8-2磁场
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由①②得： Bed v0＝ ③ m1＋cosθ
图 11
Bed 故电子要射出磁场时速率至少应为 . m1＋cosθ
高三总复习· 人教版· 物理
Bed 答案： m1＋cosθ
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[例3]
如图12所示，在x<0与x>0的区域中，存在磁感应
强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向
题后反思 1．在研究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动规律时，着 mv 2πm 重把握“一找圆心，二找半径(R＝ )，三找周期(T＝ )或时 Bq Bq 间”的规律． 2．注意圆周运动中的有关对称规律．如从同一直线边界射入 的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等；在圆形 磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出．
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变式1—1
(2011·海南单科)空间存在方向垂直于纸面向
里的匀强磁场，图6中的正方形为其边界．一细束由两种粒子 组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射．这两种粒子带 同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都 包含不同速率的粒子．不计重力．下列说法正确的是( )
变式2—1
如图10所示，匀强磁场的磁感应强度为B，宽
度为d，边界为CD和EF.一电子从CD边界外侧以速率v0垂直匀 强磁场射入，入射方向与CD边界间夹角为θ.已知电子的质量为 m，电荷量为e，为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求电子 的速率v0至少多大？
图 10
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解析：当入射速率v0 很小时，电子会在磁场中转动一段 圆弧后又从CD一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道 的 边 界 与 EF 相 切 时 ， 电 子 恰 好 不 能 从 EF 射 出 ， 如 图 11 所 示．电子恰好射出时，由几何知识可得： r＋rcosθ＝d① mv0 又 r＝ ② Be
F＝qE
可能做正功，可能做 负功，也可能不做功
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——基础自测—— 如图2所示，一个带负电的物体从粗糙斜面顶端滑到斜面
底端时的速度为v，若加上一个垂直纸面向外的磁场，则滑到
底端时( )
A．v变大
B．v变小
C．v不变 D．不能确定
图2
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解析：洛伦兹力虽然不做功，但其方向垂直斜面向下， 使物体与斜面间的正压力变大，故摩擦力变大，损失的机械能 增加． 答案：B
课堂讲练互动
[例1]
师生互动 规律总结
如图4所示，在x轴上方有匀强磁场B，一个质量
为m、带电荷量为－q的粒子，以速度v从A点射入磁场，θ角已 知，粒子重力不计，求： (1)粒子在磁场中的运动时间． (2)粒子离开磁场的位置．
图4
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解析：找其圆心位置，不一定要一步到位，先定性地确 定其大概的轨迹，然后由几何关系确定圆心角、弦长与半径的 关系．此题中有一点要提醒的是：圆心一定在过A点且与速度v 垂直的一条直线上，如图5所示．
因为 I＝nqSv(n 为单位体积内的电荷数)
图1
BnqSvL nSL 所以 F 洛＝ ＝ qvB 式中 N＝nSL，故 F 洛＝qvB. N N
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2．洛伦兹力与安培力相比较 安培力是洛伦兹力的宏观表现，但各自的表现形式不同，
洛伦兹力对运动电荷永远不做功，而安培力对通电导线可做正
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——基础自测—— 质子(11H)和α粒子(24He)从静止开始经相同的电势差加速
后垂直进入同一匀强磁场做圆周运动，则这两粒子的动能之比
Ek1∶Ek2＝________，轨道半径之比r1∶r2＝________，周期之 比T1∶T2＝________.
