地位是一样的。
·S ：明明一个是x ，一个是12-x ，怎么会一样呢T ：大家不要只看形式，而是要理解它们的含义，那)(x f y =与)(t f y =是表示同一函数吗S ：是。
T ：那就把12-x 看做一个整体，即令12-=x t ，而x 与t 的取值范围是一样，只是符号不一样而已，即知道21≤≤-t ，那就是2112≤-≤-x ，再从中把x 解出来就行了。
S ：还是有点模糊。
T ：……例2 已知)1(+x f 的定义域为［0，3］，求)(x f 的定义域。
复合函数定义域的常见求法
复合函数定义域的常见求法一、复合函数的概念假如y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。
注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，依照复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。
另外，在研究有关复合函数的咨询题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否那么如此的复合函数不存在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 能够拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即能够看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。
二、求复合函数的定义域：〔1〕假设f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,那么f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范畴，即为f [g ( x )]的定义域。
例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。
答案： [-1/2 ，0 ]例2、f ( x )的定义域为〔0，1〕，求f ( x 2)的定义域。
答案： [-1 ，1]〔2〕假设f [ g ( x ) ]的定义域为〔m , n 〕那么由m < x < n 确定出g ( x )的范畴即为f ( x )的定义域。
例3、函数f ( 2x + 1 )的定义域为〔0，1〕，求f ( x ) 的定义域。
答案： [ 1 ，3]〔3〕由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。
必修一 数学 定义域,值域,解析式 求法,例题,习题(含答案)
函数的定义域（1）函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合 （2）求函数定义域的注意事项☉分式分母不为零； ☉偶次根式的被开方数大于等于零； ☉零次幂的底数不为零； ☉实际问题对自变量的限制若函数由几个式子构成，求其定义域时要满足每个式子都要有意义（取“交集”）。
（3）抽象复合函数定义域的求法☉已知y=f （x ）的定义域是A ，求y=f （g （x ））的定义域，可通过解关于g （x ）∈A 的不等式，求出x 的范围☉已知y=f （g （x ））的定义域是A ，求y=f （x ）的定义域，可由x ∈A ，求g （x ）的取值范围（即y=g （x ）的值域）。
例1．函数()4xf x -=的定义域为 ( ) A. (－∞，4) B. [4，＋∞) C. (－∞，4] D. (－∞，1)∪(1,4] 【答案】D 【解析】要使解析式有意义需满足：40{10x x -≥-≠，即x 4≤且1x ≠所以函数()4xf x -=的定义域为(－∞，1)∪(1,4] 故选：D 例2．函数2211y x x =-+-的定义域为( )A. {|11}x x x ≥≤-或B. {|11}x x -≤≤C. {1}D. {-1,1}【答案】D 【解析】函数2211y x x =-+-可知: 2210{ 10x x -≥-≥,解得： 1x =±. 函数2211y x x =-+-的定义域为{-1,1}.故选D.例3．已知函数()21y f x =-的定义域为()2,2-，函数()f x 定义域为__________.【答案】[]1,3-【解析】由函数()21y f x =-的的定义域为(−2,2)，得： 2113x -≤-≤，故函数f (x )的定义域是[]1,3-.例4．若函数()y f x =的定义域为[]0,2,则函数()()21f xg x x =-的定义域是（ ）A. [)0,1B. []0,1C. [)(]0,11,4⋃ D. ()0,1 【答案】A函数()y f x =的定义域是[]0,2， 022{10x x ≤≤∴-≠，解不等式组：01x ≤<，故选A.例5．已知函数()1y f x =+的定义域是[]2,3-，则()2y f x =的定义域是（ ） A. []1,4- B. []0,16 C. []2,2- D. []1,4【答案】C 【解析】解：由条件知： ()1f x +的定义域是[]2,3-，则1x 14-≤+≤， 所以214x -≤≤，得[]x 2,2∈-例6．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ） A ．[]052， B. []-14， C. []-55， D. []-37， 【答案】A 【解析】523,114,1214,02x x x x -≤≤-≤+≤-≤-≤≤≤例7．函数212y x x =+-的定义域为___________．【答案】[]3,4-【解析】要使函数有意义，则2120x x +-≥，即2120x x --≤，即34x -≤≤，故函数的定义域为[]3,4-，故答案为[]3,4-.函数值域定义：对于函数y=f （x ），x ∈A 的值相对应的y 值叫函数值，函数值得集合{f （x ）|x ∈A }叫做函数的值域。
高中函数定义域知识点总结
高中函数定义域知识点总结高一新生要依据自己的条件，以及高中阶段学科学问交叉多、综合性强，以及考查的学问和思维触点广的特点，那么接下来给大家共享一些关于高中函数定义域学问，盼望对大家有所关心。
高中函数定义域学问定义域(高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，假如按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。
