高中数学补习班

2018年上海高三数学竞赛试卷-

2018.03.25

一. 填空题

1. 集合22{(,)|100x y x y +≤，且,}x y Z ∈的元素个数是

2. 设函数()f x 是R →R 的函数，满足对一切x ∈R ，都有()(2)2f x xf x +-=，则()f x 的解析式为()f x =

3. 已知椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>），F 为椭圆的右焦点，AB 为过中心O 的弦，则ABF ∆面积的最大值为 4. 设集合111111{,,,,,}2711131532

A =的非空子集为1263,,,A A A ⋅⋅⋅，记集合i A 中的所有元素的积为i p （单元数集的元素积是这个元素本身），1,2,,63i =⋅⋅⋅，则1263p p p ++⋅⋅⋅+=

5. 已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是

6. 设实数a 、b 、c 满足2221a b c ++=，记ab bc ca ++的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m -=

7. 在三棱锥P ABC -中，已知AB =，1AC =，PB PC ==22ABC PBC S S ∆∆+的取值范围是

8. 在平面直角坐标系xOy 中，有2018个圆：⊙1A ，⊙2A ，⋅⋅⋅，⊙2018A ，其中⊙k A 的圆心为21

(,)4

k k k A a a ，半径为21

4

k a （1,2,,2018k =⋅⋅⋅），这里12201812018

a a a >>⋅⋅⋅>=，且⊙1k A +与⊙k A 外切（1,2,,2017k =⋅⋅⋅），则1a =

二. 解答题 9. 已知三个有限集合A 、B 、C 满足A

B C =∅. （1）求证：1||(||||||)2

A B C A B C ≥++；（2）举例说明（1）中的等号可能成立. （||X 表示有限集合X 的元素个数）

10. 求不定方程25x y z w +++=的满足x y <的正整数解(,,,)x y z w 的组数.

11. 设a 、b 、c 、d 是实数，求2222a b c d ab ac ad bc bd cd a b c d +++++++++++++的最小值.

12. 设n 为给定的正整数，考虑平面直角坐标系xOy 中的点集

{(,)|||||,,}T x y x y n x y Z ==≤∈，

对T 中的两点P 、Q ，当且仅当||PQ =PQ 与两条坐标轴之一平行时，称P 、Q 是“相邻的”，将T 中的每个点染上红、蓝、绿三种颜色之一，要求任意两个相邻点被染不同的颜色，求染色方式的数目.