解析：粒子在电场中加速时只有电场力做功，由动能定理得： 1 2 qU＝ mv 2 故 Ek1∶Ek2＝q1U∶q2U＝q1∶q2＝1∶2 1 由 qU＝ mv2，得 v＝ 2 2qU m
mv 2πm r＝ ，T＝ ； Bq Bq (1)圆心角为 2π－2θ，所以运动时间为： 2π－2θ 2π－θm t＝ T＝ 2π Bq 2mvsinθ Bq
图5
(2)离开磁场的位置与入射点的距离即为弦长，即 x＝2rsinθ＝
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2π－θm 答案：(1) Bq
2mvsinθ (2) Bq
(1)试求粒子能从ab边射出磁场的v0值； (2)在满足粒子从ab边射出磁场的条件下，粒子在磁场中
运动的最长时间是多少？
[解析] 这是一道带电粒子在有界磁场中的运动问题，由 于 磁 场 边 界 的 限 制 ， 粒 子 从 ab 边 射出 磁 场 时 速 度 有 一定范
围．当v0有最小值v1时，粒子速度恰与ab边相切；当v0有最大
图3
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2．其特征方程和基本公式：F 洛＝F 向 v2 2π 向心力公式：qvB＝m ＝mω2R＝m( )2R R T T、 f 的两个特点： (1)T、 f 的大小与轨道半径 R 和运行速率 v 无关，只与磁场 q 的磁感应强度 B 和粒子的荷质比 有关． m q (2)荷质比 相同的带电粒子，在同样的匀强磁场中，T、 f m 相同．
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(2)要使粒子在磁场中运动时间最长，其轨迹对应的圆心角应 最大，由(1)知，当速度为 v1 时，粒子在磁场中的运动时间最长， 4π 对应轨迹的圆心角为：θ＝ ， 3 4/3π 2πm 4πm 则：tmax＝ · ＝ . 2π qB 3qB
[答案] qBl qBl (1) ＜v0＜ 3m m 4πm (2) 3qB
与电荷运动方向垂直．
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——要点深化—— 1．由安培力公式推导洛伦兹力公式 F 洛＝qvB 如图 1 所示， 直导线长 L， 电流为 I， 导体中运动电荷数为 N， 截面积为 S， 电荷的电荷量为 q， 运动速度为 v， 则安培力 F＝BIL ＝NF 洛 F BIL 所以洛伦兹力 F 洛＝ ＝ N N
图6
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A．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同 B．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同
C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相
同 D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心
角一定越大
图7
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mv 解析：由于粒子比荷相同，由 R＝ 可知速度相同的粒子轨 qB 迹半径相同，运动轨迹也必相同，B 正确．对于入射速度不同的 粒子在磁场中可能的运动轨迹如图 7 所示，由图可知，粒子的轨 迹直径不超过磁场边界一半时转过的圆心角都相同，运动时间都 2πm 为半个周期，而由 T＝ 知所有粒子在磁场运动周期都相同， 故 qB θ θm A、C 皆错误．再由 t＝ T＝ 可知 D 正确． 2π qB 答案：BD
减小d.设粒子经过n次回旋后与y轴交于On点，若OOn即nd满足 nd＝2r1，④
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则 粒 子 再 经 过 半 圆 Cn ＋ 1 就 能 经 过 原 点 ， 式 中 n ＝ 1,2,3，„„为回旋次数．由③④式解得
功，可做负功，也可不做功． 3．洛伦兹力与电场力相比较 洛伦兹力 性质 电场力
磁场对在其中运动的电荷 电场对放入其中的电荷 有作用力(v不平行于B) 有作用力
磁场中静止电荷、沿磁场 电场中的电荷无论静止 产生 方向运动的电荷不受洛伦 ，还是运动都要受到电 条件 兹力 场力
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如图13所示，在xy平面内，粒子先沿半径为r1的半圆C1运 动至y轴上离O点距离为2r1的A点，接着沿半径为r2的半圆D1运 动至O1点，OO1的距离 d＝2(r2－r1)．③
图 13 此后，粒子每经历一次“回旋”(即从y轴出发沿半径为r1
的半圆和半径为r2的半圆回到原点下方的y轴)，粒子的y坐标就
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mv m 粒子在磁场的圆周半径 r＝ ＝ qB qB 故 r1∶r2＝ m1 ∶ q1 m2 ＝1∶ 2 q2
2qU 1 ＝ m B
2mU q
2πm 粒子做圆周运动的周期 T＝ qB 故 T1∶T2＝
答案：1∶2
m1 m2 ∶ ＝1∶2. q1 q2
1∶ 2 1∶2
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课时2
磁场对运动电荷的作用
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课前自主学习
课堂讲练互动 随堂巩固训练 课时作业
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课前自主学习
梳理知识 突破难点
——知识回顾—— 1．洛伦兹力的定义：运动电荷在磁场中所受的力．
2．洛伦兹力的大小
F＝qvBsinθ，θ为v与B的夹角．当v∥B时，洛伦兹力F＝ 0；当v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB.