其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域;值域名称定义函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量全部值的集合常用的求值域的（方法）(1)化归法;(2)图象法(数形结合);(3)函数单调性法;(4)配方法;(5)换元法;(6)反函数法(逆求法);(7)判别式法;(8)复合函数法;(9)三角代换法;(10)基本不等式法等关于函数值域误区定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。
平常数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。
然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就减弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使同学对函数的把握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于相互转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。
假如函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是简单的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必需联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值状况。
才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，假如加强了对值域求法的讨论和争论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的熟悉。
“范围”与“值域”相同吗?“范围”与“值域”是我们在学习中常常遇到的两个概念，很多同学经常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。
高中数学复合函数求导公式及法则
高中数学复合函数求导公式及法则设函数y=fu的定义域为Du，值域为Mu，函数u=gx）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠?，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。
f[gx]中,设gx=u,则f[gx]=fu，从而（公式）：f'[gx]=f'u*g'x呵呵，我们的老师写在黑板上时我一开始也看不懂，那就举个例子吧,耐心看哦！f[gx]=sin2x,则设gx=2x,令gx=2x=u,则fu=sinu所以f'[gx]=[sinu]'*2x'=2cosu,再用2x代替u，得f'[gx]=2cos2x.以此类推y'=[cos3x]'=-3sinxy'={sin3-x]'=-cosx一开始会做不好，老是要对照公式和例子，但只要多练练，并且熟记公式，最重要的是记住一两个例子，多练习就会了。
证法一：先证明个引理fx在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域Ux0内，存在一个在点x0连续的函数Hx,使fx-fx0=Hxx-x0从而f'x0=Hx0证明：设fx在x0可导，令 Hx=[fx-fx0]/x-x0,x∈U'x0x0去心邻域；Hx=f'x0,x=x0因limx->x0Hx=limx->x0[fx-fx0]/x-x0=f'x0=Hx0所以Hx在点x0连续，且fx-fx0=Hxx-x0,x∈Ux0反之，设存在Hx,x∈Ux0,它在点x0连续，且fx-fx0=Hxx-x0,x∈Ux0因存在极限limx->x0Hx=limx->x0[fx-fx0]/x-x0=limx->x0f'x=Hx0所以fx在点x0可导，且f'x0=Hx0引理证毕。
设u=φx在点u0可导，y=fu在点u0=φx0可导，则复合函数Fx=fφx在x0可导，且F'x0=f'u0φ'x0=f'φx0φ'x0证明：由fu在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数Hu,使f'u0=Hu0,且fu-fu0=Huu-u0又由u=φx在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数Gx,使φ'x0=Gx0,且φx-φx0=Gxx-x0于是就有，fφx-fφx0=Hφxφx-φx0=HφxGxx-x0因为φ，G在x0连续，H在u0=φx0连续，因此HφxGx在x0连续，再由引理的充分性可知Fx在x0可导，且F'x0=f'u0φ'x0=f'φx0φ'x0证法二：y=fu在点u可导，u=gx在点x可导，则复合函数y=fgx在点x0可导，且dy/dx=dy/du*du/dx证明：因为y=fu在u可导，则limΔu->0Δy/Δu=f'u或Δy/Δu=f'u+αlimΔu->0α=0当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f'uΔu+αΔu但当Δu=0时，Δy=fu+Δu-fu=0,故上等式还是成立。
高一数学函数的定义域与值域的常用方法
高一数学求函数的定义域与值域的常用法一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。
例1. 已知2211()x x x f x x +++=，试求()f x 。
解：设1x t x +=，则11x t =-，代入条件式可得：2()1f t t t =-+，t ≠1。
故得：2()1,1f x x x x =-+≠。
说明：要注意转换后变量围的变化，必须确保等价变形。
2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个程，联立求解。
例2. （1）已知21()2()345f x f x x x +=++，试求()f x ；（2）已知2()2()345f x f x x x +-=++，试求()f x ； 解：（1）由条件式，以1x 代x ，则得2111()2()345f f x x x x +=++，与条件式联立，消去1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则得：()222845333x f x x x x =+--+。
（2）由条件式，以－x 代x 则得：2()2()345f x f x x x -+=-+，与条件式联立，消去()f x -，则得：()2543f x x x =-+。
说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。
例4. 求下列函数的解析式：（1）已知)(x f 是二次函数，且1)()1(,2)0(-=-+=x x f x f f ，求)(x f ；（2）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ，)1(+x f ，)(2x f ；（3）已知x xx x x f 11)1(22++=+，求)(x f ； （4）已知3)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f 。
【题意分析】（1）由已知)(x f 是二次函数，所以可设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，设法求出c b a ,,即可。
复合函数定义域的常见求法
一、复合函数的概念如果y 是u 的函数的函数，，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数复合函数，，u 叫做中叫做中间变量。
间变量。
间变量。
注意：复合函注意：复合函数并不是一数并不是一数并不是一类新的函数类新的函数类新的函数，它只是，它只是，它只是反映某些函反映某些函反映某些函数在结构方数在结构方数在结构方面的某种面的某种面的某种特点，因此特点，因此特点，因此，，根据复合函数根据复合函数结构，将它结构，将它结构，将它折成几个简折成几个简折成几个简单的函数单的函数单的函数时，应从外时，应从外时，应从外到里一层一到里一层一到里一层一层地拆，层地拆，层地拆，注意不要漏注意不要漏注意不要漏层。
层。
另外，在研究另外，在研究有关复合函有关复合函有关复合函数的问题时数的问题时数的问题时，要注意，要注意，要注意复合函数的复合函数的复合函数的存在条件，存在条件，存在条件，即当且仅当即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交的定义域的交集非空时，集非空时，集非空时，它们的复合它们的复合它们的复合函数才有函数才有函数才有意义，否则意义，否则意义，否则这样的复合这样的复合这样的复合函数不存函数不存函数不存在。
在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 可以拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u 2 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数两个函数复合而成复合而成复合而成。
二、求复合函数的定义域：（1）若f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,则f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范围，即为f [g ( x )]的定义域。
的定义域。
高一第一学期数学知识点归纳笔记
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高一数学求函数的定义域与值域的常用方法(含答案)
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y 。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f ［g （x ）］的表达式，求f （x ）的表达式时可以令t ＝g （x ），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f （x ）和f （－x ），或f （x ）和f （1/x ）的一个方程，则可以x 代换－x （或1/x ），构造出另一个方程，解此方程组，消去f （－x ）（或f （1/x ））即可求出f （x ）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y ＝f ［g （x ）］的定义域的求解，应先由y ＝f （u ）求出u 的范围，即g （x ）的范围，再从中解出x 的范围I 1；再由g （x ）求出y ＝g （x ）的定义域I 2，I 1和I 2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
高一数学必修1_复合函数定义域的求法_1.ppt
1, 2 (2, )
探究学习： 已知函数的解析式，若未加特殊说 明，则定义域是使解析式有意义的自 变量的取值范围。一般有以下几种情况(初等函数) ●分式中的分母不为零； ●偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ●指数式的底数大于零且不等于1； ●对数式的底数大于零且不等于1，真数大于零。 ●由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是
其解法是：若f [g(x)]的定义域为m x n ，则由
m x n 确定 g(x) 的范围即为f (x)的定义域。
题型三：已知 f gx的定义域，求 f hx的定义域。
例3. 函数 y f (x 1) 定义域是 [2,3] ，则
y f (2x 1)的定义域是（ ）
A. [1,4] B.[5,5] C.[3,7]
其解法是：若f (x)的定义域为 a x b ，则 f [g(x)] 中
x a g(x) b ，从中解得 的取值范围即为 f [g(x)]的定义域
练习:若f (x)的定义域是0,2,求f (x2)的定义域
解：由题意知: 0 x2 2
2 x 2
故 : f x2 的定义域是 [ 2, 2 ]
a4
综上知:实数a 的取值范围为 0 a 4
布置作业：
1.已知函数f (x)的定义域是[2, 2]，求y f x 的定义域
2.已知 函数 f 2x 1的定义域是[0,2],求f (13x)的定义域