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题后反思 (1)解决此类问题的关键是：找准临界点．
(2) 找 临 界 点 的 方 法 是 ： 以 题 目 中 的 “ 恰 好 ” “ 最
大”“最高”“至少”等词语为突破口，挖掘隐含ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ件，分析 可能的情况，必要时画出几个半径不同的轨迹，这样就能顺利
地找到临界条件．
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3．洛伦兹力的方向 左手定则：伸开左手，使拇指跟其余四指垂直，且处于
同一平面内，把手放入磁场中，让磁感线垂直穿入掌心，四指
指向正电荷运动的方向(或负电荷运动的反方向)，那么，拇指 所指的方向就是运动电荷所受洛伦兹力的方向．
4．洛伦兹力对运动电荷不做功，因为洛伦兹力方向始终
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[例2]
如图8所示，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感
应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场．现从矩形区域ad 边的中点O处，垂直磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°，
大小为v0的带电粒子．已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为
l，重力影响不计．
图8
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里，且B1>B2.一个带负电荷的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴 负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2
的比值应满足什么条件？
图 12
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[解析] 粒子在整个过程中的速度大小恒为 v，交替地在 xy 平面内 B1 与 B2 磁场区域中做匀速圆周运动，轨道都是半个圆 周．设粒子的质量和电荷量的大小分别为 m 和 q，圆周运动的半 mv 径分别为 r1 和 r2，有 r1＝ ，① qB1 mv r2＝ .② qB2 现分析粒子运动的轨迹．
洛伦兹力 (1)方向由电荷正负、磁场方向 以及电荷运动方向决定，方向 之间关系遵循左手定则 方向 (2)洛伦兹力方向一定垂直于磁 场方向以及电荷运动方向(电荷 运动方向与磁场方向不一定垂 直) 大小 F＝qvB(v⊥B) 做功 一定不做功 情况
电场力 (1)方向由电荷正负、 电场方向决定 (2)正电荷受力方向与 电场方向一致，负电 荷受力方向与电场方 向相反
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2πR 2πm (3)周期：T＝ ＝ v qB 1 qB (4)频率：f＝ ＝ T 2πm
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——要点深化—— 1．运动分析：如图3所示，若带电粒子沿垂直磁场方向
射入磁场，即θ＝90°时，带电粒子所受洛伦兹力F洛 ＝qvB，
方向总与速度v方向垂直．洛伦兹力提供向心力，使带电粒子 在匀强磁场中做匀速圆周运动．
值v2时，粒子速度恰与cd边相切．轨迹示意图9所示．
图9
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(1)当 v0 有最小值 v1 时，有： 1 R1＋R1sin30° l，① ＝ 2 由轨道半径公式 R＝mv/qB，得：v1＝qBl/3m. 当 v0 有最大值 v2 时，有： l R2＝R2sin30° ，② ＋ 2 由半径公式 R＝mv/qB，得：v2＝qBl/m.③ 所以带电粒子从磁场中的 ab 边射出时，其速度范围应为： qBl qBl ＜v0＜ . 3m m
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——知识回顾—— 1．若 v∥B，带电粒子所受的洛伦兹力 F＝0，因此带电粒子 以速度 v 做匀速直线运动． 2． v⊥B， 若 带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度 v 做匀速圆周运动． v2 (1)向心力由洛伦兹力提供，即 qvB＝m R (2)轨道半径公式：R＝ mv qB
图 11
Bed 故电子要射出磁场时速率至少应为 . m1＋cosθ
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Bed 答案： m1＋cosθ
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[例3]
如图12所示，在x<0与x>0的区域中，存在磁感应
强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向
题后反思 1．在研究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动规律时，着 mv 2πm 重把握“一找圆心，二找半径(R＝ )，三找周期(T＝ )或时 Bq Bq 间”的规律． 2．注意圆周运动中的有关对称规律．如从同一直线边界射入 的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等；在圆形 磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出．
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变式1—1
(2011·海南单科)空间存在方向垂直于纸面向
里的匀强磁场，图6中的正方形为其边界．一细束由两种粒子 组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射．这两种粒子带 同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都 包含不同速率的粒子．不计重力．下列说法正确的是( )
变式2—1
如图10所示，匀强磁场的磁感应强度为B，宽
度为d，边界为CD和EF.一电子从CD边界外侧以速率v0垂直匀 强磁场射入，入射方向与CD边界间夹角为θ.已知电子的质量为 m，电荷量为e，为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求电子 的速率v0至少多大？
图 10
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解析：当入射速率v0 很小时，电子会在磁场中转动一段 圆弧后又从CD一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道 的 边 界 与 EF 相 切 时 ， 电 子 恰 好 不 能 从 EF 射 出 ， 如 图 11 所 示．电子恰好射出时，由几何知识可得： r＋rcosθ＝d① mv0 又 r＝ ② Be
F＝qE
可能做正功，可能做 负功，也可能不做功
高三总复习· 人教版· 物理
——基础自测—— 如图2所示，一个带负电的物体从粗糙斜面顶端滑到斜面
底端时的速度为v，若加上一个垂直纸面向外的磁场，则滑到
底端时( )
A．v变大
B．v变小
C．v不变 D．不能确定
图2
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解析：洛伦兹力虽然不做功，但其方向垂直斜面向下， 使物体与斜面间的正压力变大，故摩擦力变大，损失的机械能 增加． 答案：B
课堂讲练互动
[例1]
师生互动 规律总结
如图4所示，在x轴上方有匀强磁场B，一个质量
为m、带电荷量为－q的粒子，以速度v从A点射入磁场，θ角已 知，粒子重力不计，求： (1)粒子在磁场中的运动时间． (2)粒子离开磁场的位置．
图4
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解析：找其圆心位置，不一定要一步到位，先定性地确 定其大概的轨迹，然后由几何关系确定圆心角、弦长与半径的 关系．此题中有一点要提醒的是：圆心一定在过A点且与速度v 垂直的一条直线上，如图5所示．
因为 I＝nqSv(n 为单位体积内的电荷数)
图1
BnqSvL nSL 所以 F 洛＝ ＝ qvB 式中 N＝nSL，故 F 洛＝qvB. N N
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2．洛伦兹力与安培力相比较 安培力是洛伦兹力的宏观表现，但各自的表现形式不同，
洛伦兹力对运动电荷永远不做功，而安培力对通电导线可做正
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——基础自测—— 质子(11H)和α粒子(24He)从静止开始经相同的电势差加速
后垂直进入同一匀强磁场做圆周运动，则这两粒子的动能之比
Ek1∶Ek2＝________，轨道半径之比r1∶r2＝________，周期之 比T1∶T2＝________.