D.[0, 5 ] 2
归纳:已知f [g(x)] 的定义域，求 f [h(x)]的定义域
其解法是：可先由 f [g(x)] 的定义域求得 f (x) 的定义域，再由 f (x)定义域求得f [h(x)]的定义域。
练习
已知f (2x 1)的定义域1,5,求f (2 5x)的定义域
指数型复合函数的单调性课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
指数型复合函数单调性的判断：
例1.判断 =
2 +4
1
的单调性。
2
解：易知函数的定义域为，
设 = 2 + 4 = + 2 2 − 4，则在(−∞， − 2]上为减函数，在
(−2， + ∞)上为增函数。
又因 =
1
为减函数，
2
所以，原函数的增区间为(−∞， − 2]，减区间为(−2， + ∞)。
练习1：(1)函数 =
2
1 −1
的单调递增区间为（
2
A ）
A.(−∞，0)
B.[0， + ∞)
C.(−∞， − 1]
D.[1， + ∞)
(2)函数 = 2
+3 2 的单调递减区间为（
C ）
A.(−∞，3)
B.[3， + ∞)
C.(−∞， − 3)
D.[−3， + ∞)
指数型复合函数单调性的判断：
练习2：若函数()的定义域为[0,1]，求函数() = ( +
的定义域
解：要使函数有意义，必须
1
4
1
4
0≤+ ≤1
0≤− ≤1
1
则
4
≤≤
3
4
1
4
3
4
故()的定义域为( ， ]。
，即
1
3
− ≤≤
4
4
1
5
≤≤
4
4
1
)
4
+ (
1) ，其定义域仍为 的 取值范围，而不是 () 的范围。
1
2
又因0 < < 1，则函数 =
高一函数重难点突破(复习知识)
高一函数重难点突破一、 求复合函数的定义域的四种题型 1.已知f[x]的定义域,求f(g(x))的定义域例1设函数f(x)的定义域为(0,1),求函数f(lnx)的定义域2.已知f[g(x)]的定义域,求f(x)的定义域例2已知f(3-2x)的定义域为x ∈[-1,2], 求函数f(x)的定义域3.已知f[g(x)]的定义域,求f(h(x))的定义域例3若函数f(2x )的定义城为[-1,1], 求f(log 2x)的定义域4.已知()x f 的定义域，求四则运算型函数的定义域 例4 已知函数()x f 定义域为是],[b a ，且0>+b a 求函数()()()m x f m x f x h -++=()0>m 的定义域解 ⎩⎨⎧+≤≤+-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤mb x m a mb x m a b m x a b m x a ，m a m a m +<-∴>,0 m b m b +<-，又m b m a +<-要使函数()x h 的定义域为非空集合，必须且只需m b m a -≤+，即20ab m -≤<， 此时函数()x h 的定义域为{x|a+m }*注* 定义域指的是自变量x 的取值范围；同一个对应关系f 作用下（）的范围一样；定义域写成集合的形式，区间也是集合的一种表示方法二、 求函数解析式的六种题型1.待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f2.配凑法或换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式。
[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
例2 （1） 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式（2） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f3.构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
高一数学求函数解析式定义域与值域的常用方法(含答案)
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
(完整版)高一必修一数学-复合函数定义域
复合函数的定义域讲解内容：复合函数的定义域求法讲解步骤：第一步：函数概念及其定义域函数的概念：设是,A B 非空数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合B 的函数，记作：(),y f x x A =∈。
其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值.第二步：复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。
）第三步：介绍复合函数的定义域求法例1. 已知()f x 的定义域为](3,5-，求函数(32)f x -的定义域；解：由题意得35x -<≤Q3325x ∴-<-≤ 137x -<≤1733x ∴-<≤ 所以函数(32)f x -的定义域为17,33⎛⎤- ⎥⎝⎦. 练1.已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。
解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即⎩⎨⎧≤≤->-<⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+⇔≤+<13023202320222x x x x x x x x x ，或即23-<≤-x 或10≤<x故)2(2x x f +的定义域为[)(]1,02,3Y -- 例2. 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域解:由题意得23x ∴-≤≤639x ∴-≤≤42311x ∴-≤+≤所以函数()f x 的定义域为：[]4,11-例3. 已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求()2-x f 的定义域。
高一数学复合函数专题
结论:
1、已知函数f(x)的定义域为[a,b],求其 复合函数f[g(x)]的定义域，应由不 等式a≤g(x)≤b解出x即得. 2、已知复合函数f[g(x)]的定义域为 [a,b],求原函数f(x)的定义域,应
求出g(x)的值域(x∈[a,b]),即得
y=f(x)的定义域.