解析：粒子在电场中加速时只有电场力做功，由动能定理得： 1 2 qU＝ mv 2 故 Ek1∶Ek2＝q1U∶q2U＝q1∶q2＝1∶2 1 由 qU＝ mv2，得 v＝ 2 2qU m
mv 2πm r＝ ，T＝ ； Bq Bq (1)圆心角为 2π－2θ，所以运动时间为： 2π－2θ 2π－θm t＝ T＝ 2π Bq 2mvsinθ Bq
图5
(2)离开磁场的位置与入射点的距离即为弦长，即 x＝2rsinθ＝
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2π－θm 答案：(1) Bq
2mvsinθ (2) Bq
(1)试求粒子能从ab边射出磁场的v0值； (2)在满足粒子从ab边射出磁场的条件下，粒子在磁场中
运动的最长时间是多少？
[解析] 这是一道带电粒子在有界磁场中的运动问题，由 于 磁 场 边 界 的 限 制 ， 粒 子 从 ab 边 射出 磁 场 时 速 度 有 一定范
围．当v0有最小值v1时，粒子速度恰与ab边相切；当v0有最大
图3
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2．其特征方程和基本公式：F 洛＝F 向 v2 2π 向心力公式：qvB＝m ＝mω2R＝m( )2R R T T、 f 的两个特点： (1)T、 f 的大小与轨道半径 R 和运行速率 v 无关，只与磁场 q 的磁感应强度 B 和粒子的荷质比 有关． m q (2)荷质比 相同的带电粒子，在同样的匀强磁场中，T、 f m 相同．
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(2)要使粒子在磁场中运动时间最长，其轨迹对应的圆心角应 最大，由(1)知，当速度为 v1 时，粒子在磁场中的运动时间最长， 4π 对应轨迹的圆心角为：θ＝ ， 3 4/3π 2πm 4πm 则：tmax＝ · ＝ . 2π qB 3qB
[答案] qBl qBl (1) ＜v0＜ 3m m 4πm (2) 3qB
与电荷运动方向垂直．
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——要点深化—— 1．由安培力公式推导洛伦兹力公式 F 洛＝qvB 如图 1 所示， 直导线长 L， 电流为 I， 导体中运动电荷数为 N， 截面积为 S， 电荷的电荷量为 q， 运动速度为 v， 则安培力 F＝BIL ＝NF 洛 F BIL 所以洛伦兹力 F 洛＝ ＝ N N
图6
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A．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同 B．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同
C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相
同 D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心
角一定越大
图7
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mv 解析：由于粒子比荷相同，由 R＝ 可知速度相同的粒子轨 qB 迹半径相同，运动轨迹也必相同，B 正确．对于入射速度不同的 粒子在磁场中可能的运动轨迹如图 7 所示，由图可知，粒子的轨 迹直径不超过磁场边界一半时转过的圆心角都相同，运动时间都 2πm 为半个周期，而由 T＝ 知所有粒子在磁场运动周期都相同， 故 qB θ θm A、C 皆错误．再由 t＝ T＝ 可知 D 正确． 2π qB 答案：BD
减小d.设粒子经过n次回旋后与y轴交于On点，若OOn即nd满足 nd＝2r1，④
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则 粒 子 再 经 过 半 圆 Cn ＋ 1 就 能 经 过 原 点 ， 式 中 n ＝ 1,2,3，„„为回旋次数．由③④式解得
功，可做负功，也可不做功． 3．洛伦兹力与电场力相比较 洛伦兹力 性质 电场力
磁场对在其中运动的电荷 电场对放入其中的电荷 有作用力(v不平行于B) 有作用力
磁场中静止电荷、沿磁场 电场中的电荷无论静止 产生 方向运动的电荷不受洛伦 ，还是运动都要受到电 条件 兹力 场力
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如图13所示，在xy平面内，粒子先沿半径为r1的半圆C1运 动至y轴上离O点距离为2r1的A点，接着沿半径为r2的半圆D1运 动至O1点，OO1的距离 d＝2(r2－r1)．③
图 13 此后，粒子每经历一次“回旋”(即从y轴出发沿半径为r1
的半圆和半径为r2的半圆回到原点下方的y轴)，粒子的y坐标就
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mv m 粒子在磁场的圆周半径 r＝ ＝ qB qB 故 r1∶r2＝ m1 ∶ q1 m2 ＝1∶ 2 q2
2qU 1 ＝ m B
2mU q
2πm 粒子做圆周运动的周期 T＝ qB 故 T1∶T2＝
答案：1∶2
m1 m2 ∶ ＝1∶2. q1 q2
1∶ 2 1∶2
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梳理知识 突破难点
——知识回顾—— 1．洛伦兹力的定义：运动电荷在磁场中所受的力．
2．洛伦兹力的大小
F＝qvBsinθ，θ为v与B的夹角．当v∥B时，洛伦兹力F＝ 0；当v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB.
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题后反思 (1)解决此类问题的关键是：找准临界点．
(2) 找 临 界 点 的 方 法 是 ： 以 题 目 中 的 “ 恰 好 ” “ 最
大”“最高”“至少”等词语为突破口，挖掘隐含ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ件，分析 可能的情况，必要时画出几个半径不同的轨迹，这样就能顺利
地找到临界条件．
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3．洛伦兹力的方向 左手定则：伸开左手，使拇指跟其余四指垂直，且处于
同一平面内，把手放入磁场中，让磁感线垂直穿入掌心，四指
指向正电荷运动的方向(或负电荷运动的反方向)，那么，拇指 所指的方向就是运动电荷所受洛伦兹力的方向．
4．洛伦兹力对运动电荷不做功，因为洛伦兹力方向始终
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[例2]
如图8所示，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感
应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场．现从矩形区域ad 边的中点O处，垂直磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°，
大小为v0的带电粒子．已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为
l，重力影响不计．
图8
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里，且B1>B2.一个带负电荷的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴 负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2
的比值应满足什么条件？
图 12
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[解析] 粒子在整个过程中的速度大小恒为 v，交替地在 xy 平面内 B1 与 B2 磁场区域中做匀速圆周运动，轨道都是半个圆 周．设粒子的质量和电荷量的大小分别为 m 和 q，圆周运动的半 mv 径分别为 r1 和 r2，有 r1＝ ，① qB1 mv r2＝ .② qB2 现分析粒子运动的轨迹．
洛伦兹力 (1)方向由电荷正负、磁场方向 以及电荷运动方向决定，方向 之间关系遵循左手定则 方向 (2)洛伦兹力方向一定垂直于磁 场方向以及电荷运动方向(电荷 运动方向与磁场方向不一定垂 直) 大小 F＝qvB(v⊥B) 做功 一定不做功 情况
电场力 (1)方向由电荷正负、 电场方向决定 (2)正电荷受力方向与 电场方向一致，负电 荷受力方向与电场方 向相反
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2πR 2πm (3)周期：T＝ ＝ v qB 1 qB (4)频率：f＝ ＝ T 2πm
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——要点深化—— 1．运动分析：如图3所示，若带电粒子沿垂直磁场方向
射入磁场，即θ＝90°时，带电粒子所受洛伦兹力F洛 ＝qvB，
方向总与速度v方向垂直．洛伦兹力提供向心力，使带电粒子 在匀强磁场中做匀速圆周运动．
值v2时，粒子速度恰与cd边相切．轨迹示意图9所示．
图9
高三总复习· 人教版· 物理
(1)当 v0 有最小值 v1 时，有： 1 R1＋R1sin30° l，① ＝ 2 由轨道半径公式 R＝mv/qB，得：v1＝qBl/3m. 当 v0 有最大值 v2 时，有： l R2＝R2sin30° ，② ＋ 2 由半径公式 R＝mv/qB，得：v2＝qBl/m.③ 所以带电粒子从磁场中的 ab 边射出时，其速度范围应为： qBl qBl ＜v0＜ . 3m m
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——知识回顾—— 1．若 v∥B，带电粒子所受的洛伦兹力 F＝0，因此带电粒子 以速度 v 做匀速直线运动． 2． v⊥B， 若 带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度 v 做匀速圆周运动． v2 (1)向心力由洛伦兹力提供，即 qvB＝m R (2)轨道半径公式：R＝ mv qB