三、复合函数的值域
例：求下列函数的定义域、值域： ⑴
则y=f[g(x)] 增函数 增函数
规律：
当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；
当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数
“同增异减”
设 y 3 ,u=x2－2x－1,由u∈R, 得原复合函数的定义域为x∈R. u y 3 因为 在定义域R内为增函数， 所以由二次函数u=x2－2x－1的单调性易知 u=x2－2x－1=(x－1)2－2在x≤1时单调减， 由 x∈R, (复合函数定义域) x≤1， (u减) 解得x≤1.所以(－∞，1］是该复合函数的单 调减区间. 同理［1，+∞)是该复合函数的单调增区间. 解:
三、复合函数的单调性
当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数； 当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数
“同增异减” 四、复合函数的奇偶性 奇＋奇＝奇 偶＋偶＝偶 奇×奇＝偶 偶×偶＝偶 奇×偶＝奇 奇＋偶＝（不确定）
六、总结
一、求复合函数的定义域
1、已知函数f(x)的定义域为[a,b],求其复合函数f[g(x)]的定 义域,应由不等式a≤g(x)≤b解出x即得. 2、已知复合函数f[g(x)]的定义域为[a,b],求原函数f(x)的定 义域,应求出g(x)的值域(x∈[a,b]),即得f(x)的定义域.
二、求复合函数的值域
结论:
人教版高中数学必修1--第三章 抽象函数或复合函数的定义域 章末回顾与提升
故集合 M＝{m|0＜m＜4}．
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第三章 函数的概念与性质
[训练 4] 已知函数 f(x)＝－x|x－a|＋1(x∈R). (1)当 a＝2 时，试写出函数 g(x)＝f(x)－x 的单调区间； (2)当 a＞1 时，求函数 f(x)在[1，3]上的最大值．
1＜x≤4.故选 B．
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第三章 函数的概念与性质
二、求函数的解析式 1.求函数的解析式最常用的方法是换元法和待定系数法． 2．掌握常见的基本初等函数的类型和求解析式的方法，提升数学 运算和逻辑推理素养．
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第三章 函数的概念与性质
已知二次函数 f(x)的最小值为 1，且 f(0)＝f(2)＝3. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求 f(x)在－12，32 上的最大值． 解：(1)由题意，设 f(x)＝a(x－1)2＋1， 因为 f(0)＝3，即 a(－1)2＋1＝3.解得 a＝2， 所以函数 f(x)的解析式为 f(x)＝2x2－4x＋3.
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第三章 函数的概念与性质
(2)若函数 f(x)的定义域为[－1，2]，则函数 g(x)＝f（xx－－21） 的定
义域是( B )
A．[1，4]
B．(1，4]
C．[1，2)
பைடு நூலகம்
D．(1，2]
解析：由函数 f(x)的定义域为[－1，2]，令－ x－11≤＞x－0，2≤2， 解得
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第三章 函数的概念与性质
高一数学必修一函数知识点总结归纳
高一数学必修一函数知识点总结归纳（5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;２. 复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法:若已知的定义域为［a,b］,其复合函数f[g(ｘ）］的定义域由不等式ａg（x) b解出即可；若已知f［g（ｘ)］的定义域为［a,b］，求f（ｘ）的定义域，相当于x ［a,b]时，求g(x）的值域（即f （x）的定义域）;研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
（2）复合函数的单调性由同增异减判定;３。
函数图像（或方程曲线的对称性)(1）证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点对称中心（对称轴)的对称点仍在图像上;(２)证明图像C1与Ｃ2的对称性,即证明C1上任意点对称中心（对称轴)的对称点仍在C2上,反之亦然；(3)曲线C1:f(x,ｙ）=0,y=xa(y=-ｘa)的对称曲线C2的方程为ｆ(y—a,x ａ）=0(或f(-ｙa，—xａ)＝0）；（4）曲线C1:f(x,ｙ）=0点（a,b)的对称曲线C２方程为：f（2a—ｘ，2b-y）=0；(5）若函数y=f(x)对x R时，f（ax)=f(a-x)恒成立，则y=f（x）图像直线x=a对称；(６)函数ｙ=f(x-a）与y=f（b—ｘ）的图像直线x=对称;4．函数的（1）ｙ＝f（x)对x R时，f（x a）＝f（x-a）或f（x－2a )＝f(x)(ａ0）恒成立,则y=f（x）是周期为2a的周期函数;（2）若ｙ=ｆ(ｘ）是偶函数,其图像又直线ｘ=a对称，则f（x）是周期为２︱ａ︱的周期函数;(3）若ｙ=f(x）奇函数,其图像又直线x＝a对称，则f（x)是周期为4︱ａ︱的周期函数；(4）若y=f(ｘ）点（a,0),(b，0）对称，则ｆ（x）是周期为2 的周期函数；（５)y=f（x）的图象直线x=a，x=b(a b）对称,则函数y=f（ｘ）是周期为２的周期函数；（6）y＝f（ｘ)对ｘR时,ｆ（ｘa)=—f(x）（或f(xａ)＝,则y＝f(ｘ）是周期为２的周期函数；5。
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解:
由y
k
x2
kx 7 4kx
3
的定义域为一切实数, 可知
分母kx2 4kx 3 0对x R恒成立
(1)当K=0时, 3≠0成立
(2)当K 0时 : 0,解得: 0 k 3 4
综上(1),(2)知,当0 k 3 时 4
y
Байду номын сангаас
kx 7 的定义域是一切实数 kx2 4kx 3
复合函数求定义域的几种题型：
题型(一):已知f (x)的定义域,求f [g(x)]的定义域
例1.若f (x)的定义域是[0,2],求f (2x 1)的定义域
解: 由题意知:
0 2x 1 2
1 x 3
2
2
故 : f (2x 1)的定义域是{x 1 x 3}
2
2
练习:若f (x)的定义域是0,2,求f (x2)的定义域
1.已知函数f (x)的定义域是[2, 2]，求y f x 的定义域
题型(二):已知f g x的定义域,求f (x)的定义域
例2:已知f 2x 1的定义域(1,5],求f (x)的定义域
解： 由题意知:
1 x 5
3 2x 1 9
f (x)的定义域为 3,9
练习: 若函数 y ax2 ax 1 的定义域是R，
求实数a 的取值范围。
练习: 若函数 y ax2 ax 1 的定义域是R，
求实数a 的取值范围。
解:∵定义域是R, ax2 ax 1 0恒成立，
当 a 0 时,显然适合题意.
当
a
0
时
a0 a2 4a 1 0 0
即：x → u → y
复合函数的定义域的求法：
若复合函数y=f[g(x)]，外函数y=f(u)，内函数 u=g(x)： (1)f(x)的定义域就是g(x)的值域.若f(x)的定义域为
D，则y=f[g(x)]的定义域是使 g(x) D 有意义
的x的集合. (2)y=f[g(x)]的定义域为D，则g(x)在D上的取值 范围(g(x)的值域)即为f(x)的定义域.
a4
综上知:实数a 的取值范围为 0 a 4
练习
1.已知f (3x 1)的定义域1,3,求f (x)的定义域 2.已知 函数 f 2x 1的定义域是[0,2],求f (13x)的定义域
3.已知f (2x 1)的定义域1,5,求f (2 5x)的定义域
题型四： 已知函数的定义域，求含参数的取值范围
例3 :当k为何值时,函数y kx 7 的定义域是一切实数 kx2 4kx 3
1.2.4 复合函数定义域的求法
复合函数的定义:
如果y是u的函数，记为y=f(u),u 又 是x的函数，记为u=g(x),且g(x)的值 域与f(u)的定义域的交集不空，则确定 了一个y关于x的函y=f[g(x)],这时y叫 x的复合函数，其中u叫中间变量， y=f(u)叫外层函数，u=g(x)叫内层函 数.